수학

1. 다음 그림과 같은 원뿔대의 부피를 구하여라.

(답) 84π cm³

(풀이) (부피) = 1

3 ×( π×6²)×8 -1

3 ×( π×3²)×4

= 96 π - 12 π = 84 π( cm³)

2. 그림의 도형의 겉넓이는?

① 112π cm² ② 120π cm² ③ 132π cm²

④ 168π cm² ⑤ 192π cm²

(답) ③

(풀이) π×6×10 +1

2 ×( 4 π×6²)

= 60 π + 72π = 132 π( cm²)

3. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 26 cm 인 정사각형을 오려서 밑면이 정사각형이고 옆면이 모두 합동인 이등변 삼각형으로 이루어진 사각뿔의 전개도를 만들었다. 오려 낸 사각뿔의 겉넓이가 처음 정사각형의 넓이의 2

13 일 때, 사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 구하여라.

(답) 4 cm (풀이)

사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 x cm 라 하면 옆면인 이등변삼각형의 높이는 26 - x

2 cm 이므로 오려 낸 사 각뿔의 겉넓이는

x

(

)

따라서 26 x = ( 26×26)× 2

13 이므로 x = 4 즉 밑면의 한 변의 길이는 4 cm 이다.

4. 모선의 길이가 밑면의 반지름의 길이의 2 배인 원뿔이 있다. 이 원뿔의 겉넓이가 27 π cm²일 때, 밑면의 반지 름의 길이는?

① 1 cm ② 2 cm ③ 3 cm

④ 4 cm ⑤ 5 cm

(답) ③

(풀이) 밑면의 반지름의 길이를 r cm 라 하면 모선의

π r²+π ×r ×2 r = 27 π

3 π r²= 27 π , r²= 9 = 3² ∴ r = 3 따라서 밑면의 반지름의 길이는 3 cm 이다.

5. 밑넓이가 15 cm²이고, 옆면 한 개의 넓이가 40 cm²인 정오각뿔의 겉넓이를 구하여라.

(답) 215 cm²

(풀이) 15 + 40×5 = 215 ( cm²)

6. 다음 그림에서 부채꼴 ABC 를 직선 l 을 회전축으로 하여 1 회전 시킬 때 생기는 입체도형의 겉넓이를 S , 부채꼴 DEF 를 직선 m 을 회전축으로 하여 1 회전 시킬 때 생기는 입체도형의 겉넓이를

T 라 할 때,

S +2 T 의 값은?

① 84 π ② 96 π ③ 108 π

④ 120 π ⑤ 132 π

(답) ②

(풀이) 두 직선 l 과 m 을 같은 회전축으로 두고 두 부채꼴 ABC 와 DEF 를 AC 와 DE 가 겹치도록 이어 붙여 보면 다음 그림과 같이 부채꼴 FBC 는 반 지름의 길이가 4 , 중심각의 크기가 150 ° 인 부채꼴이 된다.

∴ S +2 T

= (구의 겉넓이) +4× (원뿔의 옆넓이)

= 4 π ×4²+4×( π ×2×4)

= 64 π +32 π = 96 π

7. 수조 A 는 한 모서리의 길이가 8 cm 인 정육면체이고, 수조 B 는 가로, 세로의 길이가 각각 2 cm ,

4 cm 이고, 높이가 8 cm 인 직육면체이다. 다음 (가), (나), (다)의 과정을 순서대로 시행할 때, (다)의 과정까지 시행한 후의 수조 A 에 담긴 물의 높이는?

(가) 수조 A 에 물이 가득 찬 수조 B 를 넣 는다.

(나) 수조 A 의 물의 높이가 3cm 가 되도록 물을 붓는다.

(다) 수조 B 를 꺼내어 수조 B 의 물을 수조 A에 모두 붓는다.

① 27

8 cm ② 7

2 cm ③ 29 8 cm

④ 15

4 cm ⑤ 31 8 cm

(답) ③

(풀이) 수조 B 가 들어 있지 않은 상태에서 수조 A 의 물의 높이가 3 cm 가 되도록 물을 부었을 때의 물의 부피는

8×8×3 = 192 ( cm³)

수조 B 에서 물의 높이가 3 cm 이상인 부분에 들어 있는 물의 부피는

2×4×( 8 -3) = 40 ( cm³)

(다)의 과정까지 시행한 후의 수조 A 에 담긴 물의 부 피는

192 + 40 = 232 ( cm³)

수조 A 에 담긴 232 cm³의 물의 높이를 h cm 라 하 면

232 = 8×8×h ∴ h = 29 8

따라서 수조 A 에 담긴 물의 높이는 29

8 cm 이다.

8. 다음 그림의 직사각형은 대각선의 길이가 6 cm 인 정사 각형 3 개를 이어 붙여서 만든 도형이다. 이 도형을 가 운데 정사각형의 대각선과 겹치는 직선 l 을 회전축으로 하여 1 회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피가

a π cm

(답) 1872

(풀이) 직선 l 을 회전축으로 하여 1 회전 시킬 때 생 기는 입체도형은 다음 그림과 같으므로 회전체의 부피 는 4 개의 원뿔대의 부피의 합에서 2 개의 원뿔의 부피 의 합을 뺀 것과 같다.

따라서 구하는 부피는

4× (원뿔대 1 개의 부피) -2× (원뿔 1 개의 부피)

= 4×

(

)

-2×

(

)

= 4×504 π -2×72 π = 1872 π ( cm³)

∴ a = 1872

9. 다음 그림과 같이 밑면이 부채꼴인 기둥의 겉넓이는?

① 11 π cm² ② 22 π cm²

③ ( 11 π + 28) cm² ④ ( 11 π + 56) cm²

⑤ ( 22 π + 56) cm²

(답) ④

(풀이) (겉넓이) =

(

)

+

(

)

= 4 π + ( 7 π + 56)

10. 다음 그림과 같은 오각형을 밑면으로 하는 각기둥의 부 피가 168 cm³일 때, 각기둥의 높이를 구하여라.

(답) 8 cm

(풀이) (밑넓이) = 1

2 ×6×2 +1

2 ×( 6 + 4) ×3

= 6 + 15 = 21( cm²) ……❶ 40%

각기둥의 높이를 h cm 라 하면

21×h = 168 ∴ h = 8 ……❷ 60%

11. 다음 그림과 같은 원뿔의 부피는?

① 75π cm³ ② 84π cm³ ③ 96π cm³

④ 108π cm³ ⑤ 144π cm³

(답) ⑤ (풀이) 1

3 ×π ×6²×12 = 144 π ( cm³)

12. 다음 그림과 같은 정육면체에서 AP = BP 이고

BQ = 1

3 BC 이다. 이때 면 PFQ 에 의하여

나누어지는 두 입체도형에서 큰 입체도형의 부피는 작은 입체도형의 부피의 몇 배인지 구하여라.

(답) 35 배

(풀이) 정육면체의 한 모서리의 길이를 a 라 하면 (정육면체의 부피) = a ×a ×a = a³

(작은 입체도형의 부피)

= 1

3 ×

(

^{a ×}

^a )

^a

∴ (큰 입체도형의 부피) = a³- 1

36

a

a

35

36

a

36

a

13. 다음 그림과 같은 입체도형의 겉넓이는?

① 144 π cm² ② 156 π cm² ③ 168 π cm²

④ 172 π cm² ⑤ 196 π cm²

(답) ⑤

(풀이) (겉넓이) = 4 π ×7²= 196 π ( cm²)

14. 다음 그림과 같은 기둥의 겉넓이는?

① ( 48 π +60) cm² ② ( 48 π + 120) cm²

③ ( 128 π + 60) cm² ④ ( 128 π + 120) cm²

⑤ ( 128 π + 180) cm²

(답) ④

(풀이) (겉넓이) =

(

)

+

(

)

= 48 π +80 π + 120

= 128 π + 120 ( cm²)

15. 다음 그림과 같은 원뿔의 겉넓이는?

① 158π cm² ② 159π cm² ③ 160π cm²

④ 161π cm² ⑤ 162π cm²

(답) ③

(풀이) (겉넓이) = π×8²+π×8×12

= 64π +96π = 160π ( cm²)

16. 다음 그림과 같은 전개도로 만들어지는 원뿔대의 겉넓

이는?

① 186 π cm² ② 196 π cm²

③ 216 π cm² ④ 240 π cm²

⑤ 264 π cm²

(답) ①

(풀이) (겉넓이)

= π ×3²+ π ×9²+( π ×9×12 - π ×3×4)

= 9 π +81 π +96 π

= 186 π ( cm²)

17. 야구공의 겉면은 다음 그림과 같이 똑같이 생긴 두 조 각의 가죽으로 만들어져 있다. 이 야구공의 지름이

10 cm 일 때, 가죽 한 조각의 넓이는?

① 125 π cm² ② 169 π cm² ③ 192 π cm²

④ 196 π cm² ⑤ 200 π cm²

(답) ⑤

(풀이) (가죽 한 조각의 넓이)

= 1

2 × (야구공의 겉넓이)

= 1

2 ×( 4 π ×10²)

= 200 π ( cm²)

18. 다음 그림과 같이 밑면이 부채꼴 모양인 입체도형의 옆 넓이는?

① 18 π cm² ② 27 π cm²

③ ( 18 π + 54) cm² ④ ( 18 π + 81) cm²

⑤ ( 24 π + 54) cm²

(답) ③

(풀이) (옆넓이) =

(

)

= 18 π + 54 ( cm²)

19. 부피가 160 π cm³인 물이 가득 담겨 있는 어떤 원기둥 모양의 그릇에 실수로 쇠구슬 3 개를 빠뜨렸다.

쇠구슬을 꺼내어 그릇에 남은 물을 확인해 보니 그릇의 4

5 만큼만 남아 있었다. 이 쇠구슬 한 개의 반지름의 길이를 구하여라. (단, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)

(답) 2 cm

(풀이) 쇠구슬의 반지름의 길이를 r cm 라 하면 (쇠구슬 3 개의 부피) = 4

3 π r³×3 = 160 π ×1 5 4 π r³= 32 π , r³= 8 ∴ r = 2 ( cm) 따라서 쇠구슬 1 개의 반지름의 길이는 2 cm 이다.

20. 다음 그림과 같이 구의 일부분을 잘라 낸 입체도형의 부피는?

① 16 π cm³ ② 32 π cm³

③ 64

3 π cm³ ④ 64 π cm³

⑤ 128 3 π cm³

(답) ④

(풀이) 주어진 입체도형은 반지름의 길이가 4 cm 인 구 의 1

4 을 잘라내고 남은 부분이므로 (부피) =

(

)