제 장 확률변수와 확률분포 제6장 확률변수와 확률분포
(평균의 법칙)
2
평균의 법칙 (1) 평균의 법칙 (1)
Head Tail
앞면이 나올 확률 50%
뒷면이 나올 확률 50%
백원 을 던졌을 때
백원
확률 50% 확률 50%
Head
???
Tail을 실제로 던져 앞면이 나올 경우
백원백원백원
두 번 앞면이 나온 후 세 번째 던질 때 앞면이 나올 경우
동전은 과거를 기억하지 않는다.
평균의 법칙 (2) 평균의 법칙 (2)
앞면이 많이 나왔 다고 해서 이후의 시도에서 앞면이 나올 확률이 감소 하는 것이 아니다.
던진횟수 앞면의 횟수 앞면의 횟수와
기대횟수의 차이 던진횟수 앞면의 횟수 앞면의 횟수와 기대횟수의 차이
10 4 -1 600 308 8
20 12 2 700 353 3
30 16 1 800 397 -3
40 20 0 900 458 8
던지는 횟수가 증가 한다고 해서 앞면이 나오는 횟수와 기대 하는 것이 아니다.
40 20 0 900 458 8
50 25 0 1000 509 9
60 32 2 2000 1017 17
70 36 1 3000 1518 18
80 40 0 4000 2021 21
90 46 1 5000 2532 32
100 49 -1 6000 3030 30
200 100 0 7000 3524 24 나 는 횟수와 기대 횟수의 차이가 줄어 드는 것은 아니다.
200 100 0 7000 3524 24
300 159 9 8000 4018 18
400 205 5 9000 4521 21
500 255 5 10000 5055 55
평균의 법칙 ( ) 평균의 법칙 ( )
시행횟수가 증가할수록
평균의 법칙 (3)
평균의 법칙 (3)
확률오차의 절대적인 크기는증가한다.확률오차
시행횟수
그러나 시행횟수가 증가할수록확률오차의 상대적 비율
평균의 법칙 (4)
평균의 법칙 (4)
율
그러나 시행횟수가 증가할수록확률오차의 상대적 비율 은감소한다.- 평균의 법칙 -
평균의 법칙 (4) 평균의 법칙 (4)
확률오차의상대적비율
시행횟수
확
4
확률과정과 상자모형의 이용 확률과정과 상자모형의 이용
• 동전던지기에서 앞면이 나오는 횟수를 기록하는 일
• 카지노 룰렛 게임에서 몇 번 이길지 계산해보는 일
• 표본조사를 통해 구한 실업률의 정확도를 측정하는 일
확률과정을 이용 하여 분석가능
상자모형을 이용할 경우 복 잡한 확률과정도 쉽게 이해 할 수 있다.
할 수 있다.
추론에서의 확률과정과 상자모형 추론에서의 확률과정과 상자모형
추론 :표본정보를 이용하여 모집단에 대해 무언가를 알아내는 과정
확률과정 상자모형
상자
카드추출
뽑힌 카드 모집단
표본추출
표본
X ,S카드의 분포
모집단
μ,σ상자모형 상자모형
• 상자로부터 무작위로 한 장의 카 드를 뽑는다.
• 뽑힌 카드를 상자에 복원시킨 뒤 다시 무작위로 한 장을 뽑는다.
상자
2
카드추출
25번 뽑은 카드 (복원추출)
10회 반복 결과
88 84 80 90 83 78 95 94 80 89
• 이를 반복하여 뽑힌 카드에 적혀 있는 숫자를 합한다.
2
32462 35442 36412 41556 22255 합 : 88
원칙적으로 합은 최저 25에서 최고 150까지 가능하나 실제로 관측된 값은 대부분 75와 100사이에 위치한다.
상자모형 만들기 상자모형 만들기
1 2 3 4 5 6
상자 안에는 어떤 숫자카드가 들어가야 하는가?
1
2
25번 뽑은 카드
각 숫자카드가 몇 장씩 들어가야 하는가?
2
상자로부터 몇 회
3
25번 뽑은 카드
추출해야 하는가?
6
예 제 예 제
어떤 숫자카드?
1
+1000 -1000 주사위를 던져 나온 눈이 홀수냐 짝수냐에 따라 천원을 따거나 잃는 게임
상자 안에 있는 카드는 1회 게임의 결과를 다양하게 보여 줄 수 있어야 한다.
게임 참가 횟수와 상자에서 추 출하는 횟수는 같아야 한다.
각 숫자카드는 몇 장씩?
2
몇 회 추출?
3
상자에서 뽑힌 숫자가 무엇 이냐에 따라 달라진다.
순 이득?
4
+1000 + ……-1000
(random variable): 무작위 실험의 결과에 의해서 그 값이 결정되는 변수 (우연변 수: chance variable)
8
[
[문제문제1] 1] 다음의다음의 예가예가 이산확률변수인지이산확률변수인지 연속확률변수인지연속확률변수인지 판단하여라판단하여라..
(1)
(1) 회사의회사의 직원직원 수수 (2)
(2) 직원의직원의 급여급여 (3)
(3) 오전에오전에 방문하는방문하는 은행은행 고객고객 수수 (4)
(4) 회사매출액회사매출액
(probability distribution) 확률변수가 어떤 특정 값을 취할 확률을 손쉽게 계산 하기 위해 사용되는 모형으로어떤 확률변수가 취할 수 있는 모든 값들과 이에
대응하는 확률을 나열한 것 [예제] 미국의 The Statistical Abstract of the United States는 매년 출간된다. 이 책은 센서스 와 다른 많은 양의 자료들에 기초를 하고 있는데 매우 다양한 정보를 보유하고 있다 와 다른 많은 양의 자료들에 기초를 하고 있는데 매우 다양한 정보를 보유하고 있다.
미국인의 삶에 대한 다양한 정보를 제공하는 이 책은 가구당 컬러 TV의 대수에 대한 내용도 있다.
다음의 표가 이에 관한 데이터를 보여준다. 가구당 컬러 TV의 대수로 정의되는 확률변수의 확률 분포를 구하여라.
컬러TV 대수 가구의 수(1,000가구)
0 1,218
1 32,379
2 37,961
3 19,387
4 7,714
5 2,842
합계 101,501
10
[해설] 가구당 컬러TV 대수로 정의되는 X의 각 값이 가지는 확률은 상대도수에 의해 계산되는데, X의 각 값에 해당하는 빈도를 총 가구 수로 나누면 다음과 같은 확률분포를 얻어진다
X의 각 값에 해당하는 빈도를 총 가구 수로 나누면 다음과 같은 확률분포를 얻어진다.
X P(X)
0 1,218 / 101,501 0.012 1 32,379 / 101,501 0.319 2 37,961 / 101,501 0.374 3 19,387 / 101,501 0.191 4 7,714 / 101,501 0.076 5 2,842 / 101,501 0.028
합계 1
2대 이상의 컬러 TV를 보유하고 있을 확률
이산확률분포가
이산확률분포가 가져야가져야 하는하는 필수조건이필수조건이 충족됨충족됨 ((각각 확률은확률은 00과과 1 1 사이의사이의 값을값을 가져야가져야 하고
하고 합은합은 11임임))
