수학적
수학적 모델링 모델링 수학적
수학적 모델링 모델링
• 문제해결을 학습하기
• 문제 해결을 위해 수학을 학습하기
– 실생활 문제를 해결하기 위하여 수학을 이용하기: 실생활 문제
수학 문제 결과 해석 실생활에 적용
수학 문제 결과 해석 실생활에 적용
• 문제해결을 통해 수학을 학습하기
– 실생활 문제를 해결하기 위해 수학 모델/개념을 만들기
• 특징
– 현상에 관한 문제를 해결하기 위해 원래 상황을 수학적으로 표현하고 번안하는 수학화를 중시
– 전이를 쉽게 일어나게 함
– 다른 과목 또는 일상생활과 수학의 연결성을 강조
수학적 모델링
• 과정(NCTM, 1991):
비수학적인 실제의 문제상황을 수학화의 과정을 거쳐 문제의 답을 얻어 내는 과정
실세계 현상 → 수학적 모델
관찰, 해석, 형식화
적용↑ ↓분석
결론, 판단 ← 수학적 결론
해석
• NCTM(1991) 수학적 모델링
– 실세계의 여러 현상을 수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동 – 문제를 해결하기 위해 여러 가지 수학적 표현으로 변환하면서 현상에 내
재된 수학적 개념을 파악하고 문제를 해결하여 실세계의 문제 상황에 적 용할 수 있도록 조장하는 활동
수학적 모델링
• 수학적 모델링을 통해
– 새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다
– 실생활 또는 다른 교과에서의 수학의 응용과 모델링의 실제를 이해 – 창의적 사고와 문제해결 태도, 활동, 능력을 기른다
– 수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과와 연결된 맥락을 비판적이고 합 리적으로 사고하려는 태도를 기른다
– 수학이 인간 활동의 결과로 만들어진 것임을 이해한다.
• 수학적 모델 : 문제 상황을 수학적으로 묘사한 것으로, 외 적 표현의 형식을 가지고 있으며 상황에 따라 해석될 수 있는 수학적 개념
• 학생들의 역할
수학적 모델링
• 학생들의 역할
– 조건과 목적을 해석하기 위해 유용한 방법 및 개념 체계를 개발 – 전통적인 문제해결에서 교사나 문제가 생략해 주었던 부적절한
정보를 직접 걸러내고 분류하며 가능한 결과를 검증하고 교정 – 문제 상황과 관련된 해석, 설명, 예측, 서술 과정에서 추론
– 자신이 알고 있는 지식과 정보를 적용하여 실제 상황에 비추어 수학적 모델을 해석하고, 수학적 모델을 문제 상황으로 해석
<그림> 모델링 사이클
모델-도출 모델-탐색 모델-개작
목표한 개념체계 모델링 활동에서
고려해야 하는 양
수학적 모델링의 절차
목표한 개념체계 이해를 위한 표현 체계 탐색, 개발
언어와 표현체계 를 개발하는 단계
모델링 활동에서 개발된 개념체계 를 사용하는 것이 목적
실제 문제를 만들 어 개발한 모델을 개작한 활동/새로 운 모델링 단계로 의 진입
고려해야 하는 양 과 양적 관계 고려
문제상황에 적합 한 개념 모델 도출
학생 스스로 모델 을 도출하도록 토 론, 발문 제시
<그림 Ⅳ-1> 수학적 모델링을 적용한 수업 모형
지난 6월 5일 아침, 밤새 비가 내린 후 놀이터를 찾은 아이들이 놀이터에 찍혀있는 발자국 하나를 발견했다는 제보전화가 걸려왔다. 밤새 내린 비 때문에 놀이터에 나온 동네사람이 아무도 없을 것으로 생각한 경찰은 그 발자국의 주인이 용의자(일명 거미아저씨)가 분명하 다고 판단, 그를 찾기 위한 수사에 착수했다. 경찰의 기초 수사결과 용의자는 화목동 주민
(2) 수학적 모델링
수학적 모델링 수업 예시
이 분명하며 그를 찾기 위한 수사에 S영재교육원 탐정팀도 참여한다고 밝혔다. 탐정팀은 이 수사에서 용의자의 키를 찾아내는 일을 맡았다고 한다. 하루 빨리 용의자의 신상을 파악 하여 범인이 검거되기를 바란다.<S일보, 김○○ 기자>
<수업 절차>
모델-도출 모델-탐색 모델-개작
- 사람들의 키와 발 크기 사이에 어떤 관 계가 있는지를 알아 - 신문기사를 읽고 무엇
을 구해야 하는지 토의 하라.
-수사팀의 탐문 수사결 과 범인이 여자라는 사 실이 밝혀졌다면 여러
(2) 수학적 모델링
계가 있는지를 알아 본다면 그 관계를 일 반적으로 어떻게 표 현할 수 있는가?
하라.
- 어떤 방법을 사용할 수 있는지 토의하고 고 쳐야 할 부분을 생각하 라.
- 어떤 수학적 성질이 사용될 수 있을까?
- 찾아낸 방법을 수학적 으로 표현하여 용의자 의 키를 구하라.
- 결과가 올바른지 생각 하라.
실이 밝혀졌다면 여러 분의 예측 결과는 어떻 게 달라져야 하는가?
학생들의 해결과정의 예
• 인체비례활용
: 사람의 키, 발 사이즈 등을 인체의 한 부분에서 찾아낼 수 있음!
(2) 수학적 모델링
• (발사이즈)-(키)
: 단위를 무시하고 무조건 얻을 수 있는 자료의 차를 구해서 공통성을 찾으 려 함
• 통계적 방법 이용
: 여러 사람들의 자료 이용/그래프/산포도
• 문제해결
– 주어진 조 건으로부 터 강력한 수단이 되는 해 결전략을 가지고 목표
• 모델링
– 조건, 목표, 가능한 해 의 경로, 사물에 내재된 패턴과 규칙을 해석하 결전략을 가지고 목표
에 도달하는 과정
– 인위적이고 비실제적인 방법으로 제한된 사실 과 규칙을 사용하여 질 문에 답하는 것
는 유용한 방법을 발전 시키는 것과 관련
– 해를 구하기 위해 서술, 설명, 예측이 점차 세련 화되고 정교해지는 여 러 과정이 포함
• 모델링은 문제해결과 개념 학습을 통합시켜 준다.
• 모델링은 유용한 수학을 가르쳐 수학을 실제화하기 보다 는, 실제로부터 수학화를 시도한다.
수학적 모델링
는, 실제로부터 수학화를 시도한다.
• 모델링을 통해 학생들은 기본적인 기술과 개념을 학습할 수 있다.
Problem-based Learning
• 실생활에서 접하는 문제와 유사한 비구조적인 문제 상황 의 제시로부터, 학습을 시작하고 학습자가 문제를 해결 하기 위해 필요한 지식과 정보를 스스로 탐구하여 적절 한 해결안을 찾는 교수 학습 방법
• PBL의 특징
– 문제로부터 시작 – 학습자 중심
– 교사는 조력자의 역할
– 협동학습과 자기주도적 학습을 강조 – 평가는 학습자 중심으로 다양하게
• PBL의 문제
– 학습에 대한 흥미와 목표를 유발 – 학습자에게 친근한 맥락
– 문제해결에 필요한 정보가 모두 포함되지 않 – 문제해결에 필요한 정보가 모두 포함되지 않
아야
– 도입할 수학 개념은 선수학습 요소를 바탕으
로
• 문제 이해하기: 흥미 유발, 문제 제시, 수학적 문제 상황 으로 이해하기
• 문제해결 계획 세우기: 과제수행계획서 작성, 학습목표 공유 및 문제 재정의
• 탐색하기: 문제해결안 모색
• 탐색하기: 문제해결안 모색
• 미니 강의: 학습자 스스로 정의하기 어려운 수학 개념이 나 용어에 대하여. 선택적 투입
• 문제해결하기: 해결안 고안, 발표, 정당화
• 정리: 해결안에 대한 교사의 정리, 해결안 점검 및 수정, 성찰저널 작성
문제 제기
문제제기
• 과학적 사고 방법과 수학하는 활동에 친숙하고, 만들어지고 있는 수학을 맛볼 수 있는 기회가 주어져야
• 문제해결 과정에서 새로운 문제를 제기함으로써
– 원래의 문제를 재해석하고
– 원래의 문제를 해결할 수 있는 단서가 생기고 – 원래의 문제를 해결할 수 있는 단서가 생기고
– 새로운 관점에서 봄으로써 의미를 명확하게 이해하고 – 새로운 생각을 할 수 있다.
• 문제 제기의 중요성(Polya)
– 학습동기를 유발
– 바람직한 과학적 태도
– 주어진 문제를 해결하는 수단
• 문제제기의 실제
교사가 학생의 사고를 자극하고 이끌어 주는 적절한 수준의 발문과 권고를 사용
• 브라운과 월터(What if not)
문제제기 전략
• 브라운과 월터(What if not)
– 속성 열거하기: 문제를 구성하고 있는 요소나 속성을 모두 열거 – What if not 수행하기: 전 단계에서 열거한 속성이 ‘만약 그렇지
않다면 어떻게 될 것인가’라는 의문
– 문제 제기: 전 단계에서 생각한 의문을 기초로 새로운 문제를 만 든다
– 설정된 문제 분석하기: 새로 만든 문제를 분석하거나 해를 구한 다
