2014 년 9 월 박섭형 제 1 장.서론 Python 과함께배우는시스템해석

(1)

Python과 함께 배우는 시스템 해석

제 1 장. 서론

박섭형

한림대학교 전자공학과

2014년 9월

(2)

Python 과 함께 배우는 시스템 해석

박섭형

신호와 시스템 개요 신호의 시간 영역 표현 신호의 주파수 영역 표현 시스템의 표현 및 특성

배울 내용

신호란 무엇인가?

시스템이란 무엇인가?

신호의 시간 영역 표현

Nyquist-Shannon의 샘플링 정리 신호의 주파수 영역 표현 시스템의 표현

시스템의 특성 및 분류

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박섭형

신호

신호의 의미

우리 주변에서 관찰할 수 있는 모든 현상을 신호라고 생각할 수 있다.

그 신호에는 정보가 포함되어 있다 신호의 예

소리 : 공기의 진동을 통해서 전달되어 청각 기관을 통해서 받아들이는 소리 빛 : 사물에 반사된 후에 시각 기관으로 들어오는 빛

전기 신호 : 전기, 전자 공학 분야에서는 일반적으로 여러 가지 신호를 전압, 전류, 전기장의 세기 등으로 변환한 후에 처리한다

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 1 강 서론 3

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박섭형

시스템

시스템 : 입력 신호를 변형하거나 변환하여 출력하는 장치나 방법 신호에 담겨 있는 정보를 찾아내어 활용하기 위해서 신호를 목적에 맞게 처리하는 과정

주변이 시끄러운 환경에서 두 사람이 이야기를 나누는 상황 신호 처리 : 필요에 따라서 신호의 일부를 구분하거나 변경하는 과정.

원하지 않는 잡음이 포함된 신호에서 잡음을 걸러내고 필요한 신호만을 남기는 것 크기가 매우 작은 신호를 증폭하기

신호를 전송하기 위해서 변조하하기 신호를 저장하거나 전송하기 전에 압축하기 신호에서 중요한 특징을 추출하기

선형 시불변 (LTI: linear time-invariant) 시스템

선형 시불변 시스템의 임펄스 응답만 알면 시간 영역에서 출력을 계산할 수도 있고 임펄스 응답의 푸리에 변환을 통해서 주파수 특성도 파악할 수 있다 임펄스 응답 : 임펄스 신호가 선형 시불변 시스템에 입력될 때의 출력 신호 시스템도 임펄스 응답이라는 신호로 표현할 수 있다

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박섭형

신호의 시간 영역 표현

시간에 따라서 크기가 변하는 신호는 수학적으로 시간의 함수로 표현할 수 있다

연속시간 (continuous time) 신호 또는 아날로그 (analog signal) 신호 모든 시점에서 신호의 값이 존재하며 시간이 변하면서 신호의 크기가 연속적으로 변하는 신호

연속시간 신호는 독립변수가 연속변수인 신호 기호 : x(t)

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박섭형

신호의 시간 영역 표현

이산시간 신호 (discrete time signal)

일정 시점, 즉 이산 시간에서만 신호의 값이 정의되는 신호 시변수의 정의역은 가산 집합 (countable set) 이 된다

오디오 CD(compact disc) 의 샘플링 주파수는 44.1 kHz이다. 1/44100 초마다 한 번씩 음악 신호의 샘플을 저장하는 경우에 t 의 정의역은 {0, 1/44100, 2/44100, 3/44100, . . .}이 된다

일반적으로 Ts간격으로 신호의 크기를 샘플링하는 경우에 시변수의 정의역은 {0, Ts, 2Ts, . . . , nTs, (n + 1)Ts, . . .}가 된다. 이 경우에 정의역에 포함되어 있는 모든 시변수 값은 Ts의 정수 배이므로, Ts를 제외하고

{0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}와 같이 정수의 집합을 사용하기도 한다. 이 경우에 이산시간 신호는 독립변수가 정수인 신호라고 말할 수 있다.

기호 : x[n], y[n], h[n] 등

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박섭형

신호의 시간 영역 표현

연속시간 신호의 샘플링

x[n] = x(t)|t=nTs= x (nTs) , n = 0, 1,· · · . (1.1)

Ts: 샘플링 주기 (sampling period), 샘플링 간격 fs=_T¹

s: 샘플링 주파수 (sampling frequency), 샘플링 율 (sampling rate)

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박섭형

신호의 시간 영역 표현

연속시간 신호의 예 :

x(t) = 1

5t cos(2πt) (1.2)

0 1 2 3 4 5

time (s)

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0

이산시간 신호의 예 : Ts=₄₀⁵s = 0.125s, fs= 1/0.125 = 8 Hz.

x[n] = x(nTs) =1 5· 5

40n cos (

2π· 5 40n

)

= 1 40n cos

(1 4πn

)

(1.3)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

sample index [n]

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0

(9)

박섭형

신호의 시간 영역 표현

.예제 1.1 ..

...

아래 그림에서 x[10] 은 x(t) 에서 t 가 얼마일 때의 x(t) 값과 같은지 구하라. 단, Ts=₄₀⁵s.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

sample index [n]

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0

x[10] = x(10· 0.125) = x(1.25)이므로, t = 1.25(s)일 때의 x(t) 값과 같다.

(10)

박섭형

Nyquist–Shannon의 샘플링 정리

..

Nyquist–Shannon의 샘플링 정리

.

최대 주파수가 fmax Hz인 연속시간 신호 x(t) 가 있다고 가정하 자. 이 신호를 x[n] = x(nTs)로부터 복원하기 위해서는 샘플링 율 (sampling rate) fs가 fs= 1/Ts≥2fmax를 만족해야 한다.

이 때, 2fmax 를 나이퀴스트 율 (Nyquist rate) 이라고 한다. 샘플링 과정에서 사용된 샘플링 주파수가 나이퀴스트 율보다 작은 경우에 에일리어싱 (aliasing) 현상이 발생한다.

(11)

박섭형

Nyquist–Shannon의 샘플링 정리

.예제 1.2 ..

...

x(t) = 2 sin(20πt +^π₄)로 표현되는 연속시간 신호를 샘플링하여 이산시간 신호를 얻으려고 할 때, 에일리어싱이 발생되지 않도록 하는 샘플링 주파수의 최솟값을 구하라.

이 신호의 주파수를 f 라고 하면, 2πf = 20π 이므로, f = 10 Hz이다.

Nyquist–Shannon의 샘플링 정리에 의해서 fs≥ 2f = 20이므로, fs의 최솟값은 20이다.

(12)

박섭형

Nyquist–Shannon의 샘플링 정리

.예제 1.3 ..

...

x(t) = 2 sin(20πt +^π₄) + 3 cos(30πt +^π₆)로 표현되는 연속시간 신호를 샘플링하여 이산시간 신호를 구하려고 할 때, 에일리어싱이 발생되지 않도록 하는 샘플링 주파수의 최솟값을 구하라.

이 신호에는 주파수가 다른 두 개의 정현파가 포함되어 있다. 두 주파수를 각각 f1과 f2라고 하면, 2πf1= 20π이므로 f1= 10 Hz이고, 2πf2= 30π이므로 f2= 15 Hz이다. 두 값 중에 최댓값은 15이고, Nyquist–Shannon의 샘플링 정리에 의해서 fs≥ 2 · 15 = 30이므로, fs의 최솟값은 30이다.

(13)

박섭형

연속 주기 신호의 주파수 성분을 분석하여 시간 영역과 주파수 영역에서 비교

t +

t

||

t

f +

f

||

f f0

−f0

3f0

−3f0

5f0

−5f0

7f0

−7f0

f0

−f0 3f0

−3f0 5f0

−5f0 7f0

−7f0

(a) 연속시간 신호의 시간 영역 표현. (b) 연속시간 신호의 주파수 영역 표현.

그림 1.2: 연속 주기 신호의 주파수 성분을 분석하여 시간 영역과 주파수 영역에서 비교한 그림.

(14)

박섭형

연속시간 시스템과 이산시간 시스템의 블록도

입력 x(t)

출력 y(t) 연속시간

시스템

(a) 연속시간 시스템의 블록도.

입력 x[n]

출력 y[n]

이산시간 시스템

(b) 이산시간 시스템의 블록도.

그림 1.3: 연속시간 시스템과 이산시간 시스템의 블록도.

입력과 출력 사이의 관계를 다음과 같이 표현한다.

y(t) =T {x(t)}, (1.4)

y[n] =T {x[n]}. (1.5)

x(t)7→ y(t), (1.6)

x[n]7→ y[n]. (1.7)

(15)

박섭형

연속시간 시스템의 예 : 반전 증폭기

..

Vin(t)

..

R1

....

i1

..

R2

..

i2

...

Vout(t)

...

−

.

+

...

v1

.

v2

그림 1.4: 연산 증폭기를 이용한 반전 증폭기의 회로도 (R1= 1 kΩ, R2= 9 kΩ).

Vin(t) − v² R1

=v2− Vout(t) R2

. (1.8)

Vout(t) = −R2

R1Vin(t) = −9Vin(t). (1.9) 이 회로의 출력은 입력 신호 크기의 9 배이며 부호는 반대이다. 즉 신호가 반전되어 9 배 증폭되기 때문에 반전 증폭기라고 부른다.

(16)

박섭형

연속시간 시스템의 예 : 저역 통과 필터

..

−

.

+

...

Vin

..

R1

...

Vout

...

R2

..

C

그림 1.5: 반전 연산 증폭기를 이용한 저역 통과 필터의 회로도 (R1= 1 kΩ, R2= 9 kΩ, C = 0.1µF).

(17)

박섭형

연속시간 시스템의 예 : 저역 통과 필터

Vout(t) = − AF

√ 1 +

(f fc

)2Vin(t), (1.10)

여기에서 f 는 입력 신호의 주파수이며, 직류 이득 (DC gain) AF와 차단 주파수 (cut–oﬀ frequency) fc는 각각 AF= 1 +^R_R²

1, fc= _2πCR¹

2이다.

이 필터에 주파수가 ω = 2πf 인 교류 신호가 입력되는 경우를 생각해 보자.

입력 신호의 주파수가 낮아서 _ωC¹ >> R2의 조건을 만족하는 경우에는 입력 교류 신호는 주로 임피던스의 크기가 작은 저항을 통과한다.

입력 신호의 주파수가 상대적으로 높아서, _ωC¹ << R2의 조건을 만족하는 경우에는 입력 교류 신호는 임피던스의 크기가 작은 커패시터를 주로 통과한다.

입력 신호의 주파수가 차단 주파수보다 큰 범위에서는 주파수가 증가할수록 시스템 이득이 점점 감소한다.

(18)

박섭형

이산시간 시스템의 예 : 이동 평균 필터

M 점 이동 평균 필터의 입출력 관계식은 다음과 같은 차분 방정식으로 표현된다.

y[n] = 1

M{x[n] + x[n − 1] + · · · + x[n − (M − 1)]}. (1.11) 이 시스템은 저역 통과 필터의 일종이다. 예를 들면, 7 점 이동 평균 필터의 입출력 관계식은 다음과 같은 차분 방정식으로 표현된다.

y[n] =1

7{x[n] + x[n − 1] + · · · + x[n − 6]}. (1.12) 7 점 이동 평균 필터를 블록도로 표현하면 그림과 같다. 이 블록도에서 차분 방정식의 계수를 모아 놓은{₁

7,¹₇,¹₇,¹₇,¹₇,¹₇,¹₇}

은 필터의임펄스 응답이라고 한다.

x[n] {¹7,¹₇,¹₇,¹₇,¹₇,¹₇,¹₇} y[n]

그림 1.6: 7 점 이동 평균 필터의 블록도.

(19)

박섭형

이산시간 시스템의 예 : 이동 평균 필터

(a) 입력 영상. (b) 필터링된 후의 영상.

그림 1.7: 영상에 이동평균 필터를 적용하기 전 후의 영상 비교.

(20)

박섭형

기억 시스템과 무기억 시스템

시간 t = t0에서 출력이 t = t0일 때의 입력에 의해서만 결정되는 시스템을 무기억 시스템(memoryless system)이라고 하고, 그렇지 않은 시스템을 기억 시스템(memory system)이라고 한다. 즉, 무기억 시스템은 과거의 입력을 저장할 필요가 없는 시스템이다.

입출력 관계식이 다음과 같은 시스템은 무기억 시스템이다.

y(t) = 2x(t) + 3, (1.13)

y[n] = e^x[n]. (1.14)

입출력 관계식이 다음과 같은 시스템은 기억 시스템이다.

y(t) =

∫ t

−∞

x(τ )dτ, (1.15)

y[n] = x[n− 2] + x[n − 1] + x[n]. (1.16)

(21)

박섭형

선형 시스템과 비선형 시스템

시스템T 에서 입력 x1(t)와 x₂(t)의 출력을 각각 y₁(t)와 y₂(t)라고 하자. 즉, y1(t) =T {x1(t)}, y2(t) =T {x2(t)}이다. 다음의 두 가지 성질을 만족하는 시스템을선형 시스템 (linear system)이라고 한다.

비례성 (homogeneity) 의 원리: T {αx1(t)} = αy1(t), α 는 임의의 scalar.

α

x(t) T ya(t) x(t) T α

yb(t)

(a) (b)

그림 1.8: 비례성의 원리가 성립하는 시스템을 블록도로 표현한 그림.

그림에서 ya(t) = yb(t)이면 시스템T 는 비례성의 원리가 성립하는 시스템이다.

(22)

박섭형

선형 시스템과 비선형 시스템

가산성 (additivity) 의 원리: T {x1(t) + x2(t)} = y1(t) + y2(t).

x₁(t)

x2(t)

T ya(t) x₁(t)

x2(t) T

T

yb(t)

(a) (b)

그림 1.9: 가산성의 원리가 성립하는 시스템을 블록도로 표현한 그림.

그림에서 ya(t) = yb(t)이면 시스템T 는 가산성의 원리가 성립하는 시스템이다.

비례성과 가산성의 원리를 모두 만족하는 것을 중첩 (superposition) 의 원리라고 한다. 선형 시스템은 다음과 같은 중첩의 원리를 만족하는 시스템이다.

T {αx1(t) + βx2(t)} = αy1(t) + βy2(t). (1.17)

(23)

박섭형

선형 시스템과 비선형 시스템

다음 그림에서 ya(t) = yb(t)이면 시스템T 는 선형 시불변 시스템이다.

α

β x₁(t)

x₂(t)

T ya(t)

x₁(t)

x₂(t) T

T α

β yb(t)

(a) (b)

그림 1.10: 선형 시스템을 블록도로 표현한 그림.

비선형 시스템 (nonlinear system)은 위 두 가지 조건 중에 어느 하나라도 만족하지 못하는 시스템을 말한다.

(24)

박섭형

선형성 판단 예

.예제 1.4 ..

...

다음 두 시스템이 선형인지 비선형인지 설명하라.

(1) y(t) = 3x(t) (2) y(t) = tx(t)

(1) y1(t) = 3x1(t), y2(t) = 3x2(t)라고 하자. 입력이 x(t) = αx1(t) + βx2(t)일 때의 출력을 y(t) 라 하면,

y(t) = 3x(t) = 3αx₁(t) + 3βx2(t) = αy1(t) + βy2(t)이므로 이 시스템은 선형이다.

(2) y1(t) = tx1(t), y2(t) = tx2(t)라고 하자. 입력이 x(t) = αx1(t) + βx2(t)일 때의 출력을 y(t) 라 하면,

y(t) = tx(t) = tαx₁(t) + tβx2(t) = αy1(t) + βy2(t)이므로 이 시스템은 선형이다.

(25)

박섭형

시변 시스템과 시불변 시스템

시불변 시스템 (time–invariant system): T0는 시간 지연

IfT {x(t)} = y(t), T {x(t − T0)} = y(t − T0) for all T0 (1.18)

x(t) T

T⁰지연

y(t) y(t − T⁰)

T0지연

x(t) x(t − T⁰) T T {x(t − T⁰)}

(a)

(b)

그림 1.11: 시불변 시스템을 블록도로 표현한 그림. 모든 T0에 대해서 T {x(t − T0)} = y(t − T0)를 만족하면 시스템T 는 시불변 시스템이다.

이 조건을 만족하지 않는 시스템을시변 시스템 (time–varying system)이라고 한다.

(26)

박섭형

시변성 판단

.예제 1.5 ..

...

다음 두 시스템이 시변인지 시불변인지 설명하라.

(1) y(t) = 3x(t) (2) y(t) = tx(t)

(1) y(t) = 3x(t)

(i) y1(t) = y(t− T0) = 3x(t− T0)

(ii) 입력이 x(t− T0)일 때의 출력을 y2(t)라 하자. y2(t) = 3x(t− T0) y1(t) = y2(t)이므로 시불변이다.

(2) y(t) = tx(t)

(i) y1(t) = y(t− T⁰) = (t− T⁰)x(t− T⁰) = tx(t− T⁰)− T⁰x(t− T⁰) (ii) 입력이 x(t− T⁰)일 때의 출력을 y2(t)라 하자. y2(t) = tx(t− T⁰) y1(t)̸= y2(t) 이므로 시변이다.

(27)

박섭형

인과 시스템과 비인과 시스템

출력 신호가 과거 시점의 입력, 현 시점의 입력, 그리고 과거 시점의 출력 신호에 의해서만 결정되고 미래의 입력 신호에는 전혀 영향을 받지 않는 시스템을인과 시스템 (causal system)이라고 하고, 그렇지 않은 시스템을비인과 시스템 (noncausal system)이라고 한다.

다음 두 식은 모두 3 점 이동 평균 필터의 입출력 관계식을 나타낸다.

y[n] =1

3{x[n] + x[n − 1] + x[n − 2]}, (1.19)

y[n] =1

3{x[n + 1] + x[n] + x[n − 1]}. (1.20) 위 두 식은 각각 인과 시스템과 비인과 시스템의 입출력 관계식이다.

(28)

박섭형

인과 시스템과 비인과 시스템

모든 실시간 시스템은 현재 시점에서 미래의 입력 신호를 알 수 없기 때문에 인과 시스템이다

이산시간 시스템 가운데에는 일정 시간의 출력 지연을 감수하는 비실시간 시스템이며 비인과 시스템이 많이 있다. 예 : , 휴대 전화에 사용되는 음성 코덱 (voice codec) 과 MPEG의 비디오 코덱과 오디오 코덱 등

인과 시스템

정적 (static) 시스템 : 메모리 소자가 없는 시스템이다. 즉 출력이 오로지 현 시점에서의 입력에만 관계가 있는 시스템이다. 예 - 반전 증폭기

동적 (dynamic) 시스템 : 시스템에 메모리 소자가 있어서 출력이 현 시스템에서의 입력뿐 아니라 과거의 입력에도 영향을 받는 시스템. 예 - 연산 증폭기와 커패시터로 구성된 저역통과 필터

(29)

박섭형

안정 시스템과 불안정 시스템

입력 신호의 크기가 특정 값을 넘어가지 않으면, 출력 신호의 크기도 또 다른 특정 값을 넘어가지 않는 시스템을 BIBO(bounded input bounded output) 안정 시스템이라고 한다.

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

If|x(t)| < ∞, then |y(t)| < ∞. (1.21) 위 조건을 만족하지 못하는 시스템을 BIBO 불안정 시스템이라고 한다.

(30)

박섭형

시스템의 분류 예

.예제 1.6 ..

...

입출력 사이의 관계식이 다음과 같이 주어지는 시스템을 분류하라.

y[n] =T {x[n]} = cos(πn)x[n]. (1.22)

(a) 기억/무기억 시스템 판단

시점 n 에서 출력이 시점 n 의 입력에 의해서만 결정되므로 무기억 시스템이다.

(b) 선형/비선형 시스템 판단

T {αx1[n] + βx2[n]} = cos(πn)(αx1[n] + βx2[n])

= α cos(πn)x1[n] + β cos(πn)x2[n]

= αT {x1[n]} + βT {x2[n]} 따라서 이 시스템은선형 시스템이다.

(31)

박섭형

시스템의 분류 예

(c) 시변/시불변 시스템 판단

T {x[n − n0]} = cos(πn)x[n − n0] = (−1)ⁿx[n− n0]

y[n− n0] = cos{π(n − n0)}x[n − n0] = (−1)ⁿ⁻ⁿ⁰x[n− n0] T {x[n − n0]} ̸= y[n − n0]이므로 이 시스템은시변 시스템이다.

(d) 인과/비인과 시스템 판단

출력 y[n] 이 오로지 x[n], 즉 현 시점에서의 입력에만 관계가 있으므로인과 시스템이다.

(e) BIBO 안정/불안정 시스템 판단 만약에|x[n]| < ∞라면,

|y[n]| = |T {x[n]}| = |cos(πn)x[n]|

≤ |cos(πn)| · |x[n]| ≤ |x[n]|

<∞.

따라서 이 시스템은BIBO 안정 시스템이다.

(32)

박섭형

시스템의 분류 예

.예제 1.7 (1.7) ..

...

입출력 사이의 관계식이 다음과 같이 주어지는 시스템을 분류하라.

y[n] =T {x[n]} = 2x[n] + 1. (1.23) (a) 기억/무기억 시스템 판단

시점 n 에서 출력이 시점 n 의 입력에 의해서만 결정되므로 무기억 시스템이다.

(b) 선형/비선형 시스템 판단

T {αx1[n] + βx2[n]} = 2(αx1[n] + βx2[n]) + 1

= 2αx1[n] + 2βx2[n] + 1

= α(2x1[n] + 1)− α + β(2x2[n] + 1)− β + 1

= αT {x1[n]} + βT {x2[n]} − α − β + 1

̸= αT {x1[n]} + βT {x2[n]}.

(33)

박섭형

시스템의 분류 예

(c) 시변/시불변 시스템 판단

T {x[n − n0]} = 2x[n − n0] + 1 y[n− n0] = 2x[n− n0] + 1.

T {x[n − n0]} = y[n − n0]이므로 이 시스템은시불변 시스템이다.

(d) 인과/비인과 시스템 판단

출력 y[n] 이 오로지 x[n], 즉 현 시점에서의 입력에만 관계가 있으므로 이 시스템은인과 시스템이다.

(e) 안정/불안정 시스템 판단 만약에|x[n]| < ∞라면,

|y[n]| = |T {x[n]}| = |2x[n] + 1|

≤ |2x[n]| + 1 ≤ 2 |x[n]| + 1

<∞.

따라서 이 시스템은BIBO 안정 시스템이다.

(34)

박섭형

선형 시불변 시스템의 입출력 관계식

이산 시간 LTI 시스템의 입력 x[n] 과 출력 y[n] 사이의 관계식은 다음과 같이 상계수 차분방정식(diﬀerence equation with constant coeﬃcients) 으로 표현된다.

a_[n− M] + aM−1y[n− M + 1] + · · · + a1y[n− 1] + aoy[n] = bNx[n− N] + bN−1y[n− N + 1] + · · · + b1x[n− 1] + box[n], 여기에서 an, n = 0,· · · , N, bm, m = 0,· · · , M은 상수이고, N은 이 시스템의 차수이다. 위 두 식에서 am이 상수가 아니라 시간에 따라서 변하는 값인 경우에는 이 두 시스템이 선형 시변 시스템이 된다.

(35)

박섭형

선형 시불변 시스템의 입출력 관계식

이 식에서도 출력은 외부 입력은 물론이고 시스템의 초기 조건에 따라서 달라진다. 따라서 차분 방정정식의 해를 정확하게 구하기 위해서는 반드시 다음과 같은 초기 조건을 알고 있어야 한다.

y[n0], y[n0− 1], · · · , y[n0− M], (1.24) 여기에서 n0는 초기 시점을 의미한다.

이 시스템의 출력 y[n] 도 시간 영역에서 직접 구할 수도 있고 z 변환을 이용해서 구할 수도 있다.

(36)

박섭형

선형 시불변 시스템의 입출력 관계식

연속 시간 LTI 시스템의 입력 x(t) 와 출력 y(t) 사이의 관계식은 다음과 같은 상계수 미분방정식(diﬀerential equation with constant coeﬃcients) 으로 표현된다.

aN

d⁽t)

dt + aN−1dⁿ⁻¹y(t)

dt +· · · + a1

dy(t)

dt + a0y(t) =

bM

d^Mx(t)

dt + b_M−1dⁿ⁻¹x(t)

dt +· · · + b1

dx(t)

dt + b0x(t), (1.25) 여기에서 an(n = 0,· · · , N), bm(m = 0,· · · , M)은 상수이고, N은 이 시스템의 차수 (order) 이다.

(37)

박섭형

선형 시불변 시스템의 입출력 관계식

이 식에서 출력은 외부 입력은 물론이고 시스템의 초기 조건에 따라서 달라지는데, 시스템의 초기 조건이란 주어진 초기 시점까지 누적된 시스템의 에너지라고 말할 수 있다. 주어진 미분 방정식의 해를 정확하게 구하기 위해서는 반드시 다음과 같은 초기 조건을 알고 있어야 한다.

y(t0),dy(t0)

dt ,· · · ,d⁽t0)

dt , (1.26)

여기에서 t0는 초기 시점을 의미한다.

이 시스템의 출력 y(t) 를 구하는 것은 x(t) 의 조건이 주어지는 미분 방정식의 해를 구하는 것과 있다. 시간 영역에서 출력 y(t) 를 직접 구할 수도 있지만 라플라스 변환을 이용해서 주파수 영역에서 해를 구하는 것이 쉽다.

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박섭형

Python을 이용한 정현파의 샘플링과 그리기

Python을 이용하여 다음과 같이 주어지는 정현파의 그래프를 그려 보자.

x(t) = 20 cos(2π(40)t− 0.4π). (1.27) Python을 이용하여 정현파를 그리는 방법은 샘플링을 이용하는 것이다. 위 식을 샘플링 간격 Ts로 샘플링하여 얻은 이산시간 신호 x[n] 은 다음과 같다.

x[n] = x(nTs) = 20 cos(80πnTs− 0.4π). (1.28)

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박섭형

Python을 이용한 정현파 샘플링과 그래프 그리기

from matplotlib.pylab import * Ts=0.005

tn = arange(0, 0.06+Ts, Ts)

xn = 20.*cos(2*pi*40 * tn - 0.4 * pi) subplot(221); plot(tn, xn)

subplot(223); stem(tn, xn, 'r')

title("Sampled cosine signal (Ts = 0.0005)") Ts=0.001

tn = arange(0, 0.06+Ts, Ts)

xn = 20.*cos(2*pi*40 * tn - 0.4 * pi) subplot(222); plot(tn, xn)

subplot(224); stem(tn, xn, 'r')

title("Sampled cosine signal (Ts = 0.001)") tight_layout()

show()

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박섭형

Python을 이용한 정현파의 샘플링과 그리기

그림 1.12: 샘플링을 이용해서 정현파를 그린 그림 비교.

샘플링 주기가 작을수록, 원래의 연속시간 신호와 유사한 신호를 그릴 수 있다.