Skemp는 감각-운동적 지능과 반성적 지능의 관계에 주목하여, 반성적 지능은 감각-운동 체계의 제1차적인 개념, 조작 및 그 관계를 인식할 수 있는 제2차적인 개념 및 조작 체계
- 실제적인 수학학습은 감각-운동적 지능에 의한 것, 수학학습은 반성적 지능에 의한 것
예)아동이 수학 문제에서 바른 해답을 찾을 수 있음에도, 그 해결 방법의 논리적 기술 혹은 이유의 설명을 할 수 없는 것은 산술이 반성적 지능에 의한 것이 아니고, 감각-운동적 지능에 의한 것이기 때문이다.
Skemp가 생각하는 schema의 개념은 정적인 이미지보다는 행동이나 사고의 양식 내지 구조에 가까우며, Piaget이론에서 scheme(인간 행동이나 사고를 반복 가능하고, 일반화할 수 있는 심적인 구조)에 해당
의미란 현존하는 어떤 scheme에 동화(새로운 지식을 현존하는 scheme에 합체시키는 것)과정과 동의어, 새로운 scheme의 발달에 의해서 그때까지 관련이 없었던 자료에 의미가 주어지게 된다.
무엇을 이해한다는 것은 그것을 적절한 scheme에 동화하는 것. Schematic learning이란 의미 충실한 수업, 참된 이해 즉 관계적 이해를 가능하게 하는 학습이다.
Schematic learning의 결정적 요인은 아동의 마음 가운데 적절한 예비 scheme이 존재하는가는 학습의 준비성의 문제와 자료를 어떻게 배열해야 할 것인가 하는 자료 제시의 문제이다.
▪ 관계적 이해와 도구적 이해
관계적 이해란 방법과 이유를 아는 상태, 보다 일반적인 수학적 관계로부터 특정한 규칙이나 알고리즘을 연역할 수 있는 상태(즉, 무엇을 해야 할지, 왜 그런지 모두 아는 것)를 말한다.
- 장점은 새로운 과제에 더 쉽게 적응하고, 기억이 더 쉬우며 본질적으로 수학 교육의 효과적인 목적이 될 수 있다. 또 관계적 스키마는 그 특성이 유기적이다.
교사에게 관계적 이해가 결여된 요인은 시험의 역류 효과와 과중한 교수요목.
또 평가의 어려움과 교사가 오랫동안 갖고, 스키마 재구성에서 커다란 심리적 어려움
도구적 이해란 적당히 규칙을 기억하며 적용되는 이유를 모르고 문제 해결에 적용하는 상태
예) 분수와 분수를 곱할 때는 분모는 분모끼리 곱하고, 분자는 분자끼리 곱해서 다시 분자가 된다.
도구적 이해의 장점 보통 이해하기가 쉽다.
예) 음수 곱하기 음수는 양수이다. 분수로 나누려면 분자와 분모를 바꾸어서 곱하라.와 같은 문제이다. 또 보상은 더욱 즉각적이고 더욱 명백하며 지식이 덜 포함되어 있다.
스캠프의 이해
-새로운 경험을 적절한 스킴에 동화하는 것,
스킴학습이란 유의미한 학습이며 참된 이해 즉 관계적 이해를 가능하게 하 는 학습
- 스킴학습의 결정적인 요인은 학생의 마음 가운데 적절한 예비스킴이 존 재하는가와 어떤가 하는 학습의 준비성의 문제와 자료를 어떻게 배열해야 할 것인가 하는 문제
교사가 도구적 수학을 가르칠 수밖에 없는 상황은 관계적 이해를 할 수 있 도록 하는데 시간이 너무 많이 소요, 어떤 특정한 기법을 사용할 수 있는 것 이 필요로 하는 전부, 어떤 특정한 내용을 관계적 이해하는 것은 너무 어렵 다. 그리고 어떤 기능은 그것을 학생들이 가지고 있는 스키마로 관계적으로 이해할 수 있기 전에 다른 과목에서 사용되기 때문에 필요하다.
다른 모든 교사들이 수학을 도구적으로 가르치고 있는 학교의 신참 교사라 면, 그 역시 수학을 도구적으로 가르치지 않을 수 없을 것이다.
제9강. 강의 내용 요약
가네(R.M.Gagne)의 학습위계 이론
① 학습의 외적요인
접근의 원리, 연습의 원리, 강화의 원리
② 학습의 내적요인
선수학습은 학습이 이루어지기 이전에 학습한 여러 종류의 내적상태
▪ Gagne의 8가지 학습유형
① 신호학습: ② 자극-반응학습: ③ 연쇄: ④ 언어적 연합:
⑤ 다중식별: ⑥ 개념학습: ⑦ 규칙학습: ⑧ 문제해결:
오수벨(David. P.Ausbel) 학습이론 有意味 학습(meaningful learning)
(1)점진적 분화(progressive differentiation)의 원리 (2)통합 조정(integrative reconciliation)의 원리
(3)선행조직자(先行組織者, advanced organizer)의 원리
손다이크(Thorndike)의 결합(Bond) 이론 학습은 자극(stimulus)에 반응(response)
Thorndike의 학습의 원리
① 효과의 법칙(law of effect, 자극과 반응이 반복되고 중지되는 조건):
② 연습의 법칙(law of exercise, 연습 또는 중지가 S-R결합에 미치는 영향):
③ 준비의 법칙(law of readiness, 만족 또는 불만족을 주는 사태):
④ 분석의 법칙(law of analysis):
피아제(Jean Piaget)의 수학학습 이론 Piget의 인지 발달 4단계 이론
(1) 감각 운동 단계 (2) 전 조작 단계
(3) 구체적 조작 단계 (4) 형식적 조작 단계 수의 보존 개념
딘즈(Zoltan Dienes)의 활동주의 학습 이론
▪ 학습의 원리
① 활동성의 원리(dynamic principle)
② 구성의 원리(constructivity principle)
③ 수학적 다양성의 원리(mathematical variability principle)
④ 지각적 다양성의 원리(perceptual variability principle)
반 힐레(Pierre van Hiele와 Dina van Hiele-Geldof)의 수학학습수준
① 제0수준(시각적 인식 수준: visual level)
② 제1수준(도형 분석적 수준: descriptive level)
③ 제2수준(이론적 정리 수준: theoretical level)
④ 제3수준(연역적 추론 수준: formal level)
⑤ 제4수준(논리법칙의 엄밀 수준: nature of logical laws)
제0수준 제1수준 제2수준 제3수준 제4수준 대상 주변의 사물 도형 성질 명제 논리 수준 도형 성질 명제 논리 추상화
부르너(J. S. Bruner)의 발견학습이론
▪ EIS이론
프로이덴탈(Hans Freudenthal)의 교수학적 현상학
프로이덴탈은 수학학습을 결과적 지식체계인 기성수학(ready made mathematics)과 활동 중인 수학인 실행수학(acted out Mathematics)
프로이덴탈은 이미 발명된 개념을 그 개념이 발명되어 온 역사적 과정에 따라 다시 한 번 발명하는 재발명법(method of reinvention) 학습법 주장
스켐프(R.R.Skemp)의 학습이론
▪ 관계적 이해와 도구적 이해