수의 세계

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6주차. 수의 체계

1. 실수, 복소수

• 실수, 복소수 학습내용

학습목표

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6주차. 수의 체계

1

유리수

1) 측량수단으로서의 유리수---실용적 측면

정수: 유한개로 이루어진 사물의 개수를 세는 과정에서 추상화

길이, 넒이, 무게, 시간,…: 양을 측정 (측량)

새로운 범위의 수 필요

1. 측량문제를 세는 문제로 전환

2. 단위 측도 설정: 1cm, 1ft, 1gr, 1sec, etc.

3. 재려고 하는 양을 구성하는 단위측도의 개수 세기

1

유리수

2) 유리수의 본질적 필요성---일반화의 원리

1. 두 정수 a,b의 차 b-a: a+c=b를 만족하는 정수 c. 즉, a+x=b의 해

2. b>a  x: 자연수 3. a-a=0

4. b<a  b-a=-(a-b)로 정의 -1, -2, -3,…

5. (-1)(-1)=1

1

유리수

2) 유리수의 본질적 필요성---일반화의 원리 6. ax=b의 해 x=b/a

7. 유리수체계에서는 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 성립.

8. +, -, *, /

1

유리수

3) 유리수의 기하학적 표현

1. 임의로 선분 0에서 1까지를 단위길이

2. 각 단위 길이의 선분을 n개의 동일한 부분으로 나누면 부분분할된 각각의 점은 분모가 0이 아닌 분수

3. 모든 정수 n  유리수가 수직선 위의 점에 대응

1

무리수

1) 통약성 없는 수

1. 통분 불가능한 수 (Eudoxus of Cnidus) √2,

√3

2. √2인 유리수는 없다.

3. 유리수점의 집합이 조밀하지만 수직선 위의 모든 점을 나타내지 못한다.

1

무리수

1. 수 = 유한이거나 무한인 소수

2. 유리수 = 유한이거나 순환하는 무한소수 3. 무리수 = 유리수의 극한 무한소수

4. 실수 체계 or 수의 연속체 = 무한소수 전체

1

복소수

1. 무리수 x²=2의 해

2. x²=-1의 해  복소수

3. i

=-1로 정의되는 새로운 기호 i를 도입 4. 허수 단위 i는 센다는 의미의 수의

개념과 무관한 기호일뿐.

5. 2i, 5i, -i, 2+3i, …와 같은 기호로 만듦

1) 기원

1

복소수

2) 연산

1

복소수

3) 기하학적 표현

복소수 z = a + bi 를 직교좌표 x, y를 가지는 평면상의 점으로 나타냄

1

복소수

3) 기하학적 표현

연산을 직관적으로 이해하게 해줌

1

복소수

3) 기하학적 표현 절대값

을 a + bi의 절대값, 로 표시

r = a² +b²

| a + bi |

1

복소수

3) 기하학적 표현 삼각부등식

|_z1 + _z2| ≤ |_z1| +|_z2|

1

복소수

4) 극형식 표현

z = a + bi = ρ(cos Φ + i sin Φ)를

z의 극형식

Φ = Arg(z)

1

복소수

4) 극형식 표현

라디안 (호도법)

the plane angle subtended by a circular arc as the length of the arc divided by the radius of the arc.

1

복소수

4) 극형식 표현

1

복소수

5) 드 무아브르의 공식과 1의 제곱근

zⁿ = 1의 해

z = (cos 2kπ + i sin 2kπ)^1/n

= (cos (2kπ/n) + i sin (2kπ/n)),

k = 0 , 1, 2 , 3 , 4 , ……… , (n-1)

1

복소수

5) 드 무아브르의 공식과 1의 제곱근 [예] z⁵ = 1의 해

1

복소수

6) 대수학의 기본정리 -- Gauss

실수나 복소수를 계수로 가지는 임의의 n차 대수방정식

f(x) = xⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2

+…+ a₁x + a₀ = 0 은 복소수 범위 안에서 (n개의) 근을 갖는다.

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6주차. 수의 체계

1

방정식과 작도

1) 작도

1. 자로 두 점을 연결한다.

2. 두 직선의 교점을 찾는다.

3. 한 점을 중심으로 하고 주어진 반지름을 갖는 원을 그린다.

4. 한 원과 또 다른 원이나 직선과의 교점을 찾는다.

1

방정식과 작도

1) 유리수의 작도

x,y가 작도 가능  xy, x/y도 작도 가능

 유리수 작도 가능

1

방정식과 작도

1) 작도

2 1

방정식과 작도

1) 작도

2 1

2) 정오각형의 작도

방정식과 작도

2 1

2) 정오각형의 작도

방정식과 작도

2 1

√ 의 작도

2) 정오각형의 작도

방정식과 작도

1

방정식과 작도

3) 콤파스만 이용하는 작도

이태리의 수학자 마스케로니(Lorenzo

Mascheroni,(1750 – 1800))는 자와 콤파스로 작도가능한 것은 콤파스만으로도 작도 가능함을 보임

탐구문제 : 콤파스만으로 선분의 이등분 점을 작도하시오.

1

방정식과 작도

4) 작도 가능한 정다각형 -- 가우스

1

방정식과 작도

5) 작도 불능 문제 1. 각의 삼등분

1

방정식과 작도

5) 작도 불능 문제

1. 각의 삼등분 -- 아르키메데스

1

방정식과 작도

5) 작도 불능 문제

2. 부피를 두배로 갖는 정육면체의 작도

1

방정식과 작도

5) 작도 불능 문제

3. 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 작도

1

방정식과 작도

5) 작도 불능 문제

3. 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 작도

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6주차. 수의 체계

문제1. 의 근을 모두 구하시오.

평가하기

z⁶ =1

문제2. z1=a+bi, z₂=c+di일 때, 삼각부등식

|z₁+z₂| 6 |z₁|+|z₂|를 증명하라.

평가하기

문제3. 드 무아브르의 정리를 이용하여

를 증명하라.

평가하기

cos3q = 4cos³q -3cosq

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6주차. 수의 체계

정리하기

- 실수 - 복소수 1강 . 복소수

정리하기

- 방정식 - 작도

2강 방정식과 작도

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