제7강. 초등수학의 특성

제7강. 수학 학습내용 특성의 학습목표 1. 수학 학습내용 특성을 알 수 있다.

2. 수학적 사고 방법의 특징을 알 수 있다.

제7강. 초등수학의 특성

1. 수학 학습내용의 특성

수학은 수량과 관련된 수학적 사실, 관계, 규칙을 다루며, 공간에서 일어나는 다양한 현상들에 대해 연구하는 분야

- 인간의 생활영역이나 지식의 세계에서 수리적 계산이나 사고, 공간 감각과 직접적인 관련, 또한 개인의 생각이나 개념을 정확하고 간결하게 전개, 표현을 용이하게 해준다.

- 수학학습에서 수학이 갖는 특성을 인지수준에서 학습내용 엄선, 내용 교재화 과정에서 구체적 조작활동을 통하여 비형식적인 사고활동이 일어나도록 고려해야 한다.

수학 학습내용의 특성은 수학과의 최종 수준에 도달 할 수준으로 초등에서는 완성된 수학으로 숙달이 아니라 만들어 가는 덜 완벽한 수학을 하게 된다.

- 완성된 수학을 위해 많은 비현실적이고 직관적인 사고를 구체적 조작과 같은 실험과정을 통하여 많은 경험을 제공하여 형식화된 수학의 기초 마련

가. 추상성(抽象性)

어떤 구체물의 집합에서 이질적인 속성 제거, 동질적인 속성만을 추출하는 추상화 과정과 관련된 것, 수학에서 다루는 대상은 대부분 추상화하여 얻 어진 개념이라는 점에서 수학 교과의 핵심

- 어떤 구체물 집합에서 각 구체물이 갖는 속성 중 異質的인 要素(색깔, 크 기, 촉감, 냄새 등)는 제거, 同質的인 요소(공통적인 성질)만 추출

자연수는 사물의 모임에서 사물의 수를 대응의 조작으로 비교하고 낱낱의 수를 세는 데서 얻어진다. 그러나 세는 대상이 되는 사물 자체는 수가 아니 고 수의 개념을 형성해 주는 자극물

예)연필 3자루, 색종이 3장, 사과 3개 등과 같은 구체물에서 이질적인 요소 (물질적인 것, 형, 크기, 색깔) 등은 사상, 동질적인 요소(공통인 속성)를 뽑 아내어 만든 표상을 이상화하여 자연수 “3”(셋, 삼)의 개념 형성

구체물(사과 세 개)

↙↗ ↖↘

수사(數詞)(셋)→숫자(3) ←

[

⇒ ⇒

[이질적] → [모양] → [동질적]

흑판 유리창

책

‧ 직사각형

• 3의 추상

추상성은 학생들이 매우 어렵게 받아들여 반드시 구체물과 연결 지도

- 구체만으로 수학지도는 불가능하고 모든 지식은 구체가 아닌 추상적인 개 념에서 형성되는 것

- 추상화는 사물의 현상을 기호화하고, 간결 명확하게 표현하고 활용하여 사 고활동을 돕는다.

- 이질적인 구체물 중에서 동질적인 것을 찾아 귀납적 방법이 적용되고, 또 추상화된 것에서 구체적 사항의 여러 가지로 적용될 때에는 연역적 방법 인간이 만물의 영장인 것은 여러 두뇌활동 동물 가운데서 유독 인간만이 추상적인 사고능력이 있기 때문

유명한 수학자 B.Rusell은

‘인류가 닭 2마리와 사과 2개를 같은 것으로 이해하는 데 수천 년이라는 시간이 걸렸다.’

나. 형식성(形式性)

어떤 대상에서 추상화 방법을 통하여 필요한 원리나 규칙을 발견하고 보다 편리한 격식, 양식(틀) 등을 만들어 더욱 일반성을 띤 편리한 활용 방법

수학의 개념이나 원리가 추상화의 사고 과정을 통하여 발견되고 추출된 다음, 더욱 발전된 일반성을 가지는 활용 방법을 얻는 과정에서 필요한 격식인 형식성은 수학적 표현의 엄밀성을 보장하기 위한 장치로 수학의 힘을 증대시키고 효율적인 사고를 가능하게 해주는 특징

수학에서 편리하다는 말은 작업량이 적을 때를 말하는 것, 작업량은 글자를 쓸 때의 일의 양과 생각하는 일의 양으로 세분

- 수학의 형식성은 수학적인 엄밀성과 수학체계의 무모순성을 보장하기 위한 장치로 19세기말 독일의 힐베르트에 의해 더욱 명확하게 제시

예)자연수의 덧셈형식은 소수, 분수의 덧셈형식과 공통되는 점이 있어 최종에 소수, 분수의 덧셈에 적용되는 계산의 틀을 만든다. 역으로 이 형식은 자연수, 소수, 분수의 덧셈 계산에 적용하게 되는 것

※ 32+15, 32+19, 32+99의 계산

3 2 3 2 ②↕↕① ①↕↕② + 1 5 + 1 5 4 7 4 7

받아 올림이 1번 있을 때 3 2 3 2

②↕↕① ①↕↕② +1 9 + 1 9 5 1 5 1

받아 올림이 2번 있을 때 3 2 3 2

②↕↕① ①↕↕② + 9 9 + 9 9 1 3 1 1 3 1 덧셈은 다음과 같은 형식을 얻게 된다.

① 자리 수를 맞추어 계산한다.

② 1의 자리부터 10의 자리로 올라가며 계산한다.

③ 받아 올림이 있는 계산은 받아 올린 수를 잊어서는 안 된다.

예) 두 분수 에 대하여 덧셈의 형식화는 다음과 같다.

기호논리학(또는 기호주의)의 선구자인 Liebniz는 “해석의 비밀은 그 기호의 표시 방법에 달려 있다.”

“기호로 간단히 표현하는 것은 사물의 본질을 찌를 때이고, 그럴수록 생각하는 수고는 놀랄 만큼 줄어든다.”

- 미적분학의 창시자의 한 사람으로 좌표와 함수개념을 창안하였고 기 호논리학과 위상수학의 개척자

다. 이상성(理想性)

추상성과 밀접하고 수학적 사고 과정에서 그 사고의 대상인 사물이나 현상에 대하여 사고의 대상이 되는 사물이나 현상을 그 겉모양으로 보는 것이 아니라 최적의 사고가 가능하도록 본질적인 요소만 고려하여 새로이 바람직한 형태로 단순화시킴으로써 얻게 되는 특성

- 어떤 사물(또는 현상)에 대하여 그 사물이나 현상의 의존보다는 오히려 그것들에 대하여 사유하는 힘을 통하여 얻어지는 개념

예) 비례의 개념은 ‘빠르기가 일정할 때에 달리는 거리는 주행시간에 비례한다.’에서 ‘빠르기가 일정할 때’

또 나눗셈에서 ‘사과 12개를 4사람에게 똑같이 나누면 한 사람에게 몇 개 씩 줄 수 있는가?’ 에서 ‘똑같이 나누면’

사물의 현상을 보지 않고 ‘빠르기가 일정할 때’, ‘똑같이 나누면’ 등과 같이 이상화하여 비례 개념, 나눗셈 개념을 구성하게 되는 것을 이상성.

- 삼각형이나 원의 도형은 아무리 정확하게 그리더라도 단지 그렇게 보일 뿐 실제 똑바른 원이나 직선은 없다.

존재하지 않은 진짜의 직선과 원은 인간의 이성(理性), 즉 이데아의 세계에서만 존재한다.

완전한 삼각형이나 원은 눈으로 보거나 만질 수 있는 것이 아니라 관념(觀念, idea)의 세계에서만 이루어지는 것으로 보는 철학을 플라톤의 관념론

라. 일반성(一般性)과 특수성(特殊性)

일반성은 하나의 대상에 대한 고찰에서 그 대상을 포함하는 집합의 고찰로 확장시키는 일반화의 성질을 가리키는 것, 수학에서 사용되는 여러 가지 원리와 법칙을 발견[구성]하게 해준다.

- 일반화란 몇 개의 개념이나 원리, 법칙들에서 추상적 방법으로 공통된 형식을 만들어 확장해 가는 작용

학년이 올라 갈수록 자연수의 십진기수법의 원리, 자연수, 분수, 소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 계산원리로 확장하는 학습을 하게 되어 최종적으로 가장 일반적인 원리가 만들어진다.

특수성은 주어진 대상의 집합에 대한 고찰에서 그 집합에 포함되는 더 작은 집합(또는 단 하나의 대상)에 대한 고찰로 옮겨가는 특수화의 성질을 가리키는 것 예)분수의 개념

- 2, 3학년은 등분할이나 양의 크기와 관련된 분수, 양의 분수, 조작의 분수 개념 형성

- 4, 5학년은 분수의 뜻을 포함하면서 비율의 분수, 나누어 떨어지지 않는 나눗셈에서 몫의 분수 등의 개념으로 확장한 분수 개념

초등학교의 언어적 일반화가 중․고등학교에서 문자 일반화 발전

- 어린이는 피가수, 가수, 합과 같은 용어를 사용한 논리 정연한 표현은 발달과정상으로 곤란하지만 언어적 일반화의 표현방법 정도는 가능

수학교육에서 일반화 과정이 없다면 지식의 고차적인 통합화와 확장화는 기대할 수 없다. 특수화는 일반성에 대립되는 개념으로 일반적인 형식에서 특수화된 사고에 의해 얻어지는 개념

Polya는 주어진 집합에 대한 고찰을 토대로 그에 포함되면서 그 보다 더 작은 집합의 고찰로 이동하는 것이 특수화

예1)문자로 표시된 일반화 ( a ± n ) + ( b ∓ n ) = c로 8 + 7의 값 계산 8 + 7 = ( 8 + 2 ) + ( 7 - 2 ) = 10 + 5 = 15

예2)곱셈

a×b=c

마. 계통성(系統性)

어떤 기초적인 내용을 토대로 새로운 조합이나 통합하여 새로운 내용의 구성 체계 - 계통성은 어떤 기초적인 내용의 기반 위에 다른 내용을 더 첨가함으로써, 발 전되고 통합된 새로운 내용을 일관성 있게 이어나가는 것, 수학적 개념의 확장 과 관련

수학은 어느 교과보다 계통성이 강한 교과로 학습 내용의 순서를 정할 때 논 리적 연결성을 갖고 학습이 단계적으로 이루어진다.

- 사물의 낱낱의 개수를 통하여 자연수 정의, 다음에 등분할의 조작을 통하여 분수 정의, 진분수를 통하여 소수 정의.

- 자연수, 분수, 소수의 순서로 내용을 구성해 가는 계통성

- 곱셈은 덧셈에서 동수누가의 경우와 배의 개념을 통하여 정의

- 나눗셈은 뺄셈에서 동수누감의 조작을 통하여 포함제, 등분제의 정의 - 도형, 측정, 문자와 식의 영역에서 학습의 내용의 계통성이 있다.

만약 학습내용을 개별적, 분산적, 독립적으로 생각하거나 전후관계를 끊는다 면 학습흥미를 잃고 수학을 싫어하게 된다.

사칙연산은 2+3=5와 같은 덧셈과 2+2+2=6의 동수누가의 특수 덧셈 생각 - 덧셈 2+2+2을 2×3=6과 같이 곱셈으로 갈 때에 공통요소인 동수누가의 방 법을 거치는 계통성 생각

- 나눗셈은 뺄셈에서 동수누감의 공통된 요소를 갖는데 가령 12÷3은 12-3-3- 3-3=0과 같이 동수 누감하여 12에는 3이 4번 들어 있는 12÷3=4를 구하는 계 통성을 갖는다.

역연산을 통한 계통에서 연산은 2+3=□에서 □를 구하는 것은 덧셈, 2+○=5에서 ○를 구하는 것은 뺄셈, 2×3=□에서 □를 구할 때는 곱셈, 2×○=6에서 ○를 구하는 것은 나눗셈

자연수의 구조는 Peano의 공리로 만들어져 덧셈과 곱셈에 폐쇄성과 일의성 - 자연수에서 뺄셈과 나눗셈에서 불가능하여 수를 정수, 유리수 확장 생각.

이때 자연수와 정수, 정수와 유리수는 다른 개념이고 포함관계가 성립 유리수와 무리수는 다른 개념과 동시에 대립개념

- 다른 개념과 대립개념은 새로운 개념 속으로 포함되는 계통성은 수학뿐만 아니고 일상생활의 장면에서도 생각

- 앞의 두 가지는 수학을 만들어 가는 데 따른 계통성인데 다음 문제는 수학 문제를 해결에 따른 서로 다른 계통성

例) 분수

․

×2 (배의 개념)

․

= 2÷3 (나눗셈)

․

= 2：3 (비)

= 0.66… (비의 값)

은 단선적 계통이 아니고 복선적 다차원적 계통

- 수학과에서 학습한 사항과 관련하여 다차원적인 계통을 찾아 다양한 사고에 의한 문제 해결 요구

- 지도방법은 학습의 구조화의 문제와도 직접적 관련

바. 논리성(論理性)과 직관성(直觀性)

이론의 근거를 분명하고 정확하게 파악하는 것으로 가정에서 결론으로 이끌 어 가는 과정이 분석적이고 단계적이며 명제는 앞의 명제에서 정당하게 이끌 어진 사고 작용

- 기본적 개념이나 원리, 법칙 등을 토대로 지식간의 상호 의존관계나 결합관 계를 밝혀 논리적으로 모순이 없는지를 생각하고 체계화하는 것

전제나 선행 명제로부터 결론이나 후속 명제를 타당하게 이끌어내는 논리성 은 다른 어떤 교과보다 수학 교과의 특징

- 논리적으로 정당화 대상은 사실상 직관에 의해서 발견되고, 발명되는 경우가 많다는 점에서 수학에서 직관성도 매우 중요

초등학교에서 형식화된 논리지도는 학습발달 과정상 강조될 필요는 없지만 직관이나 통찰을 통한 구체적인 조작 활동이나 실험․실측을 통하여 직관적으 로 대상을 보고 사고하는 힘을 기르는 것은 필요

- 논리성은 추리의 형식인 귀납, 연역, 분석, 종합, 유추 등을 바탕으로 논리적 사고의 확실성을 뜻한다.

수학교육은 논리적 사고력을 신장시키는데 목표를 두고 있다.

수학학습의 실제적인 활동은 주로 문제의 해결을 합리적인 사고를 통하여 해결한다든지, 수학적 사실을 정확하게 판단한다든지, 추론의 과정을 예견 한다든지, 조리 있게 생각하여 성질이나 법칙을 발견한다든지 등의 다양한 논리적 사고 활동으로 학습 목표에 도달하도록 하고 있다.

- 수학 내용 자체가 논리성을 내포하고 있으며 수학학습 활동 자체가 논리 적 사고활동을 경험하도록 하고 있다.

예) 0이 짝수일까?

집합 E = { 0, 2, 4, 6, … }에 0을 포함해 생각해 보자. 2의 배수는 짝수이다.

0은 2의 배수로 표현할 수 있는가? 0=2×0, 2=2×1, 4=2×2, …로 2의 배수로 표현할 수 있으므로 0은 짝수이다.

초등학생은 자연수 집합에서 짝수를 생각하므로 짝수로 생각하지 안는다.

사. 실용성(實用性)

땅의 넓이나 산의 높이를 구할 때 수학의 이론을 적용하여 측정하는 것과 같이 실제 생활에서 수학이 유용하게 사용

- 다른 교과의 학습을 돕는 기초적인 도구 교과로서의 역할을 수행하는 점은 수학의 실용성을 보여준다.

제7강. 강의 내용 요약

(1)추상성 :

(2)형식성 :

(3)이상성 :

(4)일반성과 특수성 :

(5)계통성 :

(6)논리성과 직관성 :

(7)실용성

2. 수학학습 사고방법의 특성

수학학습에서 적용되는 사고의 방법은 간단한 사실의 경우의 참, 거짓의 판 단은 쉽게 하나 복잡해지면 참 거짓의 판단이 어렵게 된다.

- 旣知사실을 기초로 未知의 사실에 대한 새로운 판단을 내리고, 그 사실의 참, 거짓의 판단을 얻는 사고 작용을 추리(inference, reasoning)(또는 간접 사고)

추리방법: 歸納推理, 演繹推理, 類比推理

직관과 논리는 서로 상반되는 듯 하면서 相補的인 관계가 있고 동시에 일어 나는 것은 아니지만 수학적 사고를 하는 경우 긴밀한 연대성 요구

- 직관은 사고의 대상을 인지하는 활동으로 다소 명확하지는 않지만 전체를 감지하고 이론의 전개 방향과 기틀을 마련해 주는 역할을 하며 구체에서 논 리의 방향을 시사해 주는 작용

- 직관적 사고는 자기중심적으로 실용적 지능의 특징이 강하다.

- 논리적 사고는 모든 사상에 대해서 감정적 또는 정서적인 생각이나 자기 중심적인 생각을 떠나 因果關係라는 입장에서 미지의 사상의 연쇄를 발견하 려는 심적 기능

논리적 사고는 직관적인 판단에서 의문이나 불안감이 생길 때 일어나는 것 - 직관적 판단은 논리적 사고를 거쳐야 비로소 확실성 보장

- 因果關係라는 입장에서 전제에서 결론을 이끌어 내는 심적 기능으로 이 사고과정은 분석적이고 단계적, 앞의 명제에서 다음 명제의 정당한 추론으 로 이끌어 내는 사고활동

도형의 개념 형성이나 성질을 발견하는 학습은 직관과 논리 활동 학습

- 여러 가지 사각형에서 직관적 판단으로 도형의 특징을 찾아 직사각형의 개념을 정의 경우에 직관력 배양,

- 평행사변형에서 변의 길이나 변의 위치, 각의 크기 등을 분석하여 도형의 성질을 발견하는 경우에 논리적 사고력 배양

직관력의 육성을 위해 구체적인 조작활동과 그림으로 나타내는 학습지도가 있어야 하고, 논리적인 사고력의 육성을 위해서 아동 상호간의 논의나 토론 을 교수․학습에 도입하는 일과 표현의 지도를 중시하는 수업 필요

思考란 보통 ‘생각하는 것’, ‘생각’, 철학에서 넓게 ‘인간의 지적작용의 총칭’, 좁게는 감성의 작용과 구별하여 ‘개념․판단․추리의 작용’ 해석

- 심리학에서 ‘어떤 사상을 야기하는 심적 과정’ 또는 ‘어떤 과제에 대처하 는 심적 작용’

가. 귀납적 사고

개개의 구체적인 사실이나 특수한 사실에서 공통요소를 찾아내어 일반적인 원리, 법칙을 이끌어내는 사고 방법

- 특수한 사실로부터 일반적인 결론을 이끌어내는 방법

(부분적 사실, 특수적 사실) → (전체적 사실, 보편적 사실)

어느 事象의 부분이나 개개의 특수사례에서 출발하여 전체에 관한 지식이나 공통적이고 보편적인 성질을 이끌어내는 방법

- 귀납추리는 단 한 개의 사실에 대한 추리에 적용 될 수 없고 여러 개의 것을 통합하여 일반법칙을 이끌어내거나 규칙적인 연속변화에서 일반적인 원리나 법칙을 발견하는 것

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

특히 초등학교는 연역적인 방법보다 실험․실측을 동반할 수 있는 귀납추리 의 방법이 잘 적용

- 주의할 것은 귀납추리에 의한 결과는 때로는 거짓이 될 수 있어 논리적 증명과정이 필요

예)삼각형의 내각의 합은 여러 종류의 삼각형에서 각각의 삼각형의 내각의 합을 구해보고 삼각형의 모양이 다르더라도 내각의 합은 180°가 된다는 공통적인 원리 발견

나. 연역적 사고

일반적인 명제나 진리(또는 보편적 원리), 법칙을 전제로 보다 특수하고 개별 적인 명제나 진리(또는 특수 원리), 법칙을 이끌어내는 사고 방법

- 귀납적 사고와는 반대방향으로 활동하는 사고방법

- 귀납적 사고는 일반화나 확장화의 활동을 하고, 연역적 사고는 특수화의 활동을 하는 것이 수학 전개방식의 일반적인 방법

귀납추리에 대한 역으로서 전체에 대한 지식이나 일반적인 법칙 또는 원리에 서 출발하여 부분에 관한 지식이나 특수사례 등을 이끌어내는 방법

- 논리적인 엄밀성이 철저히 가해진 추리방법

예)삼각형의 내각의 합이 180도임을 연역적 방법으로 알아보자.

l

- 어떤 문제의 해결은 귀납에서 연역으로, 연역에서 귀납으로 번갈아 추리 일반적으로 연역추리에서 얻어진 결과는 참인 명제를 근거로 반복해서 추리 하기 때문에 항상 참

귀납과 연역의 본질적인 차이는 결론의 성격에 있다. 귀납에 의한 결론은 옳 을 듯(개연적)할 뿐이며 연역에 대한 결론은 확실하다. 이에 귀납은 증명의 수단이 될 수 없다.

- 귀납과 연역은 종합과 분석과 마찬가지로 인간의 사고 작용의 양면으로 상호보완적인 관계에 있다.

- 이론의 근거를 분명히 하는 공리론적 방법이나 현대수학에서는 공리를 이 론전개의 가정이나 전제로 보기 때문에 참이 아닌 가정에서 연역적 추론이 이루어질 수도 있어 얻어진 결과는 항상 참이라고 단정은 못하나 어린이에 게 연역적 추론에 의한 학습지도를 할 때는 참인 명제를 가지고 참인 명제를 얻도록 하는 것이 바람직하다.

예2) 왜 3 - (-2) = 5인가?

被減數 3은 일정하고 減數가 1씩 작아지면 차는 1씩 커진다는 귀납추리의 방법에서 얻어진 원리를 특수한 사실에 적용한 연역적 추리가 된다.

… … … 3 - 2 = 1 ↓ ↓

3 - 1 = 2 …………기지의 판단 ↓ ↓ (귀납)

3 - 0 = 3 ↓ ↓ ↓

3 -(-1) = 4 (연역)

↓ ↓ …………미지의 판단 3 -(-2) = 5

… … … ↓

∴ (+) - (-) = (+) (귀납)

기본문제 연습문제 A ---→ B ┊ ┈ 유사점 ┈ ┊

眞 → 眞일 것이다.

다. 유비추리(Analogy)

유추라고도 하는데 몇 개의 유사점을 기초로 특정한 사실에서 그와 유사한 다른 특수한 사실의 성질을 추론 방법으로 수학 학습활동에서 자주 이용되는 추리 방법

-교과서의 내용구성에서 먼저 단원명과 단원의 목표를 도달시킬 수 있는 풀이를 해놓은 기본문제 A가 있으며 다음에는 연습문제 B가 있다.

- 기본문제 지도는 시간적 여유와 여러 가지 방법으로 문제를 해결하며 문제의 성격과 풀이법을 잘 이해할 수 있는 검증을 통하여 그 결과가 참이 됨을 입증해야 한다. 연습문제 B는 A와 B사이에 유사점을 살펴 A의 방법에 따라 B의 문제를 풀이하는 방법으로 지도.

- A와 B사이에 유사한 공통점이 발견되면 A에서 추론한 방법에 따라 B를 추론하는 방법을 유비추리. 이 방법은 유사점에 따라 추론했기에 항상 참일 수 없어 논리적 증명과정이 따라야 한다.

예1) 기본문제 A=1+2+3+ … +10의 합을 구하여라.

․1부터 차례로 더한다.

․1과 9, 2와 8, 3과 7, 4와 6, 그리고 5를 더한다.

․1에서 5까지 더한 것과 6에서 10까지 더한 것을 합한다.

․1에서 10까지 더하는 식을 거꾸로 정렬하여 계산할 수도 있다.

. 63+64+65+66+ … +72의 합을 구하여라.

예2) 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이, 평행사변형은 직사각형에서 유도됨을 이해한다. 또 사다리꼴의 넓이는 평행사변형의 넓이를 활용하여 유도됨을 알 수 있다.

특수에서 일반으로 추론하는 귀납, 일반에서 특수로 추론하는 연역, 특수에서 특수로 추론하는 유추방법

- 연역적인 방법은 추론의 결과가 항상 참이지만 귀납과 유추는 항상 참이라고 할 수 없다. 따라서 귀납과 유추적 방법의 학습지도는 논리적인 증명과정 필요

일반 귀납 연역

특수 특수

유추

수학학습과 관련된 사고

① 재생적 사고와 생산적 사고(창조적 사고)(Max Wertheimer: 1880~1943)

‘Productive thinking’에서 생산적 사고와 재생적 사고 구별

- 생산적 사고는 주어진 문제 혹은 상황에서 구조적 관계를 알아내고 이들 부분을 역동적인 전체로 결합

- 재생적 사고는 하위부분 사이의 관계를 보지 못하고 개개의 하위부분에 대해 학습했던 대답만 반복, 기존의 개념 등을 구사하여 문제에 대처할 때 작용, 생산적 사고는 미지의 비정형문제에 대처할 때 작용

- 생산적 사고의 좋은 예는 평행사변형의 넓이를 직사각형 사이의 등적변환을 사용하여 개발할 수 있다.

Wertheimer 는 평 행 사 변 형 넓 이 지 도 과 정 에 서 지 난 시 간 에 배 운 직사각형넓이 공식을 상기 시킨 후 평행사변형 넓이지도

② 직관적 사고와 논리적 사고(Bruner)

직관적 사고는 사고활동의 방향을 시사하고 즉각 경험적인 해결을 지향하는 것, 이 방향의 옳고 그름을 계통적 연역적으로 뒷받침하면서 판정해 가는 것이 논리적 사고

③ 확산적 사고와 수렴적 사고(Guilford)

확산적 사고는 당면하는 문제에 대하여 가능한 실마리를 찾고 해결할 때 유효하고 그 뒤에 문제를 어떤 해결을 위하여 결말지으려는 것이 수렴적 사고

④ 반성적 사고(Piaget)

직접적인 사고활동을 대상으로 얻어진 결론에 대하여 보다 좋은 해결이나 해결의 가치 등을 문제로 이론적인 결론을 얻는 경우에 작용하는 것이 반성적 사고

이외의 사고활동

- 분석적 사고와 종합적 사고, 알고리즘적 사고, 발견적 사고 - 대수학자 Hilbert의 원논문에는 무수한 오류가 있다.

수학에 약하다고 말하는 사람 중에는 ‘논리적인 사고가 약하기 때문’이라 는 사람은 오히려 직관적 사고가 문제가 있는 경우가 많다. 수학적 직관에 관한 것을 고다이라구니히코(日小平邦彦, 일본 최초 필드상 수상자)는 數 覺이라 부른다.

수학을 이해는 실제로 수학적인 현상을 ‘보는’것.

- 본다는 것은 수각에 의해 지각하는 것.

- 수학의 언어는 수각이 지각한 수학적 관념을 표현하기 위한 일시적인 의 상에 지나지 않는다.

수학자에게 젊음은 다른 과학분야 보다 중요한 것은 수학적인 天分이 싹트 는 것은 15세 전후라는 것이 세계적 정설이 있기 때문

- 수학의 노벨상인 Field상(John Charles Jr, 1863～1932. 캐나다)은 40 세 미만자들을 대상으로 수상

라. 공리적 방법

용어의 도입에서 용어 자체는 정의하지 않고 그것들이 만족해야 할 몇 개의 법칙 들을 열거하는데 이들의 법칙을 공리하고 구성되어진 전체를 공리적 구조

- 공리는 game의 rule과 같은 것, rule를 바꾸면 game은 다른 game

공리론적 방법이란 무정의 용어와 이들 상호간의 관계에 의하여 기술된 명제(공 리)를 기초로 이론을 만들고 조직화해 가는 방법

- 무정의 용어란 정의되어 있지 않는 용어로 어느 한 용어의 뜻을 다른 독립된 용어로 설명할 때 반드시 설명되어 있지 않는 다른 용어가 끼어들어 정의되어 있 지 않는 용어를 사용할 수밖에 없다.

- 초등학교에서 사용되는 무정의 용어는 점, 선, 면 등이 있다.

예) ‘이등변 삼각형’의 정의 “두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변 삼각형”에서

‘변’, ‘길이’, ‘삼각형’이 무정의 용어

무정의 용어로 진술되는 公理의 뜻은 Euclid기하학 관점에서 ‘자명한 사실’, 비 Euclid기하학의 관점에서 ‘이론의 체계를 만들기 위한 전제가 되는 명제, 가정 또는 조건이 되는 명제’

예) 3월 15일은 첫 번째 토요일이다. 50일 지나면 몇 월 며칠이고 무슨 요일인 가?와 같은 명제는 초등학생들에게 현실에서 볼 수 없는 명제를 전제로 해결하 는 것은 학습발달과정상 사고에 혼란만을 가져와 피하는 것이 좋다.

공리론적인 방법은 연역적인 체계를 만드는 방법, 연역적으로 수학적 사실을 나타내는 방법으로 추론하는 힘이 양성되는 것은 물론 논리적인 사고, 비판적 인 사고가 길러지는 것도 기대되고 있다.

자기의 주장을 명확히 하기 위해서 주장하는 이론의 핵심을 분명히 해야 한다.

그렇지 않으면 모순에 빠지거나 循環論的방법에 말려들게 된다.

공리란 이론을 만들어 가는 핵심적인 이론으로 前提性과 條件性이 있으며 공리가 갖는 특성을 살리기 위해 추상성, 독립성, 완전성, 무모순성, 응용성 요구.

오늘날 공리는 그 내용이 참인 원리만을 생각할 필요 없이 수학을 전개하는 데 따른 전제성과 조건성을 가졌다.

Hilbert의 공리계 기본조건

① 無矛盾性:

“공리로부터 이끌리는 명제끼리 서로 모순이 있어서는 안 된다.” 공리계가 타당하면 추론을 진행해도 서로 모순되는 두 정리가 증명되는 일은 없다.

수학자 Hardy 는 어느 날 회의론자로부터 ‘2+3=5이면 세익스피어는 밀턴이다.’를 증명 해보라는 주문을 받았다. 하디는 조금 생각한 후에 다음과 같이 대답하였다. ‘2+2=4는 알고 있으므로 2+2=5이면 5=4이다. 양변에 3을 빼면 2=1이 된다. 그런데 세익스피어와 밀턴은 두 사람이다. 따라서 세익스피어와 밀턴은 한 사람이다.

② 獨立性:

“모든 공리는 다른 공리로부터 이끌리는 일이 있어서는 안 된다.”

③ 完全性:

“모든 정리는 공리계 안에서 증명되어야 한다.” 임의 명제 p에 대하여 p의 증명이거나 p가 아니라는 증명을 얻을 수 있으면 이 계는 완전이다. 즉 이 계에서 생각할 수 있는 명제에 대하여 참인가 거짓인가의 증명을 얻는데 충분한 만큼의 공리가 있을 때 이 계는 완전이다. 그러나 공리계의 독립성을 증명하는데 간단한 방법이고 더불어 모순성도 증명되는 경우도 있다. 그것은 Model이라는 개념이다. 공리의 Model이란? 적당한 해석에서 공리가 전부 참이 되는 구조를 말한다.

마. 개념(槪念, concept)의 의미

사물의 공통의 성질을 뽑아내는 것을 추상, 이러한 공통의 성질을 하나로 묶 는 것을 개괄, 이 개괄에 의해서 얻어지는 생각을 개념

- 일상생활이나 수학시간에 개념 또는 정의문제로 심각한 상황이 전개되는 예는 종종 볼 수 있다. 같은 책을 읽었던 사람들도 어떤 부분은 이해하기 어 렵다거나 저자의 의도와는 완전히 다른 뜻으로 받아들이는 경우가 있다. 이 런 현상은 개념 형성이 되지 않거나 동일한 대상에 대해서 서로 다른 개념이 형성되었기 때문이다.

개념은 추론 및 분류를 가능하게 하고 지식을 확장해주며 다른 사람과 의사 소통을 가능하도록 하기 때문에 처음부터 학습해야 할 중요한 대상이다. 수 학 학습지도에서 행하여지는 모든 것은 수학적 개념을 형성시키는 일로 그 만큼 수학학습에서 개념은 중요하다. 개념은 전통적 논리학의 입장에서 한 무리의 개개의 것에서 공통적인 성질을 빼 내어 새로 만든 관념이다.

- 교육심리학 사전에서 개념은 ‘개개의 사상에서 특수성을 버리고 공통성을 추상하여 만들어낸 것’으로 개념은 수학의 특성에서 밝힌 추상화와 같은 뜻 즉 개념이란 추상과 지식을 의미한다. 개념이란 일반적으로 개개 사물의 ‘관 념,’ ‘심상’을 가리키는 말로 넓게는 개요, 개관, 지식,

개념이란 일반적으로 개개 사물의 ‘관념,’ ‘심상’으로 넓게는 개요, 개관, 지 식, 사고방식 등의 의미.

- 엄밀한 논리 철학 용어로 실제로 보고 체험하는 경험적인 개개의 것, 즉 個 物, 個體에 대해 그것들을 포괄하고 그것들 보다 한 단계 차원이 높은 추상적, 보편적 존재를 가리킨다. 개념은 심리적 관념․심상 등과도 구별된다.

전통적 형식논리학에서 개념은 外延(extension)과 內包(intension)로 구별하는 데 전자는 個物의 집합, 후자는 個物의 공통성질을 말한다.

예) 소나무의 집합전체가 외연, 솔잎 전부에 공통되는 성질이 내포이다. 후자 는 생물학적 種과 類에 밀접히 결부되어 있다. 개념이 지니고 있는 두 가지 측면과 사상의 특수와 일반의 관계를 분명히 하기 위한 수단으로 개념의 외 연과 내포에 관해서 알아보자.

예) A={1, 2, 3, 4, 5}, B={x｜x는 5이하의 자연수}에서 A는 외연, B는 내포 직각삼각형 개념은 첫째 3개의 선분에 의해서 둘러 싸여 있고, 둘째 평면도 형이고 셋째 한 각이 직각이라는 공통의 성질이 있다. 이 공통성질이 ‘직각삼 각형’이라는 개념의 내포이다. 개념의 내포가 정해지면 어느 범위까지 삼각 형의 개념에 포함되는가는 내포에 알맞은 삼각형의 집합이 정해진다. 이 집 합이 곧 ‘직각삼각형’이라는 개념의 외연이다.

정사각형, 직사각형, 마름모

평행사변형

평행사변형이다.

두 쌍의 대변끼리 각각 평행이다.

두 쌍의 대변끼리 길이가 각각 같다.

예) ‘평행사변형’ 개념은 모든 평행사변형의 집합(정사각형, 직사각형, 마 름모, …등과 같은 개념의 외연)과 그것이 갖는 특징적인 성질(두 쌍의 대 변끼리 각각 평행이다. 두 쌍의 대변끼리 길이가 각각 같다.… 등과 같은 이 개념의 내포)을 통일시킨 것

이 관계는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

은(는) 평행사변형의 외연(집합) 주어 술어

은

평행사변형의 내포(성질)

개념의 외연이란 그 개념이 적용되는 개체 전체의 집합, 내포는 그들 개념이 갖는 공통적인 속성

- 한 개념에 어떤 조건을 가감하면 그 개념의 외연과 내포는 서로 반대 방향으 로 각각 증감한다.

예) 평행사변형이라는 개념에 ‘한 각이 직각이다.’라는 조건을 첨가하면 여기에 는 정사각형과 직사각형만이 속하므로 외연이 감소, 반대로 내포는 더욱 증가 외연이 감소할수록 특수성이 강해지고 내포가 감소할수록 일반성이 강해진다.

- 예로서 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 외연을 각각 A, B, C 및 D 라 하고 내포를 A', B', C' 및 D'라 하면 이들 포함관계는 아래와 같다.

A

B D C

D'

B‘ A‘ C'

개념의 내포는 개념의 정의를 통해서 외연은 분류를 통해서 명확해진다.

- 정의와 분류라는 수단에 의해서 서로 관련되는 개개의 개념은 이산적인 상태로 방치되는 것이 아니라 하나의 개념 체계를 구성한다.

예) 사다리꼴 정의 ‘한 쌍의 대변이 평행’이라는 것은 사각형 중에서 한 쌍 의 대변만 평행이라는 것으로 받아들이기 쉬우나 두 쌍이 평행인 경우도 해당됨을 이해하도록 한다.

교사가 사다리꼴을 그릴 때 한 쌍의 대변만 평행인 사다리꼴을 바른 위치 에서만 그리는 경우가 대부분이나 정위치가 아닌 경우에도 설명한다.

개념의 외연이란 일정한 개념을 지시하는 것으로 그 개념이 적용될 수 있 는 전체의 범위를 만족하는 개체의 집합을 말한다.

- 직사각형의 외연은 {직사각형, 정사각형}이며, 사다리꼴의 외연은 {사 다리꼴, 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형}

직사각형의 성질 정사각형의 성질

․네 각이 직각이다.

․마주보는 변은 평행하고 같다.

․대각선은 서로 다른 것을 이등 분한다.

․네 각이 직각이다.

․마주보는 변은 평행하고 같으며, 네 변의 길이도 같다.

․대각선은 서로 다른 것을 수직 이등분한다.

내포

개념이 갖는 공통적인 성질의 집합관계로 직사각형과 정사각형의 성질 은 다음과 같다.

직사각형의 모든 성질은 정사각형의 모든 성질에 있고 ‘마름모는 평행사변형 의 특수한 것’와 같이 특수․일반의 포함관계에 있는 두 개의 개념이 있을 때 외연과 내포의 관계는 개념 ‘갑’이 개념 ‘을’을 특수한 것으로 품을 때, ‘갑’의 외연은 ‘을’의 외연을 부분집합으로 품고, ‘갑’의 내포는 ‘을’의 내포의 부분집 합이 된다.

특수․일반의 관계에서 그 외연과 내포관계는 반대의 포함관계

- 개념의 외연과 내포관계를 생각한 학습지도 방법은 수학적 대상을 집합적으 로 보고 생각하는 태도를 갖게 하여 더 나아가 학습의 구조화를 꾀하게 한다.

개념 자체는 추상적이기에 특히 학습지도에서 저학년 어린이들은 구체적 실 험․실측을 통해서 이해하도록 한다.

- 실험실법의 적용은 과학적 탐구정신과 수학을 만들어 가는 방법을 길러주어 창조성의 계발과 직결될 수 있다.

- 수, 양, 도형, 물질, 빛의 개념 등에서 개념은 지식과 같은 뜻

수학학습은 수학적 대상을 추상화하고 기호화하여 논리적 과정을 거쳐 그 대 상의 성질이나 원리, 법칙을 알아보고 이론의 통합화와 확장화를 하는 일, 수 리적 방법에 의하여 얻어지는 지식은 모두 수학적 개념을 형성시키는 일이다.

학습과정에서 언어는 의사전달 도구로 사고자극과 개념형성의 단계로 이끌 어 가는데 매우 중요하여 알기 쉽고 논리적으로 명확하게 전개 한다.

- 언어는 말하는 사람의 태도나 악센트의 강약에 따라 그 뜻이 전달되는 언 어 자체가 갖는 모순이 있어 수학에서 이 모순을 바로 잡기 위해서 언어 중 특별한 것은 정의를 내려 사용하는데 이것이 수학에서 말하는 용어이다.

- 수학적 용어는 말하는 사람의 태도나 악센트에 따라서 그 뜻이 변하지 않 는다.

정의는 개념의 내포를 명확히 하는 것으로 수학의 출발점

- 수학에서 최초로 정의가 쓰이게 된 것은 Euclid의 ‘기하학 원론’이다.

- 개념(용어)의 의미 규정 수단으로 명확한 개념의 정의(definition)를 필요로 한다.

정의의 논리적 체계 조건

․정의는 최소한의 언어로 서술된 문장

․어떤 대상이라도 정의에 해당하는지의 여부를 가릴 수 있는 기준이어야 한 다.

․정의에 해당하는 실제 보기가 최소한 하나는 존재하여 정의가 모순되지 않 아야 한다.

․정의의 문장 속에는 정의하려는 용어와 이미 알려진 범주를 같이 포함시켜 야 하며 나머지 문장은 이 2가지를 구별하는 성질로 진술되어야 한다.

․정의되는 그 일부분으로부터 논리적으로 추론될 수 있는 부분을 포함해서 는 안 된다.

․정의는 可逆的 이어야 한다.

․정의는 公理와 모순되지 않아야 한다.

예1) 직사각형의 가로 세로에 대한 정의는 ‘직사각형의 직각을 낀 두 변 중에서 한 변을 가로라 하면 다른 변은 세로이다.’로 상대적 개념에 의한 정의가 내려진다.

직사각형의 가로와 세로는?

예2) 삼각형에서 밑변과 높이는?

제7강. 강의 내용 요약

1. 수학적 사고 - 귀납적 사고 - 연역적 사고 - 유비추리

2. 수학학습과 관련 깊은 사고 - 재생적 사고와 생산적 사고 - 직관적 사고와 논리적 사고 - 확산적 사고와 수렴적 사고 - 반성적 사고

가. 공리적 방법

아. 개념 : 외연과 내포

다음 강의는 ‘초등 수학의 교수학습’

에 대한 내용 입니다.