상급문제 작성자 : 장지경
1. 다음 그림에서 △ ABC 는 정삼각형이고, AE = BD = CF 일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
B C
A
D
F E
① ∠EDB = ∠ FEA ② ∠AFE = ∠ FDC ③ AF = DC ④ EF = ED ⑤ ∠EAF = ∠ EDB
2. 다음 그림은 선분 AB 위에 있지 않은 점 P에서 선분 AB에 내린 수선의 발 F를 작도한 것이다. 작도 순서대로 나열하시오.
A B
F
㉡ E㉡
㉢
㉠ P
C D
㉣
3. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 8 cm인 두 정사 각형은 한 정사각형의 대각선의 교점 O에 다른 정사 각형의 한 꼭지점이 놓여 있다. 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.
A D
B C
8cm O
E
F G H
I
4. 다음 그림과 같이 △ ABC 의 두 변 AB, AC 를 한 변으로 하는 정삼각형을 그렸다. 이 때,
BE = CD 인 이유를 설명하시오.
B
A E
C D
5. 다음 그림과 같이 △ABC 의 두 변 AB, AC 를 한 변으로 하는 정삼각형을 그렸다. BE 와 길이가 같은 선분을 구하시오.
B C
A E
D
6. 다음 그림에서 ∠A = ∠D, AB = DB일 때, 삼각형 AEF와 합동인 삼각형을 찾고, 합동 조건을 말하시오.
A
B C D
E F
4 4
7. 길이가 각각 4 cm, 7 cm, 9 cm, 12 cm인 4개의 선분이 있다. 이 중에서 3개를 골라 삼각형을 만들 때, 몇 개의 서로 다른 삼각형을 만들 수 있는가?
8. 다음 그림에서 △ABC의 변 위의 점으로부터 점 P, Q에 이르는 거리가 같은 점은 몇 개인가?
A
B C
P
Q
① 없다 ② 1개 ③ 2개 ④ 3개 ⑤ 4개
9. 다음 그림에서 배는 육지에 있는 지점 A로부터 얼 마나 떨어져 있는지 구하시오.
3km
7km A
80°
3km 80°
10. 다음 그림과 같이 △ABC의 외부에 AB, AC를 각각 한 변으로 하는 정사각형 ADEB, ACFG를 그 릴 때, ∠BPC의 크기는?
B C
F G D
E
A P
① 60◦ ② 70◦ ③ 80◦ ④ 90◦ ⑤ 100◦
11. 다음 그림에서 AB = AD , ∠ABC = ∠ADE 일 때, △ABC ≡ △ADE 임을 설명하시오.
B E
12. 삼각형의 세 변의 길이가 7 cm, 12 cm, a cm일 때, a 의 값 중 홀수의 개수를 구하시오.
13. 다음 그림은 △ABC의 변 AB, BC, CA를 각각 한 변으로 하는 정삼각형 ABD, BCE, ACF를 그린 것이다. AB = 5 cm, BC = 7 cm, AC = 3 cm일 때, 오각형 BCFED의 둘레의 길이를 구하시오.
A
B C
D
E
F
5cm 3cm 7cm
14. 다음 그림은 점 P 를 지나고 직선 l 에 평행한 직선 을 작도한 것이다. 작도하는 순서를 바르게 나열하시오.
l
P Q
A B
㉠ ㉡ ㉢
㉣
15. 다음 그림에서 한 변의 길이가 3 cm인 정삼각형 ABC의 변 BC의 연장선 위에 점 P를 잡고, AP를 한 변으로 하는 정삼각형 APQ를 그릴 때, BQ의 길 이를 구하시오.
A Q
3cm 4cm
16. 다음 그림의 사각형 ABCD는 직사각형이고 삼각 형 PAD는 정삼각형일 때, △PAB ≡ △PDC이다. 합 동조건을 말하시오.
B
A D
C P
17. 세 변의 길이가 모두 정수이고 둘레의 길이의 합이 28인 삼각형 중에서 이등변 삼각형의 개수를 구하시오.
18. 다음 그림과 같은 반직선 PC 위에 한 변 BC를 가지는 직사각형 ABCD를 작도하시오.
P C A
19. 다음 그림과 같이 한 직선 l 위에 있지 않은 두 점 A, B에 대하여 AP = BP인 l 위의 점 P를 작도 하시오.
l A
B
20. 다음 그림과 같이 직선 l 과 m 은 원 O와 만난 다. 원 위의 점 중 두 직선 l 과 m 에 이르는 거리가 같은 점을 작도하시오.
O l
m
21. 다음 그림에서 △ABC, △DCE는 모두 정삼각형 이다. 이 때, ∠DFE의 크기를 구하시오.
x A
B C
D
E F
22. 다음 그림과 같이 직선 l 을 기준으로 같은 쪽에 서로 다른 두 점 A, B가 있다. AP + BP가 최단거 리가 되는 점 P를 직선 l 위에 작도하시오.
l A
B
23. 다음 그림의 정사각형 ABCD에서 점 E는 BC의 연장선 위에 있고 BF ⊥DE이다. 이 때, BG의 길이 와 같은 선분을 찾으시오.
B C E
G F D A
24. 다음 그림에서 △ABC와 △ECD는 정삼각형이다.
다음 물음에 답하시오.
A
B C D
E
⑴ △ACD와 △BCE가 합동임을 설명하고 합동 조건 을 말하시오.
⑵ ∠ACE의 크기를 구하시오.
25. 다음 그림은 정삼각형 ABC 의 세 꼭지점에서 AD = BE = CF 가 되도록 D, E, F 를 잡은 것 이다 △ADF ≡ △BED ≡ △CFE 임을 설명하시오.
B C
A
E
F D
26. AB, BC , ∠B 가 주어졌을 때, △ABC 의 작 도 순서 중 가장 마지막에 그려지는 것은?
① AB ② BC ③ ∠B ④ ∠A ⑤ AC
27. 다음 그림과 같이 직선 l 과 l 위에 있지 않은 두 점 A, B 가 있다. 이 때, 두 점 A, B 에서 같은 거 리에 있는 직선 l 위의 점 P 를 작도하시오.
B A l
28. 다음 그림과 같이 직선 l 과 이 직선 위에 있지 않은 두 점 A와 B가 주어져 있다. 직선 l 위의 한 점 P를 잡아 AP 와 BP 의 길이의 합을 가장 작게 하 는 점 P 를 작도하시오.
l
A B
29. 길이가 2cm, 3cm, 4cm, 5cm 인 네 개의 선분이 각각 주어졌을 때, 이 중 세 개로 삼각형을 만들려고 한다. 모두 몇 개를 만들 수 있는가?
① 1 개 ② 2 개 ③ 3 개 ④ 4 개 ⑤ 5 개
30. 다음 그림에서 △ABC 는 정삼각형이다. 이 때, 변 BC 의 연장선 위에 점 D 를 잡고 AD 를 한 변으로 하는 정삼각형 ADE 를 그렸다. BC = 2cm ,
CD = 3cm 일 때, CE 의 길이를 구하시오.
B D
E A
2cm C 3cm x
31. 아래 그림에서 A B C D 와 C E F G 는 정사 각형이다. DE 의 길이는?
A D
C
B E
F G
4 5 3
① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9
32. 다음 그림에서 A B C D 의 둘레에 있는 점으로 두 점 P, Q 에 이르는 거리가 같은 점을 작도하시오.
A
P
D
Q
33. ∠XOY의 내부의 한 점 P와 OX, OY 위의 두 점 A, B를 연결하여 △PAB를 만든다. 이 △PAB의 둘레의 길이를 최소로 하려면 점 A, B를 어디에 잡으 면 좋은지 작도하시오.
X P Y
O
34. 아래 그림에서 ∠AOC = 2∠COD , ∠EOB
= 2∠DOE 일 때, ∠COE 의 크기를 구하시오.
A O B
D
C E
35. 다음 그림에서 △ABC 의 변 BC 의 중점을 M 이 라 할 때, 직선 AM 과 점 B 를 지나고 변 AC 에 평 행한 직선의 교점을 D 라고 하자. 이 때, △AMC 와 합동인 삼각형과 합동조건을 옳게 나열한 것은?
B M
A
D
C
① △ABM , SAS 합동 ② △DBM , ASA 합동 ③ △ABM , ASA 합동 ④ △DBM , SAS 합동 ⑤ △DBM , SSS 합동
36. 다음 그림의 정사각형 ABCD에서 BE = CF일 때, ∠x 의 크기를 구하시오.
x A
B C
D
E
F G
37. 다음 그림과 같이 ∠AOB 안에 두 점 C, D 가 있다. 이 때, CE + EF + DF 의 길이가 가장 짧게 되도록 각의 두 반직선 AO, BO 위에 각각 점 E, F 를 잡는 방법을 설명하시오.
A C D B
O
1. ⑤
△AEF ≡ △DBE ≡ △FCD 이 므 로
∠EAF ≠ ∠EDB
2. ㉣ → ㉡ → ㉠ → ㉢
3. 16 cm2
[해설] △OBH와 △OCI에서 OB = OC … ㉠
∠OBH = ∠OCI = 45◦ … ㉡
∠BOH = 90◦- ∠HOC = ∠COI … ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △OBH ≡ △OCI ( ASA 합동) 따라서, 색칠한 부분의 넓이는
△OBH + △OCI = △OHC + △OBH = △OBC
= 1
4 □ABCD = 16 ( cm2)
4. △ ADC 와 △ ABE 에서 AD = AB , AC = AE
∠ DAC = 60◦+ ∠ BAC = ∠BAE
∴ △ ADC ≡ △ABE ( SAS 합동)
∴ BE = CD
5. DC
[해설] AD = AB , AC = AE , ∠DAC = ∠BAE 즉, △ADE ≡ △ABE ( SAS 합동) ∴ BE = DC
6. △DCF, ASA 합동
[해설] △AEF와 △DCF에서
∠A = ∠D, AE = AB - BE = BD - BC
= CD, 즉 AE = CD
∠AEF = 180◦- ∠BED = 180◦- ∠BCA
= ∠DCF, 즉 ∠AEF = ∠DCF
∴ △AEF ≡ △DCF ( ASA 합동)
7. 3개
그런데 4 + 7 < 12이므로 ( 4, 7, 12 )는 삼각형의 세 변이 될 수 없으므로 구하는 삼각형의 개수는 3개이 다.
8. ③ [해설]
A
B C
P
Q
점 P, Q에 이르는 거리가 같은 점은 PQ의 수직이등 분선 위의 점이므로 PQ의 수직이등분선과 삼각형
ABC의 변이 만나는 점을 찾으면 2개이다.
9. 7 km [해설]
3km
7km A
80°
80° 3km
B O C
D
△ABO와 △CDO에서 AO = CO = 3 km … ㉠
∠BAO = ∠DCO = 80◦ … ㉡
∠BOA = ∠DOC(맞꼭지각) … ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △ABO ≡ △CDO( ASA 합동)
∴ AB = 7 km
[해설] △ADC와 △ABG에서 AD = AB … ㉠
AC = AG … ㉡
∠DAC = ∠DAB + ∠BAC = 90◦+ ∠ BAC
= ∠BAG … ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △ADC ≡ △ABG ( SAS 합동)
∠APC = ∠x 라 하면
∠ADC + ∠DAB = ∠ABG + ∠BPD
∠ADC + 90◦ = ∠ABG + ( 180◦- ∠x)
그런데 ∠ADC = ∠ABG 이므로 90◦= 180◦- ∠x
∴ ∠x = 90◦
11. △ABC 와 △ADE 에서
AB = AD , ∠ABC = ∠ADE , ∠BAC = ∠DAE ( 공통각)이므로 △ABC ≡ △ADE ( ASA 합동)
12. 6개
[해설] 삼각형에서 한 변의 길이는 나머지 두 변의
길이의 합보다 작고 차보다 크므로
12 - 7 < a < 12 + 7, 즉 5 < a < 19
따라서, 5 < a < 19인 홀수로는 7, 9, 11, 13, 15, 17의 6개이다.
13. 23 cm
[해설] △ABD와 △ACF가 정삼각형이므로 BD = AB = 5 cm , CF = AC = 3 cm
△ABC와 △DBE에 서 AB = DB, BC = BE,
∠ABC = 60◦- ∠ABE = ∠DBE 이 므 로
△ABC ≡ △DBE( SAS 합동)
∴ DE = AC = 3 cm △ A B C 와 △ FEC 에서
AC = FC, BC = EC,
∠ACB = 60◦- ∠ACE = ∠FCE이 므 로
△ABC ≡ △FEC ( SAS 합동)
∴ FE = AB = 5 cm
따라서, 오각형 BCFED의 둘레의 길이는 BC + CF + FE + ED + DB
= 7 + 3 + 5 + 3 + 5 = 23 ( cm)
[해설] ① 직선 l 위의 한 점 A 를 중심으로 반지름 이 AP 인 원을 그어 l 과의 교점을 B 라 한다.
② 점 P 를 중심으로 반지름이 AP 인 원을 그린다.
③ ②의 원과 중심이 A 이고 반지름이 BP 인 원과의 교점을 Q 라 한다.
④ 두 점 P , Q 를 이어 준다.
15. 5 cm
[해설] △AQB와 △APC에서 AQ = AP, AB = AC, ∠QAB = ∠60◦+ ∠PAB = ∠PAC
∴ △AQB ≡ △APC( SAS 합동)
∴ BQ = PC = PB + BC = 5 ( cm)
16. SAS 합동
[해설] △PAB와 △PDC에서 PA = PD(정삼각형) … ㉠ AB = DC(직사각형) … ㉡
∠PAB = ∠PAD + ∠DAB = 60◦+ 90◦= 150◦
= ∠PDC … ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △PAB ≡ △PDC ( SAS 합동)
17. 6개
[해설] 제일 긴 변의 길이는 짧은 두 변의 길이의 합 보다 작아야 하므로 제일 긴 변의 길이는 28
2 = 14보 다 작아야 하고 둘레의 길이의 합이 28(짝수)이므로 이등변삼각형의 밑변의 길이가 짝수이어야 한다.
따라서, ( 12, 8, 8 ), ( 10, 9, 9 ), ( 6, 11, 11 ), ( 4, 12, 12 ), ( 2, 13, 13 )의 6개다.
[해설]
P C
A Q
R D
B
① 점 A에서 반직선 PC에 수선을 그어 반직선 PC 와의 교점을 B라고 하자.
② 점 A를 지나고 직선 AB와 수직인 반직선 AQ를 그리고, 점 C를 지나고 직선 BC와의 수직인 반직선
CR를 그린다.
③ ②에서 작도한 두 반직선의 교점을 D라고 하면 사 각형 ABCD가 구하는 직사각형이다.
19. 해설 참조
[해설] 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점은 AB의 수직이등분선 위의 점이므로 AB의 수직이등 분선과 직선 l 의 교점 P가 구하는 점이다.
l A
B P
㉡ ㉠
㉡
㉢ ㉣
㉠ 두 점 A, B를 잇는 선분을 그린다.
㉡ 점 A, B를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 그린다.
㉢ ㉡의 원의 교점을 연결한다.
㉣ ㉢의 직선과 직선 l 의 교점이 구하는 점 P이다.
20. 해설 참조
[해설] 두 직선으로부터 거리가 같은 점은 각의 이등 분선 위의 점이므로 두 직선 l 과 m 이 이루는 각의 이등분선을 작도하여 원 O와의 교점 P와 Q를 구하면 점 P와 Q가 구하는 점이다.
O l
P Q
B
㉡ ㉡ A
㉢
㉣
㉡ ㉠의 원과 두 직선의 교점 A, B를 중심으로 반지 름의 길이가 같은 원을 그린다.
㉢ ㉡의 원의 교점과 두 직선의 교점을 연결한다.
㉣ ㉢의 직선과 원 O의 교점이 구하는 점 P, Q이다.
21. 60◦
[해설] △ACE 와 △BCD에서 AC = BC, CE = CD
∠ACE = ∠ACD + 60◦= ∠BCD
∴ △ACE ≡ △BCD( SAS 합동) ( 180◦- ∠x ) + ∠DBC + ∠AEC
= ( 180◦- ∠x ) + ∠CAE + ∠AEC = 180◦
∴ ∠x = 60◦
22. 해설 참조
[해설] 직선 l 에 대하여 점 A와 점 A'을 잡는다.
A'B 와 직선 l 과의 교점을 찾아 이 점을 P라고 한 다.
l A
B P
①
④
③ ⑤
② ⑥ A'
23. DE
[해설] △BCG와 △DCE에서 BC = DC … ㉠
∠BCG = ∠DCE = 90◦ … ㉡
∠GBC = ∠EDC( ∵ △BCG와 △DFG에 서
∠BCG = ∠DFG = 90◦, ∠BGC = ∠DGF( 맞 꼭 지 각)이므로 나머지 각의 크기도 같다. … ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △BCG ≡ △DCE ( ASA 합동)
∴ BG = DE
[해설] ⑴ △ACD와 △BCE에서 AC = BC( △ABC : 정삼각형) … ㉠
∠ACD = 60◦+ ∠ACE = ∠BCE … ㉡ CD = CE( △ECD : 정삼각형) … ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 △ACD ≡ △BCE( SAS 합동)
⑵ ∠BCA = ∠DCE = 60◦이 고
∠BCA + ∠ACE + ∠DCE = 180◦이 므 로
∠ACE = 60◦
25. ∠A = ∠ B = ∠ C = 60◦ AD = BE = CF
AF = BD = CE
∴ △ADF ≡ △BED ≡ △CFE ( SAS 합동)
26. ⑤
[해설] AB , BC , ∠B 가 주어졌을 때, △ABC 의 작도 순서는
C
A
B
㉠
㉣
㉡
㉢
27.
B
A l
P
[해설] ① AB 의 수직이등분선을 작도한다.
② ①에서 그은 직선과 직선 l 과의 교점을 찾는다.
28. 해설 참조 [해설]
③
② D P
l A
B' C
②
직선 l 에 대한 점 B의 대칭점 B'을 구하고 AB'과 l 의 교점을 P로 한다.
① 점 B를 중심으로 알맞은 반지름의 원을 그려 직선 l 과 만나는 점 C, D라고 한다.
② 점 C, D를 중심으로 ①의 원과 같은 반지름의 원 을 그려 그 교점을 B'이라고 한다.
③ 선분 AB'을 그어 직선 l 과 교점 P를 찾는다.
29. ③
[해설] 2cm, 3cm, 4cm, 5cm 로 만들어지는 세 변은( 2cm, 3cm, 4cm ),( 2cm, 3cm, 5cm ), ( 2cm, 4cm, 5cm ),( 3cm, 4cm, 5cm )이고, 이 중 ( 2cm, 3cm, 5cm )는 삼각형이 만들어지지 않는다.
30. 5cm
[해설] △ABD 와 △ACE 에서 AB = AC , AD = AE
∠BAD = 60ㅇ+ ∠CAD = ∠CAE
∴ △ABD = △ACE ( SAS 합동)
∴ CE = BD = 2 + 3 = 5( cm)
31. ①
[해설] △ BCG 와 △ DCE 에서 BC = DC (정사각형)……㉠
∠BCG = ∠DCE = 90◦……㉡
CG = CE (정사각형)……㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의해 △ BCG ≡ △DCE ( SAS 합동)
∴ BG = DE 이므로 DE 의 길이는 5 이다.
[해설] PQ 의 수직이등분선을 작도하여 A B C D 의 변과 만나는 점 R, S 가 구하는 점이다.
A
B P
C D
Q R
S
33. 해설 참조 [해설]
B
X P Y
O
P' P''
A
C D
②
①
③
④
②
① 점 P를 중심으로 알맞은 반지름의 원을 그려 반직 선 OX와 만나는 점 C, D라고 한다.
② 점 C, D를 중심으로 ①의 원과 같은 반지름의 원 을 그려 그 교점을 P'이라고 한다.
③ 마찬가지 방법으로 OY에 대한 점 P의 대칭점 P''을 찾는다.
④ P'P''과 OX, OY 와의 교점을 각각 A, B 라고 한다.
34. 60◦
[해설] ∠COE = ∠COD+∠DOE
= 1
3 ( ∠AOD + ∠DOB) = 1
3 ∠AOB
= 1
3 ×180◦
= 60◦
35. ②
∠ACM = ∠DMB (엇각)
∴ △AMC ≡ △DBM , ( ASA 합동 )
36. 90◦
[해설] △ABE와 △BCF에서 AB = BC
( ∵ □ABCD는 정사각형이므로)
∠ABE = ∠BCF = 90◦ BE = CF( ∵ 가정에서)
△ABE ≡ △BCF( SAS 합동)
∴ ∠BAE = ∠CBF
∠CBF + ∠AEB = ∠BAE + ∠AEB = 90◦
∴ ∠x = ∠BGE = 180◦- ( ∠CBF + ∠AEB )
= 90◦
37. 해설 참조
[해설] OA 에 대한 점 C 의 대칭점을 C '
OB 에 대한 점 D 의 대칭점을 D ' 이라고 하고, 점 C ' 와 점 D ' 를 이은 직선이 OA , OB 와 만나는 점 을 각각 E, F 라고 하면 CE + EF + DF 의 길이가 가장 짧게 된다.
A
C D B
O E
C′
F D′
