수 개념의 조작적 구성 : 피아제의 견해
• 수학적 개념을 조작(operation)으로 설명
ü 수학적 개념을 ‘행동(활동)에 대한 반영적 추상화의 결과로 구성되는 조작 혹은 조작적 쉠(scheme)’이 라고 봄.
ü 따라서 수학적 개념을 형성하는 것은 곧 ‘조작을 구 성’하는 것임.
à 조작적 구성주의(operational constructivism) 조작(operation) : 내면화된 가역적 행동
- 내면화 : 자신의 행동을 의식하는 것으로부터 시작하 여 그 행동을 머릿속에 넣는 것
- 가역성 : 행동의 출발점으로 되돌아갈 수 있는 것.
• 조작은 태어나면서부터 획득하고 있는 것이 아니며, 성장과 함께 발달한다.
ü 감각운동기, 전조작기(대략 7세 이전) / 구체적 조작 기(대략 7세 이후), 형식적 조작기(대략 12세 이후) - 구체적 조작기 : 구체적 사물에 대해서만 ‘조작’ 가능 - 형식적 조작기 : 가설-연역적 사고 가능
• 조작(분류, 서열화) 의 체계가 수학적(대수적) 구조 를 갖는다고 봄.
예 1) 포함 관계에 의한 집합의 ‘분류’ 조작 : 집합의 가법 군성체
ü 합성가능성 : A + A' (= B)이 정의됨.
ü 가역성 : A + A' = B 에 대하여 B + (-A) = A' (A의 역조작 -A 존재) ü 결합법칙 : (A + A') + B = A + (A' + B)
ü 일반 항등 조작 : 모든 조작 A에 대하여 A + 0 = A 인 0 존재
ü 특수 항등 조작 : A + A = A , B + A = B (각 조작에 대하여 더해도 결과가 변하지 않는 조작 존재)
예 2) 두 대상 사이의 순서를 결정하는 ‘서열화’ 조작 : 비대칭적 추이 관계의 가법 군성체
ü 합성가능성 : a + a' (= b) 이 정의 (O<A이고 A<B이면 O<B ) ü 가역성 : a + a' = b에 대하여 b + (-a) = a'
(“O<A이고 A<B이면 O<B” 에 대하여 “O<B이고 A<O이면 A<B”) ü 결합법칙 :
ü 일반 항등 조작 : ü 특수 항등 조작 :
• 피아제에 의하면,
ü 수 개념은 논리적 관계로 환원 가능
ü 논리적 관계는 ‘집합의 포함관계(분류)’와 ‘비대칭적 추이관계(서열화)’로 특징지어짐.
à 수 개념은 ‘집합의 포함관계에 대한 가법 군성체’와
‘비대칭적 추이관계의 가법 군성체’의 종합
ü 이들 군성체의 핵심적인 특성은 ‘가역성’
- 수 개념을 가지고 있다는 것은 가역성의 인식에 따른 수의 ‘보존’ 개념을 전제로 함.
ü 수 개념 구성은 전체가 ‘보존’된다는 것(즉, 전체는 부분들로 구성되고 부분들은 임의로 배열될 수 있음) 을 이해하고, 보존되는 전체를 ‘분류’하고, ‘서열화’
하는 조작을 통해 이루어짐.
à 수 개념 지도에서 구체적인 대상에 대한 분류 활동, 계열화(서열화) 활동이 필수적.
2. 음수 개념의 역사적 발생
• 음수 개념은 방정식 풀이와 관련하여 오래 전부터 사 용되어 왔으나, ‘수’로서 인정받지는 못함.
ü 디오판투스(Diophantus, 200-284?)
- “방정식 4x + 20 = 4의 해 x = -4 는 ‘불가능한 것’
이고, ‘우변의 4는 20보다 큰 수’이어야 한다.”
ü 브라마굽타(Brahmagupta, 598-665)
- 이차방정식 풀이에서 음수를 해로 인정하지 않음.
ü 데카르트(Descartes)
- “방정식의 음의 근은 ‘거짓 근’이다.”
ü 파스칼(Pascal)
- “0보다 작은 수는 존재하지 않는다.”
• 왜?
ü 수 개념을 크기, 개수, 길이, 넓이 등의 양적인 관념 과 분리하여 생각하기 어려움.
- 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?
- (-3)의 제곱이 어떻게 2의 제곱보다 클 수 있는가?
- 1:-4 가 어떻게 -1:4와 같을 수 있는가?
à이는 음수 개념을 처음 학습하는 학생들에게서 나타 나는 인식론적 장애(epistemological obstacle)이기 도 함.
ü 인식론적 장애(epistemological obstacle)
- 어떤 특정한 맥락에서는 성공적이고 유용한 지식으 로서 학생의 인지구조의 일부가 되어 있지만, 새로운 문제 상황이나 더 넓어진 문맥에서는 부적합해진 지 식
- 인지적 장애(cognitive obstacle)라고도 함.
- 예) 수 개념을 개수나 크기와 연관 짓는 것은 자연수 개념을 학습할 때에는 유용하지만, 음수 개념을 학습 할 때는 오히려 방해가 됨.
• ‘수’로서 음수의 인정
ü 19세기 독일 수학자 한켈(Hankel, 1839-1873)
- 음수가 구체적이고 실제적인 것을 나타낸다는 관점 을 버리고, 형식적인 구조만으로 음수 이해
- 음수를 설명하는 구체적인 모델을 더 이상 찾지 않음 - 단지 자연수 체계를 구성하는 여러 가지 원리들이 그 대로 유지되도록 하면서 음수 체계를 확장하였고, 이 렇게 얻은 음수의 구조가 대수적로 모순이 없다는 것 만을 보임.
ü 이를 기점으로 음수는 구체적인 모델과 독립된 수학 적 개념으로서의 지위를 획득하게 됨.
음수 지도를 어떻게 할 것인가?
• 구체적인 모델을 통한 직관적인 방법
ü 셈돌 모델, 우체부 모델, 수직선 모델 등
• 형식적인 방법
ü 형식불역의 원리, 귀납적 외삽법, 기하학적 – 대수적 형식불역의 원리 등
à모델을 통한 직관적 접근과 형식적 접근의 상보적인 사용을 고려할 필요
음수 지도를 위한 모델
• 셈돌 모델 (C. Gattegno, 1911-1988)
ü 두 가지 색(흑, 백)의 돌을 이용하여 정수를 나타내 고 연산을 정의하는 모델
ü 기본 아이디어
- 검은 돌 하나와 흰 돌 하나는 같이 없앨 수 있다.
(소멸 법칙)
ü 특징
- 덧셈과 뺄셈 연산 설명이 용이하지만, 곱셈과 나눗셈 설명이 어려움
• 우체부 모델
ü 어음(받는 사람에게 소득) 받는 사람과 고지서(받는 사람에게 부채)를 배달하는 우체부를 가정
ü 우체부는 고지서와 어음을 배달하거나 잘못된 배달 을 도로 가져감.
ü 기본 아이디어
- 어음 : 양수, 고지서 : 음수,
- 가져오는 것 : 덧셈, 가져가는 것 : 뺄셈
2 + 3 = 5 우체부가 철수에게 2만원짜리, 3만원짜리 어음을 가져왔다.
철수에게 5만원 소득이 생겼다.
? 우체부가 철수에게 3만원짜리 어음과 2만원짜리 고지서를 가 져왔다. 철수에게 1만원 소득이 생겼다.
? 우체부가 철수에게 2만원짜리 어음과 3만원짜리 고지서를 가 져왔다. 철수에게 1만원 부채가 생겼다.
(-2) + (-3) = -5 우체부가 철수에게 3만원짜리, 2만원짜리 고지서를 가져왔다.
철수에게 5만원 부채가 생겼다.
? 우체부가 철수에게 3만원짜리 어음을 가져오고, 2만원짜리 어 음을 가져갔다. 철수의 소득은 1만원이 되었다.
? 우체부가 철수에게 2만원짜리 어음을 가져오고, 3만원짜리 어 음을 가져갔다. 철수의 부채가 1만원이 되었다.
? 우체부가 철수에게 3만원짜리 어음을 가져오고, 2만원짜리 고 지서를 가져갔다. 철수의 소득은 5만원이 되었다.
(-2) – 3 = -5 우체부가 철수에게 2만원짜리 고지서를 가져오고, 3만원짜리 어음을 가져갔다. 철수의 부채가 5만원이 되었다.
? 우체부가 철수에게 3만원짜리 고지서를 가져오고, 2만원짜리 고지서를 가져갔다. 철수의 부채가 1만원이 되었다.
? 우체부가 철수에게 2만원짜리 고지서를 가져오고, 3만원짜리 고지서를 가져갔다. 철수의 소득이 1만원이 되었다.
- 덧셈과 뺄셈
-
곱셈 : A*B 에 대하여 A는 어음이나 고지서, B 는 가져온 것의 개수(양수)나 가져간 것의 개수(음 수)로 해석2 * 3 = 6 2 * (-3) = -6 (-3) * 2 = -6 (-3) * (-2) = 6
ü 특징
- 일상적으로 일어나는 현상을 통해 음수 개념의 필요 성이나 그 의미를 설명하고, 실생활 맥락에서 음수의 의미를 해석할 수 있는 상황을 제공한다는 점에서 의 미 있음.
- 덧셈, 뺄셈이 용이하고, 곱셈 설명 역시 가능하지만, 나눗셈 설명 어려움.
• 수직선 모델
ü 음수 개념을 설명하기 위해 가장 많이 사용되는 모델 ü 기본 아이디어
- 수를 ‘방향’과 ‘크기’를 갖는 ‘화살표’로 설명
- 예) +3은 오른쪽 방향의 길이 3인 화살표이고, -3은 왼쪽 방향의 길이 3인 화살표
- 덧셈과 뺄셈(a+b, a-b) : a를 나타내는 화살표의 머 리에 b를 나타내는 화살표의 꼬리를 두되, 뺄셈의 경 우에는 화살표를 반대 방향으로 놓는다.
- 곱셈 : 반복되는 덧셈으로 설명하되, 음수를 곱할 때 에는 음의 부호를 방향을 바꾸는 것으로 설명
- 나눗셈 : 반복되는 뺄셈을 통해 피제수를 나타내는 화살표를 원점으로 줄이는 과정으로 설명. 이때 줄이 는 방향이 제수의 반대방향일 때 그 결과를 양수라고 가정.
ü 특징
- 음수 개념을 설명하기 위해 가장 많이 사용되는 모델 - 두 정수 사이의 대소 관계가 명료하게 드러남
- 덧셈,뺄셈, 곱셈, 나눗셈 모두 설명 가능
- 음의 부호가 ‘왼쪽 방향’, ‘반대 방향’, ‘방향 바꾸기’,
‘뺄셈’ 등 다중적인 의미를 지녀 학습에 어려움이 발 생할 수 있음.
• 구체적인 모델을 통한 음수 지도의 장,단점
ü 장점 : 음수 개념을 처음 접하는 학생들에게는 구체 적인 모델을 통한 직관적인 개념 도입 및 설명이 효 과적일 수 있음.
단점 : 음수 개념과 연산을 일관성있게 설명하는 만족 스러운 모델을 찾기가 어려움.
