환의 정의

(1)

Definition 0.1. 집합 R 상에 두 연산 +, · 이 정의되고 이 연산들이 다음 조건을 만족할 때 집합 R을 환(ring)이라 한다.

조건 1) < R, + >는 가환군(abelian group)이다.

조건 2) 연산 ·에 대해 결합법칙이 성립한다.

조건 3) 좌우 분배법칙이 성립한다. 즉,

a · (b + c) = a · b + a · c, (a + b) · c = a · c + b · c, ^∀a, b, c ∈ R.

이 성립한다.

집합 R이 두 연산 +, · 아래에서 환이 될 때 < R, +, · >은 환이라고 한다. 그리고 +을 덧셈(addition), · 을 곱셈(multiplication)이라 한다.

Example 0.2. 실수 집합에는 덧셈 +와 곱셈 · 이 정의되어 있다. 이 두 연산 아 래에서 < Z, +, · >, < Q, +, · >, < R, +, · >들은 환이 된다.

Example 0.3. 행렬 집합에도 덧셈 +와 곱셈 · 이 정의되어 있음을 우리는 알고 있다. 이 두 연산 아래에서 < M_n(Z), +, · >, < Mn(Q), +, · >, < Mn(R), +, · >들은 환이 된다.

Example 0.4. < nZ, +, · >, < Zn, +, · (modn) >들은 환이 될 수 있음을 생각해 보라.

Example 0.5. R₁, · · · , R_n들은 환일 때 R := R₁× · · · × R_n상에 두 연산 +, · 을 (a₁, · · · , a_n) + (b₁, · · · , b_n) := (a₁ + b₁, · · · , a_n+ b_n)

(a₁, · · · , a_n) · (b₁, · · · , b_n) := (a₁· b₁, · · · , a_n· b_n) 으로 정의하면 < R, +, · >은 환이 된다.

[표기] 1. 환 이론에서 곱셈 기호 · 은 생략한다.

2. 환 R에서 0_R은 덧셈에 대한 항등원(identity)을 나타낸다.

3. 환 R에서 a ∈ R에 대해 −a는 a의 덧셈에 대한 역원을 나타낸다.

4. 자연수 n와 환 R의 원소 a ∈ R에 대해 na := a + · · · + a, (n개의 덧셈)이고 (−n)a := (−a) + · · · + (−a), (n개의 덧셈)을 나타낸다.

5. 정수 0와 0_R에 대해 0 · 0_R= 0_R을 나타낸다.

(2)

Theorem 0.6. R이 환일 때 임의의 a, b ∈ R에 대해 다음 사실들이 성립한다.

(1) 0_Ra = a0_R= 0_R

(2) a(−b) = (−a)b = −(ab) (3) (−a)(−b) = ab

Proof. 사실 (1) 증명;

a0_R+ a0_R= a(0_R+ 0_R) = a0_R= 0_R+ a0_R 에서 양변에 −(a0_R)을 더하면

(a0_R+ a0_R) + (−a0_R) = (0_R+ a0_R) + (−a0_R), a0_R+ (a0_R+ (−a0_R)) = 0_R+ (a0_R+ (−a0_R)),

a0R+ 0R= 0R+ 0R, a0_R= 0_R. 같은 원리로 0_Ra = 0_R임을보일 수 있다.

사실 (2) 증명;

−(ab)의 정의에 의해 a(−b) + ab = 0R, (−a)b + ab = 0R임을보이면 된다. 사실 (1) 을 적용하면

a(−b) + ab = a(−b + b) = a0_R= 0_R, (−a)b + ab = (−a + a)b = 0_Rb = 0_R 임을 알 수 있다.

사실 (3) 증명;

사실 (2)을 적용하면

(−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab 임을 알 수 있다.