2005년도 9월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

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2005년도 9월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수리 영역 •

정 답

1 ② 2 ④ 3 ① 4 ① 5 ③ 6 ② 7 ④ 8 ⑤ 9 ④ 10 ③ 11 ⑤ 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ④ 16 ② 17 ① 18 ③ 19 ① 20 ⑤ 21 ④ 22 17 23 13 24 10 2516926 99 27 20 28 60 29 25 30 50

해 설

1. [출제의도] 다항식의 곱셈공식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

  ^ ^ ^ 에서

  

  ^ ^ ^ _{ }



     

2. [출제의도] 다항식의 계산 및 용어의 정의를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

  ^   ^  ^   ^  ^   ^

따라서 ^의 계수는 이다.

3. [출제의도] 무리식의 성질을 알고 계산을 할 수 있는가를 묻는 문 제이다.

  

  

   

  

     

      

_{ }



^^ 



_{ }

  

^

 ^

4. [출제의도] 집합의 연산을 이해하고 필요충분조건을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

∪  ∩  ∅

⇔ ∪ ⊂ ∩

⇔∪ ∩ ∵ ∩ ⊂ ∪

⇔ ∪  ∅

⇔ ∅이고  ∅

⇔ ⊂ 이고  ⊂

⇔

5. [출제의도] 실수의 대소관계를 알고 절대값을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

       ＞ 이므로



^  ^     

     

또,                ＜  이므로



^  ^     

      

∴



^  ^



^  ^

          

 ^

6. [출제의도] 유리식의 성질을 알고 계산을 할 수 있는가를 묻는 문 제이다.

 △ ^ 

  ^

    

    



^  △     ^     

^ 

     

  

   



∴  △ ^ ^  △   

   

    



   

   

7. [출제의도] 유리수의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이 다.

_{ }



 × 

 



_{  × }



  



_{  × }



  



∴  … ㉠ 한편, ＜＜에서 _



＞이므로 _＜



이다.

∴ _{ }



 

 





^

 



^＞^(∵^

＞, _



  ＞ )

∴ ＞ … ㉡

㉠, ㉡ 에서 ＜

8. [출제의도] 실수의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.            (거짓) ㄴ.        ⇔   ＜

따라서 ＞이면   ＜이므로 ＜이다. (참) ㄷ.   ＜ ⇔   ＜

∴ ＜

따라서 ＞이면 ＞이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

9. [출제의도] 평균과 분산의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

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주어진 변량 , , , … , 의 평균과 분산을 각각 , 이라 하면

변량  ,  ,  , … ,  의 평균과 분산은 각각   ,

이고,

변량  ,  ,  , … ,  의 평균과 분산은 각각   ,

이다.

따라서         에서   

    에서   

10. [출제의도] 실수의 정수부분을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

  으로 놓으면

^        

이때 ^＜  ＜ ^이므로  ＜^ ＜ 이다.

따라서 ^의 정수부분은 이다.

따라서  ＜ ^＜  이므로   이고

^ ＜＜^에서  ＜^ ＜^ ＜ 이므로

 ＜  ＜ 

따라서 ^ ^의 정수부분은 이다.

∴                 

11. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정수  에 대하여 ^   ^ 으로 놓으면

^ ^ 이므로 ^ ^은 짝수 이다.

이때 ^ ^=     에서

  가 짝수이면 과 는 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로

  도 짝수이다.

마찬가지로   가 짝수이면   도 짝수이다.

그런데 주어진 방정식의 근은 _{   }



 ± 이므로 두 근은 모두 정수이다.

[오답풀이]

  와   가 짝수일 때 _{ }



 ± 이 홀수라고 생각하여 ④로 답 하기 쉽다.

그런데 _



짝수는 짝수일 수도 있고 홀수일 수도 있다.

그러므로 _{   }



 ± 는 정수라고 해야 옳다.

12. [출제의도] 실수와 복소수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제 이다.

ㄱ. (반례)   ,    이면 ^ ^ 이지만    ≠ 이다.

따라서 명제 →  는 참이 아니다.

ㄴ. ^≧ , ^≧ 이므로 ^ ^ 이면      따라서      이므로 명제 →  는 참이다.

ㄷ. (반례)   ,   이면 ^ ^ ^ ^      이지만        ≠ 이다.

따라서 명제 →  는 참이 아니다.

이상에서 조건 가 조건 이기 위한 충분조건인 것은 ㄴ이다.

13. [출제의도] 자연수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

이 부터 일 때까지의 값에 대해 ^과  의 값을 구하면 다 음과 같다.

 1 2 3 4 5 6

^ 1 4 9 16 25 36

 1 4 3 4 1 0

ㄱ.    (참)

ㄴ. 이 짝수일 때,    또는    (거짓) ㄷ.  ≧ 일 때는 위의 표와 같은 의 값이 반복되므로

  은 자연수       (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

14. [출제의도] 유리수와 무리수의 연산을 이해하고 있는가를 묻는 문 제이다.

세 수 , ,  사이의 관계는 다음과 같다.

    ,    ^,    ^   ㄱ. (유리수)+(유리수)=(유리수)

(유리수)+(무리수)=(무리수)이므로

가 유리수이면 는 유리수 는 무리수이다. (참) ㄴ. (반례)  ^일 때   ^이므로 는 무리수이다. (거짓) ㄷ.     ^  에서 ^  이 무리수이므로

가 유리수이면 는 무리수이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

15. [출제의도] 일차 및 이차부등식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

      에서      

모든 양수 에 대하여 위의 부등식이 성립하려면     ≦ 

∴    ≧  … ㉠

또, 모든 실수 에 대하여 이차부등식

^     이 성립하려면

 ^   

∴        … ㉡

㉠, ㉡ 에서 ∩     ≦   

[오답풀이]

모든 양수 에 대하여 부등식      이 성립할 조건을

     으로 생각하여      이라 하기 쉽다.

그런데   이므로     일 때도 부등식      이 성립한 다. 따라서     ≦ 이어야 한다.

16. [출제의도] 유리식의 성질을 알고 계산을 할 수 있는가를 묻는 문 제이다.

조건에서

  

 ×   

∴     에서   

따라서 구하는 소금물의 농도는

  

 ×   

×   

 ≒ 

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17. [출제의도] 유리식과 무리식의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

장치 의 입력이 와 이므로 출력은

       … ㉠ 장치 의 입력이 와 이므로 출력은

  

 

 … ㉡

㉠과 ㉡이 다시 장치 의 입력이므로 출력 는

 ^   



^^

 

    

이때 ^  ^ ^  ^   ^이므로



 

 이다.

따라서 _



   

에서

  



18. [출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 삼차방정식의 계수가 모두 유리수이므로   가 한 근 이면   ^도 근이 된다.

또, 이 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 ^      이므로 다항식 ^   은 다항식 ^ ^   의 인수이다.

따라서

^ ^     ^     

 ^ ^   

∴          

19. [출제의도] 선분의 내분점과 외분점을 이해하고 있는가를 묻는 문 제이다.

선분 OA는 삼각형 OCB의 중선이 므로 삼각형 OCB의 무게중심 G_ 은 선분 OA를   로 내분하는 점 이다.

마찬가지로 삼각형 OAD의 무게중 심 G는 선분 OB를   로 내분하 는 점이다.

이때 ∆ OG_G_∆ OAB이고 그 닮음비가   이므로

선분 GG의 길이는 선분 AB의 길이의 _



이다.

따라서 구하는 선분의 길이는







^  ^   ^ ^

[다른풀이]

점 C의 좌표는      점 D의 좌표는     

삼각형 OCB의 무게중심 G의 좌표는



^

 





삼각형 OAD의 무게중심 G의 좌표는



^

 





따라서 선분 GG의 길이는



^



^

 





^^



^

 





^





^^ ^

 ^

20. [출제의도] 자료의 표준편차를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

네 명의 평균점수는 8점으로 모두 같으므로 편차의 제곱의 합을 계 산해 본다.

A:  ^  ^ ^ ^ 

B:  ×  ^  × ^ 

C:  ^ ^ 

D:  ^  ×  ^  × ^ ^ 

편차의 제곱의 합이 작을수록 표준편차가 작으므로 점수의 표준편차가 작은 사람은 순서대로 C, A, D, B이다.

21. [출제의도] 부정방정식을 풀 수 있고 이를 활용할 수 있는가를 묻 는 문제이다.

원, 원, 원에 판매한 가방의 개수를 각각 , ,  라 하면 주어진 조건에 의해

       … ㉠

       … ㉡

㉠, ㉡ 을 연립하여 를 소거하면



 × ㉡   × ㉠에서

     … ㉢

이 때 ㉢ 을 만족하고  ≧ 인 자연수  의 순서쌍   는

     이다.

이때   는         이고 이들 중 가 가장 작은 경우는   이다.

따라서 원에 판매한 가방의 개수는 이다.

22. [출제의도] 다항식의 나머지정리를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

나머지정리에 의해 다항식   ^ ^   를   로 나눈 나머 지는  이므로

  ^ ^  ×     

∴   

23. [출제의도] 이차부등식의 성질을 알고 관련된 문제를 풀 수 있는 가를 묻는 문제이다.

이차항의 계수가 이고 해가      인 이차부등식은

       즉, ^     이므로

^ ^  ^  ^ 

24. [출제의도] 이차방정식에서 판별식을 활용할 수 있는가를 묻는 문 제이다.

에 대한 이차방정식

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^     ^   

이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 (판별식) > 이어야 하므 로

  ^ ^    이 부등식을 정리하면   

따라서 의 범위는 _{  }



이므로

구하는 자연수 는 , , , … , 의 개이다.

25. [출제의도] 복소수의 연산의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제 이다.

               

            

  



이므로



                     

∴



^





^^{  }^^{ }

26. [출제의도] 삼차방정식의 해를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이 다.

이차방정식 ^     의 해는

    또는   이므로

   

따라서 ^ ^     의 해가     또는   이어야 하므로

^ ^   는   ^  이거나     ^이다.

이 때   이므로

^ ^         ^ 따라서     이므로

      

27. [출제의도] 집합의 원소의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제 이다.

따라서  ∩는 이하의 자연수 중에서 의 배수의 개수와 같 다.

∴  ∩  

28. [출제의도] 이차방정식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 공  가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간을 각각  라

하면  의 체공시간은 각각    이다.

 의 최고 높이를 라 하면 주어진 조건에 의해

  

  … ㉠

  

 

 … ㉡

^

 





^





 

29. [출제의도] 절대부등식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

 

×  ×   ,  

×  ×    이므로

     

이때  ,  이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서

 ≧ 



^ (단, 등호는 일 때 성립)



^ ≦ 이므로 ≦ 

따라서 의 최대값은 이다.

30. [출제의도] 복소수의 계산과 좌표평면 위에서 주어진 점들을 꼭지 점으로 하는 사각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ)   일 때

   ×     이므로 P  

ⅱ)   일 때

   × ^   이므로 P_   

ⅲ)   일 때

   × ^   이므로 P  

ⅳ)   일 때

   × ^   이므로 P_ 

네 점 P_, P_, P_, P_를 꼭지점으로 하 는 사각형은 한 변의 길이가 ^인 정사각형이다.

따라서 구하는 사각형의 넓이는  ^ 이다.