제 5장 표본추출과 표본분포

제 5장 표본추출과 표본분포

5.1 표본추출과 표본분포의 정의 5.2 표본평균 � 𝑿𝑿의 분포

5.3 중심극한정리

 표본추출 용어정리

 용어정리

•모수 (parameter) - 모집단의 특성을 결정하는 상수

•통계량 (statistic) - 표본으로부터 계산 가능한 표본의 특성값

•추정량 (estimator) - 모수의 추정을 위한 통계량 예) �𝑋𝑋, 𝑠𝑠², ̂𝑝𝑝 , ⋯

•표본분포 (sample distribution) - 통계량의 확률분포

 예제

 유한모집단 {1, 2, 3, 4}에서 크기 2인 표본을 단순랜덤비복원 추출 하였을 때, 표본평균의 표본분포는?

 유한모집단 {1, 2, 3, 4}에서 크기 2인 표본을 단순랜덤복원 추출하 였을 때, 표본평균의 표본분포는?

{1,1} {1,2} {1,3} {1,4}

{2,1} {2,2} {2,3} {2,4}

{3,1} {3,2} {3,3} {3,4}

{4,1} {4,2} {4,3} {4,4}

 예제

 표본평균

𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛 : 평균 𝜇𝜇, 분산 𝜎𝜎² 인 랜덤표본( 𝑋𝑋_𝑖𝑖~𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇, 𝜎𝜎² ) 표본평균 : �𝑋𝑋 = ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = _𝑛𝑛¹ ∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋_𝑖𝑖

•표본평균의 기대값

𝐸𝐸 �𝑋𝑋 = 𝐸𝐸 𝑋𝑋₁ + ⋯ + 𝑋𝑋_𝑛𝑛

𝑛𝑛 = 𝜇𝜇

•표본평균의 분산

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 �𝑋𝑋 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = ^𝜎𝜎_𝑛𝑛²

 표본평균의 기대값과 분산 (무한모집단의 경우)

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝝁𝝁, 𝝈𝝈^𝟐𝟐

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝝁𝝁, 𝝈𝝈^𝟐𝟐 𝑩𝑩 𝒏𝒏, 𝒑𝒑

𝑵𝑵 𝝁𝝁, 𝝈𝝈^𝟐𝟐

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝝁𝝁, 𝝈𝝈^𝟐𝟐 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒏𝒏 𝑩𝑩 𝒏𝒏, 𝒑𝒑

𝑵𝑵 𝝁𝝁, 𝝈𝝈^𝟐𝟐

𝑿𝑿

~ 𝝁𝝁, 𝝈𝝈

Indepent and identically distributed

 표본평균

𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛 : 평균 𝜇𝜇, 분산 𝜎𝜎² 인 랜덤표본( 𝑋𝑋_𝑖𝑖~𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇, 𝜎𝜎² ) 표본평균 : �𝑋𝑋 = ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = _𝑛𝑛¹ ∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋_𝑖𝑖

•표본평균의 기대값

𝐸𝐸 �𝑋𝑋 = 𝐸𝐸 𝑋𝑋₁ + ⋯ + 𝑋𝑋_𝑛𝑛

𝑛𝑛 = 𝜇𝜇

•표본평균의 분산

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 �𝑋𝑋 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = ^𝜎𝜎_𝑛𝑛²

 표본평균의 기대값과 분산 (무한모집단의 경우)

𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑽𝑽𝑿𝑿 + 𝒃𝒃)

= 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑿𝑿)

𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝑿𝑿_𝟏𝟏 + ⋯ + 𝑿𝑿_𝒏𝒏

𝒏𝒏 = 𝟏𝟏

𝒏𝒏^𝟐𝟐 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑿𝑿_𝟏𝟏 + ⋯ + 𝑿𝑿_𝒏𝒏)

𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝑿𝑿 + 𝒀𝒀 = 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝑿𝑿 + 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒀𝒀)

𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑽𝑽𝑿𝑿 + 𝒃𝒃)

= 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑿𝑿)

𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 𝑿𝑿_𝟏𝟏 + ⋯ + 𝑿𝑿_𝒏𝒏

𝒏𝒏 = 𝟏𝟏

𝒏𝒏^𝟐𝟐 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑿𝑿_𝟏𝟏 + ⋯ + 𝑿𝑿_𝒏𝒏)

= 𝟏𝟏

𝒏𝒏^𝟐𝟐 (𝝈𝝈^𝟐𝟐 + 𝝈𝝈^𝟐𝟐 + ⋯ + 𝝈𝝈^𝟐𝟐)

= 𝝈𝝈^𝟐𝟐/n

 표본평균

𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛 : 평균 𝜇𝜇, 분산 𝜎𝜎² 인 랜덤표본( 𝑋𝑋_𝑖𝑖~𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇, 𝜎𝜎² ) 표본평균 : �𝑋𝑋 = ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = _𝑛𝑛¹ ∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋_𝑖𝑖

•표본평균의 기대값

𝐸𝐸 �𝑋𝑋 = 𝐸𝐸 𝑋𝑋₁ + ⋯ + 𝑋𝑋_𝑛𝑛

𝑛𝑛 = 𝜇𝜇

•표본평균의 분산

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 �𝑋𝑋 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = ^𝜎𝜎_𝑛𝑛²

 표본평균의 기대값과 분산 (무한모집단의 경우)

 표준오차 (standard error : s.e.)

• A의 표준오차 : 추정량 A의 표준편차

• 표본평균의 표준오차 = 표본평균의 표준편차 = 표준오차

 표본평균의 표준오차 : 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 (�𝑿𝑿) = ^𝝈𝝈_𝒏𝒏^𝟐𝟐 = ^𝝈𝝈_𝒏𝒏

 표준오차

표본의 크기가 클수록 그 분산이 0에 가까워져

표본평균은 모평균 근처에 밀집

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝝁𝝁, 𝝈𝝈^𝟐𝟐 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒏𝒏 𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝑿𝑿 = 𝝈𝝈

𝒏𝒏 = 𝒔𝒔. 𝒆𝒆. �𝑿𝑿

 표준오차 (standard error : s.e.)

• A의 표준오차 : 추정량 A의 표준편차

• 표본평균의 표준오차 = 표본평균의 표준편차 = 표준오차

 표본평균의 표준오차 : 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 (�𝑿𝑿) = ^𝝈𝝈_𝒏𝒏^𝟐𝟐 = ^𝝈𝝈_𝒏𝒏

 표준오차

표본의 크기가 클수록 그 분산이 0에 가까워져

표본평균은 모평균 근처에 밀집

 표본평균

𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛 : 평균 𝜇𝜇, 분산 𝜎𝜎² 인 랜덤표본( 𝑋𝑋_𝑖𝑖~𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜇𝜇, 𝜎𝜎² ) 표본평균 : �𝑋𝑋 = ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = _𝑛𝑛¹ ∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋_𝑖𝑖

•표본평균의 기대값

𝐸𝐸 �𝑋𝑋 = 𝐸𝐸 𝑋𝑋₁ + ⋯ + 𝑋𝑋_𝑛𝑛

𝑛𝑛 = 𝜇𝜇

•표본평균의 분산

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 �𝑋𝑋 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ^{𝑋𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑋}_𝑛𝑛 ^𝑛𝑛 = ^{𝑁𝑁−𝑛𝑛}_𝑁𝑁−1 × ^𝜎𝜎_𝑛𝑛²

 표본평균의 기대값과 분산 (유한모집단 비복원추출)

 모평균이 10, 모분산이 0.25인 크기 1000인 모집단에서 크기 25인 임의표본을 복원추출과 비복원추출을 할 때, 각 경우 �𝑿𝑿의 평균과 분산을 구하라.

 풀이

① 추출방법에 관계없이 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 𝜇𝜇 이므로 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 10

② 비복원추출일 때 𝑋𝑋 의 분산 : V𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 = ^N−n_N−1 × ^σ_n² = 0.00976

③ 복원추출일 때 𝑋𝑋 의 분산 : V𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 = ^σ_n² = ^0.25₂₅ = 0.01

 예제 5.1

제 5장 표본추출과 표본분포

5.1 표본추출과 표본분포의 정의 5.2 표본평균 �𝑋𝑋의 분포

5.3 중심극한정리

 주사위 n개를 여러 번 던질 때

평균의 분포 (히스토그램)와 정규분포(실선)의 비교

 중심극한정리의 예

 주사위 n개를 여러 번 던질 때

평균의 분포 (히스토그램)와 정규분포(실선)의 비교

 중심극한정리의 예

 정규분포의 성질

• 𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛 ∶ 𝑋𝑋_𝑖𝑖 ~𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎²)이면 �𝑋𝑋~ 𝑁𝑁 𝜇𝜇, ^𝜎𝜎_𝑛𝑛²

 중심극한정리(central limit theorem: CLT)

• 𝑋𝑋₁, 𝑋𝑋₂, … , 𝑋𝑋_𝑛𝑛 ∶ 𝑋𝑋_𝑖𝑖 ~𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜇𝜇, 𝜎𝜎²)이고 𝑛𝑛이 충분히 크면 (보통 𝑛𝑛 >

30) 모집단의 분포에 관계없이 근사적으로 정규분포를 따름

�𝑋𝑋~𝑁𝑁 𝜇𝜇,^𝜎𝜎_𝑛𝑛² 또는 𝑍𝑍 = _{𝜎𝜎 / 𝑛𝑛}^{�𝑋𝑋−𝜇𝜇} ~𝑁𝑁(0,1)

• 동일하고 독립적인 분포를 갖는 확률변수 𝑛𝑛개의 평균은 중심 에 몰린 대칭 형태의 분포(정규분포)로 변화

 중심극한정리

 의사들이 참고하는 어린이 성장표에 따르면 생후 2년 된 남아의 키 는 평균이 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒄𝒄𝒄𝒄이고 표준 편차가 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄인 정규분포를 따른다.

만약 임의로 생후 2년 된 남아 𝟐𝟐𝟓𝟓명을 선택하였을 때, 표본평균이 𝟖𝟖𝟕𝟕. 𝟓𝟓𝒄𝒄𝒄𝒄에서 𝟗𝟗𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄 사이일 확률은 얼마인가?

 풀이

 예제 5.2

 의사들이 참고하는 어린이 성장표에 따르면 생후 2년 된 남아의 키는 평균이 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒄𝒄𝒄𝒄이고 표준 편차가 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄인 정규분포를 따른다.만약 임의로 생후 2년 된 남아 𝟐𝟐𝟓𝟓명을 선택하 였을 때, 표본평균이 𝟖𝟖𝟕𝟕. 𝟓𝟓𝒄𝒄𝒄𝒄에서 𝟗𝟗𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄 사이일 확률은 얼마인가?

 풀이

① 남아의 키 𝑋𝑋는 𝜇𝜇 = 90, 𝜎𝜎 = 25인 정규분포를 따른다.

② 25명의 표본평균 𝑋𝑋 는 정규분포를 따른다.

 예제 5.2

𝑿𝑿 ∶ 남아의 키 𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝟗𝟗𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓^𝟐𝟐)

𝑷𝑷(𝟖𝟖𝟕𝟕. 𝟓𝟓 ≤ �𝑿𝑿 ≤ 𝟗𝟗𝟑𝟑. 𝟐𝟐)

𝑿𝑿 ∶ 남아의 키 𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝟗𝟗𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓^𝟐𝟐)

𝑷𝑷(𝟖𝟖𝟕𝟕. 𝟓𝟓 ≤ �𝑿𝑿 ≤ 𝟗𝟗𝟑𝟑. 𝟐𝟐) 𝑿𝑿_𝟏𝟏, ⋯ , 𝑿𝑿_{𝟐𝟐𝟓𝟓} ~ 𝑵𝑵(𝟗𝟗𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓^𝟐𝟐)

𝑿𝑿 ∶ 남아의 키 𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝟗𝟗𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓^𝟐𝟐)

𝑷𝑷(𝟖𝟖𝟕𝟕. 𝟓𝟓 ≤ �𝑿𝑿 ≤ 𝟗𝟗𝟑𝟑. 𝟐𝟐) 𝑿𝑿_𝟏𝟏, ⋯ , 𝑿𝑿_{𝟐𝟐𝟓𝟓} ~ 𝑵𝑵(𝟗𝟗𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓^𝟐𝟐)

�𝑿𝑿~𝑵𝑵 (𝟗𝟗𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐𝟓𝟓 )^𝟐𝟐

 의사들이 참고하는 어린이 성장표에 따르면 생후 2년 된 남아의 키는 평균이 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒄𝒄𝒄𝒄이고 표준 편차가 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄인 정규분포를 따른다.만약 임의로 생후 2년 된 남아 𝟐𝟐𝟓𝟓명을 선택하 였을 때, 표본평균이 𝟖𝟖𝟕𝟕. 𝟓𝟓𝒄𝒄𝒄𝒄에서 𝟗𝟗𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄 사이일 확률은 얼마인가?

 풀이

① 남아의 키 𝑋𝑋는 𝜇𝜇 = 90, 𝜎𝜎 = 25인 정규분포를 따른다.

② 25명의 표본평균 𝑋𝑋는 정규분포를 따른다.

③ 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 90 , 𝑆𝑆𝑆𝑆(𝑋𝑋) = ²⁵₂₅ = 5

④ P 87.5 ≤ �𝑋𝑋 ≤ 93.2 = 𝑃𝑃 ^87.5−90₅ ≤ 𝑍𝑍 ≤ ^93.2−90₅

= 𝑃𝑃 −0.5 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 0.64 = 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 0.64 – 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ −0.5

= 0.7389 − 0.3085 = 0.4304

 예제 5.2

 컴퓨터의 부팅시간은 평균 30초이며 표준편차가 2초로 알려져 있다. (분포가정 없음). 100회 부팅하면서 시간을 기록할 때, 기 록된 시간의 평균이 29.5 이하일 확률은?

•확률변수 𝑋𝑋 : 컴퓨터 부팅 시간 ∼ (30, 2²)

•표본 𝑋𝑋₁, … , 𝑋𝑋₁₀₀ ∼ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (30, 2²)

•표본의 크기가 100으로 충분히 크므로 중심극한정리에 의한 표본평 균의 분포 �𝑋𝑋~𝑁𝑁 30, ²₁₀₀²

𝑃𝑃 �𝑋𝑋 ≤ 29.5 = 𝑃𝑃 �𝑋𝑋 − 30 2/10 ≤

29.5 − 30

2/10 = 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ −2.5 = 0.0062

 중심극한정리의 예

 어느 회사에서 생산되는 의료용 전구의 수명 𝑿𝑿는 2,000시간, 표 준편차가 120시간으로 알려져 있다. 이 제품들로부터 임의로 추출 한 100개의 평균수명을 �𝑿𝑿라 할 때 다음을 구하여라.

1) P(1988< �X<2024) 2) P(�X ≥2010)

 예제 5.3

 풀이

① 모평균 µ = 2,000 , 모표준편차 σ = 120 , 표본의 크기 n = 100

② 표본의 크기가 크기 때문에 �X는 근사적으로 정규분포를 따른다.0

③ 1) P 1988 < X < 2024 = (^1988−2000120 100

< ^�X−2000120 100

< ^2024−2000120 100

)

= P −1 < Z < 2

= P Z < 2 − P Z < −1

= 0.9973 − 0.1587 = 0.8186 2) 𝑃𝑃 �𝑋𝑋 ≥ 2010 = (^{�𝑋𝑋−2000}₁₂₀

100

≥ ^2010−2000₁₂₀

100

)

= 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≥ 0.8333 = 1 − 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 0.8333

= 1 − 0.7975 = 0.2025

 예제 5.3

 𝑿𝑿_𝟏𝟏, 𝑿𝑿_𝟐𝟐, … , 𝑿𝑿_𝒏𝒏 ~ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒔𝒔 𝑩𝑩 𝟏𝟏, 𝒑𝒑

𝑋𝑋 = ∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋_𝑖𝑖 ~ 𝐵𝐵(𝑛𝑛, 𝑝𝑝)

̂𝑝𝑝 = ^𝑋𝑋_𝑛𝑛 ^{: 표본비율}

• 𝑛𝑛 이 충분히 클 때,

Z = _{𝑛𝑛𝑛𝑛(1−𝑛𝑛)}^{𝑋𝑋−𝑛𝑛𝑛𝑛} = 𝑛𝑛 1−𝑛𝑛 /𝑛𝑛^{�𝑛𝑛 −𝑛𝑛} ≈ 𝑁𝑁(0,1)

• 정규근사는 𝑛𝑛𝑝𝑝 ≥ 5 이고 𝑛𝑛 1 − 𝑝𝑝 ≥ 5 일 때 안전

 이항분포의 정규근사

𝐄𝐄 𝐗𝐗_𝐢𝐢 = � 𝐱𝐱_𝐢𝐢 𝐩𝐩_𝐢𝐢

= 𝟏𝟏 � 𝐏𝐏 𝐱𝐱 = 𝟏𝟏 + 𝟎𝟎 � 𝐏𝐏 𝐱𝐱 = 𝟎𝟎

= 𝐏𝐏

𝐄𝐄 𝐗𝐗_𝐢𝐢 = � 𝐱𝐱_𝐢𝐢 𝐩𝐩_𝐢𝐢

= 𝟏𝟏 � 𝐏𝐏 𝐱𝐱 = 𝟏𝟏 + 𝟎𝟎 � 𝐏𝐏 𝐱𝐱 = 𝟎𝟎

= 𝐏𝐏

Var 𝐗𝐗_𝐢𝐢 = 𝐄𝐄 𝑿𝑿_𝒊𝒊^𝟐𝟐 − (𝑬𝑬 𝑿𝑿_𝒊𝒊 )^𝟐𝟐

= 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷^𝟐𝟐

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷^𝟐𝟐 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒏𝒏

�𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷𝒏𝒏 )^𝟐𝟐

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷^𝟐𝟐 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒏𝒏

∑ 𝑿𝑿_𝒊𝒊

𝒏𝒏 = �𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷𝒏𝒏 )^𝟐𝟐

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷^𝟐𝟐 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒏𝒏

∑ 𝑿𝑿_𝒊𝒊

𝒏𝒏 = �𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷𝒏𝒏 )^𝟐𝟐

𝑿𝑿

𝒏𝒏 ~𝑵𝑵 𝑷𝑷, ^{𝑷𝑷−𝑷𝑷}_𝒏𝒏 ^𝟐𝟐

= (^𝑿𝑿_𝒏𝒏 − 𝑷𝑷) / ^{𝑷𝑷−𝑷𝑷}_𝒏𝒏 ^𝟐𝟐

𝑿𝑿_𝒊𝒊 ~ 𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷^𝟐𝟐 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒏𝒏

∑ 𝑿𝑿_𝒊𝒊

𝒏𝒏 = �𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝑷𝑷, 𝑷𝑷 − 𝑷𝑷𝒏𝒏 )^𝟐𝟐

𝑿𝑿

𝒏𝒏 ~𝑵𝑵 𝑷𝑷, ^{𝑷𝑷−𝑷𝑷}_𝒏𝒏 ^𝟐𝟐

𝐙𝐙 = (^𝑿𝑿_𝒏𝒏 − 𝑷𝑷) / ^{𝑷𝑷−𝑷𝑷}_𝒏𝒏 ^𝟐𝟐

 𝑿𝑿_𝟏𝟏, 𝑿𝑿_𝟐𝟐, … , 𝑿𝑿_𝒏𝒏 ~ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒔𝒔 𝑩𝑩 𝟏𝟏, 𝒑𝒑

𝑋𝑋 = ∑_𝑖𝑖=1^𝑛𝑛 𝑋𝑋_𝑖𝑖 ~ 𝐵𝐵(𝑛𝑛, 𝑝𝑝)

̂𝑝𝑝 = ^𝑋𝑋_𝑛𝑛 ^{: 표본비율}

• 𝑛𝑛 이 충분히 클 때,

Z = _{𝑛𝑛𝑛𝑛(1−𝑛𝑛)}^{𝑋𝑋−𝑛𝑛𝑛𝑛} = 𝑛𝑛 1−𝑛𝑛 /𝑛𝑛^{�𝑛𝑛 −𝑛𝑛} ≈ 𝑁𝑁(0,1)

• 정규근사는 𝑛𝑛𝑝𝑝 ≥ 5 이고 𝑛𝑛 1 − 𝑝𝑝 ≥ 5 일 때 안전

 이항분포의 정규근사

 이항분포의 정규근사

0.5 0.5

 이항분포의 정규근사

0.5 0.5

 이항분포의 정규근사 예시 (p= 𝟎𝟎. 𝟐𝟐)

오른쪽으로 꼬리가 긴 형태에서 대칭인 형태로 바뀜

 이항분포의 정규근사

n= 5 n= 10 n= 15

n= 40 n= 20

 앞면이 나올 확률이 1/2 인 동전을 100회 던졌을 때, 앞면이 나 온 횟수가 40회 이상 55회 이하일 확률은?

•확률변수 𝑋𝑋 : 100번 동전을 던졌을 때, 앞면이 나온 횟수

• 𝑋𝑋 ∼ 𝐵𝐵(100,0.5)

•구하고자 하는 확률 : 𝑃𝑃(40 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 55)

•이항분포확률계산

𝑃𝑃 40 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 50 = ∑_𝑥𝑥=40⁵⁵ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥) = 0.8467734

•정규근사 이용 : 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 50, Var 𝑋𝑋 = 25

𝑃𝑃 40 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 50 = 𝑃𝑃 40 − 50

5 ≤ 𝑋𝑋 − 50

5 ≤ 55 − 50

5 = 0.8185946

 이항분포의 정규근사 예제

 𝑿𝑿가 이항분포 𝑩𝑩(𝟒𝟒𝟓𝟓, 𝟑𝟑/𝟖𝟖) 일 때, 다음 확률의 근삿값을 구하라.

1) 𝑃𝑃 𝑋𝑋 < 20 2) 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 17

3) 𝑃𝑃(20 < 𝑋𝑋 ≤ 25)

 풀이

 예제 5.4

 풀이

① np = 45 × ³₈ = 16.875 > 5, n 1 − p = 45 × ⁵₈ = 28.125>5 로 정규근사가능

② Var X = np 1 − p = 45 × ³₈ × ⁵₈ = 10.547

③ 1) 𝑃𝑃 𝑋𝑋 < 20 = 𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≤ 19 ≅ 𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≤ 19.5

= 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 19.5−16.875)

10.547 = 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 0.8083 = 0.7915

 예제 5.4

 풀이

2) 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 17 ≅ 𝑃𝑃 16.5 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 17.5

= 𝑃𝑃 16.5−16.875

10.547 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 17.5−16.875 10.547

= 𝑃𝑃 −0.12 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 0.19 = 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 0.19 − 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≤ −0.12)

= 0.5753 − 0.4522

3) 𝑃𝑃 20 < 𝑋𝑋 < 25 = 𝑃𝑃 21 < 𝑋𝑋 ≤ 25 ≅ 𝑃𝑃 20.5 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 25.5

= 𝑃𝑃 20.5−16.875

10.547 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 25.5−16.875 10.547

= 𝑃𝑃 1.12 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 2.66 = 𝑃𝑃 𝑍𝑍 ≤ 2.66 − P Z ≤ 1.12

= 0.9961 − 0.8686 = 0.1275

 예제 5.4