직교벡터

직교벡터

직교벡터

강의 목표:

a) 3-D 벡터를 직교 좌표계로 표시한다.

b) 3-D 벡터의 크기와 좌표각을 구한다.

c) 3-D 공간에서 벡터(힘)를 합한다.

수업 내용:

• 퀴즈

• 응용/ 관련성 3차원 공간벡터의 연산은

직교벡터로 표시하면 편리

c) 3-D 공간에서 벡터(힘)를 합한다.

• 단위벡터

• 3-D 벡터 항

• 합 벡터

• 개념 퀴즈

• 예제

• 주의환기 퀴즈

예습 확인 퀴즈

1. 우리가 이용하려고 하는 벡터 대수학 이론의 좌표계는 (__??__) 법칙에 기반을 두고 있다.

A) Euclidean B) 왼손 C) Greek D) 오른손 E) Egyptian

해설: x-y평면에서 감아질 때 엄지손가락이

2. ^기호 α, β, 와 γ 는 3차원 직교벡터계에서는 무엇을 나타내는가?

A) 단위벡터 B) 좌표 축방향과 이루는 각 C) Greek 문자 D) x, y 와 z 성분

해설: x-y평면에서 감아질 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 양의 z-축 방향이다

응

응 용 용 (Applications) (Applications)

실제 생활에서 많은 문제는 3-차원 공간에서 일어난다.

각각의 케이블 장력을 직교벡터 형태로 어떻게 나타낼 것인가?

응

응 용 용 ((계속 계속))

케이블에 장력이 가해져 있다면, 타워의 꾝대기, D점에 작용하는 합력은 어떻게 구할 것인가?

(공점력계)

단위 벡터(unit vector)의 정의

단위 벡터의 특성:

a) 크기는 1.

크기 A를 갖는 임의 벡터 A에

대하여, 그 단위벡터는 u_A = A /A 로 정의된다. 혹은 A = A u_A

앞절에서 x, y축 방향으로 단위벡터를 정의함.

a) 크기는 1.

b) 무차원.

c) 원래 벡터(A)와 같은 방향을 가리킨다.

직교 좌표계에서 단위벡터는 i, j, 와 k이다. 그들은 각각 양의x, y, 그리고 z 축을 따르는 단위 벡터이다.

양(+)의 직교 단위벡터

3

3--D D 직교 직교 벡터의 벡터의 용어들 용어들

변 길이가 A_X, A_Y와 A_Z m의 길이를 갖는 박스를 생각하자.

벡터 A = (A_X i + A_Y j + A_Z k) m 의 직각성분으로 정의될 수 있다.

벡터 A 의 x-y 평면상에 투영은 A´_.

A = A´ + A_Z, A´ = (A_X + A_Y) 투영 A´ 의 크기는 2-D 벡터와 마찬가지로 구할 수 있다: A´ = (A_X² + A_Y²)^1/2 . 이때 양의 벡터 A 의 크기 A는 다음과 같이 구할 수 있다.

A = ((A´)² + A_Z²) ^½ = (A_X² + A_Y² + A_Z²) ^½ A = A´ + A_Z = A_x + A_y + A_z = A_X i + A_Y j + A_Z k

벡터A 의 방향은 좌표방향각 α, β 와 γ로 정의한다.

이 각도는 벡터와 양의 x, y 와 z축이 이루는 사이 각도이다. 각도는 0° 에서 180° 사이의 값을 갖는다.

삼각함수를 사용하면, “방향여현(direction cosines)”이 아래 공식을 사용하여 구해진다.

용

용 어 어 ((계속 계속))

.

이 각도들은 독립적이질 않고, 아래의 방정식을 만족해야 한다.

cos ² α + cos ² β + cos ² γ = 1

이 결과는 좌표방향각도와 단위벡터의 정의로부터 유도된다. 어떤 위치벡터의 단위벡터를 구하기 위한 공식을 기억하라.

혹은 다음 식과 같이 표기된다., u _A = cos α i + cos β j + cos γ k .

u

= cos α i + cos β j + cos γ k

3차원벡터의 직교벡터 표시

A = Au

= Acos α i + Acos β j + Acos γ k

= A

i + A

j + A

k

직교

직교 벡터의 벡터의 덧셈과 덧셈과 뺄셈 뺄셈

예를 들면, 만약

A = A_X i + A_Y j + A_Z k

B = B_X i + B_Y j + B_Z k , 이면

A + B = (A_X + B_X) i + (A_Y + B_Y) j + (A_Z + B_Z) k 혹은

A – B = (A_X - B_X) i + (A_Y - B_Y) j + (A_Z - B_Z) k .

공점력

공점력 계 계

여러 개의 힘이 한 점에 작용하는 공점력계(concurrent force system)에서, 힘의 합력은 계(system)내 모든 힘의 벡터

합으로 구해지고, 각 힘을 직교벡터로 표시하고 계(system) 내의 모든 힘의 i, j, k 성분을 합한다.

F

F_R = Σ F= Σ F_X i + Σ F_Y j + Σ F_Z k

고정용 로프를 따라 힘 F가 바닥의 지지점 O에 작용하고 있다.

직교 벡터 양식으로 나타내면,

F=Fu = Fcos α i + Fcos β j + Fcos γ k

61페이지 요점 참조

중요

중요 사항 사항

가끔 3-D 벡터 정보는 다음과 같이 주어진다.

a) 벡터의 크기와 좌표방향각, 또는 b) 벡터의 크기와 투영 각도.

벡터의 표시를 직교 형식으로 바꾸기 위해서 이들 두 형식의 정보를 사용할 수 있다. 즉,

F = {10 i – 20 j + 30 k} N .

예

예 제 제

G

주어진 값: 두 힘 F와 G가 후크에

작용하고 있다. 힘 F는 그림에 보여준 바와 같이 X-Y평면과 60 ° 의 각도를 이루고 있다. 힘 G는 위를 가리키는데, 80 N의 크기와 α = 111° 와 β = 69.3°

를 가진다.

1) 기하학과 삼각함수를 사용하여, F 와 G 를 직교벡터 성분으로 표기하라.

2) 그리고 나서, 두 힘을 더하라.

목표: 직교 좌표성분으로 합력을 구하라.

계획 (풀이):

해답 : 우선 힘 F를 분해하라.

F_z = 100 sin 60° = 86.60 N F' = 100 cos 60° = 50.00 N F_x = 50 cos 45° = 35.36 N F_y = 50 sin 45° = 35.36 N F_y = 50 sin 45° = 35.36 N

그러면 아래와 같이 쓸 수 있다.

F = {35.36 i – 35.36 j + 86.60 k} N

그리고나서 힘 G 를 분해하라.

단지 α 와 β만 주어져있다. 따라서, 우선 γ의 값을 구하는 것이 필요하다.

공식 cos ² (α) + cos ² (β) + cos ² (γ) = 1을 기억하라.

여기에 알고 있는 각도들을 대입하면,

cos ² (111°) + cos ² (69.3°) + cos ² (γ) = 1.

풀면, γ = 30.22° or 120.2°. 벡터가 위를 가리키고 있으므로, 풀면, γ = 30.22° or 120.2°. 벡터가 위를 가리키고 있으므로,

γ = 30.22°

이제 좌표방향각을 사용하면, G벡터의 단위벡터 u_G, 를 구할 수 있고, 결국 G = 80 u_G N로 주어진다.

G = {80 ( cos (111°) i + cos (69.3°) j + cos (30.22°) k )} N G = {- 28.67 i + 28.28 j + 69.13 k } N

그러면, R = F + G 에서, R = {6.69 i – 7.08 j + 156 k} N

개념

개념 질문 질문

1. 만일 단위벡터 u_A을 안다면, 단지 벡터 A 의 __?__ 을 구할 수 있다.

A) 크기 B) 각도 (α, β 및 γ)

C) 성분 (A_X, A_Y, & A_Z) D) 위의 모든 것.

2. 어떤 임의 힘 벡터에 대하여, 아래의 변수들이 불규칙하게 2. 어떤 임의 힘 벡터에 대하여, 아래의 변수들이 불규칙하게

주어졌다. 그 크기는 0.9 N, α = 30^º, β = 70^º, γ = 100^º. 이 3-D 벡터의 무엇이 잘못되었는가 ?

A) 크기가 너무 작다.

B) 각도들이 너무 크다.

C) 세 각이 모두 임의로 선정한 것이다.

D) 세 각이 모두 0^º 와 180^º 사이에 있다.

cos ² α + cos ² β + cos ² γ = 1

그룹 문제 해결

주어진 값: 나사눈(Screw eye)이

두 힘 F₁과 F₂ 를 받고 있다.

목표: 합력의 크기와 좌표방향각을 구하라.

계획 (풀이):

1) 기하학과 삼각함수를 사용하여, 직교벡터형식으로 F₁ 과 F₂ 를 표시하라.

2) F_R 을 얻기 위하여F₁ 과 F₂ 를 더하라.

3) 합력 벡터의 크기와 α, β, γ를 구하라 . 계획 (풀이):

그룹 문제 해결 (계속)

F’ 는 더욱이 아래와 같이 x, y 성분으로 분해될 수 있다,

F_1z F´

우선 힘 F₁ 을 분해하라.

F_1z = 300 sin 60° = 259.8 N F´ = 300 cos 60° = 150.0 N 성분으로 분해될 수 있다,

F_1x = -150 sin 45° = -106.1 N F_1y = 150 cos 45° = 106.1 N 그러면 :

F₁ = {-106.1 i + 106.1 j + 259.8 k } N

다음에는 힘 F₂ 를 직교벡터 형식으로 나타낸다:

F₂ = 500{ cos 60° i + cos 45° j + cos 120° k } N

= { 250 i + 353.6 j – 250 k } N

그룹 문제 해결 (계속)

F_R = (143.9 ² + 459.6 ² + 9.81 ²) ^½ = 481.7 = 482 N α = cos^-1 (F_Rx / F_R) = cos^-1 (143.9/481.7) = 72.6°

β = cos^-1 (F_Ry / F_R) = cos^-1 (459.6/481.7) = 17.4°

γ = cos^-1 (F_Rz / F_R) = cos^-1 (9.81/481.7) = 88.8°

F_R = F₁ + F₂

= { 143.9 i + 459.6 j + 9.81 k } N

주의

주의 환기 환기 퀴즈 퀴즈

1. 단위벡터, u_A에 대하여 사실이 아닌 것은?

A) 무차원.

B) 크기가 1이다.

C) 언제나 양의 X-축을 향한다.

D) 언제나 벡터A의 방향을 가리킨다.

2. 만약 F = {10 i + 10 j + 10 k} N 이고

G = {20 i + 20 j + 20 k } N 이라면, F + G = { ? } N A) 10 i + 10 j + 10 k

B) 30 i + 20 j + 30 k C) -10 i - 10 j - 10 k D) 30 i + 30 j + 30 k

예제 예제 22--88

F=Fu = Fcos α i + Fcos β j + Fcos γ k

힘 F를 직교벡터로 표시하라 cos ² (α) + cos ² (β) + cos ² (γ) = 1

예제 2-9 (62페이지)

F=Fu = Fcos α i + Fcos β j + Fcos γ k

고리에 작용하는 합력의 크기와 좌표 방향각을 구하라.

합력의 크기 F_R =(R_X² + R_Y² + R_Z²) ^½

예제 예제 22--10 10

힘 F₁을 직교벡터로 표시하라.

예제 예제 22--11 11

F₁= F₁cos α i + F₁cos β j + F₁cos γ k

= 300(cos 60° i+cos 60° j+cos 120° k) N

= {212.1i + 150 j – 150 k } N F₂=F_2xi + F_2yj + F_2zk

F =800j N = F +F F_R=800j N = F₁+F₂

800j =212.1i +150 j –150 k + F_2xi + F_2yj + F_2zk

-212.1 = 700 cosα₂ α₂ = cos^-1 (-212.1/700) = 72.6°

650 =700cosβ₂ β₂ = cos^-1 (650/700) = 17.4°

150 =700cos γ₂ γ₂ = cos^-1 (150/700) = 88.8°

F₂= (-212.1²+650²+150²) ½ = 700 N