제9강. 학습목표
1. Gagne의 학습위계 이론 을 이해할 수 있다.
2. Ausbel의 학습이론을 이해 할 수 있다.
3. Thorndike의 결합이론을 이해할 수 있다.
4. Piaget의 수학학습 이론을 이해 할 수 있다.
5. Dienes의 활동주의 학습 이론을 이해 할 수 있다.
제9강. 수학학습 심리학
심리학자들은 다양한 입장에서 학습상황의 연구와 학습이론 제시 - 가장 적합한 학습이론이 어떤 것인지?
수학심리학
- 수학학습을 염두에 두고 “사람이 수학을 어떻게 학습하는가?”
- 수학적 이해가 어떻게 발달해 나아가는가?
수학교육심리학은 수학교육을 염두에 두고 수학심리학 고찰한 것 - 초등수학에 관심
- 심리학자들의 교육연구에서 수학은 매우 인기 있는 소재
(중요한 교과인 동시에 성격상 비교적 논리적, 구조적, 위계적 특성 때문) 수학교육에 중요한 심리학이론
Gagne의 학습위계이론, Ausubel의 의미 충실한 언어적 학습이론, Thorndike의 결합이론, Piaget의 구성주의적 학습이론,
Dienes의 활동주의 학습이론, Van Hiele의 기하학적 학습이론, Bruner의 EIS이론, Freudenthal의 학습이론,
Skemp의 schematic 학습이론
1. 가네
(R.M.Gagne)의 학습위계 이론
행동주의 학습은 가법적으로 앞서 학습한 것과 연결(아리스토텔레스, 백지설, 경험). 가네(R.M.Gagne)에게 기본적인 문제는 무엇이 학습되는가?
- 학습과정에서 선수학습, 학습동기, 자아개념 등의 학습자의 내적조건과 학습목표, 그리고 강화, 인접성, 연습 등의 외적조건과 학습결과 곧 능력의 획득과 파지 및 전이 등 고려
- 학습에 중대한 영향은 외적조건
▪ 학습법칙의 4가지 전제조건
① 인간의 학습능력은 차원이 낮은 단계에서 높은 단계로 축적
② 차원 높은 수준의 지식이나 기술을 지도하면 반드시 차원 낮은 단계 습득
③ 학습과제는 복잡성에 따라 위계적으로 상이한 수준의 학습능력 필요
④ 위계적으로 서로 다른 수준의 학습과제의 효과적인 학습은 학습유형을 달리 한다.
▪ 학습의 기본구성
독립변인 종속변인
외적조건 강화, 접근, 연습 학습 내적조건 선수학습, 학습동기,
자아개념, 주의집중
학습력 획득, 학습력 파지, 학습력 전이
① 학습의 외적요인
- 접근의 원리는 자극사태와 적절한 반응이 시간적으로 접근해 있을 때 효과적
- 연습의 원리는 학습과제를 되풀이하여 연습하면 효과적
- 강화의 원리란 새로운 학습에서 그 행동이 일어날 수 있는 만족스러 울 때 강화
② 학습의 내적요인
- 선수학습은 학습이 이루어지기 이전에 학습한 여러 종류의 내적상태 - 학습동기는 성공적인 학습을 위해 학습하려는 자세
- 자아개념은 자기를 긍정적으로 보는 자기관점으로 학습의 자신감 - 주의력은 학습과제에 대한 집중
▪ 학습과정에 결정적인 영향의 외적 조건
학습목표
분류 중요 학습조건
언어정보 ․문자, 말에 변화를 주어 주의 환기
․효과적인 기호화를 위해 의미 있는 관계(착상)제시
지적기능
․사전에 학습된 기능들의 회상 자극
․하위 기능의 결합 순서에 단어적 단서 제시
․분산 복습을 위한 시기 계획
․전이를 촉진시키기 위한 다양한 관련성 찾기 인지전략
기능
․전략을 언어적으로 기술
․해결된 문제를 정착시켜 전략방안을 모색 위한 빈번하고 다양한 기회 제공
태도
․특수행동을 선택했을 때 겪은 성공적인 경험을 상기나 혹은 모방인물 동일시
․모방인물의 행동을 관찰하고 그 행동 실행
․성공적 실행에 피드백의 제시나 모방인물로부터 피드백 얻기
운동기능
․실행학습에 단서를 주는 언어적 혹은 기타 지도
․반복연습
․즉각적이고 정확한 피드백 제시
① 언어적 정보는 학교에서 가장 기초적으로 학습하는 영역(사실, 원리, 일 반화) ② 지적기능은 개념화하여 반응하는 능력으로 여덟 가지 학습유형이 포함된다.
③ 인지전략은 학습 및 사고하는 방법의 학습으로 문제해결과정에서 개인이 보여주는 내적 행동양식
④ 운동기능은 반복적 연습을 통해 학습하는 것 예) 문자 쓰는 것
⑤ 태도는 여러 종류의 활동, 대상, 사람 중 모방하는 것을 말한다.
▪ Gagne의 8가지 학습유형
① 신호학습:
가장 기본적인 학습으로 무의식적 정서적 반응, 어떤 신호나 자극에 대한 반사적 반응
- Pavlove의 개의 실험(벨을 울리면서 고기를 주면 벨소리의 자극에 따라 침을 흘리는 반응)
- 과거에 성적이 좋지 않거나 부모형제자매가 수학을 싫어해 수학에 대한 공포감을 갖는 아동에 공포 극복시킬 필요가 있는 성공적인 경험 기회 마련
② 자극-반응학습:
학습자가 식별된 자극에 대하여 어떤 정확한 반응을 보이는 것
- 바른 반응에 대한 보상은 이 수준의 학습이 일어나는 중요한 조건 - 수학에서 수학적 용어를 배우는 첫 단계 학습
③ 연쇄:
둘 이상의 자극-반응이 연결된 운동행위가 이루어지는 것
- 수학에서 숫자를 쓰고 도형을 그리는 학습, 이런 학습에 바른 반응에 대한 보상과 연습이 효과
④ 언어적 연합:
연쇄는 운동에 관한 학습인데 반해 그와 비슷한 언어에 관한 학습 예) 시를 외운다든지 의미는 상관하지 않고 구구단을 외우는 학습
⑤ 다중식별:
여러 가지 자극에 대하여 바른 반응을 보이는 것
예) 숫자를 바른 순서로 말하거나 연산기호나 관계기호를 식별하는 것 - 소홀히 하면 높은 수준의 학습, 특히 수학적 언어를 읽어가는 데 어려움
⑥ 개념학습:
서로 다른 자극에 대하여 공통된 반응을 보이는 것
- 일반적인 개념은 여러 가지 대상에서 공통된 성질의 인식형 학습되는데 Gagnè는 이것을 서로 다른 자극에 대한 공통된 반응으로 해석
⑦ 규칙학습:
규칙이란 Gagnè에게 둘 이상의 개념의 연쇄 의미
- 개념을 연결하여 수학적인 원리나 법칙, 공식 등과 같은 관계 인식
⑧ 문제해결:
둘 이상의 규칙을 관련 지어 보다 높은 수준의 원칙을 형성함으로써 이루어진다.
예) 사칙연산과 알고리즘을 이용하여 문장제 해결이나 어떤 새로운 발견을 하여 문제 해결하는 경우
이상의 학습유형은 계층을 이루고 가장 단순하고 원시적인 학습이 신호학습, 문제해결학습이 가장 복잡하고 고도의 지적 능력 요구
2. 오수벨
(David. P.Ausbel)학습이론
1950년대의 주된 수학학습방법은 기계적인 학습이 효과적
- 개념학습이 관심을 끌면서 언어적 방법에 의한 설명식 학습지도에 비판 생김 - 설명식 학습은 기계적 암기 위주 학습방식
- 발견학습이나 탐구학습 또는 수학실험실을 통한 학습이 의미 있는 학습이 수학에 적합
Ausubel은 많은 양의 지식을 다음 세대 전달에는 설명식 학습 방법만이 가장 효율적, 당시의 발견학습이나 탐구학습 또는 실험실 방식은 비효율적으로 학교에서는 부적합 주장
Ausubel의 학습이론의 핵심은 새로운 학습내용을 기존의 인지구조와 의미 있게 연결 짓는 과정. 이 과정을 有意味 학습(meaningful learning)이라 하고 의미 있는 관련을 연결 짓지 못할 경우를 기계적인 학습(rote learning)
유의미적 학습은 유의미적 학습과제가 제시되고 학습자가 관련된 정착 아이디어를 소유하며 인지구조상의 아이디어와 새로운 과제를 관련시킬 수 있는 태세를 갖추게 될 때 일어난다.
유의미학습 의 전제 조건
첫째, 유의미학습에 적합한 조건을 갖춘 학습자만 이 학습이 이루어 짐
둘째, 학습할 내용이 학습자의 기존 인지 구조에 관련되어 잠재적으로 유의미해야 된다.
유의미 학습 저해 요소
첫째, 학습자가 수학의 특정내용에 대한 유의미 학습에 필요한 지적 발달에 도달하지 못한 경우
둘째, 학습자가 수학학습을 유의미하게 수행하기에 충분히 동기유발이 안 된 경우
셋째, 교사가 지도할 수학내용이나 지도방식이 학습자에게 유의미할 것이라고 잘못 생각하는 경우
의미 있는 학습지도를 위해서 교사는 학습자의 개인적인 인지구조와 지도내용 구조를 서로 연결 짓는 고리를 학습자가 구성하도록 도와 주어야 한다.
Ausubel의 유의미 학습지도 원리
(1)점진적 분화(progressive differentiation)의 원리
설명학습을 특징짓는 기초 원리로 교과의 가장 일반적이고 포괄적인 아이디어가 먼저 제시되고, 특수한 것으로 점차 분화하고 구체화하는 교수 원리 - 가장 포괄적인 것에서 덜 포괄적인 순서로 제시, 제시된 각 조직자 다음에 그에 따른 세부적이며 분화된 개념 및 실제적 자료를 제공하는 방식으로 점진적 분화가 이루어진다.
- 하향식으로 구성되는 교과 구조와 인지 구조의 유사성에 기초한 것
수학은 다른 교과에 비하여 학습 위계가 뚜렷하여 점진적 분화의 원리 적용에 적합하다. Ausubel에 의하면 대부분의 교과서는 각 내용을 별개의 장 또는 절로, 모두 동일한 추상성 및 일반성 수준으로 조직하고 있어 학생들은 적절한 포괄성 수준의 포섭자를 습득하기 이전에 새롭고 익숙하지 못한 학문의 세부적인 내용을 학습하게 된다.
(2)통합 조정(integrative reconciliation)의 원리
새로운 개념이나 의미는 이미 학습된 내용과 일치되고 통합되어야 한다
- 대개 교과 내용은 몇 개의 단원 및 그 하위 단원으로 구성되어 각각의 새로운 단원이 이전에 학습된 자료와 의미 있게 관련지기 위해서 교수․학습 순서는 구조화되며, 새로운 학습은 이전 학습을 바탕으로 이루어져야 한다.
Ausubel의 통합이란 한 과목 내에서 부분들, 예컨대 단원의 통합을 의미하는 것이지 다양한 교과 구조의 통합 주장이 아님
- 교과의 통합은 각 교과의 독특한 구조를 모호하게 하여 개념적 정착지 마련에 어려움을 주기 때문
Ausubel의 유의미 학습이론은 발견학습의 우월성 거부, 설명방법 옹호, 발견 학습과 반대되는 것은 기계적 학습이 아니라 ‘의미 충실한 언어적 학습’
이란 거의 대부분 기억작용에 의해서 이루어진다고 보고 포섭이론이라는 파지와 망각에 대한 독특한 이론을 전개하고 있다.
(3)선행조직자(先行組織者, advanced organizer)의 원리
Ausubel은 관련정착 아이디어를 제공하기 위해 적절하고 포괄적인 자료를 제공한다.
선행조직자는 일종의 도입자료로 새로운 학습과제를 소개하는 일반성이나 추상성, 포괄성을 지닌 명제나 논의 또는 다양한 형태의 행위
- 조직자란 전형적인 교과서의 개관이나 요약과는 구별. 개관, 요약 등은 학습자료와 똑같은 수준의 추상성과 일반성 정도에 도입되지만, 보다 높은 수준의 추상성과 일반성 정도에서 사용되며 적절한 포섭 개념 제공
선행조직자의 목적은 학습되어야 할 잠재적으로 의미 있는 자료를 학습자의 기존인지 구조에 관련시키므로, 선행조직자의 교육적 가치는 학습자료 자체와 인지구조가 얼마나 잘 조직되어 있는가에 달려 있다. 이러한 원리는 교사 주도 학습에서 자주 적용된다.
예)합동과 닮음, 함수의 내용에서 적용
선행조직자는 학습을 촉진하기 위하여 학습 이전에 의도적으로 도입시키는 포섭자로서, 수업의 도입단계에서 주어지는 언어적 설명. 즉, 준비도와 유사 예) 초등학교 6학년 초에 5학년말의 학습 내용을 다시 설명하는 것.
선행조직자는 학습과제의 성질, 학습자의 기존능력 정도, 그들 상호간의 관계에 따라 설명조직자와 비교조직자로 나눈다.
설명조직자는 인지구조에 있는 관련 정착 의미와 학습되어야 할 학습 과제간의 유사성이 전혀 없는 경우에 개념이 정착 근거지 마련을 위하여 학습 자료와 관련 지어 학습 전에 미리 제시되는 보다 포괄적이며 기본적인 중요 개념
비교조직자는 설명조직자와 반대로 학습 과제와 관련 정착 의미 간에 상당한 관련이 있을 때, 그 유사성과 차이점을 분명히 하여 변별력을 증대할 목적으로 학습 전에 제시되는 자료
- 선행조직자가 제공되었을 때, 학습 효과가 기대되는 이유로는 논리적으로 유의미한 과제가 잠재적 유의미인가를 갖도록 개인의 인지 구조 내의 기존 개념이나 의미를 변형시켜 주기 때문이다.
- 관련 정착 의미 또는 포괄자의 기능을 갖도록 학문영역상보다 포괄적이고 일반적인 의미 제공.
- 인지 구조 내에 기존의 적절한 내용 확인, 후속과제의 적절성을 분명하게 확인하는 데에 도움을 준다.
Ausubel의 수업모델
① 1단계(선행조직자 제시):
수 업 목 표 를 분 명 히 하 고 조 직 자 제 시 . 학 습 자 의 지 식 과 경 험 을 의식하도록 자극. 조직자는 개념이나 명제의 중요한 특징이 지적되고 주의 깊게 설명되며 학생들이 지각과 이해하고 조작하는 자료와 관련되어야 한다. 전체 통합적인 인지구조를 개발하기 위하여 이전의 지식과 경험을 생각해내도록 자극할 수 있도록 하는 것이 중요
② 2단계(학습과제 및 자료 제시):
학습자료의 논리적 조직을 분명히 한다. 자료를 설명식의 강의를 통해 제시. 학생들이 학습의 방향감을 갖도록 학습자료의 아이디어가 어떻게 관련되는지 조직과 논리적 순서를 명백히 이해시키는 것 필요
③ 3단계(인지조직의 강화):
새로운 학습자료를 기존의 인지구조에 정착시키기 위해 통합적 조정의 원리 이용. 적극적이고 활동적 수용 학습 조장. 교과목에 대하여 비판적인 접근을 하도록 한다.
3. 손다이크
(Thorndike)의 결합
(Bond)이론
Thorndike는 학습은 자극(stimulus)에 반응(response)으로 이루어진다.
어떤 자극에 반응이 일어날 때 보상이 따른다면 자극과 반응사이에 본드(bond)나 결합이 형성되기 시작.
어떤 자극(S)-반응(R)의 짝이 자주 보상을 받을수록 그 본드는 강화. 결합은 시행→실패→시행→실패라는 시행착오를 거치며 이루어지는 것.
이 이유로 연결주의, 연합주의, 자극과 반응 본드 이론, S-R설, 시행착오설 등으로 불리고 있다.
기본적인 성격은 유기체에 의하여 만들어진 장면과 반응사이의 연결된 본드(bond)다.
이것은 여러 법칙(효과의 법칙, 연습의 법칙, 준비의 법칙, 분석의 법칙)들에 의하여 시행착오를 거듭하면서 선택과 통합되고 패턴화 된다.
예) 인수분해에서 만들어진 알고리즘의 높은 질의 본드를 곱셈공식의 활용, 두 수의 분해 등과 같은 여러 가지 본드들이 발전된다.
유기체가 성장함에 따라 얻어진 본드들이 복잡하게 구성될수록 수학을 배우는 잠재력이 커진다.
학생들이 첫 번째 학습경험을 가질 때 교사는 대단히 조심해야 한다. 그 이유는 문제를 성공적으로 풀었을 때 결과에 만족감을 주고, 칭찬과 용기를 북돋아 주는 것이 뒤따라야 하기 때문이다.
올바른 본드가 형성된 후 빠른 반복 훈련은 그 본드를 강화하여 유사한 학습에 연결되면 큰 성취감을 느끼며 본드의 작용을 발전시킨다.
강화에는 정적(positive)강화와 부적(negative)강화.
정적강화는 칭찬이나 보수와 같이 어떤 반응이나 행동의 빈도나 강도를 증 가시키는 유쾌한 자극을 하는 것.
부적강화는 벌(어떤 자극을 제공이나 제거하여 그 행동의 빈도나 강도를 약화시키는 것)과 혼동되는 것으로 불쾌함을 제거하는 것. 불쾌한 자극을 제공하는 것을 적극적인 벌(presentation punishment), 유쾌한 자극을 제 거하는 것을 소극적인 벌(removal punishment)
학습에서 벌이 부과된 초기는 반응비율 감소, 소멸효과는 일시적이며 불완 전하여 원하지 않는 다른 효과를 야기할 수 있다. 일반적으로 벌은 특정행 동을 제거보다는 반응의 강도를 약화에 사용할 수 있다.
행동증가효과 행동감소효과 자극의
제공
정적강화: 유쾌함 제공, 상 과 칭찬
적극적인 벌: 불쾌 함 제공, 매, 꾸지람 자극의
제거
부적강화: 불쾌함 제거, 숙 제면제
소극적 벌: TV시청 금지
Thorndike의 학습의 원리
① 효과의 법칙(law of effect, 자극과 반응이 반복되고 중지되는 조건):
유기체에 만족되는 반응은 남고 만족을 주지 않는 반응은 사라져간다. 이 때 성공에 대한 보상은 학습을 확실히 하기 위해 필요하다. 강화의 원리라 부르기도 한다.
② 연습의 법칙(law of exercise, 연습 또는 중지가 S-R결합에 미치는 영향):
옳은 반응은 되풀이됨으로써 자극과 반응의 결합이 보다 강화되고 틀린 반응은 사용하지 않음으로써 보다 약화된다. 만족감을 느끼면 반복연습도 고통이 안 되고 점점 강화된다.
③ 준비의 법칙(law of readiness, 만족 또는 불만족을 주는 사태):
학습에 대한 심신의 준비가 되어 있을 때 학습은 보다 효과적이다.
학교수학에서 준비학습은 비교적 강조되는 것으로 학습하기 전에 사전학습을 진단하고 강조한 다음 단원을 들어가게 된다.
④ 분석의 법칙(law of analysis):
공통인자를 갖는 형태의 자극에서 생기는 결합은 공통인자에 관련된다.
처음 자극과 다음의 자극이 달라도 양자에 공통인자가 있으면 그것이 반응으로 떠오르는 경향이 있다.
예)3개의 사과와 1개의 사과의 합이 4라는 반응이 나타난다. 또 다음에 2개의 막대와 2개의 막대의 합에서도 4라는 반응이 나타난다. 비슷한 경험을 시켜도 같은 대답을 할 경우 4라는 공통요소가 되나 장면은 여러 가지임을 알 수 있다.
분석의 법칙은 문제해결에 주로 이용되며 시행착오가 좋은 학습방법이다.
이 이론은 고양이에게 적용한 것으로 인간에게 그대로 적용할 수는 없으나 계 산 등의 기능적인 학습에 적용이 가능하다. 결합이론은 외적인 인지활동에 관심 을 보이고 시행착오에 의해 해결을 찾고 있기 때문에 내적 분석에 의한 문제해 결에 관한 연구가 필요하다.
Thorndike의 분석을 보면 동물은 추론이나 사회적 모방에 의해 학습하지 못하고 오직 물리적 행동에 의존한다는 것이고 그들은 문화를 생성하지 못할 뿐만 아니라 다른 세대로 전달하지도 못한다. 그러나 인간은 수학의 추론, 기호사용, 문화적 패턴 등에 의해 학습한다. 이것은 동물실험에서 얻은 경험은 인간의 수학학습에 많이 적용 될 수는 없으나 수학학습에서도 계산과 같은 기능적인 면의 학습에서는 아직도 강렬한 설득력을 갖고 있다. 이에 반하여 개념과 문제해결로서 수학을 받아들이고 학습을 설명하는 것이 인지이론이다.
인지이론은 게슈탈트학파의 쾰러(koehler, W.)의 유인원에 대한 ‘지혜의 실험’
등이 출발점이다. 그는 우리 속에 배고픈 유인원을 넣고 막대기를 사용하면 닿을 수 있는 거리에 먹이를 두고 실험한 결과, 얼마 지나 막대기를 사용해 먹이를 먹었다. 인지이론은 인간의 학습 특히 사고를 동반하는 학습, 이해를 동반하는 학습을 상당히 잘 설명하는 이론으로 말할 수 있다.
4. 피아제
(Jean Piaget)의 수학학습 이론
Piaget는 지식은 아동들에 의해 구성되는 조작적 구성주의를 제시. 즉, 수학적인 개념은 초기에 감각-운동의 구조로 나타나고, 다시 그것에 바탕을 둔 행동의 변화조정이 이루어지면서 반영적 추상화가 일어나 구성이 된다. 다시 말하면 수학적 사고를 내면화된 행동(조작)으로 보고, 활동 가운데 그 형성적 근원을 찾는다. 이와 같이 아동의 능동적 역할을 강조하는 Piaget의 발달 심리는 그 이론의 기저가 되는 실험 관찰이 수학적 수 공간 개념의 발달에서 얻어진 관계로 교사에게는 의미가 있다.
Piaget는 모든 학습의 근본은 아동이 물리적 사회적 접촉을 통하여 얻게 되는 자신의 활동에 있다.
아동들의 정신활동은 구조화되고 분리된 정신활동 하나하나는 서로 관련이 되어 scheme -행위의 패턴-의 무리에 묶어진다. 정신활동은 적응과정으로 이 과정에는 두 개의 분리될 수 없는 과정인 동화와 조절을 포함한다.
동화란, 인간이 자기의 기관을 통하여 자연을 자기 속으로 끌어들이는 기능.
환경 속에서 자료를 어떤 인과적이나 기계적인 의미가 아니라 그 자신의 성격으로 인해 환경으로부터 잠재 재료를 내면으로 끌어넣는 것
예)자연수의 덧셈을 배운 어린이는 정수의 덧셈을 배울 때 이미 내적으로 형성되어 있는 도식(자연수의 덧셈)에 맞추려고 한다.
조절이란, 동화와는 반대로 자기가 잠재적으로 가지고 있는 기능을 작용시켜서 자기 자신을 여러 가지로 통제하면서 적응해 가는 것
예)자연수 4칙 계산을 숙달한 학생은 정수의 4칙 계산을 조절
지적 성장은 사회적 과정으로 아동들은 물리적 환경을 접촉한다. 수학시간에 좌표의 뜻은 혼자서 이해하는 것이 아니고 동료들과 대화, 놀이를 통하여 알게 된다. 즉, 다른 아동과 접촉은 자기만의 고집을 수정할 수 있고, 자신의 관점을 다른 사람의 아이디어를 통해 고쳐 나간다. 조절은 기존 scheme을 연속적으로 수정하게 되는데 어른이 될 때까지 몇 번의 수정을 거쳐 새로운 정신 구조를 만들게 된다.
▪ Piget의 인지 발달 4단계 이론 (1) 감각 운동 단계
태어나서 18개월까지 정도로 본능적 행동이 경험에 의해 수정되면서 복합적인 행위 패턴을 가지게 된다. 이 기간은 대상을 지각하고 식별, 그것의 불변성을 인식 시작. 대상을 다루는 데 원인과 결과의 관계 인식, 자연스럽게 대상은 자기와 관계없이 존재한다는 사실을 느끼며 점차 보이지 않는 대상까지 생각한다.
예)출근하는 부모의 발소리를 듣고 손을 흔들며 직장이 끝나면 돌아온다는 사실을 느낀다.
(2) 전 조작 단계
18개월에서 7세까지 시기로 기호를 사용하게 된다. 그러나 자기중심적으로 사물을 보고 사물이 움직일 때 처음과 끝만 보고 중간과정을 모른다.
예)진흙 덩어리를 굵고 짧게 놓은 것과 길고 가늘게 늘어놓은 것이 있으면 후자의 양이 많다든지, 7개의 구슬을 일렬로 모아 놓은 것과 7개의 구슬을 일렬로 떼어놓은 것과 비교해 보면 후자가 많다고 한다. 이와 같이 전체와 부분의 관계를 잘 인식하지 못하며 논리적인 적용을 하지 못한다.
(3) 구체적 조작 단계
7살에서 11살까지 시기로 양과 수의 보존이 이루어지는 단계. 두 집합의 포함 관계인식과 순서관계의 추이성을 이해한다. 이때 조작(operation)은 scheme는 언어의 기능에 의해 내면화되고 동화와 조절을 통해 가역성을 획득 할 때, scheme을 말한다. 아동이 진흙을 길게 하거나 짧게 하더라도 양이 같다는 것을 인식했을 때, 진흙의 사용한 조작이 시작된다. 연산 개 념 에 서 정 수 덧 셈 을 주 고 군 (group) 을 만 드 는 데 이 체 계 를 군 성 체 (Groupement) 라 하 며 이 시 기 의 대 표 적 인 특 징 이 다 . 즉 , 전 조작기에서 분리되고 통합되지 못한 정신활동이 마침내 군과 같은 구조를 통합 조직이 되면서 구체적 조작단계에 들어오게 된다.
Piaget가 구체적 용어의 강조는 이 시기에 구체물의 출현과 이것에서 얻는 직관적 감각을 중요시했기 때문이다.
(4) 형식적 조작 단계
11살에서 12살 사이에 시작되는 것으로 눈에 보이지 않는 대상에 사고할 수 있으며 조합적인(예를 들면, 순열, 조합) 사고를 할 수 있다. 가설을 세워서 결론을 이끌어 낼 수 있으며 연역적 추론(증명)을 할 수 있다.
5. 딘즈
(Zoltan Dienes)의 활동주의 학습 이론
1950년대 네델란드의 중등학교 기하 교사인 반 힐 부부는 많은 학생들이 기하학습에 어려움을 느껴 해소 방법을 다각적 연구.
남편인 피에르 반 힐은 피아제의 이론을 바탕으로 수학학습사고 수준의 체계를 바탕의 지도만이 해결 방안
- 종전의 기하학습에서 제시된 문제나 과제가 그들의 사고 수준을 넘어서 용어 사용이나 성질규명 요구를 포함하고 있음 발견.
- 아동의 사고 수준을 넘어서면 그 학습은 아동에게 의미가 없어지게 된다.
딘즈는 수학은 구조를 연구하는 학문으로 수학학습 위해서 다음과 같은 기능, 개념, 원리에 연결되어 가르쳐지고, 학생들은 여러 가지 수학적 아이디어들 간의 연결성을 알아야 한다.(Bruner의 연결 이론과 유사) 주장
① 수학적 구조와 그 구조들 간의 관계성을 분석할 수 있어야 한다.
② 여러 가지 서로 다른 구조(또는 상황)에서 공통된 성질을 추상화하고 구조(또는 상황)에 속한 것을 분류할 수 있어야 한다.
③ 협의적으로 정의된 유에서 발견되는 비슷한 성질을 갖는 좀 더 넓은 유를 만듦으로써 이미 배운 수학적 구조를 일반화할 수 있어야 한다.
④ 사전에 학습된 단순한 추상에서 더 복잡하고 높은 수준의 추상 구성한다.
▪ 학습의 원리
① 활동성의 원리(dynamic principle)
수학적 개념이 발생할 수 있는 놀이나 게임 등을 경험해야 한다는 것으로, 수학적 개념은 인간의 활동을 통해 형성된다는 Piaget 등의 활동주의적 수학관 영향을 받은 것. 아동들에게는 종이접기 놀이나 나무 쌓기 놀이 등과 같은 활동은 도형의 개념을 형성이나 부피 개념 형성에 크게 기여한다.
② 구성의 원리(constructivity principle)
수학학습에서는 구성이 분석에 선행되어야 한다는 원리로 여기서 구성이란 물체를 만들거나 전체를 파악한다는 것이고, 분석이란 물체를 분해하거나 세밀히 검토하여 그 근거를 알아보는 것을 말한다. 공간도형의 학습에서 먼저 공간 도형이나 단면을 만드는 것이고, 다음에 그 성질의 분석이나 성질의 근거를 조사하는 학습이 이루어지는 것이 좋다.
③ 수학적 다양성의 원리(mathematical variability principle)
수학적 개념을 제시할 때 변화시킬 수 있는 것과 변화시킬 수 없는 것이 있는데, 변화시킬 수 있는 것은 가능한 한 변화시켜서 다양하게 제시 한다.
예)평행사변형의 지도에서 변의 길이, 각, 위치 등 가변적인 요소는 여러 가지로 변화시킨 것을 보여줘야 한다.
④ 지각적 다양성의 원리(perceptual variability principle)
수학적 개념 형성에서 그 개념을 가능한 한 다양한 구체물(평행사변형의 경우, 종이, 대나무 살, 고무줄 등)로 제시한다. 이는 개인차를 고려하여 추상화 과정에 학생들을 경험시켜 보는 것이 유효하다고 생각 때문
이 원리는 모두 수학적 개념이나 사고 그리고 그 형성과정에 대한 깊은 통찰로부터 도출된 것으로 수학학습에 광범위하게 적용될 수 있다.
▪ 교수․학습 과정 6단계
① 1단계(자유 놀이 단계)
구체적인 소재를 자유롭게 대하는 시기로 소재로부터 최종적인 개념을 구성하게 된다. 이 때 아동은 주어진 환경에 어떤 작용을 가하고 그 환경에서 어떤 작용을 받게 된다. 이 상황에서 소재는 될 수 있는 대로 풍부하고, 변화가 많아야 하며, 수학적으로 의미 있는 특징을 갖고 있어야 한다.
예)덧셈, 곱셈을 수 막대를 이용한 놀이 환경 제공이나, 음수 지도, 음은 손해, 양 은 이익 등과 같은 실생활 장면을 이용한다.
② 2단계(게임의 단계)
주어진 상황 가운데 어떤 규칙성이 있다는 것을 착안하는 시기. 규칙에 따라 설 명할 수 있고, 어떤 것이 일어날 것인지 예측할 수 있다는 것을 알게 된다. 일단 규칙을 알게 되면, 규칙을 발견하고 그에 따라 게임을 할 수 있다. 이 때 게임의 규칙이 절대적인 것이라고 생각하지 않도록 한다.
③ 3단계(공통성 탐구 단계)
여러 게임에서 발견되는 공통적인 구조를 파악하는 시기도 구조 파악을 위해서 구체화되어 있는 추상적인 특징 자체는 변화시키지 않고 여러 가지 형태로 구체 화해 주는 방법을 생각한다.
④ 4단계(표현 단계)
공통적인 구조를 파악한 후, 스스로 인식할 수 있는 표현으로, 즉 그림 또는 언어 표현이나 다른 어떤 함축적인 표현을 남기는 단계이다.
⑤ 5단계(기호화의 단계)
자기 나름대로의 표현 방법을 강구하며 기술하는 단계로 기술을 할 수 있는 적절한 언어, 즉 기호 체계를 찾게 된다. 이 때 아동 스스로 기호 체계를 발견 하는 것도 좋다.
⑥ 6단계(형식화의 단계)
기술된 것 사이의 순서 관계가 확립되는 단계로 성질 가운데 어떤 것이 기본 적으로 선정되면 그로부터 출발하여 다른 성질의 규칙을 찾아내게 된다.
예)음수의 곱은 양수의 곱과 같다. 또는 음수의 곱은 양수가 된다와 같은 진술 을 하게 된다.
6. 반 힐레
(Pierre van Hiele와 Dina van Hiele-Geldof)의 수 학학습수준
1950년대 네델란드에서 수학을 가르치던 van Hiele 부부는 학생들이 도형 학습에 어려움의 원인에 대한 연구결과 학습수준이 순차적으로 발달한다는 점을 제시
1957년 van Hiele 부부는 기하학습에 대한 학생들의 이해력과 통찰력을 신장시키기 위해서 사고의 수준을 다루는 실험연구와 그에 이론을 정립시켜 기하 교수․학습에서 직관의 역할과 기하학 교수법의 논문 발표
Pierre van Hiele는 심리학적 원리에 Dina van Hiele Geldof는 아동의 사고수준의 신장에 대한 현장실험에 역점을 두고 아동의 사고와 기하학(The Child's Thought and Geometry)논문을 1959년에 발표
van Hiele는 학생들의 기하학적 사고 수준이 다음과 같이 순차적으로 발달한다 .
① 제0수준(시각적 인식 수준: visual level)
도형 구성 요소의 고려 없이 전체적 시각적 외관에 의해 인식하는 수준 - 도형의 성질이나 도형 사이의 관계는 인식할 수 없다.
- 이 수준은 기하학적 용어(삼각형, 다각형 등)나 도형을 인식하고 주어진 도형과 같은 도형을 만들 수 있다.
(즉, 1학년 세모모양, 네모모양, 동그란 모양을 인식, 그들 모양이 서로 다르다는 것을 구별하는 정도)
이때 마름모를 평행사변형, 정사각형을 직사각형으로 보지 않고 마름모와 평행사변형, 정사각형과 직사각형은 서로 다른 것으로 인식
이때 아동들은 도형을 만들고 그리기, 2차원 3차원 모양들 함께 놓기, 집과 학교에서 도형들 찾기 등과 같은 기하학적 사물들의 전체적 이해 발달 경험이 필요
② 제1수준(도형 분석적 수준: descriptive level)
관찰과 실험을 통하여 도형의 구성요소나 성질의 분석 수준으로 도형의 성질들 사이의 관계성은 인식이나 명확한 정의를 내리지 못한다.
(즉 제0수준의 도형이 고찰 대상, 성질을 고찰 단계로 삼각형, 사각형의 변이나 각의 개수 등이 고찰 방법이 되고 기하학적 개념의 분석 시작)
예)실험법(측정하기, 접기, 그리기, 모델로 조작하기)을 통해서 정사각형이 4개의 변, 그 변들은 모두 같다. 모든 각이 직각이다 등과 같은 성질 발견.
이 수준은 모든 정사각형은 직사각형이지만 모든 직사각형은 정사각형이 아니다를 설명하기 위해 연역적 추론 사용 시작. 0과 1수준은 1~4학년 해당
③ 제2수준(이론적 정리 수준: theoretical level)
제1수준의 성질이 고찰 대상, 명제나 명제간의 관계의 고찰 단계로 도형의 성질 추론, 특정 관점에서 도형을 분류할 수 있다.
- 도형의 포함관계가 이해되고 수학적 정의가 이해된다.
- 간단한 형식적인 증명이 가능하며 다른 사람의 증명과정을 이해하나 연역의 의미나 공리의 역할을 이해하지 못한다.
“삼각형이란 세 개의 선분으로 둘러싸인 도형이다”로 정의한 기계적인 이해에서 관계적인 이해로 전환되는 단계로 이 수학적인 문장을 이론적으로 정리된 하나의 명제로 인식.
(“삼각형의 세각의 합은 어떻게 되겠는가?라는 의문을 갖고 이러한 의문을 귀납적으로 풀어서 ”삼각형의 세 각의 합은 180도이다“는 정리 유도)
이와 같이 간단한 성질을 규명하나 관찰한 결과를 입증할 수 있는 예비적 보조명제를 구성하지는 못한다.
이 수준은 초등학교 4~6학년 학습수준이다.
④ 제3수준(연역적 추론 수준: formal level)
제2수준의 명제가 고찰의 대상, 논리가 고찰되는 단계로 공리론적 조직 속에서 기하의 정리를 세우고 추론을 이해하며 무정의 용어, 공리, 공준, 정의, 정리 및 증명의 역할과 관계성을 알게 된다.
- 증명과정을 기억해서 기술하는 수준이 아니고 자신이 만들어낼 수 있으며 필요, 충분조건의 상관성을 이해할 수 있다.
예 ) “ 두 변 의 길 이 가 같 은 삼 각 형 을 이 등 변 삼 각 형 이 다 .” 정 의 에 서
“이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다”를 증명하나 명제의 추론과정에서 엄밀성이 얼마나 필요한지를 깨닫지 못할뿐더러 어떤 한 연역체계에서 다른 연역체계로 넘어갈 때의 사고의 이행관계도 제대로 이해하지 못하다.
예)“직선 밖의 한 점을 지나고 이 직선에 평행인 직선은 존재하며 단 하나 존재한다.”는 평행선의 공리를 사실 그대로 인식할 것인지 아니면 증명할 것인지 모르고 있는 상태이다.
⑤ 제4수준(논리법칙의 엄밀 수준: nature of logical laws)
제3수준의 논리가 고찰 대상, 추상화(적용)가 고찰되는 단계로 고등학교 수준은 넘는 단계로 비유클리드 기하 연구, 여러 공리들 사이에 차이점을 비교할 수도 있다.
(즉 구체적인 모형이 없이도 추상적으로 다양한 추상적 추론방법으로 도형의 특성을 분석하고 이해하는 수준)
- 대상의 구체적인 성질이나 그들 사이의 관계의 구체적 의미가 사상된다.
즉 여러 가지 구체적 해석을 떠나 발전시킨다. 이 수준에서 기하학의 이론이 추상적인 연역체계로 구성
예)평행선의 공리를 근거로 “평행인 두 직선이 제3의 직선과 만나서 이룬 엇각은 서로 같다”는 사실을 귀류법으로 증명하고 이러한 평행선 공리와 보조정리를 이용하여 “삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180도이다”를 연역적 증명
이 이론은 생활 주변에서 항상 느끼고 있는 경험의 세계를 조직화하고 이론 화하여 수학의 구조 속으로 진입시키는 수학적 사고 활동에 근거를 두고 있 다.
이러한 사실을 보기를 들어서 설명하면 다음과 같다.
①생활주변에서 찾아볼 수 있는 “사물” 종이상자가 학습대상이 되고 그 상자 의 표면에 있는 직사각형이란 “도형”이 학습의 수단으로 “그 모양은 네모꼴이 다”라는 정도를 인지한다.
②직사각형, 삼각형, 원 등의 “도형”이 제1수준에서 학습의 대상이 되고 도형 의 관찰에서 “직사각형의 마주보는 두 변의 길이는 같다”라는 간단한 “성질”
규명을 하게 된다. 이러한 “성질”의 규명이 이 수준에서 학습의 수단
③ “성질”규명이 제2수준에서는 학습의 대상이 되고 성질을 바탕으로 “네 각 이 모두 직각이고 마주보는 두 쌍의 길이가 같은 사각형을 직사각형이다”라 고 정의한다. 이렇게 올바른 판단으로 나타낸 문장인 “명제”가 이 수준에서 기하학습의 수단이 된다.
④ “명제” 제3수준에서 학습의 대상이 되는데 이때 정의, 공리, 정리 등의 모든 기하학적 요소가 명제라는 도구로써 표현된다. 명제를 사용하여 기 하학의 구조를 논리정연하게 나타내게 된다.
예) “직선 밖의 한 점을 지나고 이 직성에 평행인 직선은 존재하며 단 하 나 존재한다”는 평행선 공리를 논리에 어긋나지 않게 표현한다. 이러한
“논리”가 이 수준에서의 학습수단이 된다.
⑤ “논리”가 제4수준에서 학습의 대상이 되고 평행선공리를 근거로 “평행 인 두 직선이 제3의 직선과 만나서 이룬 엇각은 서로 같다”는 사실은 귀 류법으로 증명할 수 있고, 평행선 공리와 보조정리를 이용하여 “삼각형의 세 내각의 합은 180도이다”는 정리를 연역적으로 증명할 수 있다. 이러한 논리적인 판단의 대상이 되는 모든 수학적 사실을 추상화함으로써 기하 학을 더욱 일반화하고 확대 발전된다. “추상화”가 이 수준에서 학습의 수 단이 된다.
이러한 단계를 도표화하면 다음과 같다.
<반 힐의 기하학습 수준>
제0수준 제1수준 제2수준 제3수준 제4수준
대상 주변의 사물 도형 성질 명제 논리
수준 도형 성질 명제 논리 추상화
van Hiele의 5단계 교수․학습법
① 1단계(탐구: information):
초기 단계로 교사와 학생들이 학습목표 확인하는 단계.
교사는 본 과정에 대하여 과거에 배운 선수학습이 무엇인지 확인하고 학생들은 주 어진 과제에 대하여 관 찰하고 질문 하며 앞으로 어떻 게 공부하는지 방향을 얻도록 한다.
② 2단계(안내: directed orientation):
교사가 제시하는 발문으로 활동학습자료를 보며 학생들은 나름대로 과제를 탐구한다. 이 때 교사는 제시하는 자료를 학생들의 수준에 따라 다르게 한다.
예)모눈종이를 주면서 대각선이 갖은 여러 크기의 마름모를 그리게 한다든지, 4개의 각이 같은 마름모를 그리게 한다.
③ 3단계(명료화: explicitation):
학생들은 전 단계에서 경험하고 관찰한 사항에 대하여 토론한다. 이 때 교사의 역할은 학생의 토론하는 활동만을 지켜보며 어떤 설명도 하지 않는다.
예)모눈종이의 마름모의 활용에서 학생들은 자기가 한 활동에서 어떤 도형과 그 도형이 가지는 성질을 토론한다.
④ 4단계(적용: free orientation):
많은 사고가 내재되어 있는 프로젝트와 같은 과제를 제시하고 자신이 배운 지식을 종합적으로 적용해 보게 한다. 학생들은 관계의 망 속에서 일반적인 과제에 의해 자기 자신의 방법을 찾는 것을 학습하게 된다.
⑤ 5단계(통합: integration):
학생들 스스로 경험한 지금까지의 단계를 종합하고 음미하게 된다. 학생들이 교과에 관해 자신들이 마음대로 할 수 있게 된 새로 형성된 관계의 망에 관해 학습한 모든 것을 개관한다. 마름모의 성질이 학생들에 의하여 종합된다.
7. 부르너
(J. S. Bruner)의 발견학습이론
부르너는 교육과정에서 교육내용을 지식의 구조라 하고 교과를 가르치는 가장 근본은 “지식의 최전선에서 새로운 지식을 만들어내는 학자들이나 초등학교 학생들이 하는 모든 지적 활동은 근본적으로 동일하다.”
이런 활동의 차이는 종류에 있는 것이 아니라 지적 활동의 수준에 있다.
이러한 구조의 생각에는 교과서에 나와 있는 지식은 지식의 현상 또는 지식의 표층에 해당된다고 볼 수 있고 그 지식의 표층 이면에 지식의 구조에 해당하는 것이 내재되어 있다.
교육의 문제점으로 지식의 표층에 해당하는 사실의 더미나 해당 학자들의 탐구결과만을 학습하고 그 지식의 표층 이면에 내재에 있는 지식의 구조를 가르치지 않는 것 지적
․구성이론(construction theorem)
수학적 규칙, 개념, 원리를 학습하는 가장 좋은 방법은 그것들의 표현 방법을 구성 하는 것. 즉, 수학적 아이디어에 대한 자기 자신의 표현 방법을 구성한다.
구체적인 표현 방식을 가지고 학습을 시작하는 것이 좋으며, 수학적 규칙을 형성 하는 활동을 허용해야 한다.
․기법이론(notation theorem)
조기의 구성과 표현 방식이 지적 발달 수준에 알맞은 기법을 포함하고, 개념 이해 는 쉽게 된다. 효과적인 기법 조직이 수학적 원리를 창조하고 확장시키는 것을 가 능하게 한다.
․대조와 변화이론(contrast and variation theorem)
수학적 개념의 구체적인 표기 방식에서 좀 더 추상적인 표기 방식으로 되는 과정 은 상이하게 대조되는 개념과 각 개념에 대한 변화된 예를 포함하고 있다. 사실, 많은 수학적 개념들은 대조 성질에 따라서 정의되고 있다.
소수는 1도 아니고 합성수도 아닌 수로 정의되고, 무리수는 유리수가 아닌 수로 정의되고 있다. 학생들이 수학에서 일반적인 개념을 배운다면, 각각의 새로운 개 념은 다양한 예에 의하여 설명되어져야 한다.
․연결이론(connectivity theorem)
수학적 개개의 기능, 개념, 원리는 다른 기능, 개념, 원리에 연결되어 가르쳐지고, 학생들은 여러 가지 수학적 아이디어들 간의 연결성을 알아야 한다.
▪ EIS이론
Bruner 는 아 동 들 이 학 습 한 개 념 과 생 각 의 표 현 방 법 으 로 활 동 적 표현(enactive representation), 영상적(iconic)표현, 상징적(symbolic) 표현의 순서로 발달.
- 각 단계는 선행하는 양식에 의존하며 발달되는 것
- 활동적 표현은 구체적인 자료를 직접 다루는 것으로 만지고 조작하고, 실행하는 것
예) 3개의 사과와 2개의 사과를 실제로 손을 사용해 보는 것,
다음 단계는 정신적인 영상으로 옮겨가는 영상적 표현단계로 대상의 이미지를 시각적 정보, 그림, 벤다이어그램, 화면 등과 같이 그림 표현,
상징적 표현은 기호를 엄격하게 다루는 것으로 언어나 기호 등으로 표현하는 것. 수학에서 최종 단계의 개념 표현 방식으로 지극히 추상화되어 있고 의미가 함축되어 상징적 표현을 이해하는 일을 학생 개인차에 의해 결정 이러한 원리는 수학교육에서 조기교육이나 오류의 치료적 지도 등에 유효한 것으로 지도방법의 문제에서 수학적 내용을 어떻게 학생의 인지양식에 알맞은 표현으로 만들어갈 것인가 된다. 이러한 배경이 유명한 가설 “어떤 교과든, 어떤 발달단계에 있는 어느 아동에게도 지적으로 정직한 형태로 효과적으로 가르칠 수 있다.”가 제안
▪ 지식의 구조
Bruner는 우리 주변에 존재하는 잡다한 현상과, 지식들은 모든 분야에서 폭발 적으로 팽창하고 있으며 과학기술의 발전에 따라 여러 가지 법칙 자체가 잠 정성과 불확실성을 면치 못하고 있다. 모든 현상들을 개별적으로 연구하고 그 사실들과 법칙들을 모두 파악한다는 것은 인간의 한정된 지력으로 불가능하 고 시간적으로 경제적으로 낭비가 크다.
- 학생들에게 교과 내용의 기본적 구조를 이해시켜야 한다. 교과의 구조 파악 의 이점으로 기본적 사항을 이해하면 내용을 쉽게 파악하며, 세세한 사항은 구조화된 패턴 안에 들어 있지 않으면 쉽게 잊어버리고, 기본적인 원리나 아 이디어를 이해하는 것은 적절한 훈련의 전이를 가능하게 하는 가장 주된 방 법 - 초․중․고에서 가르치는 학습 자료가 어떤 기본적인 성격을 나타내고 있는 가를 끊임없이 재조사함으로써 고등지식과 초보적인 지식 사이의 관계를 좁 힐 수 있다.
- 지식분야에서 기본구조 없이, 특수한 사실이나 기술을 가르칠 경우, 학생들 은 이미 학습한 것을 앞으로 당면한 사태에 적응하기가 매우 어렵다. 얻은 지 식을 얽어매는 구조가 없을 때, 그 지식은 쉽게 잊어버린다.
▪ 발견학습
Bruner가 지식 습득의 새로운 방향을 제시한 것으로 기본교재의 학습내용의 사 고와 탐구를 수단으로 발견적 과정을 통해 습득해 가는 학습 형태이다.
발견학습에서는 구체적 자료를 취급하여 학생 스스로 발견하게 하는 발견적 의 미를 지니며, 소크라테스 식의 문답을 통하여 발견을 유도한다. 발견은 이미 알고 있는 아이디어의 내적인 재조직을 포함한다. 즉, 발견적 지도법이란 학습자가 문 제를 해결하든지 지적 행동을 획득하도록 학습자가 내부에 유효한 절차나 발견 을 만들 수 있게 설계된 무한상태의 정비과정
발견학습의 의의는 자율적이면서도 자발적인 학습 활동을 통하여 발견적인 사고 력을 배양하고 그 중에서도 지적 사고력을 증대시켜 미지의 세계에 대한 도전력 을 갖도록 하는데 있다. 학습은 지식의 재발견 과정에 따라 학습시켜 발견하는 것 발견학습의 특징은 누구든지, 자유롭게 토론하고 교실로서 제시된 발견 또는 발 표된 사실을 일단 고려해 볼 만한 가치 있는 것으로 중심이 된 아이디어를 중요 시하여 모든 교실 내의 발견 과정을 검증하기 위한 방향으로 이끌어 가는 것이다.
발견학습의 단점은 모든 지식을 스스로 발견하기 어렵고, 문제해결력만이 교육의 목표가 아니며, 후속학습에 긍정적인 효과만 주는 것은 아니라는 것
8. 프로이덴탈
(Hans Freudenthal)의 교수학적 현상학
Freudenthal은 수학적 개념, 구조 또는 수학적 아이디어라는 본질이 물리적, 사회적 그리고 정신적 세계의 여러 현상을 조직하는 수단으로 발명되는 사실에서 수학의 교수․학습과정도 조직될 필요가 있는 현상에서 시작하여 학습자로 하여금 조직의 수단인 그 본질에 숙달하도록 해줘야 한다는 관점으로 교수학적 현상학을 도입.
프 로 이 덴 탈 은 수 학 학 습 을 결 과 적 지 식 체 계 인 기 성 수 학 (ready made mathematics)과 활동 중인 수학인 실행수학(acted out Mathematics) 구분
곧 수학은 교육의 출발 점이 아니라 도달해야 할 목표임에 도 종 래 의 교육에서는 결과적 산물로서의 내용을 가진 교과가 도입되면서 수학적으로 다루는 방법 즉 지식을 배우는 것이 아니라 그 결과인 지식의 기록을 배운다고 비판
프로이덴탈은 이미 발명된 개념을 그 개념이 발명되어 온 역사적 과정에 따라 다시 한 번 발명하는 재발명법(method of reinvention) 학습법 주장
실행수학은 수학 그 자체를 인간의 활동으로 볼 때의 수학으로 수학자들의 오랜 사고 활동을 거쳐 완성된다.
- 학교수학이 실행수학을 제재로 해야 한다는 것은, 학생들이 수학자에 의해 이전에 발명이 된 수학을 발명되던 그 방식 그대로 다시 한 번 발명하게 해야만 한다는 것 의미
Freudenthal은 실행되는 수학 즉 수학적 활동의 핵심을 수학화 활동
수학화(mathematising)란 단지 매일의 문제 상황을 수학적인 용어로 개작하는 과정만을 나타낸 것이 아닌 수학의 발달이라는 입장에서 실재(reality)가 수학자의 필요와 선호에 어울리도록 손질되는 그 과정을 묘사하는 용어
수 학 화 활 동 에 는 스 키 마 화 (schematizing) 가 있 고 형 식 이 강 조 되 는 공 리 화 (axiomatizing), 형 식 화 (formalizing), 알 고 리 즘 화 (algorithmizing), 기호화(symbolizing)가 있다.
Freudental의 수학 교육 분야에서 해결 할 중요한 문제 11가지
① 진정한 진단이란, 무엇이 잘못되었는가를 말해 주는 것이 아니라, 왜 잘못되었는가를 말해 주는 것
② 학습 과정의 문제,
③ 점진적인 도식화와 형식적인 문제,
④ 통찰의 문제,
⑤ 학생자신의 물리적, 정신적 그리고 수학적인 활동을 숙고해 보도록 하기 위해서 어떻게 자극할 것인가?
⑥ 수학적인 태도를 어떻게 발달시킬 것인가?
⑦ 수준에 따라 수학 학습을 어떻게 구조화하는가? 이 구조는 개인차를 해소하는데 이용할 수 있는가?
⑧ 수학화를 가르치는데, 적절한 문맥을 어떻게 만들어 낼 것인가?
⑨ 학습자로 하여금 자기 자신의 공간 직관을 반성하여 가르칠 수 있는 가? ⑩ 수학의 이해를 불러일으키고 증진시키는데 계산기와 컴퓨터를 가르 칠 수 있는가?
⑪ 수학 교육에 변화를 가져오기 위한 전략으로서 교육 개발을 어떻게 설계할 것인가?
9. 스켐프
(R.R.Skemp)의 학습이론
스캠프의 schematic learning 이론 3가지
- 수학교육에서 고려해야 할 근본 문제인 수학적 개념의 본질 문제,
- 여러 가지 수학적 개념이 아동의 가동적인 지식구조를 형성하도록 어떻게 연결 되는가 문제,
- 수학은 실험이나 물리적 증명에 의해서는 뒷받침될 수 없으며, 그런 것과는 다른 순수한 사고의 산물인 사실의 문제 등의 문제를 Piaget의 감각-운동적 지능과 반성적 지능, schemes와 동화 조절 등을 이용하여 분석하고 수학 학습을 성공적으로 시키기 위한 방법
Piaget의 감각-운동적 지능은 지각된 실제적 대상 사이의 관계, 혹은 아동 자신의 행동 사이의 관계를 인식하는 능력, 반성적 지능은 개념이나 개념 사이의 관계의 인식 능력을 포함하는 것으로 내면적 활동을 컨트롤 능력
Skemp는 감각-운동적 지능과 반성적 지능의 관계에 주목하여, 반성적 지능은 감각-운동 체계의 제1차적인 개념, 조작 및 그 관계를 인식할 수 있는 제2차적인 개념 및 조작 체계
- 실제적인 수학학습은 감각-운동적 지능에 의한 것, 수학학습은 반성적 지능에 의한 것
예)아동이 수학 문제에서 바른 해답을 찾을 수 있음에도, 그 해결 방법의 논리적 기술 혹은 이유의 설명을 할 수 없는 것은 산술이 반성적 지능에 의한 것이 아니고, 감각-운동적 지능에 의한 것이기 때문이다.
Skemp가 생각하는 schema의 개념은 정적인 이미지보다는 행동이나 사고의 양식 내지 구조에 가까우며, Piaget이론에서 scheme(인간 행동이나 사고를 반복 가능하고, 일반화할 수 있는 심적인 구조)에 해당
의미란 현존하는 어떤 scheme에 동화(새로운 지식을 현존하는 scheme에 합체시키는 것)과정과 동의어, 새로운 scheme의 발달에 의해서 그때까지 관련이 없었던 자료에 의미가 주어지게 된다.
무엇을 이해한다는 것은 그것을 적절한 scheme에 동화하는 것. Schematic learning이란 의미 충실한 수업, 참된 이해 즉 관계적 이해를 가능하게 하는 학습이다.
Schematic learning의 결정적 요인은 아동의 마음 가운데 적절한 예비 scheme이 존재하는가는 학습의 준비성의 문제와 자료를 어떻게 배열해야 할 것인가 하는 자료 제시의 문제이다.
▪ 관계적 이해와 도구적 이해
관계적 이해란 방법과 이유를 아는 상태, 보다 일반적인 수학적 관계로부터 특정한 규칙이나 알고리즘을 연역할 수 있는 상태(즉, 무엇을 해야 할지, 왜 그런지 모두 아는 것)를 말한다.
- 장점은 새로운 과제에 더 쉽게 적응하고, 기억이 더 쉬우며 본질적으로 수학 교육의 효과적인 목적이 될 수 있다. 또 관계적 스키마는 그 특성이 유기적이다.
교사에게 관계적 이해가 결여된 요인은 시험의 역류 효과와 과중한 교수요목.
또 평가의 어려움과 교사가 오랫동안 갖고, 스키마 재구성에서 커다란 심리적 어려움
도구적 이해란 적당히 규칙을 기억하며 적용되는 이유를 모르고 문제 해결에 적용하는 상태
예) 분수와 분수를 곱할 때는 분모는 분모끼리 곱하고, 분자는 분자끼리 곱해서 다시 분자가 된다.
도구적 이해의 장점 보통 이해하기가 쉽다.
예) 음수 곱하기 음수는 양수이다. 분수로 나누려면 분자와 분모를 바꾸어서 곱하라.와 같은 문제이다. 또 보상은 더욱 즉각적이고 더욱 명백하며 지식이 덜 포함되어 있다.
스캠프의 이해
-새로운 경험을 적절한 스킴에 동화하는 것,
스킴학습이란 유의미한 학습이며 참된 이해 즉 관계적 이해를 가능하게 하 는 학습
- 스킴학습의 결정적인 요인은 학생의 마음 가운데 적절한 예비스킴이 존 재하는가와 어떤가 하는 학습의 준비성의 문제와 자료를 어떻게 배열해야 할 것인가 하는 문제
교사가 도구적 수학을 가르칠 수밖에 없는 상황은 관계적 이해를 할 수 있 도록 하는데 시간이 너무 많이 소요, 어떤 특정한 기법을 사용할 수 있는 것 이 필요로 하는 전부, 어떤 특정한 내용을 관계적 이해하는 것은 너무 어렵 다. 그리고 어떤 기능은 그것을 학생들이 가지고 있는 스키마로 관계적으로 이해할 수 있기 전에 다른 과목에서 사용되기 때문에 필요하다.
다른 모든 교사들이 수학을 도구적으로 가르치고 있는 학교의 신참 교사라 면, 그 역시 수학을 도구적으로 가르치지 않을 수 없을 것이다.
제9강. 강의 내용 요약
가네(R.M.Gagne)의 학습위계 이론
① 학습의 외적요인
접근의 원리, 연습의 원리, 강화의 원리
② 학습의 내적요인
선수학습은 학습이 이루어지기 이전에 학습한 여러 종류의 내적상태
▪ Gagne의 8가지 학습유형
① 신호학습: ② 자극-반응학습: ③ 연쇄: ④ 언어적 연합:
⑤ 다중식별: ⑥ 개념학습: ⑦ 규칙학습: ⑧ 문제해결:
오수벨(David. P.Ausbel) 학습이론 有意味 학습(meaningful learning)
(1)점진적 분화(progressive differentiation)의 원리 (2)통합 조정(integrative reconciliation)의 원리
(3)선행조직자(先行組織者, advanced organizer)의 원리
손다이크(Thorndike)의 결합(Bond) 이론 학습은 자극(stimulus)에 반응(response)
Thorndike의 학습의 원리
① 효과의 법칙(law of effect, 자극과 반응이 반복되고 중지되는 조건):
② 연습의 법칙(law of exercise, 연습 또는 중지가 S-R결합에 미치는 영향):
③ 준비의 법칙(law of readiness, 만족 또는 불만족을 주는 사태):
④ 분석의 법칙(law of analysis):
피아제(Jean Piaget)의 수학학습 이론 Piget의 인지 발달 4단계 이론
(1) 감각 운동 단계 (2) 전 조작 단계
(3) 구체적 조작 단계 (4) 형식적 조작 단계 수의 보존 개념
딘즈(Zoltan Dienes)의 활동주의 학습 이론
▪ 학습의 원리
① 활동성의 원리(dynamic principle)
② 구성의 원리(constructivity principle)
③ 수학적 다양성의 원리(mathematical variability principle)
④ 지각적 다양성의 원리(perceptual variability principle)
반 힐레(Pierre van Hiele와 Dina van Hiele-Geldof)의 수학학습수준
① 제0수준(시각적 인식 수준: visual level)
② 제1수준(도형 분석적 수준: descriptive level)
③ 제2수준(이론적 정리 수준: theoretical level)
④ 제3수준(연역적 추론 수준: formal level)
⑤ 제4수준(논리법칙의 엄밀 수준: nature of logical laws)
제0수준 제1수준 제2수준 제3수준 제4수준 대상 주변의 사물 도형 성질 명제 논리 수준 도형 성질 명제 논리 추상화
부르너(J. S. Bruner)의 발견학습이론
▪ EIS이론
프로이덴탈(Hans Freudenthal)의 교수학적 현상학
프로이덴탈은 수학학습을 결과적 지식체계인 기성수학(ready made mathematics)과 활동 중인 수학인 실행수학(acted out Mathematics)
프로이덴탈은 이미 발명된 개념을 그 개념이 발명되어 온 역사적 과정에 따라 다시 한 번 발명하는 재발명법(method of reinvention) 학습법 주장
스켐프(R.R.Skemp)의 학습이론
▪ 관계적 이해와 도구적 이해
