벡터
• 물리량
– 스칼라: 길이, 면적, 질량 등등 – 벡터: 변위, 속도, 가속도 등등
• 벡터의 정의 : 크기와 방향을 갖는 양
• 벡터의 표시
𝐴 또는 𝑂𝑃
• 직교좌표
– 벡터의 𝐴 의 시점 : 원점
– 벡터의 𝐴 의 종점: 𝑎1, 𝑎2 또는 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3
• 벡터 𝑉의 시점이 직교좌표계의 원점이 아닐 경우
𝑉 = 𝐴𝐵 = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2)
정의 1) 두 벡터 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 , 𝐵 = 𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑛 이 있을 때
𝑎𝑖 = 𝑏𝑖(𝑖 = 1, … . , 𝑛) 일 때 두 벡터의 𝐴 와 𝐵는 서로 같다라고 하고 𝐴 = 𝐵 로 쓴다.
정의 2) 두 벡터 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 , 𝐵 = 𝑏1, 𝑏2, … 𝑏𝑛 이 있을 때 𝐴 + 𝐵 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, … , 𝑎𝑛 +𝑏𝑛 이고
𝐴 − 𝐵 = 𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2, … , 𝑎𝑛 −𝑏𝑛 이다.
또 𝑂 = (0,0, … , 0) 이고 −𝐴 = −𝑎1, −𝑎2, … , −𝑎𝑛 로 나타내면
− 𝐴 + (−𝐴 ) = 0 이 된다.
문제 1) 𝐴 = (2, 3, 5, 7), 𝐵 = (−3, 2, −4, 8) 에서 𝐴 + 𝐵 = (−1, 5, 1, 15)
𝐴 + 𝐵 = (5, 1, 9, −1)
(1) 벡터의 덧셈에 대한 성질
I. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (교환법칙)
II. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶 ) (결합법칙)
III. 𝐴 + 𝑂 = 𝐴 인 벡터 𝑂 가 존재한다(𝑂 벡터의 존재) IV. 𝐴 + 𝐵 = 𝑂 인 벡터 𝐵 가 존재한다(역벡터의 존재)
스칼라와 벡터의 곱
정의 3) 벡터 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 과 임의의 스칼라 𝑘에 대하여 𝑘𝐴 = 𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2, … 𝑘𝑎𝑛 으로 정의한다.
문제 2) 2(3,2,-1)=?
-3(2,7,-5,-4)=?
2(1,-3,2)+3(4,2,1)=?
• 스칼라와 벡터의 곱의 성질
I. 0𝐴 = 0, 1. 0𝐴 = 𝐴 (=1)𝐴 = −𝐴
II. h,k를 스칼라라 하면 ℎ(𝑘𝐴 ) = (ℎ𝑘)𝐴 III. k 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
문제 3) 𝐴 를 벡터라 할 때 다음을 만족하는 𝐴 를 구하여라.
2𝐴 + 1,2,3 = (3,7,1)
문제 4) 벡터 𝐴 = 1,2,3 , 𝐵 = 1, −7,5 ,
𝐶 = 0,2, −2가 주어졌을 때 다 음 벡터를 구하라.
a) 2𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 b) 𝐴 − 𝐵 + 5𝐶 c) 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 =(1,1,1)+𝐷 인 벡터
문제 5) 𝐴 = 2, −3,1 , 𝐵 = 3,2, −1 일 때 𝑋를 구하라.
a) 2𝐴 − 4𝑋 = 𝐵 b)
𝐴 + 2𝑋 = 3𝐵 − 𝑋문제 6) 𝑃1을 시점, 𝑃2를 종점으로 하는 벡터𝑃1, 𝑃2의 성분을 각각 구하라.
a) 𝑃1 3,5 , 𝑃2 2,8 b) 𝑃1 7, −2 , 𝑃2 0,0
c) 𝑃1 6,5,8 , 𝑃2 8, −7, −3 d) 𝑃1 0,0,0 , 𝑃2 −8,7, 4
문제 7) 벡터 𝐴 = 7,6, −3 과 크기와 방향이 같고, 점 𝑃 = 2, −1,4 를 시점으로 갖는 벡터를 구하라.
문제 8) 𝑈 = 1,2,3 , 𝑉 = 2, −3,1 , 𝑊 = 3,2, −1 일 때 벡터를 구하라.
a) 𝑈-𝑉 b) 7𝑉 + 3𝑊 c) −𝑊+2𝑉 d) 3(𝑈-7𝑉)
e) -3𝑉-8𝑊 f) 2𝑉-(𝑈 + 𝑊)
문제 9) 문제 8에서
a) 2𝑈-𝑉 + 𝑋 = 7𝑋 + 𝑊 를 만족하는 벡터 의 성분을 구하라.
b) 𝑐1𝑈 + 𝑐2𝑉 + 𝑐3𝑊=(6, 14,-2) 를 만족하는 스칼라 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3를 구하라.
