직교벡터
(Section 2.5)강의 목표:
a) 3-D 벡터를 직교 좌표계로 표시한다.
b) 3-D 벡터의 크기와 좌표각을 구한다.
c) 3-D 공간에서 벡터(힘)를 합한다.
수업 내용:
• 퀴즈
• 응용/ 관련성
• 단위벡터
• 3-D 벡터 항
• 합 벡터
• 개념 퀴즈
• 예제
• 주의환기 퀴즈 3차원 공간벡터의 연산은
직교벡터로 표시하면 편리
예습 확인 퀴즈
1. 우리가 이용하려고 하는 벡터 대수학 이론의 좌표계는 (__??__) 법칙에 기반을 두고 있다.
A) Euclidean B) 왼손 C) Greek D) 오른손 E) Egyptian
2. 기호 , , 와 는 3차원 직교벡터계에서는 무엇을 나타내는가?
A) 단위벡터 B) 좌표 축방향과 이루는 각 C) Greek 문자 D) x, y 와 z 성분
해설: x-y평면에서 감아질 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 양의 z-축 방향이다
응 용 (Applications)
실제 생활에서 많은 문제는 3-차원 공간에서 일어난다.
각각의 케이블 장력을 직교벡터 형태로 어떻게 나타낼 것인가?
응 용 (계속)
케이블에 장력이 가해져 있다면, 타워의 꾝대기, D점에 작용하는 합력은 어떻게 구할 것인가?
(공점력계)
단위 벡터(unit vector)의 정의
단위 벡터의 특성:
a) 크기는 1.
b) 무차원.
c) 원래 벡터(A)와 같은 방향을 가리킨다.
직교 좌표계에서 단위벡터는 i, j, 와
k이다. 그들은 각각 양의x, y, 그리고
z 축을 따르는 단위 벡터이다.크기 A를 갖는 임의 벡터
A에
대하여, 그 단위벡터는 uA =
A
/A 로 정의된다. 혹은A
= A uA양(+)의 직교 단위벡터
앞절에서 x, y축 방향으로 단위벡터를 정의함.
3-D 직교 벡터의 용어들
변 길이가 AX, AY와 AZ m의 길이를 갖는 박스를 생각하자.
벡터
A = (A
Xi + A
Yj + A
Z k) m 의 직각성분으로 정의될 수 있다.벡터
A
의 x-y 평면상에 투영은 A´ .
A = A´ + A
Z,A´ = (A
X +A
Y) 투영A´ 의 크기는 2-D
벡터와 마찬가지로 구할 수 있다: A´ = (AX2 + AY2)1/2 . 이때 양의 벡터A
의 크기 A는 다음과 같이 구할 수 있다.A = ((A´)2 + AZ2) ½ = (AX2 + AY2 + AZ2) ½
A = A´ + A
Z= A
x +A
y +A
z = AXi + A
Yj + A
Z k벡터A 의 방향은 좌표방향각 , 와 로 정의한다.
이 각도는 벡터와 양의 x, y 와 z축이 이루는 사이 각도이다. 각도는 0° 에서 180° 사이의 값을 갖는다.
삼각함수를 사용하면, “방향여현(direction cosines)”이 아래 공식을 사용하여 구해진다.
이 각도들은 독립적이질 않고, 아래의 방정식을 만족해야 한다.
cos ² + cos ² + cos ² = 1
이 결과는 좌표방향각도와 단위벡터의 정의로부터 유도된다. 어떤 위치벡터의 단위벡터를 구하기 위한 공식을 기억하라.
혹은 다음 식과 같이 표기된다., u A = cos i + cos j + cos k .
용 어 (계속)
u
A= cos i + cos j + cos k
3차원벡터의 직교벡터 표시
A = Au
A= Acos i + Acos j + Acos k = A
Xi + A
Yj + A
Zk
직교 벡터의 덧셈과 뺄셈
(Section 2.6) 일단 각각의 3차원 벡터를 직교벡터성분으로 나타내면, 그것을 더하거나 빼는 것은 쉽다. 그 과정은 본질적으로 2-D 벡터를 더하는 것과 같다. 즉 각각의i, j, k
방향성분들의
스칼라 합을 하면 된다.예를 들면, 만약
A
= AXi + A
Y j + AZ kB = B
Xi + B
Y j + BZ k , 이면A
+ B = (AX + BX) i + (AY + BY) j + (AZ + BZ) k 혹은A
– B = (AX - BX) i + (AY - BY) j + (AZ - BZ) k .공점력 계
(Section 2.6)여러 개의 힘이 한 점에 작용하는 공점력계(concurrent force system)에서, 힘의 합력은 계(system)내 모든 힘의 벡터
합으로 구해지고, 각 힘을 직교벡터로 표시하고 계(system) 내의 모든 힘의 i, j, k 성분을 합한다.
F
R= Σ F= Σ F
Xi + Σ F
Y j + Σ FZ k고정용 로프를 따라 힘 F가 바닥의 지지점 O에 작용하고 있다.
직교 벡터 양식으로 나타내면,
F=Fu = Fcos i + Fcos j + Fcos k
61페이지 요점 참조
중요 사항
가끔 3-D 벡터 정보는 다음과 같이 주어진다.
a) 벡터의 크기와 좌표방향각, 또는 b) 벡터의 크기와 투영 각도.
벡터의 표시를 직교 형식으로 바꾸기 위해서 이들 두 형식의 정보를 사용할 수 있다. 즉,
F = {10 i – 20 j + 30 k} N .
예 제
1) 기하학과 삼각함수를 사용하여, F 와 G 를 직교벡터 성분으로 표기하라.
2) 그리고 나서, 두 힘을 더하라.
G
주어진 값: 두 힘 F와 G가 후크에
작용하고 있다. 힘 F는 그림에 보여준 바와 같이 X-Y평면과 60 ° 의 각도를 이루고 있다. 힘
G는 위를 가리키는데, 80 N의
크기와 = 111° 와 = 69.3°를 가진다.
목표: 직교 좌표성분으로 합력을 구하라.
계획 (풀이):
해답 : 우선 힘 F를 분해하라.
Fz = 100 sin 60° = 86.60 N F' = 100 cos 60° = 50.00 N Fx = 50 cos 45° = 35.36 N Fy = 50 sin 45° = 35.36 N
그러면 아래와 같이 쓸 수 있다.
F
= {35.36 i – 35.36 j + 86.60 k} N그리고나서 힘 G 를 분해하라.
단지 와 만 주어져있다. 따라서, 우선 의 값을 구하는 것이 필요하다.
공식 cos ² () + cos ² () + cos ² () = 1을 기억하라.
여기에 알고 있는 각도들을 대입하면,
cos ² (111°) + cos ² (69.3°) + cos ² () = 1.
풀면, = 30.22° or 120.2°. 벡터가 위를 가리키고 있으므로, = 30.22°
이제 좌표방향각을 사용하면, G벡터의 단위벡터 uG, 를 구할 수 있고, 결국 G = 80 uG N로 주어진다.
G = {80 ( cos (111°) i + cos (69.3°) j + cos (30.22°) k )} N G = {- 28.67 i + 28.28 j + 69.13 k } N
그러면, R = F + G 에서, R = {6.69 i – 7.08 j + 156 k} N
개념 질문
1. 만일 단위벡터 uA을 안다면, 단지 벡터 A 의 __?__ 을 구할 수 있다.
A) 크기 B) 각도 (, 및 )
C) 성분 (A
X, AY, & AZ) D) 위의 모든 것.2. 어떤 임의 힘 벡터에 대하여, 아래의 변수들이 불규칙하게 주어졌다. 그 크기는 0.9 N, = 30º, = 70º, = 100º. 이 3-D 벡터의 무엇이 잘못되었는가 ?
A) 크기가 너무 작다.
B) 각도들이 너무 크다.
C) 세 각이 모두 임의로 선정한 것이다.
D) 세 각이 모두 0º 와 180º 사이에 있다.
cos ² + cos ² + cos ² = 1
그룹 문제 해결
1) 기하학과 삼각함수를 사용하여, 직교벡터형식으로 F1 과
F
2 를 표시하라.2) FR 을 얻기 위하여
F
1 과 F2 를 더하라.3) 합력 벡터의 크기와 , , 를 구하라 .
주어진 값: 나사눈(Screw eye)이 두 힘 F1과
F
2 를 받고 있다.목표: 합력의 크기와 좌표방향각을 구하라.
계획 (풀이):
그룹 문제 해결 (계속)
F’ 는 더욱이 아래와 같이 x, y 성분으로 분해될 수 있다,
F1x = -150 sin 45° = -106.1 N F1y = 150 cos 45° = 106.1 N
F
1zF´
우선 힘 F1 을 분해하라.
F1z = 300 sin 60° = 259.8 N F´ = 300 cos 60° = 150.0 N
그러면 :
F
1 = {-106.1 i + 106.1 j + 259.8 k } N다음에는 힘 F2 를 직교벡터 형식으로 나타낸다:
F
2 = 500{ cos 60° i + cos 45° j + cos 120° k } N= { 250 i + 353.6 j – 250 k } N
FR
= (143.9
2 + 459.6 2 + 9.81 2) ½ = 481.7 = 482 N = cos
-1 (FRx / FR) = cos-1 (143.9/481.7) = 72.6° = cos
-1 (FRy / FR) = cos-1 (459.6/481.7) = 17.4° = cos
-1 (FRz / FR) = cos-1 (9.81/481.7) = 88.8°F
R = F1 + F2= { 143.9 i + 459.6 j + 9.81 k } N
그룹 문제 해결 (계속)
주의 환기 퀴즈
1. 단위벡터, uA 에 대하여 사실이 아닌 것은?
A) 무차원.
B) 크기가 1이다.
C) 언제나 양의 X-축을 향한다.
D) 언제나 벡터A의 방향을 가리킨다.
2. 만약 F = {10 i + 10 j + 10 k} N 이고
G = {20 i + 20 j + 20 k } N 이라면, F + G = { ? } N A) 10 i + 10 j + 10 k
B) 30 i + 20 j + 30 k C) -10 i - 10 j - 10 k D) 30 i + 30 j + 30 k
예제 2-8
F=Fu = Fcos i + Fcos j + Fcos k
힘 F를 직교벡터로 표시하라 cos ² () + cos ² () + cos ² () = 1
예제 2-9 (62페이지)
F=Fu = Fcos i + Fcos j + Fcos k
고리에 작용하는 합력의 크기와 좌표 방향각을 구하라.
합력의 크기 FR =(RX2 + RY2 + RZ2) ½
예제 2-10
힘 F1을 직교벡터로 표시하라.
예제 2-11
합력 FR이 양의 y축을 따라 작용하며 800N의 크기를 갖도록 F2의 좌표방향각을 구하라:F
1= F1cos i + F1cos j + F1cos k= 300(cos 60° i+cos 60° j+cos 120° k) N = {212.1i + 150 j – 150 k } N
F
2=F
2xi + F
2yj + F
2zk
F
R=800j N = F1+F2800j =212.1i +150 j –150 k
+ F
2xi + F
2yj + F
2zk
-212.1 = 700 cos2 2 = cos-1 (-212.1/700) = 72.6°
650 =700cos2 2 = cos-1 (650/700) = 17.4°
150 =700cos 2 2 = cos-1 (150/700) = 88.8°
F2= (-212.12+6502+1502) ½ = 700 N