앞 장의 정리 ??을 사용하여 보일 수 있다



x ∈ A ∪ (∪

γ∈Γ

Bγ)



 ≡



x /∈ (∪

γ∈Γ

Bγ) → x ∈ A





풀이. 앞 장의 정리 ??을 사용하여 보일 수 있다.

x /∈ (∪

γ∈Γ

Bγ) → x ∈ A ≡ [(∀γ)(x /∈ Bγ)]→ x ∈ A (3.38)

≡ (∃γ)[x /∈ Bγ → x ∈ A] (3.39)

≡ (∃γ)[x ∈ Bγ ∨ x ∈ A] (3.40)

≡ (∃γ)[x ∈ Bγ ∪ A] (3.41)

≡ x ∈ ∪

γ∈Γ

(Bγ ∪ A) (3.42)

≡ x ∈ (∪

γ∈Γ

Bγ)∪ A (3.43)

≡ x ∈ A ∪ (∪

γ∈Γ

B_γ) (3.44)

정 리 3.45 {Aγ | γ ∈ ϕ}일 경우 (1) ∪

γ∈ϕA_γ = ϕ (2) ∩

γ∈ϕAγ = U

증명. (1)

x /∈ ∪

γ∈ϕ

Aγ ≡ ∼ [x ∈ ∪

γ∈ϕ

Aγ] (3.45)

≡ ∼ [(∃γ ∈ ϕ)(x ∈ Aγ)] (3.46)

≡ (∀γ ∈ ϕ)(x /∈ Aγ) (3.47)

≡ [γ ∈ ϕ → x /∈ Aγ] : (3.48)

∴ ∀x ∈ U, x /∈∪

γ∈ϕAγ

∴∪

γ∈ϕA_γ = ϕ (2)

x∈ ∩

γ∈ϕ

Aγ ≡ [∀γ ∈ ϕ, x ∈ Aγ] (3.49)

≡ [γ ∈ ϕ → x ∈ Aγ] : (3.50)

∴ ∀x ∈ U, x ∈∩

γ∈ϕA_γ

∴∩

γ∈ϕAγ = U 

[[ 예 ]] 3.46 {Ai}i∈I를 첨수 집합족이라 하면 다음 사실이 성립한다.

(1) A_i ⊆ B, ∀i ∈ I =⇒∪

i∈IA_i ⊆ B.

(2) B⊆ Ai, ∀i ∈ I =⇒ B ⊆ ∩

i∈IA_i. 풀이. (1) x ∈∪

i∈IA_i

=⇒ ∃j ∈ I, x ∈ Aj

=⇒ x ∈ B (∵ Aj ⊆ B)

∴∪

i∈IAi ⊆ B.

(2) 생략

정 리 3.47 [드모르간 정리(De Morgan’s Theorem)] {Aγ | γ ∈ Γ}가 집합족일 때 아래 사실이 성립한다.

(1) (∪

γ∈ΓAγ)^c =∩

γ∈Γ(Aγ)^c (2) (∩

γ∈ΓAγ)^c =∪

γ∈Γ(Aγ)^c

증명. (1)

x∈ (∪

γ∈Γ

A_γ)^c ≡ x /∈ ∪

γ∈Γ

A_γ (3.51)

≡ ∼ [x ∈ ∪

γ∈Γ

A_γ] (3.52)

≡ ∼ [(∃γ ∈ Γ)(x ∈ Aγ)] (3.53)

≡ (∀γ ∈ Γ)(x /∈ Aγ) (3.54)

≡ (∀γ ∈ Γ)(x ∈ A^c_γ) (3.55)

≡ x ∈ ∩

γ∈Γ

A^c_γ (3.56)

(2)

x∈ ( ∩

γ∈ Γ

A_γ)^c ≡ x /∈ ∩

γ∈Γ

A_γ (3.57)

≡ ∼ [x ∈ ∩

γ∈ Γ

Aγ] (3.58)

≡ ∼ [(∀γ ∈ Γ)(x ∈ Aγ)] (3.59)

≡ (∃γ ∈ Γ)(x /∈ Aγ) (3.60)

≡ (∃γ ∈ Γ)(x ∈ Aγc) (3.61)

≡ x ∈ ∪

γ∈Γ

Aγc (3.62)



정 리 3.48 [분배법칙(distributive law)] F = {Bγ | γ ∈ Γ} : 집합족

(1) A∩ (∪

γ∈ΓBγ) =∪

γ∈Γ(A∩ Bγ) (2) A∪ (∩

γ∈ΓBγ) =∩

γ∈Γ(A∪ Bγ)

증명. (1)

x∈ A ∩ (∪

γ∈Γ

B_γ) ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ ∪

γ∈Γ

B_γ) (3.63)

≡ (x ∈ A) ∧ (∃γ ∈ Γ, x ∈ Bγ) (3.64)

≡ (∃γ ∈ Γ)(x ∈ A ∧ x ∈ Bγ) (3.65)

≡ (∃γ ∈ Γ)(x ∈ A ∩ Bγ) (3.66)

≡ x ∈ ∪

γ∈Γ

(A∩ Bγ) (3.67)