1. Biot-Savart의 법칙
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1.1 자기장의 세계 2
1.2 Biot-Savart의 법칙 4 1.3 Biot-Savart의 법칙 적용 6
1.4 연습 문제 12
1.1 자기장의 세계
자기장(magnetic field)의 근원(source)은 전류(current) 곧 움직이 는 전하(charge in motion) 및 영구 자석 또는 시간에 따라 변하는 전 기장이다. 영구 자석은 자성체의 자화(magnetization)라는 현상으로 인 하여 형성되는 속박전류(bound charge)로 간주할 수 있다. 자화 및 속 박전류에 대해서는 6장에서 다루도록 한다. 또한 시간에 따라 변하는 전기장에 의해 발생하는 자기장에 대해서는 상위 과목에서 고찰한다.
본 장에서는 자기장을 다루되 진공 또는 자유공간(free space) 내에 서 직류전류(direct current)에 의해 형성되는 정상 자기장(steady magnetic field)에만 초점을 맞춘다. 전류에 의해 발생하는 자기장은 회전하는(curling) 양상을 띠고 생성된다.
전류에 의해 발생하는 자기장의 세기
를 구하는 방법에는, 첫째 Biot-Savart의 법칙, 둘째 Ampere의 주회법칙, 셋째 벡터 자기 위치 에너지를 이용하는 방법 등 세 가지를 주로 사용한다. 그 외에 자기회 로를 이용하는 방법이 보조적으로 사용된다.본 장에서는 Biot-Savart의 법칙을 고찰하여 자기장의 세기
를 구한다. 이어서 2장에서는 Ampere의 주회법칙으로, 3장에서는 미분형 Ampere의 주회법칙으로 자기장의 세기
를 직접 구한다.4장에서는 벡터 자기 위치에너지
를 도입하여 자기장의 세기
를
∇×
을 이용하여 간접적으로 구한다. 또한 7장에서는 자기회로를 간단하게 고찰한다.
자기장의 세기
(또는 자속밀도
나 벡터 자기 위치에너지
) 가 먼저 구해지면, 표 1.1의 일람표에서 보여주는 관계식에 따라, 자기 장의 세계에서 다루는 모든 물리량을 쉽게 결정할 수 있다.표 1.1 자기장의 세계
미분방정식 적분방정식
(두 무한표면)
(자유공간)
∇×
미분방정식 적분방정식
∇× ×
(체적) 전류밀도
표면 전류밀도
자기장의 세기
자속밀도
벡터 자기 위치에너지1. 총 전류량
·
2. 총 자속
·
3. 자기에너지
·
4. 자기용량
또는
1.2 Biot-Savart의 법칙
아래 그림 1.1에서와 같이 미소 전류소(differential current element)
′
이
축 상에 놓여 있을 때 발생하는 미소 자기장의 세 기(differential magnetic field intensity)
를 구해보기로 하자.여기서 프라임 부호(
)는 근원(source)임을 표시하기 위해 사용한다. (1 장과 2장에서만 근원에 관계됨을 강조하기 위해 사용한다.) 이 약속에 따라 자기장의 근원인 미소 전류소가 놓여 있는 근원점(a source point)을 위치 벡터 ′
으로 표시하고, 자기장의 크기를 결정하고자 하 는 공간의 한 작용점(a field point)을 위치 벡터
로 표시한다. 이때 근원점에서부터 작용점까지의 벡터 거리는 ′
이 된다.근원인 미소 전류소를 중심으로 회전하는 양상으로 형성되는 자기장 을 벡터로 표시하기 위해 회전하는 방향으로의 벡터를 먼저 결정하기로 한다. 이때 회전하는 방향으로의 벡터는 미소 전류소
′
의 방향과 단위 벡터
의 외적을 이용하여 결정된다. 또한 자기장의 크기는 전 류에 비례하고 두 점간의 거리의 제곱에 반비례하는 크기로 결정된다.따라서 미소 전류소
′
에 의한 미소 자기장의 세기
는 다음과 같이 Biot-Savart의 법칙으로 결정되며 이때 단위는
이다.
그림 1.1 Biot-Savart의 법칙 : 미소 전류소
′
에 의한 미소 자기장의 세기
′
′
′×
′×
(1.1)
미소 전류는 홀로 존재할 수 없고 다만 폐회로(a closed circuit)에 흐르는 전류의 일부분을 나타낼 뿐이다. 즉 실제의 자기장의 세기
의 근원은 폐회로를 흐르는 전류
이다. 따라서 Biot-Savart의 법칙은 아 래와 같이 적분으로 자기장의 세기
를 결정한다. ′
′ ′×
(1.2)미소 전류소에 대해서 일반적으로 아래와 같은 등식이 성립한다.
′ ′ ′
(1.3)여기서 전류
의 단위는
이며, 각각 표면 전류밀도 (surface current density)
및 전류밀도(current density)
의 단위는
와
이다. 따라서 Biot-Savart의 법칙은 각각 표면 전류밀도
와 전류밀도
에 대해서도 아래와 같이 적용할 수 있다.
′ ×
′
(1.4)
′ ×
′
(1.5)1.3 Biot-Savart의 법칙 적용
Biot-Savart의 법칙을 이용하여 무한직선 전류(infinitely long line current)에 의한 자기장을 구해보기로 한다. 직선전류
가 그림 1.2에 서와 같이 자유공간(free space) 내의
축 상에서
방향으로 흐르고 있다. 이 경우 자기장의 세기
는 3차원 공간의 벡터이며
축을 중 심으로 회전하는 양상을 띠게 되므로 원주좌표계를 이용하여 적절하게 표현된다. 이때 자기장의 세기
는 아래와 같이 3차원 성분을 갖게 되며 또한 각 성분은 3차원 공간에서의 한 작용점
의 함수 값으로 결정된다.
그러나 무한직선 전류 분포에 의한 자기장의 세기
는 대칭성을 띠게 되어 3차원 성분 중에서
성분만을 갖게 된다. 또한
성분조 차도
와
에 따라서 값이 변하지 않기 때문에
만의 함수가 됨을 알 수 있다. 따라서 Biot-Savart의 법칙으로
가 되는 자기장의 세기
를 구하기로 하자.그림 1.2 자유공간 내의
축 상에서
방향을 따라 흐르는 무한직선 전류
(3) 작용점
의 위치벡터
(4) 근원점
′ ′
의 위치벡터 ′ ′
(5)
점에서
점까지의 벡터 거리 ′
′
(6) 방향 벡터
′
′
(1.6)
(7) 자기장의 세기
′ ∞∞
∞∞ ′
×
′
′
(1.7)그림 1.3
축 상에서 한 근원점인
점 을 흐르고 있는 미소한 분량의 전류소 ′ ′
에 의한
축 상의 한 작 용점
에서의 미소 자기장의 세기
′
′
′
′
식 (1.7)은 아래와 같이 계산되어 (8) 계속해서
∞∞
′ ′
적분 범위
∞ ≺ ′ ≺ ∞
에서
는 일정한 방향을 유지하므로 위의 적분식은 아래와 같이 정리된다.
∞∞
′
′
이제
를 아래와 같이 스칼라 값으로 구하기만 하면 된다.
∞∞
′
′
(9)
를 구하기 위해 아래 그림과 같이tan ′
′
라고 치환하면′ tan ′
′ sec
′ ′
′
tan
′
tan
′
sec
′
※ 보충
Ⓘ
cos
sin
②
cos
sin
cos
⇒ tan
sec
③
sin
cos
sin
⇒ cot
csc
′
′
등이 되고, 이때 적분 범위는
∞ ≺ ′ ≺ ∞
에서
≤ ′ ≤
로 변환된다. 여기서
은 전류
가 시작하는 근원의 방향 각도로
이고,
는 전류
가 끝나는 근원의 방향 각도로
이다.(10)
∞∞
′ ′
′
sec
′
sec
′ ′
sec
′
sec
′ ′
(11)
cos′ ′
sin
sin
(12) 그러므로 자기장의 세기
는
(1.8)가 됨을 구할 수 있다.
(13) 유한직선 전류분포인 경우(
≤ ′ ≤
)위의 식을
≤ ′ ≤
에 대해 적분하면 아래 식과 같이 되고
sec
′
sec
′ ′
cos ′ ′
자기장의 세기
를 벡터로 구하면
sin
sin
(1.9)가 된다. 여기서 이 식은, 아래 그림 1.4에서와 같이 무한이 아닌 유한 직선 전류분포인 경우에도 유용하게 사용될 수 있다.
그림 1.4 자유공간 내
축 상에서
방향을 따라 흐르는 유한직선
이때 무한직선 전류
에 의한 자기장의 세기
는 전류에 대하여 회전하는 양상으로 발생하여
성분만을 갖게 되며, 또한 그 크기가 전류로부터 수직 거리
에 반비례하고 있다. 자기장의 흐름 곧 자기력 선(magnetic streamline)을 그림으로 그리면 그림 1.5와 같이 나타낼 수 있다.그림 1.5
자유공간 내의
축을 따 라 흐르는 무한직선 전류
에 의한 자기력선회전하는 양상으로 형성되는 자기력선의 모양새를 방정식으로 구해 보자. 2차원 평면 한 점에서 자기장의 세기
의 두 성분이 직각좌표 계로 각각
및
라고 하면 그 점에서 자기력선의 방정식
의 기울기 ′
는
에 비례한다. 즉,
또는
(1.10)이 된다. 이 방정식을 3차원의 공간으로 확장하면 아래와 같이
(1.11)로 되고, 이 미분방정식을 풀어 얻은 방정식을 자기력선의 방정식(또는 3 장에서 배울 자속선의 방정식)이라고 부른다.
자기장의 세기
는
성분만을 갖게 된다. 이를 직각좌표계로 아래 식과 같이 변환하면
및
성분을 구하게 된다.
(1.12)
이 때
및
성분을 식 (1.10)에 적용하여 아래와 같이 자기력선의 미분방정식 (1.13) 및 자기력선의 방정식 (1.14)를 구할 수 있다. 이 때 자기력선은
평면에 평행하며 원점을 중심으로 하는 모든 원의 모양 을 형성하고 있음을 확인할 수 있다.
(1.13) or
(1.14)1.4 연습 문제
1. 자유공간 내에서 무한직선 전류
가
축을 따라 양의 방향으로 흐르고 있고 아래와 같이 각각 또 다른 무한직선 전류가
축 상의 한 점 ′
을 관통하여 평행하게 흐르고 있을 경우
축 상의 한 작용 점
에서의 자기장의 세기
를 구하여라.(1) 다른 무한직선 전류
가 흐르고 있을 경우 ; (2) 또 다른 무한직선 전류
가 흐르고 있을 경우 ;2. 자유공간 내에서 무한직선 전류
가 원점을 중심한 반지름
인 원주를따라 시계반대 방향으로 흐르고 있을 경우 다음의 각각을 구하여라.
(1) 원점에서의 자기장의 세기
;(2) 한 작용점
에서의 자기장의 세기
;3. 자유공간 내에서 무한직선 전류
가 음의 무한대(infinity)에서 축을 거슬러 원점으로 흘러 들어와서 다시
축을 따라 양의 무한대로 흘러 나갈 경우 다음의 각각을 구하여라.(1) 한 작용점
에서의 자기장의 세기
;(2) 한 점
으로부터
평면에서 수직으로
만큼 떨어진 작 용점에서의 자기장의 세기
;4. 자유공간 내에서 무한직선 전류
