수학 교수학적 상 황론
황론
1. 교수학적 변환론의 이해
2. 수학적 지식의 교수학적 변환 1 ) 교수학적 변환
차 례
1 ) 교수학적 변환
2) 극단적인 수학 교수현상 3. 수학의 인식론적 장애
4. 교수학적 상황
5. 교수학적 계약
1.
1.교수학적교수학적 변환론의변환론의 이해이해
․쉐발라드(Chevallard)에 의해 주장된 수학교육 이론
교육내용으로 선정되어 재조직된 지식 교육 내용으로
재구성되기 이 전의 지식
교육이 이루 어진 후에 학
습자에게 구
가르치기 위한 형태로의 변환 과정
학문적 지식 (수학자)
가르칠 지식
(교과서 저자, 교사)
학습된 지식 (학생)
재조직된 지식 전의 지식
성된 지식 습자에게 구
성된 지식
★
★ 교수학적 교수학적 변환론의 변환론의 핵심적인 핵심적인 문제 문제
① 교수 체계는 이원적 관계가 아니라 삼원적 관계: 교사, 학생, 지 식(교사와 학생의 이원적 관계는 교육 현상을 완전하게 설명하 지 못함)
② 지식의 파손성: 가르치려는 의도에 따라 지식이 변형될 때 지식 의 의미가 상당히 손상될 수 있음
1.
1.교수학적교수학적 변환론의변환론의 이해이해
의 의미가 상당히 손상될 수 있음
2.
2. 교수학적 교수학적 변환의 변환의 예 예
‘
‘삼각형의 내각의 합은 180°이다.’
유클리드 원론의 제5공준(평행선 공준)이 필요하지만,
중학생들에게‘공준’의 의미를 설명하는 것은 학생들의 인지 수준에서 가능하지 않다. 따라서, ‘삼각자라는 구체물을 이용하여 설명을 한다.’
∴
∴위의 위의 예를 예를 교수학적 변환 이라고 함
• 교수학적 변환의 예
1.
1.교수학적교수학적 변환론의변환론의 이해이해
1.
1.교수학적교수학적 변환론의변환론의 이해이해
교과서
지식의 교수학적 변환의 구체적인 모습을 알아볼 수 있는 전형적인 자료로서 교과서에서의 수학적 지식의 교수학적 변환은 학생의 사 고와 실제적인 상황을 고려한 의사 개인화와 의사 문맥화의 결과
교사
1.
1.교수학적교수학적 변환론의변환론의 이해이해
교사
• 수학자의 활동처럼 수학적 지식이 등장하게 되는 실제적인 상황을 연 구하고 학생에 맞게 제시. 학생들은 그러한 상황 속에서 탈개인화, 탈 문맥화된 형식적인 지식을 개인화, 문맥화하여 활성화시킴으로써 의미 를 파악해야 함
• 교사는 학생을 위해 지식을 재문맥화, 재개인화 해야 함
• 수업에서 수학자의 소사회(microsociety)를 흉내내어 문제 상황 속에서 가르치고자 하는 지식을 재발견하는 기회를 제공해야 함.
• 학생들은 발견한 지식을 다시 탈맥락화, 탈개인화 하여 수학사회에서 통용되고 있는 지식으로 재구성해야 함
• 원론
– 정의, 공리, 공준을 기 본 전제
• 교과서
– 정의, 공리, 공준을 직 관이나 상식에 의존하
1.
1.교수학적교수학적 변환론의변환론의 이해이해
본 전제
– 공준을 전제로 명제를 증명
– 전반적 조직화(프로이 덴탈)
여 도입
– 직관적 설명으로 참임 을 정당화
– 참인 명제를 근거로 새 로운 명제를 연역
– 국소적 조직화
교수학적 변환
<교수학적 변환(didactic transposition): Chevallard>
의사개인화, 의사 문맥화
학문적 지식 가르칠 지식
2.
2. 수학적수학적 지식의지식의 교수학적교수학적 변변 환
환
학문적 지식 가르칠 지식
탈개인화, 탈문맥화
<수학 지식의 교수학적 변환의 주체 – 교육과정개발자, 교과서 저 자, 교사>
cf. 가르친 내용이 목표로 하는 지식을 알게 하는데 실패하는 것은 가르치고자 하는 지식의 적절한 교수학적 변환에 실패했기 때문이기도 하므로 그 과정은 주의 깊게 진행되어야 함
• 지식의 변형 과정
– 개인화/배경화 : 특정한 배경 속에서 개인적인 방법 으로 지식을 이해. 주체가 스스로에게 행하는 인식론 적 투자, 지식을 인지하고 조직하는 개인적 방법. 개
2.
2. 수학적수학적 지식의지식의 교수학적교수학적 변변 환
환
적 투자, 지식을 인지하고 조직하는 개인적 방법. 개 인에게 의미있는 지식이 형성되는 과정
– 탈개인화/탈배경화 : 지식이 표현되고 전달되기 위
해 사고 과정이나 배경을 숨기고 인식한 지식을 형식
적으로 표현. 방만하게 확장된 지식이 형식적으로 안
정된 형태로 정돈되는 과정
정돈된 지식의 표현 과정
2.
2. 수학적수학적 지식의지식의 교수학적교수학적 변변 환
환
개인화 / 배경
화 탈개인화 /탈 배경
화
지
개개인 나름대로의 지식 이해 과정
지 지
지 식 식
학습자에게서의 지식 변형 과정
• 수학 수업에서
– 개인화/배경화 : ‘형식적 수학 지식’이라는 뼈 대 위에 살을 입혀서 수학 지식의 맥락과 의미를 보다 풍부하게 하는 것
2.
2. 수학적수학적 지식의지식의 교수학적교수학적 변변 환
환
– 탈개인화/탈배경화 : 여러 가지 맥락과 개인적 의미를 제거함으로써 개인화/배경화된 지식을 형 식적인 수학적 지식으로 이해하는 것
– 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분한다
– 명제의 역
개인화/배경화 탈개인화/탈배경화
수학 지식에 대한 최초의 사고자 는 그 자신의 특정한 배경 속에서 개인적인 방법으로 지식을 이해 한다. 이 단계의 지식은 개인화되
특정한 수학 지식에 대한 최초의 사고자는 자신이 그 지식을 이해 하는데 기여한 개인적 사고 과정 이나 배경을 숨기면서, 자신이 인
2.
2. 수학적수학적 지식의지식의 교수학적교수학적 변변 환
환
한다. 이 단계의 지식은 개인화되 고 배경화된 것
이나 배경을 숨기면서, 자신이 인 식한 지식을 형식적으로 표현 개인에게 의미 있는 지식
형성되는 과정
방만하게 확장된 지식이 형식적으 로 안정된 형태로 정돈
수학적 지식의 이면에 들어 있는 아이디어를 살려내어 다루는 것
이면의 아이디어를 살려낸 지식을 구조적으로 정돈
극단적인 수학 교수현상
- 지식은 전달이 거듭되면서 표현형식과 이미지가 변질되기 쉬움. 따라서, 의미를 지속시키기 위해 지식에 대한 인식론적 경각심이 요구됨.
2.
2. 수학적수학적 지식의지식의 교수학적교수학적 변변 환
환
경각심이 요구됨.
- 교과서 저자나 교사에 의한 수학적 지식의 교수학적 변환 가 운데 의사 개인화, 의사 문맥화 혹은 탈개인화, 탈문맥화를 과도하게 강조하였거나 경시하는 데에서 비롯되는 극단적인 현상이 나타날 수 있음.
<토파즈 효과(Topaze effect)>
교사가 가르쳐야 한다는 ‘교수학적 계약’의 압박 때문에
풀이에 대한 명백한 힌트를 주거나 유도질문을 하거나 문제와 함께 해답을 제시함으로써 학생들이 지식을 구성하는 것을 방 해하거나 그러한 학습 환경을 일소하게 되는 것
극단적인
극단적인 수학 수학 교수 교수 현상 현상
해하거나 그러한 학습 환경을 일소하게 되는 것
탈배경화 / 탈개인화 간과
ex) 교사의 유도 질문 – 학생은 교사가 원하는 대답을 하게 되지만, 그 진정한 의미를 이해하지는 못함
⇒
⇒ 과도한 과도한 힌트 힌트 제공 제공, , 정답 정답 제공 제공
<주르뎅 효과 (Jourdain effect)>
학생과 가르치고자 하는 지식에 대해 토론하기도 어렵고 그렇 다고 가르칠 수 없다는 것을 인정하기도 어려운 상황에서 학 생의 행동이나 대답이 사실은 평범한 단서나 의미로 야기된 것임에도 불구하고 교사는 학생의 그러한 반응을 어떤 수학적
극단적인
극단적인 수학수학 교수교수 현상현상
것임에도 불구하고 교사는 학생의 그러한 반응을 어떤 수학적 지식이 형성되었음을 보여주고 있다고 인정해버리는 것
탈배경화 / 탈개인화 과대 평가
지나친 의미 부여
ex) 작은 요구르트 병이나 색칠한 그림들에 약간 기이한 조작을 수행한 아동 에게, “너는 방금 클라인 군(Klein group)을 발견했어” 라고 말해준다 ex) 1960년대 ‘새수학’
학생들은 단지 계산 문제를 다루고 있는데 교사는 그 안에서 학생들이
극단적인
극단적인 수학수학 교수교수 현상현상
구조를 발견하고 구조를 파악했다고 규정하는 현상
교육학자나 수학자의 철학적이며 과학적인 정당화가 교사들의 평상적인 교육실천에 부과되어 특별하지도 않는 수업을 교육학적으로 수학적으로 신성하게 만든 경우
⇒
⇒ 과대 과대 평가 평가, , 인정 인정
<메타 인지적 이동 (metacognitive shift)>
진정한 수학적 지식을 가르치기 어려운 경우 교수학적 고안물 이나 발견적 수단 자체를 지도의 목적으로 삼게 되는데 이 때, 교사의 교수학적 노력의 초점이 수학적 관찰목적에 알맞은 현
극단적인
극단적인 수학수학 교수교수 현상현상
교사의 교수학적 노력의 초점이 수학적 관찰목적에 알맞은 현 상을 포착하기 어려울 때도 있음.
개인화 / 배경화를 지나치게 강조한 결과
ex) 1960년대 Papy의 화살표 도해 (시각화한 아름다운 색을 넣음) 집합 {1,2,3,4,5,6} 에서 ‘a는 b의 약수이다’ 라는 관계를 나타 낸 그래프는 기대했던 역할도 해주지 못했을 뿐만 아니라 가르 치는데 어려움만 유발
극단적인
극단적인 수학수학 교수교수 현상현상
ex) 음수 지도 시 사용되는 셈돌놀이에서 학생들이 셈돌의 조작 만을 연습하게 됨
⇒ 교구활동, 컴퓨터
<형식적 고착(formal abidance)>
‘메타인지적 이동’ 과 반대로 지식의 전달에서 개인화, 배경화 의 중요성을 과소 평가하여 이를 간과하고 논리적, 형식적으로 표현된 수학적 지식을 곧바로 제시하는 현상.
극단적인
극단적인 수학수학 교수교수 현상현상
표현된 수학적 지식을 곧바로 제시하는 현상.
귀납적 탐구 활동과 다양한 사고 실험의 결과로 형성된 수학 지 식의 본질을 이해하는 데 장애
ex) 수학적 지식을 공리적으로 전개하는 것
구조화되고 간결한 형태의 판서와 반복적인 설명을 통해 지식을 전달
