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Ⅴ. 평면도형과 입체도형

청담초등학교 홍길동

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1. 다음 그림과 같이 밑면이 반원인 기둥의 겉넓이를 구하 여라.

① 45 π cm² ② ( 45π + 36) cm²

③ ( 45π + 72) cm² ④ ( 90π + 36) cm²

⑤ 90 π cm²

(답) ③

(풀이) (겉넓이)

= ( π ×3²)×1

2 ×2+

(

)

= 9π + 36π +7 2

= 45π +72( cm²)

2. 다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 5 cm 인 원뿔을 꼭짓점 O 를 중심으로 네 바퀴 돌렸더니 원뿔이 원래의 자리로 돌아왔다. 이 원뿔의 옆넓이는?

① 25 π cm² ② 50 π cm² ③ 100 π cm²

④ 150 π cm² ⑤ 200 π cm²

(답) ③

(풀이) [1단계] 원 O 의 둘레의 길이와 원뿔의 밑면인 원의 둘레의 길이 사이의 관계 파악하기

원뿔이 네 바퀴를 돌아 원래의 자리로 돌아왔으 므로 원 O 의 둘레의 길이는 원뿔의 밑면인 원 의 둘레의 길이의 4 배와 같다.

[2단계] 원뿔의 모선의 길이 구하기

원 O 의 반지름의 길이, 즉 원뿔의 모선의 길이를 l cm 라 하면

2 π l = ( 2 π ×5)×4 ∴ l = 20 [3단계] 원뿔의 옆넓이 구하기

따라서 원뿔의 옆넓이는 π ×5×20 = 100 π ( cm²)

3. 밑면의 지름이 6 cm 이고, 모선이 6 cm 인 원뿔의 겉넓 이는?

① 24 π cm² ② 27 π cm² ③ 32 π cm²

④ 35 π cm² ⑤ 38 π cm²

(답) ②

(풀이) (겉넓이) = ( 밑넓이) +( 옆 넓이)

= π r²+ π r l

= π ×3²+π×3×6

= 9 π +18 π

= 27 π ( cm²)

4. 다음 그림과 같은 평면도형을 직선 l 을 축으로 하여 1 회전시킬 때 생기는 입체도형의 겉넓이는?

① 12π cm² ② 16π cm² ③ 20π cm²

④ 24π cm² ⑤ 28π cm²

(답) ④

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(풀이) π×3×5+π×3²=24 π ( cm²)

5. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 2 cm 인 구의 1 8 을 잘라 낸 입체도형의 겉넓이는?

① 15 π cm² ② 17 π cm² ③ 19 π cm²

④ 21 π cm² ⑤ 23 π cm²

(답) ②

(풀이) (겉넓이)

= 7

8 ×( 4 π ×2²) +

(

)

= 14 π +3 π = 17 π ( cm²)

6. 합동인 두 삼각형을 밑면으로 하는 두 삼각기둥 A , B 의 높이의 비가 5 : 6 이다. 삼각기둥 B 의 부피가 294 cm³일 때, 삼각기둥 A 의 부피를 구하여라.

(답) 245 cm³

(풀이) 두 삼각기둥 A , B 의 밑넓이가 같고 높이의 비가 5 : 6 이므로 부피의 비도 5 : 6 이다.

A 의 부피를 x cm³라 하면 x : 294 = 5 : 6 ∴ x = 245

따라서 삼각기둥 A 의 부피는 245 cm³이다.

7. 다음 그림과 같은 직각삼각형 ABC 의 세 변의 길이는 각각 5 cm , 4 cm , 3 cm 이다. 변 BC 를 축으로 하여

1 회전시킬 때 생기는 입체도형의 부피는?

① 6 π cm³ ② 10 π cm³ ③ 12 π cm³

④ 14 π cm³ ⑤ 16 π cm³

(답) ③

(풀이) (부피) = 1

3 ×( π ×3²)×4 = 12 π ( cm³)

8. 다음 그림의 두 원뿔 A , B 의 부피를 각각 V₁, V₂라고 할 때, V₁ : V₂를 가장 간단한 정수의 비로 나타내면?

① 30 : 1 ② 32 : 3 ③ 33 : 4

④ 8 : 1 ⑤ 6 : 1

(답) ②

(풀이) V₁= 1

3 ×4²×8 =128

3 π ( cm³) V₂= 1

3 π×2²×3 = 4 π ( cm³)

∴ V₁ : V₂= 128

3 π : 4 π = 32 : 3

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9. 다음 그림과 같이 반구 안에 밑면이 정사각형이고 옆면 이 모두 합동인 사각뿔이 꼭 맞게 들어 있다. 사각뿔의 부피가 60 cm³일 때, 반구의 부피는?

① 60 π cm³ ② 70 π cm³ ③ 80 π cm³

④ 90 π cm³ ⑤ 100 π cm³

(답) ① (풀이)

반구의 반지름의 길이를 r cm 라 하면 사각뿔의 밑넓이는 1

2 ×2r ×2r = 2r²( cm²) 이고 높이는 r cm 이므로

(사각뿔의 부피) = 1

3 ×2r ²×r = 60( cm³)

∴ 2

3 r³= 60

∴ (반구의 부피) = 1 2 ×4

3 π r ³= 2 3 π r ³

= 60 π ( cm³)

10. 다음 그림에서 부채꼴 AOB 의 어두운 부분을 선분 AO 를 중심으로 회전시켰을 때 만들어지는 회전체의 부피는?

① 72 π cm³ ② 108 π cm³ ③ 120 π cm³

④ 144 π cm³ ⑤ 288 π cm³

(답) ②

(풀이) (회전체의 부피)

=(반지름의 길이가 6 cm 인 반구의 부피) -(반지름의 길이가 3 cm 인 구의 부피)

= 1 2 × 4

3 π ×6³- 4 3 π ×3³

= 144 π - 36 π = 108 π ( cm³)