문제해결
문제해결 전략 전략 문제해결
문제해결 전략 전략
문제해결 전략
• 문제해결 전략
:
문제해결에 도움이 되는 일반적인 절차나 해법의 단서가 되는 생각, 발견의 실마리를 얻도록 하는 방법 등의 사고 전략• 대표적인 문제해결 전략
• 대표적인 문제해결 전략
:
예상과 확인, 표 만들기, 그림 그리기, 식 세우기, 규칙성 찾기, 거꾸로 풀기, 단순화하기, 특수화하기, 유추하기, 목록 만들기, 간접 증명법 등• 문제의 답을 미리 예상 해 보고 그 답이 문제의 조건에 맞는지 확인해 보는 과정은 반복하여 문제 해결
– 문제에서 구하고자 하는
예상과 확인
– 문제에서 구하고자 하는 답을 예상한다
– 예상의 결과가 문제의 조건에 맞는지 확인한다 – 조건에 맞지 않으면 새
로운 예상을 한다
– 옳은 답이 나올 때까지 이 과정을 계속한다
• 둘레의 길이가 모두 같은 사각형 중에서
넓이가 최대인 사각형을 찾아라.
• 문제 해결 방법을 모색하기 위한 보조전략으로 문 제를 쉽게 이해할 수 있음
• 예) 어느 중학교 학생 수가 500명이다. 남학생이 여학생보다 200명이 더 많다고 한다. 남학생의 수 학 평균 점수가 65점이고 전체 평균 점수는 66.5
표 만들기
학 평균 점수가 65점이고 전체 평균 점수는 66.5 라고 할 때, 여학생의 평균 점수는?
• 어느 학교 학생 수는 작년에 비하여 남자
는 15% 늘고 여자는 10% 줄었다. 전체 학
생 수는 20명이 늘어나서 620명이 되었다
고 한다. 올해의 남학생, 여학생 수를 각각
고 한다. 올해의 남학생, 여학생 수를 각각
구하여라.
• 문제를 전체적으로 이해하기 쉽고 정확하게 그릴 경우 답이 어떻게 되는지 알 수 있음
• 예) 가운데가 비어 있지 않은 두루마리 휴지의 지름이 6cm이고 휴지가 300번 감겨 있을 때 이 휴지의 길이는
그림 그리기
6cm이고 휴지가 300번 감겨 있을 때 이 휴지의 길이는 약 몇 m인가?
• 일차방정식 3x+12=5x+6을 그림으로 해결하기
• 연립방정식 그림으로 풀기
– 2x+3y=27 – 2x+3y=27 – 5x+8y=69
• A에서 B가지 가는 데 1분에 50m씩 가면 1분에
30m씩 가는 것보다 40분이 더 적게 걸린다고 한
다. 두 지역의 거리를 구하여라.
• 가장 보편적 전략, 거의 모든 수학문제에서 수반되는 문제해결 전략
• 예) 6%의 설탕물과 9%의 설탕물을 적당히 섞어서 8%의 설탕물 300g을 만들려고 한다. 이 때, 6%와
식 세우기
8%의 설탕물 300g을 만들려고 한다. 이 때, 6%와 9%의 설탕물을 각각 몇 g 넣어야 하는가?
• 어떤 질병 치료제가 환자들에게 투여되면 매월 환자 수를 10%씩 줄일 수 있다. 이
치료제를 투여한 지 n개월 후의 환자 수가
처음 환자 수의 5% 이하가 되었을 때, 자
처음 환자 수의 5% 이하가 되었을 때, 자
연수 n을 구하시오.
• 주어진 조건이나 관계를 분석하여 규칙성을 찾아내고 확대하여 적용하는 전략
• 예) 선희는 생일 파티에 친구 8명을 초대하였다. 선희 를 포함한 9명의 어린이가 서로 악수를 한다면 모두 몇
규칙성 찾기
를 포함한 9명의 어린이가 서로 악수를 한다면 모두 몇 번의 악수가 이루어지겠는가?
• 결론에서 출발하여 가 정으로 사고를 진행시 키는 전략
거꾸로 풀기
• 철수는 책을 여러 권 가지고 있다. 갑에게 6권과 남은 책 의 ½을, 다음으로 을에게는 4권과 남은 책의 ¼을, 마지 막으로 병에게는 3권과 남은 책의 1/3을 빌려주었더니 8 권이 남았다. 철수는 처음에 몇 권의 책을 가지고 있었는 가?
가?
• 4l들이 양동이와 9l들이 양동이를 이용하여 강에 있는 물 을 길어 6l들이 물을 만들어라.
• 복잡한 상황에서 변수 를 줄이거나 단순하게 상황으로 바꾸어 푸는 전략
단순화하기
• 구하려는 대상에 포함되는 특수한 대상을 선택하여 고찰 을 통해 해결하는 전략
• 예) 한 변의 길이가 10cm로 합동인 두 정사각형이 있다.
한 정사각형의 한 꼭짓점이 다른 정사각형의 중심에 있
특수화하기
한 정사각형의 한 꼭짓점이 다른 정사각형의 중심에 있 을 때, 겹쳐진 부분의 넓이를 구하여라.
• 2이상인 자연수 n으로 나누었을 때, 몫과 나머지
가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 a
n이라 하
자. a
n>500을 만족시키는 자연수 n의 최솟값을
구하여라.
• 제시된 문제를 해결할 때 보 다 단순하고 유사한 문제의 풀이 방법이나 그 결과를 이 용하여 원래의 문제를 해결 하는 데 도움을 받음
유추하기
하는 데 도움을 받음
• 일반화
– 문제 해결 시 일반적인 형태를 생각하며 풀이
– 관찰된 특수한 몇 가지 사례에서 어떤 유사성에 주목
• Polya가 강조하는 매우 유용한 사고 전략:
일반화하기
• Polya가 강조하는 매우 유용한 사고 전략:
수학적 발견과 문제 해결을 위한 매우 강력한 사고 전략
• 간접증명법
– 귀류법: 결론을 부정하여 부정된 결론으로부터 가정과 모순되 는 사실을 유도함으로써 결론이 참임을 보임
– 분할법: 가능한 경우를 여러 개로 나누어 그 일부가 모순이 됨
간접증명법
– 분할법: 가능한 경우를 여러 개로 나누어 그 일부가 모순이 됨 을 보이고 그 외의 것은 참임을 보임
– 동일법: 어떤 조건을 만족하는 대상이 두 개 있다고 가정하고 그로부터 그 두 대상이 같게 됨을 보이는 방법
• Polya의 현대적 발견술은 문제해결을 지도하는 교수법으 로서의 대화법인 동시에 수학적으로 사고하는 방법으로서 의 자신과의 대화술이다.
• 학습은 모방과 실행을 통해 이루어져야 한다. 즉, 스스로 문제를 풀려고 애쓰면서 다른 사람들이 문제를 풀 때 하는 것을 관찰하고 모방해 봄으로써 문제를 해결하는 수학적
문제해결 지도상의 유의 점
것을 관찰하고 모방해 봄으로써 문제를 해결하는 수학적 사고방법을 터득해야 한다.
• 이를 위해
– 교사는 학생들의 지적 수준에 알맞은(너무 어렵지도 쉽지도 않은) 자연스럽고 흥미로우면서 지적인 호기심을 자극하여 도전 의욕을 일으킬 수 있는 문제를 제공하고,
– 모방과 실천의 기회를 풍부하게 제공해주며, 독립적인 사고 의 기회를 남겨주어야 한다.
– 교사 스스로 발견의 경험이 반드시 필요함.
