수학 교수 교수 학습 학습

공학적

공학적 도구를 도구를 활용한 활용한 수학

수학 교수 교수 학습 학습 수학

수학 교수 교수 학습 학습

수학교육의 목적을 추구함에 있어 공학적 도구가 기여할 수 있는 방법론적 측면과, 공학적 도구가 가르치고자 하 는 수학 지식을 어떻게 변화시키고 왜곡할 수 있는가?

공학적 도구를 이용한 수학 교수 학습의 양식, 컴퓨터를 이용한 수학 교수 학습의 실제에 대해 살펴보자.

공학적 도구를 이용한 수학 교수 학습의 양식, 컴퓨터를 이용한 수학 교수 학습의 실제에 대해 살펴보자.

수학교육에서 공학적 도구를 활용할 때 유의해야 할 점?

목차

1.

수학교육에서 공학적 도구의 활용

2.

공학적 도구와 수학적 지식의 변환

3.

컴퓨터를 이용한 수학 교수 학습 양식

4.

컴퓨터를 이용한 수학 교수 학습의 실제

5.

수학교육에서 공학적 도구 활용 시의 유의점

1. 수학교육에서 공학적 도구의 활용

 프로이덴탈(1981)은 수학교육에서 공학적 도구 의 활용을 강조

 ‘수학적 이해를 유발하고 증진시키기 위해 계산기와 컴퓨터를 어떻게 이용할 것인가?’ 라는 문제를 수학교 육의 주요 문제 중의 하나로 설정

컴퓨터를 어떻게 이용할 것인가?’ 라는 문제를 수학교 육의 주요 문제 중의 하나로 설정

 수학적 사고력 증진이라는 수학교육의 목적 추구를

위한 강력한 수단으로서 공학적 도구를 이용할 것을

주장

• 수학과 실제 경험의 연결

• 컴퓨터는 실제자료와 시뮬레이션을 함께 제시함으로써 학생의 개인적 경험과 형식적인 수학을 의미 있게 연결하는데 도움을 줌

• 학교수학에서 다룰 수 있는 문제의 영역을 확대하는데 기여

• 문제해결에서 가장 중요한 아이디어는 학생의 사고로 탐색하게

• 문제해결에서 가장 중요한 아이디어는 학생의 사고로 탐색하게 하되 그 이외의 문제해결의 수단이 되는 복잡한 과정은 공학적 도구의 다양한 기능을 이용하게 함으로써 학생들이 주위의 여러 가지 현상을 수학적 안목으로 파악하도록

• 수학적 대상과 관계의 구체화

– 수학적 대상과 수학적 관계를 구체화함으로써 직접적으로 다룰 수 있는 교수 학습 환경을 제공

– 발라세프(1996): ‘새로운 경험적 수학 현실주의’라 명명함.

– 컴퓨터에 기반한 교수 학습 환경은 수학적 대상과 관계의 형식적 표현을 다룰 수 있다는 점과 학습자와 컴퓨터의 상호작용을 함으 컴퓨터에 기반한 교수 학습 환경은 수학적 대상과 관계의 형식적 표현을 다룰 수 있다는 점과 학습자와 컴퓨터의 상호작용을 함으 로써 학습자의 컴퓨터 조작과 기호적이거나 상징적인 해석에 바 탕을 둠

– 컴퓨터 기반 환경에서의 피드백은 해석 가능한 하나의 수학적 현 상으로 적절한 기록으로 제공

 ‘구체적- 추상적대상’ :컴퓨터 화면에서 실제로 존재하는 것처럼 볼 수 있고, 다룰 수 있다는 의미에서 구체적이라고 할 수 있으며, 컴퓨터 구현에 따른 산 출물 내지 결과가 수학적 구성물이라는 의미에서 추상적이라고 할 수 있

음.(Teodoro 1991)

 수학적 대상과 관계를 구체화하여 직접적인 조작을 활성화 시킬 수 있는 컴퓨 터 기반 학습환경의 특징은 기하 교수 학습 방법에 많은 영향을 미치고 있음.

(GSP와 같음 탐구형 기하 소프트웨어 에서 기하 그림을 직접적으로 다룰 수 있 (GSP와 같음 탐구형 기하 소프트웨어 에서 기하 그림을 직접적으로 다룰 수 있

는 새로운 접근 방법을 채택하고 있음)

 기하의 개념화는 컴퓨터 화면에 나타나는 그림의 요소들을 마우스로 끌었을 때 그림에서 변하지 않는 성질에 대한 연구가 되고, 기하적 성질에 대한 명제는 새로운 실험의 영역에서 관찰 가능한 기하적 현상을 기술한 것이 됨

 컴퓨터 화면에 나타나는 그림의 요소들을 마우스로 끄는 과정을 통화여 화면 의 대상을 역동적으로 변화시키는 것은 디너스가 주장하는 ‘수학적 다양성의’

원리와 부합한다고 할 수 있음

• 다양한 표현 체계의 연결

– 공학적 도구 환경에서의 연결된 다양한 표현들은 역동적이고 상호 작용적인 매개체로 적용될 수 있다는 점에서 수학 교수 학습 방법의 개선에서 중요한 역할을 함

– 다양한 표현체계의 연결은 수학 교수 학습에서 두 가지 의미 를 갖는다.

를 갖는다.

① 복잡한 수학 아이디어의 다양한 측면을 드러냄

② 어떤 표현 체계에서의 행동의 결과를 다른 표현 체계를 통해서 보 여줌으로써 그 행동의 의미를 반성하도록 함.

 공학적 도구에 기반한 교수 학습 환경은 수학의 다양한 표현을 같은 화 면에 제공함으로써, 학생들로 하여금 다양한 표현을 서로 연결 짓게 해서 그 표현에 내재되어 있는 의미를 보다 충실하게 이해할 수 있도록

 컴퓨터에 기반한 교수 학습 환경에서 표현 체계 A와 표현체계 B가 연결 되어 있다는 것은 표현체계 A에서 취해진 행동이 표현체계 B에 반영되며, 역으로 표현체계 B에서 취해진 행동이 표현체계 A에 반영되는 것을 의미 역으로 표현체계 B에서 취해진 행동이 표현체계 A에 반영되는 것을 의미 함.

• 사고력 중심의 수학교육 추구

– 사고력을 도모하기 위한 환경을 조성하는 데 한계가 있는 지필 환경을 어느 정도 보완

– 사고력 향상을 목적으로 하는 교수 학습 활동에서 산술적인 계 산과 대수적인 문자식의 처리를 신속하게 수행해줌으로써 본질 적인 사고력 중심의 교수 학습 활동에 전념할 수 있게

적인 사고력 중심의 교수 학습 활동에 전념할 수 있게

– 컴퓨터 프로그래밍에서의 오류 수정 활동은 수학적 사고력 향상 을 위한 기회로 활용될 수 있음

2. 공학적 도구와 수학적 지식의 변환

수학교육 내용의 변화

 공학적 도구의 도입으로 인한 수학교육의 내용상의 변화

① 의도된 내용상의 변화 :공학적 도구로 인해 새롭게 부각된 분야를 국가 수준의 수학교육 과정에 도입함으로써 생기는 변화

② 수학교육용 컴퓨터 소프트웨어를 개발할 때나 개발된 프로그램을

② 수학교육용 컴퓨터 소프트웨어를 개발할 때나 개발된 프로그램을 활용할 때 수학교육의 내용이나 성격이 의도되지 않은 곳에서 변 할 수 있다.

(수학지식의 본질을 왜곡할 위험성이 상당히 크다.)

• 수학적 지식의 변환

– 학교수학에 대한 전문적 식견을 갖추지 못한 프로그 래머에 의한 교수학적 변환은 학교수학에서 다루어 야 할 수학 지식의 본질을 왜곡할 가능성이 많다

– 컴퓨터에 의한 수학 지식의 교수학적 변환의 가능성 – 컴퓨터에 의한 수학 지식의 교수학적 변환의 가능성

에 대한 4가지 극단적 현상

3. 컴퓨터를 이용한 수학 교수 학습 양식

1) 개인 교사형: 전통적인 교사의 역할을 하는 컴퓨 터가 대신하는 양식

 한계점: 개인 교사형 시스템에서의 학생과 시스템 사 이의 밀접한 상호작용은 학생들의 학습을 보장할 수 있지만 학생들이 지식의 이면에 들어있는 의미의 본 있지만 학생들이 지식의 이면에 들어있는 의미의 본 질을 이해했는가 하는 것을 보장하지는 못함.

2) 학습 주도형: 학생이 컴퓨터를 지도하는 역할

(개인 교사형의 경우와 반대)

3) 보조 도구형

컴퓨터를 보조 도구로서 사용하는 양식(그래프를 그릴 수 있고 문자 연 상이 가능하며, 데이터를 분석하고, 수학적인 절차를 수행하는 소프 트웨어를 사용하는 상황)

이용 범위가 가장 넓고 현재 가장 활발한 연구가 진행되고 있는 분야

장점: 사회의 요구에 부합되며 학생들이 학교를 졸업한 후에도 적절하게 사용할 수 있음.

한계점: 기본적으로 수학교육용이 아닌 성인들의 업무용으로 개 발된 것이므로 교육적으로 이용하는 데는 한계가 있음.

* 주의점: 기호조작 그 자체가 교수 학습의 목적인 경우에는 사용해 서 안 된다. 즉 컴퓨터가 수행해주는 기호 조작이 교수 학습의 목 적에 도달하기 위한 수단으로 작용하는 경우에만 사용해야 하며, 학생들이 기호조작과 같은 기능을 충분히 숙달하기 전에 사용하 면 학생들의 학습에 장애가 될 수 있음.

4) 탐구 학습형: 학생 주도형+ 보조 도구형

 특징: 학생들이 대상들간의 관계를 탐구할 수 있도록 해줌.

 한계점: 컴퓨터 기반 학습 탐구 학습 환경에서의 자유 로운 탐구가 학습자에게 풍부한 경험을 제공하긴 하 지만, 교사가 원하는 특정 지식의 학습이 일어난다고 로운 탐구가 학습자에게 풍부한 경험을 제공하긴 하 지만, 교사가 원하는 특정 지식의 학습이 일어난다고 보장하기는 어려움.

 컴퓨터 기반 탐구 학습 환경은 교사에 의해 조직된 환

경으로 통합되어야

4. 컴퓨터를 이용한 수학 교수 학습의 실제

1) Excel을 이용한 방정식의 해의 지도(아래그림)

• EX)X-5=2의 해의 개념 지도하기.

2) GSP를 이용한 삼각형의 내각의 합의 지도 EX)삼각형의 내각의 합은 모두 180도이다 EX)삼각형의 내각의 합은 모두 180도이다

(1) Excel을 실행한 후 다음과 같은 자료를 차례로 입력한다.

수학 학습 소프트웨어의 종류

이름 특징

Cabri Geometry 계산기, 길이와 넓이 측정, 도형의 움직임에 대한 자취 구현, 애니메이션, 드랙를 이용한 연속적 변화 관찰. 동적 기하 프 로그램

Fathom 통계 교육용 프로그램

Flash 프레젠테이션 자료뿐 아니라 간단한 애니메이션 자료 제작 Geogebra 기하창과 대수창으로 서로 연계. 명령어 창에 방정식, 좌표 Geogebra 기하창과 대수창으로 서로 연계. 명령어 창에 방정식, 좌표

등을 입력하는 동적 기하 프로그램 기하, 대수, 미적분

Grafeq 함수식 입력하면 그래프 작성. 부등식의 영역 표시 가능 여러 함수의 그래프를 동시에 그릴 수 있음

GSP 유클리드 기하, 변환기하, 해석기하. 동적 기하 프로그램 계산기 기능으로 데이터 조작

LiveMath 기호 연산 및 수치 연산, 2, 3차원 그래프 그리기 등 대수 프 로그램

LOGO 프로그램 언어. 그래프, 도형 그리기. 변수 개념 학습에 유용

이름 특징

Poly 정다면체, 준정다면체, 기둥, 각뿔, 카탈란 다면체, 존슨다면체, 지오데식 구면 등을 회전. 입체에서 평면으로의 연속적 변화 관 찰

Tess 테셀레이션. 꽃무늬 변환군, 줄무늬 변환군, 벽지무늬 변환군 사 용

용

TI-92 CAS 기능

Ultra Fractal 프랙탈을 이용하여 다양한 모양 만들기 Wingeom 2, 3ckdnjs 도형 조작

Winplot 다양한 형태의 곡선, 곡면

Winstat 변량에 대한 그래프, 히스토그램, 확률분포 곡선을 그려주며, 바 늘, 동전, 다트 등을 던지는 시뮬레이션 가능

5. 수학교육에서 공학적 도구 활용시의 유의점

① 공학적 도구를 수학 교수 학습에 도입함에 있 어 그 목적을 명확하게 할 필요가 있음.

② 수학 교수 학습의 어느 단계에서 어떤 공학적 도구를 어떻게 사용할 것인가의 문제가 중요하 게 부각.

게 부각.

③ 공학적 도구의 교육적 한계를 분명하게 인식해 야 함.

④ 공학적 도구를 더욱 적극적으로 활용할 수 있

는 제도적이고, 현실적인 여건이 시급히 마련

되어야 함.