스코틀랜드 물리학자, 수학자(1748~1819)
주어진 선 위에 있지 않은 주어진 점을 통과하 면서 그 주어진 선에 평행한 단 하나의 선을 그 릴 수 있다.
문제: 다음 두 정리를 이용하여
플레이페어의 공준과 유클리드의 평행선공준이 동치임을 보여라.
정리1. 두 직선의 횡단선이 서로 같 은 동위각들의 쌍을 만들거나 그 횡 단선의 같은 편에 있는 내각들의 쌍 의 합이 두 직각과 같으면, 그 두 직선은 평행하다.
정리2. 삼각형의 임의의 두 각의 합 은 두 직각보다 작다.
문제: 플레이페어의 공준과 명 제 “삼각형의 내각의 합은 두 직각과 항상 같다.”는 서로 동 치임을 보여라.
문제: 유클리드의 평행선공준에 대한 증 명에서 오류를 발견하시오.(티바우트,1809)
증명: 자의 모서리를 삼각형 ABC의 변 CA와 일치 하도록 위치시키자. 순차적으로 세 꼭지점 A, B, C를 중심으로 ABC 방향으로 자를 회전시켜서 자 를 AB, BC, CA와 차례로 일치시키자. 자가 원래 의 위치로 되돌아오면, 자는 반드시 네 직각만 큼 회전한다. 그런데 전체 회전은 삼각형의 외 각들과 같이 세번의 회전으로 이루어져 있다.
따라서 삼각형의 내각의 합은 두 직각과 같다.
공준
1.서로 다른 임의의 두 점은 직 선(대원)을 결정한다.
2.직선(대원)은 경계가 없다.
3.임의로 주어진 점을 중심으로 하고 임의로 주어진 다른 점을
통과하는 원이 존재한다.
4. 직각은 모두 같다.
5. 모든 직선(대원)은 교차한다.
어떤 사람이 한 마리의 곰으로부터 정남쪽으로 100 미터 떨어진 위치에 있었다.
그 사람이 정동쪽으로 100미터 걸어가서 정북쪽을 바라보고는 정북 방향을 향해 총을 발사해 곰을 맞 혔다.
그 곰은 어떤 색이었겠는가?
정리
1. 평행선은 존재하지 않는다.
2. 주어진 선의 같은 쪽에 세운 모든 수선은 한 점에서 교차한 다.
3. 주어진 두 선을 연결하는 서로 다른 두 선이 존재할 수 있다.
4. 삼각형의 내각의 합은 두 직각 보다 크다.
5. 세 내각이 모두 직각인 삼각형 이 존재한다.
6. 삼각형의 외각은 대내각보다 항상 크지는 않다.
7. 삼각형의 두 변의 합은 나머지 변보다 작을 수 있다.
8. 삼각형에서 서로 같은 두 내각 이 서로 다른 대변을 가질 수 있다.
9. 삼각형에서 가장 큰 변의 대각 은 그 삼각형의 내각 중에서 가장 크지 않을 수도 있다.
10. 직선은 경계가 없지만 길이는 유한하다.
