제 3 절 여러가지 증명법

제 3 절 여러가지 증명법

앞에서 배운 추론의 타당성을 보이는 것은 많은 분야에서 나타나는데 유형별로 여러가지 상황에 어떻게 적용하는지 알아보기로 하자.

3.1 조건문 형태

수학에서 가장 많이 나타나는 조건문 p → q 형태의 증명법에는 다음과 같은 방법이 많이 사용된다.

(1) 직접증명법: 앞에서 언급한 것처럼 조건 p에서부터 직접 결론 q를 이끌어 낸다. 논리적으로 살펴보면

[(p→ s1) ∧ (s1 → s2) ∧ . . . ∧ (sn → r)] ⇒ (p → r) 의 추론 규칙을 사용하는 것이다.

(2) 대우법 : 대우명제인 ∼ q →∼ p를 보임으로서 명제를 증명한다.

p→ q ≡∼ q →∼ p의 추론 규칙을 사용하는 것이다.

(3) 배리법(귀류법) : 결론부를 부정하면 모순이 나온다는 것을 보임으로서 증명. 즉 p → q ≡ (p ∧ ∼ q) → c의 추론 규칙을 사용하는 것이다.

[[ 예 ]] 2.12 추론 “a가 홀수이면 a²도 홀수이다”를 직접증명법으로 증명하 여라.

증명. a가 홀수라 하자. 그러면 a는 적당한 자연수 k에 대해 a = 2k + 1이 된다. a² = (2k + 1)² = 4k²+ 4k + 1 = 2(2k²+ 2k) + 1이 되고, 따라서

a²은 홀수이다. 그러므로 명제가 성립한다. 

[[ 예 ]] 2.13 추론 “a²이 홀수이면 a도 홀수이다”를 대우법으로 증명하여라.

증명. 결론을 부정하여 a가 홀수가 아니라고 하자. 그러면 a는 짝수이므로 적당한 자연수 k에 대해 a = 2k가 된다. a² = (2k)² = 4k² = 2(2k²)이 되

고, 따라서 a²은 짝수이다. 즉, a²은 홀수가 아니다. 그러므로 대우법에 의해

명제가 성립한다. 

[[ 예 ]] 2.14 추론 “a²이 홀수이면 a도 홀수이다”를 배리법으로 증명하여라.

증명. a²이 홀수이면서 a가 홀수가 아니라고 하자. 그러면 a는 짝수이므로 적당한 자연수 k에 대해 a = 2k가 된다. a² = (2k)² = 4k² = 2(2k²)이 되 고, 따라서 a²은 짝수이다. 따라서 a²은 홀수이면서 짝수이다. 이것은 모순이

다. 그러므로 배리법에 의해 명제가 성립한다. 

3.2 쌍조건문 형태

수학의 정리 등에서 많이 나타나는 쌍조건문 형태의 타당성을 보일 경우 아래 와 같은 두가지 방법이 있다.

(1) 두개의 조건문이 성립함을 증명: (p → q) 와 (q → p)라는 두 가지 사실

을 보인다. 각 조건문을 보일 경우 위에서 언급한 방법을 사용할 수 있다.

p↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)의 추론 규칙을 사용하는 것이다.

(2) 동치인 식의 열을 나열하는 방법: 직접 동치인 식을 나열하여 이끌어 낸 다. 즉,

p ↔ q1 p ↔ q1

q₁ ↔ q2 간단히 나타내면 ↔ q2

· · · · · ·

q_n ↔ r ↔ r

와 같은 형태로 증명한다. 논리적으로 살펴보면

[(p↔ s1) ∧ (s1 ↔ s2) ∧ . . . ∧ (sn ↔ r)] ⇒ (p ↔ r) 의 추론 규칙을 사용하는 것이다.

[[ 예 ]] 2.15 실수 a, b가 방정식 x²+ px + q = 0의 해가 되기 위한 필요충 분조건은 a + b = −p이고 ab = q이다. 이를 보여라.

증명. (⇒) a, b가 방정식 x² + px + q = 0의 해가 된다고 하자. 근의 공식 에 의해

a = −p +√

p²− 4q

2 , b = −p −√

p²− 4q 2

이다(혹은 반대로). 따라서 a + b = −p, ab = q이다.

(⇐) a + b = −p이고 ab = q이라 하자. 그러면 b = −p − a가 된다. 결국 q = ab = a(−p − a) = −ap − a². 따라서 a²+ ap + q = 0이다. 즉 a는 x²+ px + q = 0의 해가 된다. 마찬가지로 b도 해가 됨을 보일 수 있다.



[[ 예 ]] 2.16 모든 실수 x, y에 대해 아래 항등식이 성립함을 보여라.

x² − y² = (x + y)²− 2xy 증명. 임의의 실수 x, y에 대해

x²− y² = (x²+ 2xy + y²)− 2xy = (x + y)²− 2xy

이므로 성립한다. 

3.3 여러가지 경우를 나누는 형태

한 가지 방법으로 증명하기 어려울 때는 여러가지 경우를 나누어 증명할 수 있 다. (p ∨ q) → r을 보이기 위해서 (p → r)이고 (q → r)임을 보이는 것이 다. 논리적으로 보면

[(p → r) ∧ (q → r)] ⇒ [(p ∨ q) → r]