의 일반적인 정의

3.1. 개집합과 폐집합

4주 4주

  

제3장. 실직선의 위상

* 실직선이란?

* 실직선에서의 구간:  ,  ,  ,  ,  ∞ , ∞  ,  ∞ , ∞  ,  ∞∞ 

* 실직선에서 두 점 사이의 거리: ^∀ ∈,

  

를 두 점  와  사이의 거리(distance)라고 하며, 다음 조건을 만족시킨다.¹⁾ (i) ^∀ ∈,    ≥  ,      ⇔   

(ii) ^∀ ∈,       

(iii) ^∀  ∈,    ≤       

3.1. 개집합과 폐집합

[3.1.1 정의] 근방

∈,    일 때,

      

을 점  의  -근방( -neighborhood) 또는 간단히 점  의 근방이라 하고,

 

으로 나타낸다. 이때  를  -근방의 중심(center),  을 반경(radius)이라 한다.²⁾

*    ∈      

[3.1.3 정리]

∀  ⊂, ∈  ⇒ ^∃   s.t.   ⊂ 

 ≤      

[3.1.3 따름정리]

∈  ⇒ ^∃   s.t.  ⊂ 

[3.1.4 정리]

∀∈_≠  , ^∃____ s.t. __∩__  ∅

 

1) 거리(distance, metric)

 

의 일반적인 정의

 ×→

(i)

  ≥ 

(

    ⇔   

) (ii)

   

(iii)

  ≤     

2) 평면에서 어떤 점의 근방은 원의 내부이고, 공간에서는 구의 내부를 나타낸다.

[3.1.5 정리]

__∩__ ≠ ∅ ⇒ ^∀∈_ ∩__, ^∃   s.t.   ⊂_ ∩__

__∩__

[3.1.6 정의] 개집합(개구간의 일반화), 폐집합(폐구간의 일반화)

⊂가

∀∈, ^∃   ,   ⊂

를 만족시킬 때, 집합 를 개집합(open set)이라 한다. 또 ^가 개집합일 때, ⊂를 폐집합(closed set)이라 한다.

[예제 1]

(1) 임의의 개구간  (2) 점  의 근방   (3) , ∅ (4) 

(5) 



^_^{ ∈}



^{(6)  (7) 유한집합 ⋯⊂}

[3.1.7 정리] 개집합의 성질³⁾ (a) , ∅ 은 개집합이다.

(b) ⋯: 개집합 ⇒ _{  }



^{ : 개집합}

(c) (∈): 개집합 ⇒



∈

: 개집합

[3.1.8. 정리] [3.1.7 정리 (c)]의 역

공이 아닌 임의의 개집합은 개구간들의 합집합으로 나타낼 수 있다.⁴⁾ 즉, ≠ ∅  : 개집합 ⇒ 



∈

  ,   ⊂

[3.1.9 정리] 폐집합의 성질 (a) , ∅ 은 폐집합이다.

(b) __⋯_: 폐집합 ⇒ _{  }



^{ : 폐집합}

(c) _(∈): 폐집합 ⇒ _∈



^{: 폐집합}

[예제 2]

(1) 



^

   





^{일 때,} _{  }

^

^{∞ }  : 개집합 (2) 

_



   

 

_{일 때,   }



^{∞}_^

 

 

_{: 폐집합}

3) 개집합의 일반적인 정의(공리)

4)

의 임의의 개집합은 가산개의 서로소인 개구간들의 합집합으로 나타낼 수 있다(Royden, p.39).¹⁾

3.2. 내점과 집적점

4주 5주

3.2. 내점과 집적점(개집합과 폐집합의 특성화)

[3.2.1 정의] 내점, 집적점, 폐포 (a) ∈⊂에 대하여

∃   s.t.   ⊂

일 때,  를 의 내점(interior point)이라 한다.

(b) ∈에 대하여

∀   ,  ∩  ≠ ∅

일 때,  를 의 집적점(accumulation point)이라 한다. 즉, 집적점  는  의 임의의  -근방이  이외에

의 점을 적어도 하나⁵⁾ 포함한다.

의 집적점 전체의 집합을 ′ 으로 나타내고, ∪′ 을 의 폐포(closure)라 하고, 로 나타낸다. 즉,

∪′

* 의 내점은 반드시 의 점이지만, 집적점은 반드시 의 점일 필요가 없다.

[예제 1] 의 내점, 집적점, 를 구하여라.

(1)  

(2) 



^

 ∈



(3) 유한집함 _⋯_ (4) 

[3.2.2 정리] 개집합의 특성화

⊂: 개집합 ⇔ ^∀∈,  는 의 내점

[3.2.3 정리] 폐집합의 특성화

⊂: 폐집합 ⇔ ′ ⊂(즉, ⇔  3.2.7따름정리) (⇒ )

∃∈′ ∈ ∈^{ ∃}     ⊂^

∈′ (⇐ )

 ⇐ ^ ⇐ ^∀∈^{ ∃}  _ ⊂^ ⇐ ^∀∈^{ ∃} 

_∩ ∅ ⇐ ^∀∈^ ∈′

[3.2.4 정리]

∈: ⊂의 집적점 ⇔ ^∃  s.t. ^∀∈,       

, ∈⁶⁾

5) 사실은 무수히 많이 존재한다.

* 각 ∈에 대하여     _  

을 만족시키는 _∈는 무수히 많이 존재한다.

(⇒ ) ^∀  

  , ^∃∈



^



^{ }





^{ }



^{∩≠ ∅}

(⇐ ) ^∀   , ^∃∈ _{s.t. }



  즉, _≠ ∈_{ }



∩⊂ ∩

[3.2.5 정리] ∈⊂에 대하여 다음 세 명제는 서로 동치이다.

(a) ∈

(b) ^∀   ,  ∩≠ ∅

(c) ^∃점열  _ s.t. ^∀∈,   _  

 , _∈ (즉, ^∀∈, ^∃≠  ∈_{ }



∩ )

[증명]

(a) ⇒ (b)

∈ ∪′ ⇒ ∈ 또는 ∈′ ⇒ ∈인 경우, ∈′ 인 경우 (b) ⇒ (c)

∀∈, ^∃∈_{ }



∩≠ ∅ 즉, ^∃ _ s.t. ^∀∈,   _  

 , _∈

(c) ⇒ (a)

(i) ^∀∈,     _  

 , _∈ ⇒  ∈′ (3.2.4 정리)

(ii) ^∃∈ s.t.   _   , _∈ ⇒   _∈

[3.2.6 정리]

⊂에 대하여

⊂ ⇒ ⊂ , ∪ ∪ [증명]

(i) ⊂ ⇒ ⊂ 

∈  ⇒  ∩≠ ∅ ⇒  ∩≠ ∅ (∵⊂) (ii) ∪ ∪

∪ ⊂ ∪: ⊂∪, ⊂∪ ⇒ ⊂ ∪, ⊂ ∪ ⇒ ∪⊂ ∪

∪⊂ ∪: ∈∪⇒^∀   , ∩∪  ∩  ∩ ∪ ≠ ∅ ⇒ ∈ or

∈ 

[3.2.8 정리]

⊂가 유계일 때,

  sup ⇒ ∈(특히 가 폐집합이면 ∈) [증명]

  sup ⇒ ^∀   , ^∃∈ s.t.      ≤  ⇒ ^∀   , ^∃∈ ∩ ⇒ ∈

6)

_





을

_

^



으로 바꾸어도 무방하다.