4장수의표현

이산수학

4장. 수의 표현

이진수의 연산

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이산수학

출처

본 강좌 자료는 이산수학 (2학년 / 3학점/ 3시간 / 이론) 수업에서 사용한 교재 [이산수학 (수학으로 이해하는 디지털 논리), 한빛

아카데미 출판사] 의 내용 등을 출처로 작성하였음을 알리는 바입니다.

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이산수학

학습 목표

■

컴퓨터에서 데이터 표현 및 연산 이해

3

이산수학

학습 내용

■

컴퓨터의 산술 논리 연산장치

■

이진수와 십진수간의 변환 방법

■

이진수의 음수의 표현법

■

비트 확장

■

이진수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 연산

■

실수의 부동소수점 표기법

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이산수학

CPU의 산술 논리 연산장치 ALU의 구성요소

■

산술연산장치

◻

+, −, ∗, / 등을 수행

■논리

연산 장치

◻

AND, OR, NOT, XOR 등을 수행

■쉬프트 레지스터

◻

비트들을 좌우측으로 이동

■

보수기

◻

2진 데이터를 2의 보수로 변환

◻

음수를 만드는 역할

■상태 레지스터

◻

연산 결과의 상태를 나타내는 플래그들을 저장

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이산수학

10진법

■

10진수(Decimal number)

◻

기수를 10으로 하는 수 체계

◻

0~9의 10개 기호와 10의 승수(10^𝑛) 를이용해 수를 표현

◻

정수 𝑛 에 대해 𝑘 > 0, 0 ≤ 𝑎₀, 𝑎_𝑘≤ 9

𝑛₁₀ = 𝑎_𝑘𝑎_𝑘−1 … 𝑎₁𝑎₀ = 𝑎_𝑘10^𝑘 + 𝑎_𝑘−110^𝑘−1+…+𝑎₁10¹+𝑎₀10⁰

◻

실수 𝑛 에 대해

𝑛₁₀ = 𝑎_𝑘𝑎_𝑘−1 … 𝑎₁𝑎₀. 𝑎₋₁𝑎₋₂…𝑎_−𝑙𝑎_−(𝑙+1)…

= 𝑎_𝑘10^𝑘 + 𝑎_𝑘−110^𝑘−1+…+𝑎₁10¹+𝑎₀10⁰ + 𝑎₋₁10⁻¹ + 𝑎₋₂10⁻²+…+𝑎_𝑙10^𝑙+𝑎_−𝑙10^−𝑙 + 𝑎_−(𝑙+1)10^−(𝑙+1)+…

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이산수학

예제

■

다음 10진수를 기수와 자릿수를 이용해 전개하시오. 523.1568₁₀ (풀이)

523.6218₁₀ =

5 × 10²+2× 10¹+3 × 10⁰+6× 10⁻¹+2× 10⁻²+1× 10⁻³+8× 10⁻⁴

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이산수학

2진법

■

2진수 (Binary number)

◻

기수를 2로 하는 수 체계

◻

0과 1의 2개 기호와 2의 승수(2^𝑘)를 이용해 수를 표현

◻

정수 𝑛 에 대해 (𝑘 > 0, 𝑎₀ , 𝑎_𝑘 = 1 𝑜𝑟 0)

𝑛_{2 =}𝑎_𝑘𝑎_𝑘−1… 𝑎₁𝑎₀= 𝑎_𝑘2^𝑘+ 𝑎_𝑘−12^𝑘−1+…+ 𝑎₁2¹+ 𝑎₀2⁰

◻

실수 𝑛 에 대해 (𝑘, 𝑙 ≥ 0, 𝑎 = 1 𝑜𝑟 0) 𝑛_{2 =}𝑎_𝑘𝑎_𝑘−1… 𝑎₁𝑎₀. 𝑎₋₁ 𝑎₋₂ … 𝑎_−𝑙𝑎_{− 𝑙+1} …

= 𝑎_𝑘2^𝑘+ 𝑎_𝑘−12^𝑘−1+…+ 𝑎₁2¹+ 𝑎₀2⁰+ 𝑎₋₁2⁻¹+ 𝑎₋₂2⁻² + ⋯ + 𝑎_−𝑙2^−𝑙+𝑎_−(𝑙+1)2^−(𝑙+1)+…

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이산수학

예제

■

다음 2진수를 기수와 자릿수를 이용해 전개하시오.

10001.001101₂ (풀이)

10001.001101₂ = 1 × 2⁴+ 1 × 2¹ + 1 × 2⁻³ +1 × 2⁻⁴ +1 × 2⁻⁶

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이산수학

8진법

■

8진수 (Octal number)

◻

기수를 8로 하는 수 체계

◻

0~7의 8개 기호와 8의 승수(8^𝑘)를 이용해 수를 표현

◻

정수 𝑛 에 대해 (𝑘 > 0, 0 ≤ 𝑎₀ , 𝑎_𝑘 ≤ 7)

𝑛_{8 =}𝑎_𝑘𝑎_𝑘−1… 𝑎₁𝑎₀= 𝑎_𝑘8^𝑘+ 𝑎_𝑘−18^𝑘−1+…+ 𝑎₁8¹+ 𝑎₀8⁰

◻

실수 𝑛 에 대해 (𝑘, 𝑙 > 0, 0 ≤ 𝑎₀ , 𝑎_𝑘, 𝑎_𝑙 ≤ 7 ) 𝑛_{8 =}𝑎_𝑘𝑎_𝑘−1… 𝑎₁𝑎₀. 𝑎₋₁ 𝑎₋₂ … 𝑎_−𝑙𝑎_{− 𝑙+1} …

= 𝑎_𝑘8^𝑘+ 𝑎_𝑘−18^𝑘−1+…+ 𝑎₁8¹+ 𝑎₀8⁰+ 𝑎₋₁8⁻¹+ 𝑎₋₂8⁻² + ⋯ + 𝑎_−𝑙8^−𝑙+𝑎_−(𝑙+1)8^−(𝑙+1)+…

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이산수학

예제

■

다음 8진수를 기수와 자릿수를 이용해 전개하시오.

712.3251₈ (풀이)

712.3251₈ =

7 × 8² +1 × 8¹ +2 × 8⁰+3 × 8⁻¹ +2 × 8⁻² +5 × 8⁻³ +1 × 8⁻⁴

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이산수학

16진법

■

16진수 (Hexadecimal Number)

◻

기수를16으로 하는 수 체계

◻

0~9와 A, B, C, D, E, F의 16개 기호와 16의 승수(16^𝑘) 사용

◻

컴퓨터는 8비트, 16비트, 32비트 단위로 데이터 처리

◻

정수 𝑛 에 대해 (𝑘 > 0, 0 ≤ 𝑎₀ , 𝑎_𝑘 ≤ 9 , 𝐴 ≤ 𝑎₀ , 𝑎_𝑘 ≤ 𝐹) 𝑛₁₆ = 𝑎_𝑘 𝑎_𝑘−1… 𝑎₁𝑎₀ = 𝑎_𝑘16^𝑘+ 𝑎_𝑘−116^𝑘−1+…+ 𝑎₁16¹+ 𝑎₀16⁰

◻

실수 𝑛 에 대해 (𝑘, 𝑙 > 0, 0 ≤ 𝑎₀ , 𝑎_𝑘, 𝑎_𝑙 ≤ 9 , 𝐴 ≤ 𝑎₀ , 𝑎_𝑘, 𝑎_𝑙 ≤ 𝐹) 𝑛_{16 =}𝑎_𝑘𝑎_𝑘−1… 𝑎₁𝑎₀. 𝑎₋₁ 𝑎₋₂ … 𝑎_−𝑙𝑎_{− 𝑙+1} …

= 𝑎_𝑘16^𝑘 + 𝑎_𝑘−116^𝑘−1 + ⋯ + 𝑎₁16¹+ 𝑎₀16⁰+

𝑎₋₁16⁻¹+𝑎₋₂16⁻² + ⋯ + 𝑎_−𝑙16^−𝑙+𝑎_−(𝑙+1)16^−(𝑙+1)+…

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이산수학

예제

■

다음 16진수를 기수와 자릿수를 이용해 전개하시오.

9𝐵. 𝐹𝐸3₁₆ (풀이)

9𝐵. 𝐹𝐸3₁₆ =9 × 16¹ +𝐵 × 16⁰ +𝐹 × 16⁻¹+E × 16⁻² +3 × 16⁻³ =9 × 16¹ +11 × 16⁰ +15 × 16⁻¹+14 × 16⁻² +3 × 16⁻³

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이산수학

진법 변환 관계

8진수

16진수

2진수 10진수

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이산수학

10진수의 (2진수 | 8진수 | 16진수) 변환

■

정수부

◻

기수로 몫이 0이 나올 때까지 나누어 얻은 나머지를 나열

◻

가장 처음에 얻은 나머지는 최하위 자리(가장 오른쪽 자리)위치

◻

가장 나중에 얻은 나머지는 최상위 자리(가장 왼쪽 자리) 위치

■

실수부

◻

실수부를 기수로 곱하여 실수부가 0이 되거나 반복되는 수가 나올 때까지 곱하기를 반복한 후 곱해 얻은 정수부의 값을 순서대로 나열

◻

가장 처음에 얻은 정수부는 소수점에 가장 가까운 자리에 위치

◻

가장 나중에 얻은 정수부는 소수점에 가장 멀리 있는 자리 위치

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이산수학

예제

■

다음 십진수(13.625)₁₀를 이진수로 변환하시오.

(풀이)

(1) 13을 이진수로 변환 (13)₁₀ = (1101)₂

(2) 0.625의 이진수 변환 (0.625)₁₀ = (0.101)₂

(3) (13.625)₁₀ = (1101)₂ + (0.101)₂ = (1101.101)₂

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이산수학

2진수와 8진수의 변환

■

2진수 ⇒ 8진수

◻

주어진 2진수를 소수점 기준으로 각 세 자리 단위로 그룹화 후 10진수로 변환

■

8진수 ⇒ 2진수

◻

8진수의 각 자리를 세 자리의 2진수로 변환

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이산수학

예제

■

다음 2진수 11100101.0100111101₂을 8진수로 변환하라.

(풀이) 소수점을 기준으로 정수부와 실수부를 별개로 하여 각각 세 자리 단위의 블록을 만든다.

011 100 101 . 010 011 110 100

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

① 011 = 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 0 + 2 + 1 = 3

② 100 = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 4 + 0 + 0 = 4

③ 101 = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5

④ 010 = 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 0 + 2 + 0 = 2

⑤ 011 = 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 0 + 2 + 1 = 3

⑥ 110 = 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 4 + 2 + 0 = 6

⑦ 100 = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 4 + 0 + 0 = 4

∴11100101.0100111101₂=345.2364₈

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이산수학

2진수와 16진수의 변환

■

이진수에서 십진수로 변환하고 다시 16진수로 변환

◻

먼저 이진수를 4비트 단위로 그룹화

◻

각각의 4비트들을 10진수로 변환

◻

16진수로 변환

■

16진수에서 10진수로 변환하고 다시 이진수로 변환

◻

16진수의 각각의 자리 별로 십진수로 변환

◻

십진수는 각각 4비트의 이진수로 변환

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이산수학

예제

■

2진수 11100101.0100111101₂을 16진수로 변환하라.

(풀이) 소수점을 기준으로 정수부와 실수부를 별개로 하여 각각 네 자리 단위의 블록을 만든다.

①1110 = 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 = E

②0101 = 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 0 + 4 + 0 + 1 = 5

③0100 = 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 0 + 4 + 0 + 0 = 4

④1111 = 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 = F

⑤0100 = 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 0 + 4 + 0 + 0 = 4

∴11100101.0100111101₂=𝐸5.4𝐹4₁₆

1110 0101 . 0100 1111 0100

① ② ③ ④ ⑤

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이산수학

𝒓진수의 보수 (𝒓 = 𝟏𝟎 또는 2)

■

이진수의 음수 표현 방법

■

보수(Complementary Number)

◻

𝑟진수에서 두 종류의 보수가 존재

◻

𝑟의 보수와 (𝑟 − 1)의 보수

■

보수의 종류

◻

이진수에서는 1의 보수와 2의 보수가 존재

◻

십진수에서는 9의 보수와 10의 보수가 존재

21

이산수학

2진수의 1의 보수

■

𝑛자리수의 이진수 𝑁 에 대한 1의 보수 (2^𝑛−1) − 𝑁

■

이진수에서 1의 보수

◻

2^𝑛 : 1과 뒤이은 𝑛 개의 0으로 구성

◻

2^𝑛 − 1 : 𝑛 개의 1로 구성

◻

1의 보수 : 𝑁에 대한 각 자리의 숫자를 각각의 1에서 뺀 것과 같다.

22

이산수학

예제

■

다음 (1011001)₂에 대한 1의 보수를 계산하시오.

(풀이)

𝑟 =2, 𝑛 =7, 𝑁 =1011001 2⁷ -1 =1111111

(2⁷ -1)- 𝑁 = 1111111– 1011001 = 0100110

23

이산수학

2진수의 2의 보수

■

𝑛자리수의 이진수 𝑁 에 대한 2의 보수 2^𝑛 − 𝑁

■

이진수의 1의 보수에 1을 더한다.

◻

2^𝑛 − 𝑁 = 2^𝑛 − 1 − 𝑁 + 1

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이산수학

예제

■

다음 (101100)₂에 대한 2의 보수를 계산하시오.

(풀이)

(1) 1의 보수 계산

𝑟 =2, 𝑛 =6, 𝑁 =101100 2⁶ -1 =111111

(2⁶ -1)- 𝑁 = 111111– 101100 = 010011 (2) 2의 보수

[(2⁶ -1)- 𝑁] + 1 = 010011+1=010100

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이산수학

컴퓨터의 데이터 표현 범위

■

2의 보수로 표현된 𝑛 비트 데이터의 경우에서 표현 할 수 있는 수의 범위:

−2^𝑛−1≤ 𝑁 ≤ 2^𝑛−1 −1

■

비트에 따른 수의 범위와 최대값과 최소값의 표현

◻

8비트 2의 보수 : -128 ≤ 𝑁 ≤ +127

◻

16비트 2의 보수 : -32768 ≤ 𝑁 ≤ +32767

■

부호가 존재하는 8비트 이진수의 표현에서 표현할 수 있는 십진수의 범위

◻

부호화-절대치 표현: -(2⁷ -1)≤ 𝑁 ≤ +(2⁷ -1)

◻

1의 보수: -(2⁷ -1)≤ 𝑁 ≤ +(2⁷ -1)

◻

2의 보수: -2⁷ ≤ 𝑁 ≤ +(2⁷ -1)

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이산수학

2의 보수로 표현된 이진수(𝒏비트)의 10진수 변환

■

2의 보수로 표현된 양수(최상위 비트: 𝑎_𝑛−1 = 0)의 십진수 변환 𝐴 = 𝑎_𝑛−2 × 2^𝑛−2 + 𝑎_𝑛−3 × 2^𝑛−3 + ... + 𝑎₁ × 2¹ +𝑎₀ × 2⁰

■

2의 보수로 표현된 음수(최상위 비트: 𝑎_𝑛−1 = 1)의 십진수 변환 𝐴 = -1 × 2^𝑛−1 +𝑎_𝑛−2 × 2^𝑛−2 + 𝑎_𝑛−3 × 2^𝑛−3 + ... + 𝑎₁ × 2¹ +𝑎₀ × 2⁰

27

이산수학

예제

■

다음 8비트를 사용하여 2의 보수로 표현된 10101110₂ 을 10진수로 변환하시오.

(풀이)

10101110 = - 128 + (1 × 2⁵ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹) = - 82

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이산수학

비트확장

■

부호가 있는 데이터의 비트 수를 늘리는 연산

■

8비트 데이터를 16비트 데이터로 확장하는 경우

◻

2의 보수 표현

◻

확장된 상위 비트들을 부호 비트와 같은 값으로 채운다.

(예)

+21 = 00010101 (2의 보수, 8 비트)

+21 = 0000000000010101 (2의 보수, 16 비트) -21 = 11101011 (2의 보수, 8 비트)

-21 = 1111111111101011 (2의 보수, 16 비트)

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이산수학

2의 보수에 의한 뺄셈 연산 (𝒏 bits 컴퓨터)

■

뺄셈 𝑀 − 𝑁 (𝑁 ≠ 0 )의 계산

◻ 피감수 M에, 감수 N에 대한 2의 보수화하여 결과적으로 덧셈을

이용

◻

앞자리 올림수가 있는 경우 :

1.

자리 올림수를 무시

2.

얻은 결과가 음수인 경우 2의 보수를 취하고, 부호비트들 0으로 하고, 그 앞에 – 부호를 붙임

◻

앞자리 올림수가 없는 경우:

1.

얻은 결과가 음수인 경우 2의 보수를 취하고, 부호비트들 0으로 하고, 그 앞에 – 부호를 붙임

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이산수학

예제

■

8bits 컴퓨터에서 다음을 2의 보수를 이용해 연산하라.

33₁₀ − 15₁₀ (풀이)

(1) 33₁₀ − 15₁₀ = 33₁₀ + −15₁₀

(2) 2의 보수 표현:+33₁₀= 00100001, −15₁₀= 11110001.

(3) 이진수 덧셈

11 1 00100001 + 11110001 100010010

(4) 33

₁₀ − 15₁₀ = 33₁₀ + −15₁₀ = 00010010 =1 × 2⁴ + 1 × 2¹ =18

무시

31

이산수학

예제

■

8bits 컴퓨터에서 다음을 2의 보수를 이용해 연산하라.

−38₁₀ − 70₁₀ (풀이)

(1) −38₁₀ − 70₁₀ = (−38₁₀) + −70₁₀

(2) 2의 보수 표현:−38₁₀= 11011010, −70₁₀= 10111010 (3) 이진수 덧셈

1111 1 11011010 + 10111010

110010100 ⇒ 결과가 음수

∴ −38₁₀ − 70₁₀ = 10010100 =−128 + (1 × 2⁴ + 1 × 2²) = −108

무시

32

이산수학

컴퓨터의 실수 데이터 표현 방식

■

컴퓨터 프로그래밍이나 전자계산기 등에서는 밑수가 10인 경우에 로마자 E 또는 e를 사용하여 표시

◻

−0.4는 − 0.04𝐸 + 1 , −0.04𝑒 + 1, −4𝐸 − 1 , −4𝑒 − 1

■

부동소수점의 표현

◻

소수점의 위치를 고정하지 않고 그 위치를 나타내는 수를 따로 적는 것으로, 유효숫자를 나타내는 가수(假數)와 소수점의 위치를 풀이하는 지수(指數)로 나누어 표현

◻

컴퓨터에서는 고정 소수점 방식보다 넓은 범위의 수를 나타낼 수 있어 과학기술 계산에 많이 이용

◻

부동 소수점으로 표현한 수는 실수를 근사값으로 표현

33

이산수학

부동소수점 IEEE 754 표준

■

프로그래밍언어는 부동소수점의 실수에 대한 국제 표준을 준수

◻

± 1. 𝑏𝑏𝑏𝑏 ⋯ 𝑏𝑏𝑏 × 2^𝐸, where 𝐸 : 10진수, 𝑏: 2진수

◻

(−1)^𝑆(1 + 𝑀)2^𝐸

■

부호비트(𝑆) : 𝑠 =0 (+), 𝑠 =1 (-)

■

지수(𝐸)필드 : 이진수로 표현

◻

𝐸(지수) + 바이어스 상수 (2^𝑛

/ 2 – 1 = 2

^𝑛−1

– 1)

■

가수(𝑀 )필드: 유효숫자의 소수 부분 (𝑀)만 표현

■

단정밀도(32비트) 의 표현 영역: 10^-38 ~ 10³⁸

■

배정밀도(64비트)의 표현 영역: 10^-308 ~ 10³⁰⁸

34

이산수학

실수를 IEEE 754 단정밀도로 표현

1. 실수를 이진수로 변환

2. 이진수를 정규화 변환 : (−1)^𝑆(1 + 𝑀)2^𝐸 3. 32-bits 시스템 표현

1. 𝑆 = 0 (+), 𝑆 = 1 (-)

2. 지수(𝐸)필드 : 𝐸(지수) + 127

3. 가수(𝑀 )필드: 유효숫자의 소수 부분 (𝑀)만 표현

(예제) 5.25=1.0101 × 2² ⇒ 𝑆 = 0, 𝐸 =2+127=10000000, M=01010000000…0 ∴ 01000000001010000000000000000000

35

이산수학

예제

■

32bits 컴퓨터에서 𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡 𝑥 = −(13.625)₁₀ 을 부동소수점 IEEE 754로 표현하시오.

(풀이)

(1) (13.625)₁₀= (1101.101)₂ = 1.101101 × 2³ (2) 단정밀도 형식으로 표시

- 부호(𝑆) 비트 = 1

- 지수(𝐸 )필드 = 3+127=00000011+ 01111111 = 1000 0010 - 가수(𝑀) 필드 = 10110100000000000000000

∴ 11000001010110100000000000000000

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