수학화
수학화 교수 교수 ·· 학습론 학습론
• 직관주의 수리철학적 입장
• 수학적 지식은 가공되고 변형되는 역동적 과정 - 수학사
• 인간활동으로서의 ‘현실주의적 수학교육’의 이념 구현
• 교수학적 현상학을 바탕
프로이덴탈 수학화 교수·학습 론
• 교수학적 현상학을 바탕
- 본질과 현상의 관계에서 교수학적 요소를 강조하는 것 - 본질을 현상과 관련하여 기술하고 교수학적으로 적용한
것
• 수학적 활동의 본질적인 특징 => 수학화 활동
목차
1. 수학화 과정
2. 수학화 교수 학습의 원리
3. 교수 학습의 실제 예
1. 수학화(mathematization) 과정
1) 수학화는 현상을 본질로 조직하는 과정. 수학적 수단에 의해 현실의 경험을 조직하거나 수학적 경험을 체계화시켜 나가는 것
2) 현상과 본질의 교대 작용에 의해 수준 상승이 이루어지는 불연속적인 과정
3) 학생들이 학습해야 하는 수학은 수학화 활동으로서의 실행수학 4) Treffers: 수평적 수학화와 수직적 수학화가 교대로 일어남
수평적 수학화 : 현실 세계 → 수학적인 세계
수직적 수학화 : 수학적인 세계 → 좀 더 추상적인 수학적인 세계
수평적 수학화 (horizontal mathematization)
• 문제의 상황을 수학 개념을 이용하여 수학적으로 표현하는 것
– 일반적인 문맥에서 구체적인 수학을 인식하기(Identifying the specific mathematics in a general context).
– 도식화하기(Schematizing).
– 문제를 형식화하고 시각화하기(Formulating and visualizing the problem).
– 문제를 형식화하고 시각화하기(Formulating and visualizing the problem).
– 관계와 규칙성을 발견하기(Discovering relations and regularities).
– 여러 가지 문제사이의 동질성을 발견하기(Recognizing similarities in different problems) (de Lange, 1987).
수직적 수학화
(vertical mathematization)• 수학으로 변환된 현실세계의 문제를 수학적으로 더 세련화하는 과정
– 관계를 식으로 인식하기(Representing a relation in a formula).
– 규칙성을 증명하기(Proving regularities).
– 모델을 세련시키고 조정하기(Refining and adjusting models).
–
– 여러 가지 모델을 결합하고 통합하기(Combining and integrating models).
– 일반화하기(Generalizing).
수학화의 예
• 수 개념
– 셈하기로부터 자연수, 분배 문제로부터 유리 수, 방정식의 해결에서 복소수, 물리적 현상을 표상하기 위하여 사원수의 조직
표상하기 위하여 사원수의 조직
수학화 활동 경험의 중요성
인간 활동으로서의 수학
1) 폴리아 : 발생 상태로서의 수학 2) 라카토스 : 비형식적 수학
3) 프로이덴탈 : 실행수학 3) 프로이덴탈 : 실행수학
기성수학에 대한 프로이덴탈의 견해
1) 수학의 연역적인 체계만을 중시하고 그것을 초등화하여 지 도하는 것을 반교수학적 전도라 비판
2) 수학의 형식화는 처음이 아니라 나중에 이루어짐을 강조
기성수학과 실행수학
• 기성수학은 수학적 활동의 결과에, 실행수학은 수학화 활동에 초점을 둠
• 학생들이 학습해야 하는 수학은 수학화 활동으로서의 실행 수 학임
기성 수학 실행 수학
• 결과만을 중요시
• 수학을 이미 만들어진 산물, 그 자체로 생각할 때의 수학으 로 생각
• 수학을 유클리드 기하처럼 연 역적 체계로 기술
• 수학 그 자체를 인간의 활동으로 볼 때의 수학
• 수학자에 의해 이전에 이미 발명 이 된 수학을 발명되던 그 방식 그 대로 학생들이 재발명해야 한다.
올바른 교수법
1) 학생들이 스스로의 활동을 통해 수학화 과정을 직접 경험하여 수학 의 본질적 측면을 체험할 수 있도록 해야 함
⇒ 수학 학습의 출발점은 구체적인 학생의 현실이어야 함
2) 발전적 조작 가능성의 강조 : 수학은 관계가 풍부한 현실에서 발생해 2) 발전적 조작 가능성의 강조 : 수학은 관계가 풍부한 현실에서 발생해 야 개인적으로나 역사적으로나 그것들이 창조된 후에 적용가능하고 다음의 재창조를 위한 기반이 됨
새수학의 실패 원인
1) 수학의 완성된 지식을 지나치게 강조. 수학화 과정을 고려하지 않음 2) 학생들에게 지식의 단편적이고 피상적인 표층만을 제공함으로써 학
습자에게 내면화되지 못함
수학화 과정
①
직관적으로 탐구하는 단계 –문제의 수학적 측면들을 알아내 고 규칙성을 발견하는 것② 수평적 수학화의 단계 -학생:학생, 학생:교사 상호작용, 학생 들의 형식화 ∙추상화능력에 의존해 현실에서 수학적 개념을 추출 들의 형식화 ∙추상화능력에 의존해 현실에서 수학적 개념을 추출
③ 수직적 수학화의 단계 - 형식화 ∙추상화.예상되고 결과적으로 발생되는 수학적 개념에 대한 기술과 엄격하고 형식적인 정의
④ 응용적 수학화의 단계 –개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고 일반화.
⇒ 학생들 스스로 활동할 기회를 제공하는 것이 우선되어야 함
수학화 과정
수평적 수학 피드백 화
수학화
수직적 수학 응용적 수학 화
화
2. 수학화 교수 · 학습의 원리
1. 안내된 재발명
1) 안내된 재발명이란? : 아동의 현실을 출발점으로 해서 이미 발명된 수학을 아동 스스로 개선된 방법에 의해서 재창조해 나가는 것 2) 역사-발생적 원리
2) 역사-발생적 원리
① 역사적 방법 : 내용의 지도 순서를 인류에 의해 발견되었던 순서 대로 정해야 한다는 것
② 발생적 원리 : 수학적 개념을 발생되는 것으로 보고 그 발생을 수 업 과정에 재실행 하는 것
3) 재발명 방법을 위해서는 사고실험이 중요
4) 교사의 역할: 수학화 과정을 재발명하도록 도와주어야 함
2. 반성적 사고
1) 수학적 사고 수준 : 바닥수준과 탐구수준
① 바닥 수준으로부터의 점진적인 수학화를 주장
② 학생의 학습 과정에서 바닥 수준의 활동은 필수적. 예비수학적 활동 2) 수학화 과정에서 수준의 상승을 가능하게 하는 정신적 활동 => 반성적
사고
3) 반성적 사고를 통한 학습
반성적 사고를 통해 학습자로 하여금 자신의 사고와 행동에 대해 당연하 다고 생각했던 부분에 의문을 제기하게 함으로써, 학습자 자신의 사고와 행동을 의식하고 확실성을 추구하는 수학적 태도를 길러주는 것이 중요.
3. 현실과 결부된 수학
1) 학생들에게 제공되는 현실 : 수학적으로 가공되지 않은 원재료로서 의 원초적인 현실이어야 함
2) 수학화를 통한 수학 학습 지도
① 학생들의 적극적인 활동을 통해 원초적 현실에서 수학적 본질을 찾고 형식화해 나감으로써 현실과의 밀접한 관계가 유지되도록 해야 함
② 현실 세계 → 수학화 과정 → 현실세계 응용
3) 문제 제기, 모델링하기, 조건이 완전하지 않은 문제의 가설 검증, 분 명하지 않은 문제 단계를 정교화하기, 문제의 맥락 이해하기 등 제 공
Mental object 본질 안내된 재발명
현상
사고실험
<교수학적 측면에서의 수학화>
3. 수학화 교수․학습의 예
1. 올바른 기하 지도
1) 바닥 수준의 활동을 통한 도형의 시각적 특성에 대한 탐색 2) 조직화의 필요성이 생기면서 연역이 드러남
3) 정의를 도입 3) 정의를 도입
4) 증명을 통해 여러 성질들을 관련지음
⇒ 프로이덴탈은 연역적 방식(증명)을 현상으로 나타나는 도형의 여러 성질들을 조직하기 위한 수단으로 봄
⇒ 학생들이 기하를 활동으로 경험하고 기하를 재발명하도록 해야 함
2. 기하 재발명의 중심적인 활동
1) 국소적 조직화 : 학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되 는 사실, 즉 학습자의 실제로부터 시작해서 부분적으로 조직화하 는 것.전문적인 수학자의 활동임
cf) 전반적 조직화 : 기하의 전체 영역을 정의와 공리로부터 출발 하는 공리 체계로 조직하는 것
하는 공리 체계로 조직하는 것
2) 국소적 조직화 경험을 통해 조직화의 수단으로서의 증명의 필요성 을 인식하고 증명의 의미를 이해하게 하는 활동이 이루어져야 함
평행사변형을 정의하는 학습-지도 과정
• 평행사변형의 모형을 이용하여 그 여러 가지 성질을 시각적으로 발견하고, 학급에서 논의를 거쳐 이를 열거할 수 있다. 또 그들 사이의 논리적 연관성을 자연스럽게 알게 되고, 이들은 서로 관 련되며 이 가운데 하나는 다른 것이 나오는 근원이 될 수 있으며, 여기서 평행사변형의 정의가 발생됨
• 평행사변형의 여러 가지 모형을 만들어 봄으로써 마름모, 직사각 형, 정사각형이 평행사변형인 이유가 분명해짐
⇒ 학생들은 이러한 과정을 통하여 정의는 기술 이상이며, 대상의 성질을 연역적으로 조직하는 수단임을 경험을 통해 알게 됨, 정 의는 미리 생각되는 것이 아니라 조직화 활동의 마무리 작업이 며, 이러한 특권을 아동들에게서 빼앗아서는 안 된다.
수직선 위에서 두 수 a, b의 중점을 구하 는 문제
(1) 수직선상의 10과 34의 중점을 구해본다.
-아이들은 양쪽에서 한 칸씩(마주 향해) 움직여서 근사 후, 중점 22를 찾는다.
(2) 앞의 활동을 통해 두 수 a,b(a<b) 사이의 중점은 상대 쪽을 향하여 일정하게 움직일 때 만나 는 점임을 알게 된다.
(3) 중점의 좌표는 그 점을 간단히 구하는 방법은 두 수의 차의 반을 작은 수(a)에 더하는 것과 같음을 알아낸다.
(b-a) a + 2
(4) 즉, a,b의 중점의 좌표는
a+(b-a)/2 = (a+b)/2 임을 알아낸다.
(또 다른 방법) 두 수가 일정하게 서로 멀어지면서 움직이면 중점은 변하지 않는다. 작은 수가 원점까지 이동하면 큰 수는
a+b 까지 이동하므로 중점은 (a+b)/2 이다.
⇒ 위의 과정을 통해 관계를 직관적으로 발견하고 이를 점진적으로 수학화 과정을 거쳐 지도해 야 한다
a M b
O a b a+b
a+b 2
M
도형의 성질을 논리적인 관계로 조직하는 국소적 조 직화의 예
정리 : 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.
- 현행 : 삼각형의 두 변의 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 수직이등분선임 을 삼각형의 합동을 이용하여 형식적으로 증명
Freudenthal의 증명 : 삼각형 ABC에서 AB , BC의 수직이등분선을 그리고, 그 교점을 M이라 하자.
점 M은 AB의 수직이등분선 위에 있으므로 MA=MB이다.
점 M은 BC의 수직이등분선 위에 있으므로 MB=MC이다.
그러므로 MA=MC이다.
따라서 점 M은 AC의 수직이등분선 위에 있다.
따라서 점 M은 AC의 수직이등분선 위에 있다.
㉠ ‘점 M은 수직이등분선 위에 있으므로 같은 거리에 있다’는 성질과 ‘점 M은 같은 거리에 있으므로 수 직이등분선 위에 있다’는 성질, 곧 역과 필요충분조건이란 논리가 처음으로 직관적으로 자명하게 등장
㉡ 추이성과 그 생산성을 이해하는 첫 번째 예
㉢ 대칭적인 명제를 비대칭적인 방법으로 접근하여 증명하는 고등수학 수준까지 유용한 방법론적 패러 다임의 첫 번째 예 A
c B
M
