2020 짱중요한유형 수학1 답지 정답

유형`01. 지수와 로그의 성질

01

08

ab=16=2›에서 log™ ab=4 즉, log™ a+log™ b=4이므로 log™ b=4-log™ a ㉠㉠yy`㉠ log™ =3에서

2log™ b-log™ a=3㉠㉠yy`㉡ ㉡에 ㉠을 대입하면

2(4-log™ a)-log™ a=3

3log™ a=5

∴ log™ a=;3%;, log™ b=;3&; (∵ ㉠) ∴ logå bfi = = =7

09

두 점 (1, log™ 5), (2, log™ 10)을 지나는 직선의 기울기는 = =log™ 2 =1

10

a=log™(2+'3)에서 2å =2+'3 4å =(2å )¤ =(2+'3)¤ =7+4'3 ∴ 4å + =7+4'3+ =7+4'3+4(2-'3)=15

11

log'3a=2 log£ a=4 logª a=logª a›이므로

logª a› =logª ab에서

a› =ab

a(a‹ -b)=0에서 b=a‹ (∵ a+0) ∴ logå b=logå a‹ =3

12

log'3x=4에서 2 log£ x=4 ∴ log£ x=2 ∴ logxy= =;2^;=3 log£ y log£ x 4 2+'3 4 2å log™ ;;¡5º;; 112555555555₁ log™ 10-log™ 5 2-1 5_;3&; ;3%; 5log™ b log™ a b¤ a

01

2의 네제곱은 2› =16이므로 a=16 -8의 세제곱근 중에서 실수인 것은 ‹'∂-8=‹"√(-2)‹ =-2이므로 b=-2 ∴ ab=-32=-2fi

02

(›'∂ab)fl =(afl bfl );4!;_{=(6‹ _24)};4!;_{=(6› _2¤ )};4!; =6'2

03

=3의 분모, 분자에 a≈ 을 곱하면 =3, a¤ ≈ +1=3(a¤ ≈ -1) 2a¤ ≈ =4 ∴ a¤ ≈ =2

04

log™ 3_log£ 4= _log£ 2¤

= _2 log£ 2=2 [다른 풀이] log™ 3_log£ 4= _ =2

05

a=log™ ('2-1)에서 2å ='2-1 2—å = = ='2+1 ∴ 2å +2—å =2'2

06

log'3x=4에서 2 log£ x=4 ∴ log£ x=2 또 log£ 'y=6에서

;2!; log£ y=6 ∴ log£ y=12

∴ logxy= =:¡2™:=6

07

logå x=2, log∫ x=5에서 logÆ a=;2!;, logÆ b=;5!; ∴ logå∫ x= = ∴ logå∫ x= =111 =:¡7º: ;1¶0; 1 1112 ;2!;+;5!; 1 logÆ a+logÆ b 1 logÆ ab log£ y log£ x 1 '2-1 1 2å log 2¤ log 3 log 3 log 2 1 log£ 2 1 log£ 2 a¤ ≈ +1 a¤ ≈ -1 a≈ +a—≈ a≈ -a—≈

01

①

02

②

03

2

04

②

05

①

06

④

07

①

08

④

0

1

본문009쪽

지수와 로그의 성질

09

①

10

15

11

③

12

③

13

②

14

④

15

32

16

④

17

25

18

75

19

①

20

①

21

① 본문010`~`012쪽

13

log™ 5= 이므로 log∞ 2= ∴ log∞ 12=log∞ (2¤ _3)

∴ log∞ 12=log∞ 2¤ +log∞ 3

∴ log∞ 12=2 log∞ 2+log∞ 3

∴ log∞ 12=;a@;+b

14

ab=log£ 5, b-a=log™ 5 이므로 - = = = - = = =log™ 3

15

ab=27에서 b= yy`㉠ log£ =5에 ㉠을 대입하면

log£ =log£ =log£ =log£ 27-log£ a¤ =3-2 log£ a=5

2 log£ a=-2, log£ a=-1 ∴ a=

a= 을 ㉠에 대입하면 b=81

∴ 4 log£ a+9 log£ b=4 log£ +9 log£ 81

∴ 4 log£ a+9 log£ b=4_(-1)+9_4=32

16

logå c : log∫ c=2 : 1이므로 logå c=2 log∫ c

= 이므로

=logå b=2

∴ logå b+log∫ a=logå b+ =2+ =

17

3a+b =4에서 a+b=log£ 4 2a-b =5에서 a-b=log™ 5 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

a¤ -b¤=log£ 4_log™ 5

a¤ -b¤=2 log£ 2_ =2 log£ 5

a¤ -b¤=log£ 25 ∴ 3a¤ -b¤ =3log£ 25 =25 log£ 5 log£ 2 5 2 1 2 1 logå b logç b logç a 2 logç b 1 logç a 1 3 1 3 1 3 27 a¤ ;;™a¶; 113_a b a b a 27 a log 3 log 2 log 5 2223333_{log 2} log 5 333333333_{log 3} log™ 5 log£ 5 b-a ab 1 b 1 a 1 a 1 log∞ 2

18

조건 ㈎에서 3å =5∫ =kç =d (d>1) 이라 놓을 수 있다. 3å =d에서 a=log£ d yy㉠ 5∫ =d에서 b=log∞ d yy㉡ kç =d에서 c=log˚ d yy㉢ 조건 ㈏에서 log c=log(2ab)-log(2a+b) log c=log c= c(2a+b)=2ab yy㉣ ㉠, ㉡, ㉢을 ㉣에 대입하면

log˚ d(2 log£ d+log∞ d)=2 log£ d log∞ d

_ + _ = _

2 log∂ 5+log∂ 3=2 log∂ k

log∂ 75=log∂ k¤ ∴ k¤ =75 [다른 풀이] 조건 ㈏에서 log c=log 이므로 c= _{, ;c!;=} 따라서 ;c!;=;b!;+;2¡a;이므로 ;bC;+;2;Ça;=1 yy㉠ 조건 ㈎에서 3=k;aC; , 5=k;bC; 이므로 k;bC;+;2;Ça;_=k;bC;_{_k};2;Ça; k;bC;+;2;Ça;_=k;bC; _{k;aC; };2!; k;bC;+;2;Ça;_=k;bC;_{_} Æk;aC; 따라서 ㉠에서 k⁄ =5_'3 이므로 k¤ =5¤ _('3 )¤ =75

19

5 log« 2의 값이 자연수가 되려면 log« 2=1또는 log« 2=;5!;이어야 한다. log« 2=1에서 n=2 log« 2=;5!;에서 n=2fi =32 따라서 구하는 모든 n의 값의 합은 2+32=34 2a+b 2ab 2ab 2a+b 2ab 2a+b 1 log∂ 5 2 log∂ 3 1 log∂ 5 1 log∂ k 2 log∂ 3 1 log∂ k 2ab 2a+b 2ab 2a+b

유형`01. 지수와 로그의 성질

03

20

36=2¤ _3¤의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 f(1)=1, f(2)=2, f(3)=2, f(4)=3, f(6)=4, f(9)=3, f(12)=6, f(18)=6, f(36)=9 ∴ {(-1)f(a˚) _log a˚}

=-log 1+log 2+log 3-log 4+log 6-log 9+log 12 +log 18-log 36

=log

=log (2_3)=log 2+log 3

21

⁄m, n이 모두 홀수이면 mn도 홀수이므로

`f(mn)=log£ mn=log£ m+log£ n=f(m)+f(n) 순서쌍 (m, n)의 개수는

10_10=100

¤m, n이 모두 짝수이면 mn도 짝수이므로

`f(mn)=log™ mn=log™ m+log™ n=f(m)+f(n) 순서쌍 (m, n)의 개수는

10_10=100

‹m이 짝수, n이 홀수이면 mn은 짝수이므로 `f(mn)=log™ mn=log™ m+log™ n

f(m)+f(n)=log™ m+log£ n 따라서 log™ n=log£ n이어야 하므로 n=1 그러므로 순서쌍 (m, n)의 개수는 10_1=10 m이 홀수, n이 짝수인 경우도 마찬가지이므로 순서쌍 (m, n)의 개수는 10_1=10 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 순서쌍 (m, n)의 개수는 100+100+10+10=220

22

('5)å =20에서 5;2A;₌₂₀ 이므로 5å =20¤ (›'5)∫ =20에서 5;4B;₌₂₀ 이므로 5∫ =20› ∴ 5b-a =5∫ ÷5å =20› ÷20¤ =20› —¤ =400

23

=-;3!;의 분모, 분자에 3≈ 을 곱하면 =-;3!;, -3(9≈ -1)=9≈ +1 4_9≈ =2 _{∴ 9≈ =;2!;} ∴ 9≈ +9—≈ =;2!;+2 ∴ 9≈ +9—≈=;2%; 9≈ -1 9≈ +1 3≈ -3—≈ 3≈ +3—≈ 2_3_6_12_18 4_9_36 9 ¡ k=1

24

이차방정식 x¤ -6x+3=0의 두 근이 log a, log b이므로 log a+log b=6, log a_log b=3

∴ logå b+log∫ a= +

∴ logå b+log∫ a=

∴ logå b+log∫ a= =10

25

이차방정식 x¤ -5x+5=0에서 근과 계수의 관계에서 a+b=5, ab=5이므로

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=5¤ -4_5=5

∴ a-b='5 (∵ a>b) ∴ = ∴ = =2

26

5å =2에서 a=log∞ 2, 5∫ =3에서 b=log∞ 3 ∴ log§ 72= ∴ log§ 72= =

27

xyz=2a+b+c =2‚ =1

logÆ yz+logÚ zx+logΩ xy=logÆ ;[!;+logÚ ;]!;+logΩ ;z!;

logÆ yz+logÚ zx+logΩ xy=(-1)+(-1)+(-1)=-3

28

log£ a-2log£ b=1에서 log£ =1

로그의 정의에 의하여 =3

∴ log'ba-log'b3=log'b =log'bb¤

∴ log'ba-log'b3= log∫ b=4

29

a log¢ 3=5에서 a= =5 log£ 4

log¢ b=1-log¢ (log£ 4)=log¢ ∴ b= ∴ ab=5 log£ 4_ =20

30

⁄ _{=;4#;이므로 logå b=} ¤ _{=;4#;이므로 log∫ a=} logå b_log∫ a= _ =1이므로 ab=16

∴ log™ a+log™ b=log™ ab=log™ 16=4

b 24 3a 2 b 24 18 log∫ a b 3a 2 logå b 2a 4 log£ 4 4 log£ 4 4 log£ 4 5 log¢ 3 2 11 ;2!; a 3 a b¤ a b¤ 3a+2b a+b 3log∞ 2+2log∞ 3 log∞ 2+log∞ 3 log∞ 72 log∞ 6 log 5 log '5 log ab log (a-b) log a+log b log (a-b) 6¤ -2_3 3

(log a+log b)¤ -2 log a_log b

log a_log b log a log b log b log a

22

400

23

⑤

24

⑤

25

2

26

⑤

27

①

28

4

29

⑤

30

②

31

③

32

② 본문012`~`013쪽

31

log™ x+log¢ y¤ =2에서

log™ x+log2¤y¤ =2, log™ x+log™ y=2

log™ xy=2 ∴ xy=4 ∴ 4log™ x

_3log'3y=xlog™4_ylog'33=x2log™ 2_y2 log£ 3 =x¤ _y¤ =(xy)¤ =16

32

1…log£ n<4에서 3…n<3› log™ n=k라 하면 n=2˚ 따라서 3…2˚ <3› 을 만족시키는 정수 k는 2, 3, 4, 5, 6이므로 구하는 n의 개수는 5이다.

01

y=3x+1 의 그래프가 두 점 (a, 9), (2, b)를 지나므로 3¤ =3a+1 에서 a+1=2 ∴ a=1, b=32+1 =27 ∴ a+b=28

02

f (1)=2a+b =2 ∴ a+b=1㉠ yy`㉠ f (2)=22a+b =16=2› ∴ 2a+b=4㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-2 ∴ b-a=-5

03

함수 y={;3!;}x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동시키면 y={;3!;}x-1 y={;3!;}x-1의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시키면 y={;3!;}-x-1 이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 k={;3!;}-2-1=3‹ =27

04

y=2≈`±¤ +1에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 한다. 즉, x=2일 때 최댓값을 가지므로 최댓값은 2¤ ±¤ +1=17 또 x=-2일 때 최솟값을 가지므로 최솟값은 2—¤ ±¤ +1=2 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 17+2=19

05

두 함수 y=2≈ , y=3≈ 의 그래프가 두 직선 x=1, x=3과 만나는 점의 좌표는 각각 A(1, 2), B(1, 3), C(3, 8), D(3, 27) 따라서 “AB=1, CD”=19이므로 사각형 ACDB의 넓이는 ;2!;_(1+19)_2=20

06

두 점 B, E의 x좌표를 a, 두 점 A, D의 x좌표를 b라 하면 두 점 B, D의 y좌표가 같고, 두 점 A, C의 y좌표가 같으므로 4å =2∫, 2¤ å =2∫ ∴ 2a=b㉠㉠yy`㉠ 4∫ =2›, 2¤ ∫ =2› ∴ b=2 b=2를 ㉠에 대입하면 a=1 따라서 점 E의 x좌표는 1이다.

07

함수 f(x)=1+{;3!;} x-1 의 그래프는 함수 y={;3!;} x 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동시킨 것 이고, y={;3!;} x 에서 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉, 1…x…3에서 함수 y=f(x)의 최댓값은 f(1)=1+{;3!;} 0 =2

08

f(x)=2≈에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 한다. 즉, x=3일 때 최댓값을 가지므로 a=2‹ =8 g(x)={;2!;} 2x ={;4!;} x 에서 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉, x=-1일 때 최댓값을 가지므로 b={;4!;}-1=4 ∴ ab=8_4=32

09

함수 f(x)=a≈ 에서 0<a<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다. 즉, -2…x…1에서 y O 27 8 3 2 1 1 3 x A B C D x=1 x=3 y=2≈ y=3≈

01

⑤

02

①

03

④

04

⑤

05

⑤

06

①

0

2

본문015쪽

지수함수와 그래프

07

②

08

32

09

⑤

10

①

11

②

12

①

13

④

14

⑤

15

①

16

②

17

③

18

②

19

④ 본문016`~`018쪽

유형`02. 지수함수와 그래프

05

최솟값은 x=1에서 가지고 최솟값이 ;6%;이므로 a=;6%; f(x)={;6%;}≈ 이고 함수 f(x)는 주어진 구간에서 최댓값은 x=-2에서 가지므로 M=f(-2)={;6%;}—¤ ={;5^;}¤ ∴ a_M=;6%;_{;5^;}¤ =;5^;

10

함수 f(x)는 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한 다. 즉, x=3일 때 최댓값을 가지므로 M=4‹ =64 함수 g(x)는 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감 소한다. 즉, x=3일 때 최솟값을 가지므로 m={;2!;} 3 =;8!; ∴ Mm=64_;8!;=8

11

⁄0<a<3_{일 때, f(2)={;a#;}} 2 =4 ⁄ =4_{, a¤ =;4(;} ⁄_{∴ a=;2#; (∵ 0<a<3)} ¤a=3_{일 때, f(x)={;3#;}} x =1이므로 함수 f(x)의 최댓값은 4가 될 수 없다. ‹a>3_{일 때, f(-1)={;a#;}} -1 =4 ⁄_;3A;=4 ∴ a=12 ⁄~‹에서 모든 양수 a의 값의 곱은 ;2#;_12=18

12

y=a≈의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시키면 y=a—≈

y=a—≈의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동시키면 y=a-(x-3) +2 ∴ y=a3-x +2 이 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=a3-1 +2, a¤ =2 ` ∴ a='2 (∵ a>0)

13

f(x)=-24-3x +k f(x)=-{;8!;}x-;3$;+k 이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 함수 y={;8!;}≈ 의 그래프를 x축 에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 ;3$;만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 것이다. 9 a¤ 한편, 함수 y=f(x)의 그래프가 제2사분면을 지나지 않아야 하므로 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다. f(0)…0이어야 하므로 f(0)=-2› +k…0 ∴ k…16 따라서 자연수 k의 최댓값은 16이다.

14

두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b라 하면 선분 AB의 중점의 x 좌표가 0이므로 =0에서 b=-a yy㉠ 선분 AB의 중점의 y좌표가 ;4%;이므로 =;4%;, =;4%; ㉠에서 b=-a이므로 ;2K;=;4%; ∴ k=;2%;

15

두 곡선 y=3x+m , y=3-x 이 각각 y축과 만나는 두 점 A, B는 x좌표가 0이므로 y=3x+m 이 y축과 만나는 점은 A(0, 3m ), y=3-x 이 y축과 만나는 점은 B(0, 1) AB”=|3μ -1|=8에서 ⁄3μ -1=8일 때, 3μ =9 ∴ m=2 ¤3μ -1=-8일 때, 3μ =-7 3μ >0이므로 모순이다. ⁄, ¤에서 m=2

16

ax ='3 에서 x=logå '3 이므로 두 점 A, B의 좌표는 A(logå '3 , '3 ), B(4, 0) 두 직선 OA, AB의 기울기를 각각 m¡, m™라 하면 m¡= , m™= m¡m™= _ =-1 3=-logå '3 (logå '3 -4) (logå '3 )¤ -4 logå '3 +3=0 (logå '3 -1)(logå '3 -3)=0 logå '3 =1 또는 logå '3 =3 ∴ a='3 =3;2!; 또는 a=('3 );3!;₌₃;6!; 따라서 모든 a의 값의 곱은 3;2!;_{_3};6!;₌₃;2!;+;6!;₌₃;3@; '3 logå '3 -4 '3 logå '3 '3 logå '3 -4 '3 logå '3 y O 4 x y=_' 3 A B 2a -2-b +k 2 2a -{;2!;}b+k 2 a+b 2 y O b a x y=2≈ y=-{₂1}≈+k A B y O x y=f(x) -16+k k

17

f (x)=ax-m 의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 f (x)=ax-m 의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 ax-m =x 두 교점의 x좌표가 1과 3이므로 a1-m =1에서 1-m=0 ∴ m=1 a3-1

=3에서 a¤ =3 ∴ a='3 (∵ a>0, a+1) ∴ a+m=1+'3

18

|9≈ -3|=0에서 9≈ =3¤ ≈ =3 2x=1 _{∴ x=;2!;} 두 곡선 y=|9≈ -3|, y=2≈ ±˚ 이 만 나는 서로 다른 두 점의 x좌표 x¡, x™가 x¡<0, 0<x™<2를 만족시키 는 경우는 그림과 같다. x=0일 때, 2‚ ±˚ =2˚ >2㉠㉠yy`㉠ x=2일 때, 2¤ ±˚ =4_2˚ <|9¤ -3|=78 ∴ 2˚ <19.5 yy`㉡ ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 k는 2, 3, 4이므로 그 합은 9이다.

19

점 A의 좌표를 (a, 2a )이라 하면 점 B의 y좌표는 2a 이므로 2a =15_2-x , 2x+a =15 ∴ x=log™ 15-a 즉, 점 B의 좌표는 (log™ 15-a, 2a )이고 AB”=2a-log™ 15이므로 1<AB”<100에서 1<2a-log™ 15<100 ;2!;(1+log™ 15)<a<;2!;(100+log™ 15) 따라서 2.___<a<51.___이므로 자연수 a는 3, 4, y, 51의 49개이다. [참고]

AB”=log™ 15-2a이면 1<AB”<100에서

;2!;(log™ 15-100)<a<;2!;(log™ 15-1) 즉, -48.___<a<1.___이므로 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

20

`f(-2)=a-2 =m, `f(4)=a› =n이므로 `f(0)=a‚ =a-4 _a› =(a-2 )¤ _a› `f (0)=a‚=m¤ n

21

지수함수 y=2x 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향 으로 n만큼 평행이동하면 y O 2 x¡ x™2 x y=|9≈ -3| y=2x+k 2 1 y=2x-1 +n 이 그래프가 두 점 (1, 6), (3, k)를 지나므로 6=2‚ +n ∴ n=5 k=2¤ +5=9 ∴ n+k=5+9=14

22

y=16≈에서 y=42x 이므로 y=4¤ ≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 m 만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동시키면 y=42(x-m) +n ∴ y=4-2m _4¤ ≈ +n 이 그래프가 y=16_4¤ ≈ +16의 그래프와 일치하므로 4-2m =16=4¤, n=16 ∴ m=-1, n=16 ∴ m+n=15

23

함수 f(x)=3x+1 은 -1…x…2에서 증가하므로 x=2에서 최댓값은 a=32+1 =27 함수 g(x)={;3!;} x-1 은 -1…x…2에서 감소하므로 x=-1_{에서 최댓값은 b={;3!;}} -1-1 =9 ∴ a+b=27+9=36

24

f(x)=3x _2-2x _2¤ =4{;4#;} x 은 x의 값이 증가할 때, f(x)의 값 은 감소하므로 -1…x…1에서 함수 f(x)는 x=-1일 때 최댓값 :¡3§:, x=1일 때 최솟값 3을 갖는다. ∴ Mm=16

25

x¤ -2x+3=t로 놓으면 t=(x-1)¤ +2 (0…x…3)에서 3…(x-1)¤ +2…6 ∴ 3…t…6 따라서 함수 f(x)=2x¤ -2x+3 을 g(t)=2t_(3…t…6) 이라 하면 t=6일 때, 최댓값 a=2fl =64 t=3일 때, 최솟값 b=2‹ =8 ∴ a+b=64+8=72

26

f(x)=x¤ -6x+3=(x-3)¤ -6이므로 1…x…4에서 -6…f(x)…-2 ⁄0<a<1일 때, x의 값이 증가하면 g(x)의 값은 감소하므로 (g Á f )(x)는 f(x)=-6일 때 최댓값을 갖고, f(x)=-2일 때 최솟값을 갖는다. ⁄즉, a-6 =27이므로 ⁄a=3-;2!; ⁄∴ m=a-2 =(3-;2!;₎-2 =3 ¤a>1일 때, x의 값이 증가하면 g(x)의 값도 증가하므로 (g Á f )(x)는 f(x)=-2일 때 최댓값을 갖고, f(x)=-6일 때 최솟값을 갖는다. ⁄즉, a-2 =27이므로 y O -2 -5 -6 1 3 4 x f(x)=x¤ -6x+3

20

③

21

14

22

15

23

③

24

16

25

72

26

④

27

1

28

10

29

3

30

16 본문018`~`019쪽

유형`03. 로그함수와 그래프

07

⁄a= ⁄그런데 <1이므로 a>1이라는 조건에 모순이다. ⁄, ¤에서 (g Á f )(x)의 최솟값 m은 3이다.

27

주어진 그래프에서 y=2ax +b의 점근선은 y=1이다. y=2ax +b의 그래프는 y=2ax 의 그래프를 y축의 방향으로 b만 큼 평행이동시킨 것이므로 점근선은 y=b ∴ b=1 x=0일 때, y=2‚ +1=c ∴ c=2 x=-1일 때, y=2-a +1=5 2-a =4=2¤ ∴ a=-2 ∴ a+b+c=-2+1+2=1

28

두 곡선 y=3x-8 , y=3x+1 은 곡선 y=3x 을 x축의 방향으로 각각 8, -1만큼 평행이동시킨 것이므로 AB”=9 즉, 정사각형 ABCD의 한 변의 길이 는 9이다. 점 C의 x좌표를 a라 하면 3a+1 =9=3¤ ∴ a=1 따라서 점 D의 x좌표는 1+9=10

29

점 A(a, b)가 함수 y=2x 의 그래프 위에 있으므로 b=2a 이고, 점 C는 C(a, 4å )으로 놓을 수 있다. 점 B의 좌표를 B(c, b)라 하면 4ç =b=2å 이므로 2c=a ∴ c=;2A; ∴ B{;2A;, 2å } 즉, AC”=4å -2å =2å (2å -1), AB”=a-;2A;=;2A;이므로 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_;2A;_2å (2å -1)=42 a_2å _(2å -1)=168=2‹ _3_7 ∴ a=3 (∵ a는 양의 정수)

30

두 점 P(x¡, y¡), Q(x™, y™)는 곡선 y=2≈ 위의 점이므로

y¡=2x¡ , y™=2x™ 즉, = =2x™-x¡ =2› =16 그런데 두 점 P(x¡, y¡), Q(x™, y™)는 원점을 지나는 직선 위의 점이므로 기울기가 일정하다. 즉, = 이므로 =y™=16 y¡ x™ x¡ y™ x™ y¡ x¡ 2x™ 2x¡ y™ y¡ y x O C D A B 9 y=3x+1 _y=3x-8 '3 9 '3 9

01

(gΩf )(512)=log£ (log™ 512) (gΩf )(512)=log£ (log™ 2· ) (gΩf )(512)=log£ 9 (gΩf )(512)=2 즉, (fΩg)(k)=log™ (log£ k)=2에서 log£ k=2¤ =4 ∴ k=3› =81

02

y=log™ (4x-6)+4 y=log™ 4{x-;2#;}+4 y=log™ 4+log™ {x-;2#;}+4 y=log™ {x-;2#;}+2+4 y=log™ {x-;2#;}+6 즉, 주어진 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 ;2#;만큼, y축의 방향으로 6만큼 평행이동한 것이다. ∴ m=;2#;, n=6 ∴ m_n=9

03

y=log;3!;(x+a)에서 0<(밑)<1이므로 x의 값이 증가하면 y의

값은 감소한다. 즉, x=4일 때 최댓값 -3을 가지므로 -3=log;3!;(4+a) 4+a={;3!;}—‹ =27 ∴ a=23

04

진수의 조건에서 2-x>0, x+4>0 ∴ -4<x<2 y=log£ (2-x)+log£ (x+4)+2 y=log£ (2-x)(x+4)+2 y=log£ (-x¤ -2x+8)+2㉠㉠yy`㉠ ㉠에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다. 즉, -x¤ -2x+8의 값이 최대일 때, log£ (-x¤ -2x+8)의 값도 최대이다. -x¤ -2x+8=-(x+1)¤ +9에서 x=-1일 때 최댓값 9를 가지므로 ㉠의 최댓값은 log£ 9+2=2+2=4

05

주어진 그래프에서 점 A의 y좌표가 1이므로 1=log™ x

01

④

02

9

03

23

04

④

05

③

06

④

0

3

본문021쪽

로그함수와 그래프

∴ x=2 ∴ A(2, 1) 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표와 같으므로 y=2¤ =4 ∴ B(2, 4) 점 C의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같으므로 4=log™ x ∴ x=2› =16 ∴ C(16, 4) 점 D의 x좌표는 점 C의 x좌표와 같으므로 y=2⁄ fl ∴ D(16, 2⁄ fl ) 따라서 점 D의 y좌표는 2⁄ fl 이다.

06

A=log£ a, B=log£ b이므로 AB”=log£ b-log£ a=log£ ;aB;=2 ∴ ;aB;=3¤ =9

07

함수 y=log™ (x+5)의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 x=-5이다. 따라서 k=-5이므로 k¤ =25

08

곡선 y=2≈ +5는 곡선 y=2≈ 을 y축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 것이다.

곡선 y=2≈ 의 점근선은 y=0이므로 곡선 y=2≈ +5의 점근선은

y=5이다. 따라서 직선 y=5와 곡선 y=log£ x+3의 교점의 x좌표는 log£ x+3=5, log£ x=2 ∴ x=3¤ =9

09

함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동시 키면 y=log™ (x-a) 이 그래프가 점 (9, 2)를 지나므로

2=log™ (9-a)에서 4=9-a

∴ a=5 y=log∫ x의 그래프도 점 (9, 2)를 지나므로 2=log∫ 9에서 b¤ =9 ∴ b=3 (∵ b>0, b+1) ∴ 10a+b=50+3=53

10

함수 y=2≈ +2의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동하면 y=2x-m +2 yy`㉠ 함수 y=log™ 8x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=log™ 8(x-2) yy`㉡ ㉡을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면

x=log™ 8(y-2)=3+log™ (y-2)

∴ y=2x-3

+2 yy`㉢

㉠과 ㉢이 일치해야 하므로

m=3

11

곡선 y=log™ (ax+b)가 두 점 (-1, 0), (0, 2)를 지나므로

0=log™ (-a+b)에서 -a+b=1㉠㉠yy`㉠

2=log™ (0+b)에서 b=4

b=4를 ㉠에 대입하면 a=3 ∴ a+b=3+4=7

12

함수 y=log£ x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향 으로 2만큼 평행이동하면 y=log£ (x-a)+2㉠㉠yy`㉠ ㉠의 역함수를 구하면 3¥`—¤ =x-a에서 x=3¥`—¤ +a 즉, y=3≈ `—¤ +a이므로 f`—⁄ (x)=3≈ `—¤ +a ∴ a=4 [다른 풀이] f`—⁄ (x)=3≈ `—¤ +4에서 f`—⁄ (2)=5이므로 f`(5)=2 즉, ㉠의 그래프가 점 (5, 2)를 지나므로 2=log£ (5-a)+2 5-a=1 ∴ a=4

13

y=3+log£ (x¤ -4x+31)에서 (밑)>1이므로 x의 값이 증가 하면 y의 값도 증가한다. 즉, x¤ -4x+31의 값이 최소일 때, log£ (x¤ -4x+31)의 값도 최소이다. x¤ -4x+31=(x-2)¤ +27에서 x=2일 때 최솟값 27을 가지므 로 함수 y=3+log£ (x¤ -4x+31)의 최솟값은 3+log£ 27=3+3=6

14

y=(log£ x)(log;3!;x)+2 log£ x+10 y=(log£ x)(log3—⁄x)+2 log£ x+10

y=-(log£ x)¤ +2 log£ x+10

log£ x=t로 놓으면 1…x…81에서 log£ 1…log£ x…log£ 81

∴ 0…t…4 y=-t¤ +2t+10 =-(t-1)¤ +11 이므로 t=1일 때 최댓값 M=11 t=4일 때 최솟값 m=2 ∴ M+m=13 O t 11 10 2 1 4 y y=-(t-1)2₊₁₁

07

25

08

③

09

53

10

③

11

②

12

④

13

③

14

13

15

②

16

⑤

17

②

18

③

19

①

20

⑤ 본문022`~`024쪽

유형`03. 로그함수와 그래프

09

15

A(k, log™ k), B(k, -log™ (8-k))이고

AB”=2이므로 |log™ k+log™ (8-k)|=2 log™ k(8-k)=-2 또는 log™ k(8-k)=2 ⁄log™ k(8-k)=-2일 때, ⁄_{k(8-k)=;4!;, 4k¤ -32k+1=0} ⁄0<k<8이므로 ⁄k= 또는 k= ¤log™ k(8-k)=2일 때, ¤k(8-k)=4, k¤ -8k+4=0 ¤0<k<8이므로 ¤_{k=4-2'3 또는 k=4+2'3} ⁄, ¤에서 모든 실수 k의 값의 곱은 { }{ }(4-2'3)(4+2'3) =;4!;_4=1

16

두 곡선 y=3≈ `±⁄ -2, y=log™ (x+1)-1이 y축과 만나는 점의 좌표는 각각 A(0, 1), B(0, -1) 점 C의 y좌표는 1이므로 log™ (x+1)-1=1 log™ (x+1)=2 x+1=4 ∴ x=3 ∴ C(3, 1) 점 D의 y좌표는 -1이므로 3≈`±⁄ -2=-1 3≈`±⁄ =1 ∴ x=-1 ∴ D(-1, -1) 따라서 AC”=3, DB”=1, AB”=2이므로 사각형 ADBC의 넓이는 ;2!;_(AC”+DB”)_AB”=;2!;_(3+1)_2=4

17

점 A의 x좌표는 y=a-x-2 에서 1=a-x-2 a>1이므로 -x-2=0 ∴ x=-2 ∴ A(-2, 1) 점 B의 x좌표는 y=logå (x-2)에서 1=logå (x-2) x-2=a ∴ x=a+2 ∴ B(a+2, 1) AB”=8이고 a>1이므로 (a+2)-(-2)=8 a+4=8 ∴ a=4

18

P(p, logå p), Q(q, logå q) (p>q)로 놓으면 선분 PQ의 중점이 원의 중심 {;4%;, 0}이므로 8+3'7 2 8-3'7 2 8+3'7 2 8-3'7 2 =;4%;, =0에서 p+q=;2%;, pq=1 p, q를 두 실근으로 갖는 t에 대한 이차방정식은 t¤ -;2%;t+1=0 2t¤ -5t+2=0 (2t-1)(t-2)=0 t=;2!; 또는 t=2 즉, p=2, q=;2!; P(2_{, logå`2), Q{;2!;, -logå`2}이고,} 선분 PQ의 길이가 원의 지름 이므로 {2-;2!;}¤ +{logå 2-(-logå 2)}¤ ={ }¤ 정리하면 (logå 4)¤ =1

a>1이므로 logå 4=1에서 a=4

19

두 함수 y=2x -1과 y=log™ (x+1)은 서로 역함수 관계이므 로 두 곡선은 직선 y=x에 대하여 대칭이다. 직선 AB가 직선 y=x와 수직이므로 점 B는 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것과 같다. ∴ B(3, 2) 따라서 사각형 ACDB의 넓이는 ;2!;_(AC”+BD”)_CD” =;2!;_(3+2)_1 =;2%;

20

점 E의 좌표를 (a, b)라 하면 점 F의 좌표는 (a, 2å )이고,

2å =16에서 a=4

또 점 E는 곡선 y=log™ x 위의 점이므로 b=log™ 4=2 두 점 A(2« , 0), D(2« , n)을 이은 선분을 2：3으로 내분하는 점의 좌표는 {2« , ;5@;n}이고, 이 점의 y좌표가 점 E의 y좌표와 같 으므로 ;5@;n=2 ∴ n=5 따라서 두 점 D(32, 5), F(4, 16)을 지나는 직선 DF의 기울기는 =-;2!8!; 16-5 4-32 'ß13 2 'ß13 2 logå p+logå q 2 p+q 2

21

④

22

13

23

③

24

②

25

④

26

①

27

⑤

28

③ 본문024`~`025쪽

21

함수 y=2x-1 +5의 그래프는 함수 y=2x 의 그래프를 x축의 방 향으로 1만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이므로 점근 선의 방정식은 y=5이다. 함수 y=log™(4x-12)=log™ 4(x-3)=log™ (x-3)+2의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 점근선의 방정식은 x=3이다. 따라서 두 점근선 y=5, x=3의 교점은 (3, 5)이므로 a=3, b=5 ∴ a+b=8

22

log™ x=t로 놓으면 1…x…16에서 log™ 1…log™ x…log™ 16

∴ 0…t…4 y=t¤ -2t+k y=(t-1)¤ +k-1 즉, t=1일 때 최솟값 k-1을 가지므로 k-1=4 ∴ k=5 따라서 t=4일 때 최댓값은 (4-1)¤ +4=13

23

함수 y=2≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로

b만큼 평행이동하면 y=2x-a +b y=2x-a +b의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x=2y-a +b 2y-a =x-b y-a=log™ (x-b) ∴ y=log™ (x-b)+a 따라서 a=3, b=2이므로 ab=6

24

두 함수 `f(x)=3≈ 과 g(x)=log£ x는 서로 역함수 관계이다. ( fΩf)(b)=f(e)=c(∵ g(c)=e) (gΩg)(c)=g(e)=b(∵ f(b)=e) ∴ (fΩf)(b)+(gΩg)(c)=c+b=b+c

25

p=9, q=81이고, 두 점 P, Q에서 각각 y축에 평행한 직선을 그어 곡선 y=log£ x와 만나는 점을 각각 P¡, Q¡이라 하였으므로 P¡(9, log£ 9), Q¡(81, log£ 81) ∴ P¡(9, 2), Q¡(81, 4) 점 P¡의 y좌표는 점 P™의 y좌표와 같으므로 2=3≈ ∴ x=log£ 2 ∴ P™(log£ 2, 2) 또 점 Q¡의 y좌표는 점 Q™의 y좌표와 같으므로 4=3≈ ∴ x=2 log£ 2 ∴ Q™(2 log£ 2, 4) 따라서 P¡P™”=9-log£ 2, Q¡Q™”=81-2 log£ 2이므로 사각형 P¡Q¡Q™P™의 넓이는

;2!; {(9-log£ 2)+(81-2 log£ 2)}_(4-2)=90-3 log£ 2 y 9 2 4 P¡ y=3≈ y=log£ x O 81 x Q¡ P™ Q™ y O 13 5 4 1 4 t

26

두 점 A, B의 좌표를 각각

A(a, log£ a), B(b, log£ b) (a, b는 양수)라 하면 조건 ㈎에서 선분 AB의 중점 M의 y좌표는 0이므로 =0 log£ ab=0 ∴ ab=1㉠㉠……`㉠ 조건 ㈏에서 선분 AB를 3：1로 외분하는 점의 x좌표는 0이므로 =0 ∴ a=3b㉠㉠……`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a='3, b= 즉, A{'3, ;2!;}, B{ , -;2!;} 이므로 그림에서 삼각형 OAB의 넓이는 {;2!;_ _;2!;}_2=

27

점 A의 좌표를 A(k, 2)라 하면 logå k=2 ∴ k=a¤ 점 C의 좌표는 C(a¤ +2, 4)이므로 logå (a¤ +2)=4 ∴ a¤ =a› -2 a› -a¤ -2=0에서 (a¤ +1)(a¤ -2)=0 ∴ a¤ =2 (∵ a¤ >1) 즉, k=2이므로 점 B의 좌표는 B(4, 2)이다. 2=log∫ 4, b¤ =4 ∴ b=2 (∵ b>1) ∴ a¤ +b=4

28

두 점 A, B는 곡선 y=log£ x 위의 점이고, 두 점 C, D는 곡선 y=-log£ x 위의 점이다. 두 점 C, D의 x좌표를 각각 a, b라 하면 log£ 2=-log£ a_{에서 ;a!;=2}

∴ a=;2!; log£ 6=-log£ b_{에서 ;b!;=6} ∴ b=;6!; ∴ AC”=2-;2!;=;2#;, BD”=6-;6!;=:£6∞: 따라서 사각형 ABDC의 넓이는 ;2!; {;2#;+:£6∞:} (log£ 6-log£ 2) =:¡3¡:_log£ ;2^;=:¡3¡: '3 3 2'3 3 y O x A {'3, }1₂ { , - } B '3₃ 1₂ M{ , 0}2'3₃ '3 3 '3 3 3b-a 3-1 log£ a+log£ b 2

유형`04. 지수방정식과 지수부등식

11

01

82x+3 =4 ‹'2에서 26x+9 =2;3&; 6x+9=;3&; ∴ x=-:¡9º:

02

{;3!;} -3x =3x¤ -4 에서 33x =3x¤ -4 3x=x¤ -4 x¤ -3x-4=0 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4 ∴ ab=-4

03

4x+2x+2-12=0에서 (2x )¤ +4_2x-12=0 2x=t(`t>0)로 놓으면 t¤ +4t-12=0 (t+6)(t-2)=0 ∴ t=2 (∵ t>0) 즉, 2x =2이므로 x=1

04

3¤ ≈ -4_3≈ ±⁄ +27=0에서 (3≈ )¤ -12_3≈ +27=0 3≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -12t+27=0 (t-3)(t-9)=0 ∴ t=3 또는 t=9 즉, 3≈ =3 또는 3≈ =9이므로 x=1또는 x=2 ∴ a+b=1+2=3

05

3x +32-x =10에서 3x + =10 3x =t(`t>0)로 놓으면 t+ =10 t¤ -10t+9=0 (t-1)(t-9)=0 ∴ t=1 또는 t=9 즉, 3x =1또는 3x =9이므로 x=0또는 x=2 따라서 모든 실근의 합은 2이다.

06

2-2x -2-x+1 …0에서 2-2x …2-x+1 (밑)>1이므로 -2x…-x+1 ∴ xæ-1 따라서 x의 최솟값은 -1이다. 9 t 9 3≈

01

①

02

③

03

①

04

①

05

②

06

②

07

③

08

⑤

09

⑤

0

4

본문027`~`028쪽

지수방정식과 지수부등식

07

2 f(x) …4fi에서 2f(x) …210 , 즉 f(x)…10이므로 x¤ -3x…10, x¤ -3x-10…0 (x+2)(x-5)…0 ∴ -2…x…5 따라서 정수 x의 개수는 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5의 8이다.

08

4≈ -2≈ ±⁄ -8<0에서 (2≈ )¤ -2_2≈ -8<0 2≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -2t-8<0 (t+2)(t-4)<0 ∴ 0<t<4 (∵ t>0) 즉, 0<2≈ <4이므로 x<2

09

4≈ ±⁄ -17_2≈ +4…0에서 4(2≈ )¤ -17_2≈ +4…0 2≈ =t(t>0)로 놓으면 4t¤ -17t+4…0 (4t-1)(t-4)…0 ∴ ;4!;…t…4 즉, ;4!;…2≈ …4이므로 -2…x…2 따라서 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2의 5개이다.

10

3-x+2 =;9!;=3-2 이므로 -x+2=-2 ∴ x=4

11

4≈ -7_2≈ +12=0에서 (2≈ )¤ -7_2≈ +12=0 2≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -7t+12=0 yy`㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 2a , 2b 이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2a +2b =7, 2a _2b =12 ∴ 2¤a +2¤b =(2a +2b )¤ -2_2a _2b ∴ 2¤a +2¤b =7¤ -2_12=25

12

2≈ +22-x =5에서 2≈ + =5 2≈ =t(t>0)로 놓으면 t+4=5 t 4 2≈

10

4

11

25

12

⑤

13

3

14

6

15

⑤

16

①

17

15

18

④

19

③

20

18 본문028`~`030쪽

t¤ -5t+4=0, (t-1)(t-4)=0 ∴ t=1 또는 t=4 즉, 2≈ =1 또는 2≈ =4이므로 x=0또는 x=2 따라서 모든 실근의 합은 2이다.

13

6-2≈ =2‹ —≈에서 6-2≈ = 2≈ =t(t>0)로 놓으면 6-t= t¤ -6t+8=0, (t-2)(t-4)=0 ∴ t=2 또는 t=4 즉, 2≈ =2 또는 2≈ =4이므로 x=1또는 x=2 따라서 모든 실근의 합은 3이다.

14

{;2!;}≈ —fi æ4에서 2-(x-5) æ2¤, -x+5æ2 ∴ x…3 따라서 자연수 x는 1, 2, 3이므로 그 합은 1+2+3=6

15

{;5!;}⁄ —¤ ≈ …5≈ ±› 에서 5¤ ≈ —⁄ …5≈ ±› (밑)>1이므로 2x-1…x+4 ∴ x…5 따라서 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 합은 15이다.

16

2≈¤_{<4_2≈에서 2≈}¤_{<2≈ ±¤`} (밑)>1이므로 x¤ <x+2 x¤ -x-2<0, (x-2)(x+1)<0 ∴ -1<x<2 따라서 a=-1, b=2이므로 a+b=1

17

y=f(x)는 일차함수이므로 f(x)=ax+b (a+0)라 하면

f(-5)=-5a+b=0 yy㉠ 2f(x) …8=2‹에서 f(x)…3의 해가 x…-4이므로 f(-4)=3이다. ∴ f(-4)=-4a+b=3 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=15이므로 f(0)=b=15

18

{;2!;} f(x)g(x) æ{;8!;}g(x)에서 {;2!;} f(x)g(x) æ{;2!;}3g(x) f(x)g(x)…3g(x) { f(x)-3}g(x)…0 ⁄f(x)-3æ0, g(x)…0인 경우 x…1 ¤f(x)-3…0, g(x)æ0인 경우 3…x…5 y O -5 3 -4 y=f(x) x 8 t 8 2≈ ⁄, ¤에서 조건을 만족시키는 모든 자연수는 1, 3, 4, 5이므로 구하는 합은 1+3+4+5=13

19

(3≈ -5)(3≈ -100)<0에서 3≈ =t (t>0)로 놓으면 (t-5)(t-100)<0 ∴ 5<t<100 즉, 5<3≈ <100이므로 5<3¤ …3≈ …3› <100 따라서 자연수 x는 2, 3, 4이므로 그 합은 9이다.

20

9≈ -3x+2 +18<0에서 (3≈ )¤ -9_3≈ +18<0 3≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -9t+18<0에서 (t-3)(t-6)<0 ∴ 3<t<6 즉, 3<3≈ <6이므로 1<x<log£ 6 따라서 a=1, b=log£ 6이므로 3a _3b =3⁄ _3log£ 6 =3_6=18 [다른 풀이] 3≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -9t+18<0㉡㉡yy`㉠ 주어진 부등식의 해가 a<x<b이므로 ㉠의 해는 3a <t<3b 이다. 따라서 t에 대한 이차방정식 t¤ -9t+18=0의 두 근은 3a , 3b 이 므로 근과 계수의 관계에 의하여 3a _3b =18

21

4x -5_2x+1 +2k =0의 한 근이 3이므로 4‹ -5_2› +2˚ =0 2˚ =16 ∴ k=4 4≈ -5_2x+1 +16=0에서 (2≈ )¤ -10_2≈ +16=0 2x =t(`t>0)로 놓으면 t¤ -10t+16=0 (t-2)(t-8)=0 ∴ t=2 또는 t=8 즉, 2x =2또는 2x =8이므로 x=1또는 x=3 따라서 나머지 한 근은 1이다.

22

81≈ -9≈ ±¤ +36=0에서 (9≈ )¤ -81_9≈ +36=0 9≈ =t(`t>0)로 놓으면 t¤ -81t+36=0㉠㉠yy`㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근이 9a , 9b 이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 9a _9b =3¤a _32b 9a _9b =3¤(a+b) =36

21

②

22

①

23

③

24

②

25

⑤

26

①

27

③

28

④

29

②

30

④ 본문030`~`031쪽

유형`04. 지수방정식과 지수부등식

13

∴ 3a+b =6(∵ 3a+b >0)

23

a2x -12ax +8=0에서 a≈ =t (`t>0)로 놓으면 t¤ -12t+8=0㉠㉠yy`㉠ 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근은 aa , ab 이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 aa _ab =aa+b =2‹ a+b=3이므로 a=2

24

[ 에서‡ 2x =X(`X>0), 3y =Y(`Y>0)로 놓으면 ‡ ㉠+㉡_3을 하면 5X=20 ∴ X=4 X=4를 ㉠에 대입하면 Y=9 즉, 2x =4, 3y =9에서 x=2, y=2 따라서 a=2, b=2이므로 ab=4

25

2≈ +2-x =t로 놓으면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균과 기하평 균의 관계에 의하여 t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ _2—≈ =2 (단, 등호는 2≈ =2—≈ 일 때 성립) 4≈ +4—≈ =(2≈ +2—≈ )¤ -2=t¤ -2 이므로 주어진 방정식은 2(t¤ -2)-t-6=0 2t¤ -t-10=0, (t+2)(2t-5)=0 ∴ t=;2%; (∵ tæ2) 즉, 2≈ +2—≈ =;2%;이므로 양변에 2_2≈ 를 곱하여 정리하면 2_22x -5_2≈ +2=0 2≈ =k(`k>0)로 놓으면 2k¤ -5k+2=0, (2k-1)(k-2)=0 ∴ k=;2!; 또는 k=2 즉, 2≈ =;2!; 또는 2≈ =2이므로 x=-1또는 x=1

26

2f(x) …16에서 2f(x) …2›이므로 f(x)…4 yy㉠ {;3!;} f(x) <{;3!;}g(x)에서 f(x)>g(x) yy㉡ ㉠, ㉡에서 g(x)< f(x)…4이므로 0<x…6 따라서 자연수 x의 값의 합은 1+2+3+4+5+6=21

27

52x -3_5≈ -10>0에서 5≈ =t (`t>0)로 놓으면 t¤ -3t-10>0 (t+2)(t-5)>0 ∴ t>5 (∵ t>0) 즉, 5≈ >5이므로 x>1 2X-Y=-1㉠㉠yy`㉠ X+:3 Y:=7 ㉠㉠yy`㉡ 2_2x -3y =-1 2x +:£3 y :=7 2x+1 -3y =-1 2x +3y-1 =7

28

9≈ -10_3≈ ±⁄ +81<0에서 (3≈ )¤ -30_3≈ +81<0 3≈ =t(`t>0)로 놓으면 t¤ -30t+81<0 (t-3)(t-27)<0 ∴ 3<t<27 즉, 3<3≈ <27이므로 1<x<3 따라서 a=1, b=3이므로 a+b=4

29

2≈ ±¤ +2—≈ ±⁄ …9에서 4_2≈ + …9 2≈ =t(`t>0)로 놓으면 4t+ …9, 4t¤ -9t+2…0 (4t-1)(t-2)…0 ∴ ;4!;…t…2 즉, ;4!;…2≈ …2이므로 -2…x…1 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 1+(-2)=-1

30

4x+1 +a_2≈ +b<0에서 4_(2≈ )¤ +a_2≈ +b<0 2≈ =t(`t>0)로 놓으면 4t¤ +at+b<0㉠㉠yy`㉠ 주어진 부등식의 해가 -2<x<4이므로 2—¤ <2≈ <2› ∴ ;4!;<t<16 즉, 부등식 ㉠의 해가 `;4!;<t<16이므로 4 {t-;4!;}(t-16)<0 4t¤ -65t+16<0 따라서 a=-65, b=16이므로 b-a=81 2 t 2 2≈

01

진수의 조건에서 x>0, x-4>0 ∴ x>4 log™ x+log™ (x-4)=5에서 log™ x(x-4)=log™ 32 x(x-4)=32, x¤ -4x-32=0 (x+4)(x-8)=0 ∴ x=8 (∵ x>4)

02

진수의 조건에서 x+3>0, x+7>0 ∴ x>-3 log£ (x+3)-logª (x+7)=1에서 log3¤(x+3)¤ =logª (x+7)+logª 9

logª (x+3)¤ =logª 9(x+7) (x+3)¤ =9x+63, x¤ -3x-54=0 (x+6)(x-9)=0 ∴ x=9 (∵ x>-3) 따라서 모든 근의 합은 9이다.

03

진수의 조건에서 x>0

(log∞ x)¤ =log∞ x+2에서 log∞ x=t로 놓으면

t¤ =t+2, t¤ -t-2=0 (t+1)(t-2)=0 ∴ t=-1 또는 t=2 즉, log∞ x=-1 또는 log∞ x=2이므로 x=;5!; 또는 x=25 따라서 두 근의 곱은 ;5!;_25=5

04

log™ (log£ (log∞ x))=0에서 log£ (log∞ x)=1, log∞ x=3 ∴ x=5‹ =125

05

log£ x=log£ 4에서 x=4 log™ xy=3에서 xy=8 ∴ y=2 ∴ x+y=6

06

진수의 조건에서 x-2>0, 2x-1>0 ∴ x>2㉠㉠ yy`㉠ log;2!;`(x-2)ælog;4!;`(2x-1)에서 log;4!;`(x-2)¤ ælog;4!;`(2x-1) 0<(밑)<1이므로 (x-2)¤ …2x-1 x¤ -6x+5…0 (x-1)(x-5)…0 ∴ 1…x…5㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 2<x…5 따라서 정수 x는 3, 4, 5의 3개이다.

07

진수의 조건에서 2x-1>0 ∴ x>;2!; yy`㉠ log;2!;`(2x-1)>2에서 log;2!;`(2x-1)>log;2!;`{;2!;}2 0<_{(밑)<1이므로 2x-1<;4!;} 2x<;4%; ∴ x<;8%; yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 ;2!;<x<;8%; 따라서 a=;2!;, b=;8%;이므로 b-a=;8!;

08

진수의 조건에서 x-2>0 , 6-x>0 ∴ 2<x<6㉠㉠yy`㉠ log£`(x-2)+log£`(6-x)>1에서 log£`(x-2)(6-x)>log£`3 (밑)>1이므로 (x-2)(6-x)>3 x¤ -8x+15<0, (x-3)(x-5)<0 ∴ 3<x<5㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 3<x<5 따라서 a=3, b=5이므로 ab=15

09

log™` f(x)=2+log™`(x+2)에서 log™` f(x)=log™ 4(x+2) ∴ f(x)=4(x+2) 즉, f(x)=x¤ +3x+2이므로 x¤ +3x+2=4(x+2) x¤ -x-6=0, (x+2)(x-3)=0 ∴ x=-2 또는 x=3 진수 조건에서 x‹ +3x+2>0, x+2>0 즉, x>-1이므로 구하는 실수 x의 값은 3이다.

10

진수의 조건에서 x>-;5!; 2 log¢ (5x+1)=1, log™ (5x+1)=1

10

1

11

12

12

②

13

27

14

③

15

①

16

③

17

15

18

81

19

②

20

⑤

21

② 본문034`~`036쪽

01

②

02

③

03

②

04

⑤

05

②

06

③

07

①

08

⑤

09

③

0

5

본문033`~`034쪽

로그방정식과 로그부등식

유형`05. 로그방정식과 로그부등식

15

5x+1=2_{에서 x=;5!;} 따라서 a=;5!;이므로 log∞ ;å!;=log∞ 5=1

11

진수의 조건에서 x-4>0, 5x+4>0 ∴ x>4 log£ (x-4)=logª (5x+4)에서 logª (x-4)¤ =logª (5x+4) (x-4)¤ =5x+4, x¤ -13x+12=0 (x-1)(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ x>4) ∴ a=12

12

진수의 조건에서 4+x>0, 4-x>0 ∴ -4<x<4 log™ (4+x)+log™ (4-x)=3에서 log™ (4+x)(4-x)=log™ 8 (4+x)(4-x)=8, x¤ =8 ∴ x=-2'2 또는 x=2'2 따라서 모든 실수 x의 값의 곱은 (-2'2)_2'2=-8

13

(log£ x)¤ -6log£ 'x+2=0에서 (log£ x)¤ -3log£ x+2=0 log£ x=t로 놓으면 t¤ -3t+2=0㉠㉠yy`㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 log£ a, log£ b 이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

log£ a+log£ b=log£ ab=3 ∴ ab=3‹ =27

14

두 함수 y=log™ x, y=log™ (x-2)의 그래프와 x축과 만나는 점의 좌표는 각각 A(1, 0), B(3, 0) P(k, log™ k), Q(k, log™ (k-2)), R(k, 0)이고, 점 Q가 선분 PR의 중점이므로 log™ k=2log™ (k-2) log™ k=log™ (k-2)¤ k=(k-2)¤ k¤ -5k+4=0 (k-1)(k-4)=0 ∴ k=4 (∵ k>3) 즉, AR”=3, PR”=2, BR”=1, QR”=1이므로 사각형 ABQP의 넓이는 (삼각형 ARP의 넓이)-(삼각형 BRQ의 넓이) =;2!;_3_2-;2!;_1_1 =;2%;

15

진수의 조건에서 x-1>0_{, ;2!;x+k>0} ∴ x>1㉠㉠ yy`㉠ log∞ (x-1)…log∞ {;2!;x+k}에서 (밑)>1이므로 x-1…;2!;x+k ;2!;x…k+1 ∴ x…2(k+1)㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 1<x…2(k+1) 따라서 이 범위를 만족시키는 모든 정수 x의 개수가 3이어야 하 므로 4…2(k+1)<5 ∴ 1…k<;2#; 따라서 구하는 자연수 k의 값은 1이다.

16

로그의 진수 조건에서 x-1>0, 4x-7>0 즉, x>1, x>;4&;이므로 x>;4&; yy`㉠ log£ (x-1)(4x-7)…log£ 27 (밑)>1이므로 (x-1)(4x-7)…27 4x¤ -11x-20…0 (4x+5)(x-4)…0 ∴ -;4%;…x…4 yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 ;4&;<x…4 따라서 정수 x는 2, 3, 4의 3개이다.

17

log£ f(x)+log;3!;(x-1)…0에서 log£ f(x)-log£(x-1)…0 log£ f(x)…log£(x-1) ∴ f(x)…x-1 (단, f(x)>0, x-1>0) yy㉠ 따라서 ㉠을 만족시키는 자연수 x의 값은 4, 5, 6이다. 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 4+5+6=15

18

진수의 조건에서 x>0㉠ yy`㉠

(log£ x)(log£ 3x)…20에서 (log£ x)(1+log£ x)…20 log£ x=t로 놓으면 t(1+t)…20 t¤ +t-20…0, (t-4)(t+5)…0 ∴ -5…t…4 즉, -5…log£ x…4이므로 ;24!3;…x…81㉠㉠ yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 ;24!3;…x…81 따라서 자연수 x의 최댓값은 81이다.

19

진수의 조건에서 x>0㉠㉠yy`㉠ (1+log£ x)(a-log£ x)>0에서

(log£ x+1)(log£ x-a)<0

¤-1<log£ x<a ¤_{∴ ;3!;<x<3å} ㉠㉠ yy`㉡ ¤a<-1일 때, ¤a<log£ x<-1 ¤_{∴ 3å <x<;3!;} 부등식의 해가 ;3!;<x<9이어야 하므로 a<-1일 때 부등식 의 해를 구할 수 없다. ㉠, ㉡에서 ;3!;<x<3å 이므로 3å =9㉠㉠∴ a=2 [다른 풀이] 주어진 부등식의 해가 ;3!;<x<9이므로 log£ ;3!;<log£ x<log£ 9

-1<log£ x<2㉠㉠ yy`㉢ 한편, (1+log£ x)(a-log£ x)>0에서 (log£ x+1)(log£ x-a)<0

이 부등식의 해가 `㉢이므로 a=2

20

진수 조건에서 x¤ >0, |x|>0 ∴ x+0 yy`㉠

log™ x¤ -log™ |x|=log™ |x|¤ -log™ |x|

=2 log™ |x|-log™ |x| =log™ |x| 즉, log™ |x|…log™ 8에서 (밑)>1이므로 |x|…8 ∴ -8…x…8㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 -8…x<0, 0<x…8 따라서 구하는 정수 x는 —1, —2, —3, y, —8의 16개이다.

21

⁄ `log™|x-1|의 진수조건에서 x+1 ¤ `<sub>2`log™|x-1|…1-log™ ;2!;에서</sub> 2`log™|x-1|…1-(-1) 2`log™|x-1|…2 log™|x-1|…1 log™|x-1|…log™ 2 |x-1|…2에서 -1…x…3 즉, 정수 x의 값은 -1, 0, 1, 2, 3 ⁄``, ¤``에서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x의 값은 -1, 0, 2, 3이고 그 개수는 4이다.

22

(log™ x-2)_log™ x=3에서 (log™ x)¤ -2 log™ x-3=0 log™ x=t로 놓으면 t¤ -2t-3=0 (t+1)(t-3)=0 ∴ t=-1 또는 t=3 즉, log™ x=-1 또는 log™ x=3이므로 x=;2!; 또는 x=8 따라서 모든 근의 곱은 ;2!;_8=4

23

진수의 조건에서 x>0, x-1>0 ∴ x>1

log'2x=log™ (x-1)+2에서 log™ x¤ =log™ 4(x-1) x¤ =4x-4

x¤ -4x+4=0

(x-2)¤ =0 ∴ x=2

24

logÆ 4-log™ x=1에서 -log™ x=1

log™ x=t로 놓으면 `;t@;-t=1 t¤ +t-2=0 (t+2)(t-1)=0 ∴ t=-2 또는 t=1 즉, log™ x=-2 또는 log™ x=1이므로 x=;4!; 또는 x=2 따라서 a=2, b=;4!; (∵ a>b)이므로 =8

25

(log£ x)¤ -2 log£ x-4=0에서 log£ x=t로 놓으면

t¤ -2t-4=0㉠㉠yy`㉠

주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근은 log£ a, log£ b이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 log£ a+log£ b=log£ ab=2

∴ ab=3¤ =9

26

(log x)¤ -2k log x+5=0의 두 근을 a, b라 하면 ab=10 log x=t로 놓으면 t¤ -2kt+5=0㉠㉠yy`㉠ 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근은 log a, log b 이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 log a+log b=2k ∴ k=;2!; log ab ∴ k=;2!; log 10 ∴ k=;2!; a b 2 log™ x

22

②

23

②

24

③

25

④

26

①

27

②

28

①

29

④

30

②

31

⑤ 본문036`~`037쪽

유형`06. 삼각함수의 그래프

17

27

진수의 조건에서 x+5>0, 3x-5>0

∴ x>;3%;㉠ yy`㉠

log£ (x+5)-logª (3x-5)<1에서 log3¤(x+5)¤ <logª (3x-5)+logª 9

logª (x+5)¤ <logª 9(3x-5) (밑)>1이므로 (x+5)¤ <9(3x-5) x¤ -17x+70<0, (x-7)(x-10)<0 ∴ 7<x<10㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 7<x<10 따라서 구하는 정수 x는 8, 9의 2개이다.

28

진수의 조건에서 x>0, 2x-1>0 ∴ x>;2!;㉠㉠ yy`㉠

log£ x…log;3!;(2x-1)에서 log£ x…-log£ (2x-1)

log£ x+log£ (2x-1)…0, log£ x(2x-1)…0 log£ x(2x-1)…log£ 1 (밑)>1이므로 x(2x-1)…1 2x¤ -x-1…0, (2x+1)(x-1)…0 ∴ -;2!;…x…1㉠㉠yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 ;2!;<x…1 따라서 구하는 정수 x는 1의 1개이다.

29

일차함수 y=f(x)의 그래프가 두 점 (-2, 0), (0, 2)를 지나 므로 f(x)=x+2

log™ f(x)ælog™ (x-3)+1에서 log™ f(x)ælog™ 2(x-3)

f(x)æ2(x-3)이므로 x+2æ2(x-3) x+2æ2x-6 ∴ x…8 한편, 진수 조건에서 x+2>0, x-3>0, 즉 x>3이므로 3<x…8 따라서 구하는 모든 정수 x의 값의 합은 4+5+6+7+8=30

30

진수의 조건에서 x>0㉠㉠yy`㉠

(log™ 4x)(log™ 8x)<2에서 (2+log™ x)(3+log™ x)<2 log™ x=t로 놓으면 (2+t)(3+t)<2, t¤ +5t+4<0 (t+1)(t+4)<0 ∴ -4<t<-1 즉, -4<log™ x<-1이므로 ;1¡6;<x<;2!;㉠ yy`㉡ ㉠, ㉡의 공통 범위는 ;1¡6;<x<;2!; 따라서 a=;1¡6;, b=;2!;이므로 =8

31

진수의 조건에서 x+4>0, 8-x>0 ∴ -4<x<8㉠ yy`㉠ log™ (x+4)+log™ (8-x)>k에서 log™ (x+4)(8-x)>log™ 2˚ b a (밑)>1이므로 (x+4)(8-x)>2˚ x¤ -4x+2˚ -32<0㉠㉠yy`㉡ 주어진 부등식의 해가 0<x<4이고 0<x<4는 ㉠에 포함되므로 ㉡의 해가 0<x<4이어야 한다. x(x-4)<0에서 x¤ -4x<0 즉, 2˚ -32=0이므로 2˚ =32=2fi ∴ k=5

01

ㄱ. 주기는 =p(참) ㄴ. 최댓값은 |2|+1=3 (참) ㄷ. 최솟값은 -|2|+1=-1 (참)

ㄹ. y=2 sin 2 {x- }+1이므로 y=2 sin 2x의 그래프를 x축

ㄹ. 의 방향으로 만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

02

조건 ㈎에서 a>0이고 최댓값이 8, 최솟값이 2이므로 a+c=8, -a+c=2 두 식을 연립하여 풀면 a=3, c=5 조건 ㈏에서 b>0이고 주기가 이므로 = ∴ b=4 ∴ a+b+c=3+4+5=12

03

a>0이고 주어진 그래프에서 최댓값이 4, 최솟값이 -4이므로 a=4 b<0이고 주기가 p이므로 =p ∴ b=-2 2p -b p 2 2p b p 2 p 4 p 4 2p 2 y O 3 -1 x p -p y=2 sin {2x- }+1₂p

01

③

02

②

03

②

04

①

05

③

06

④

0

6

본문039쪽

삼각함수의 그래프

08

a>0이고 주어진 그래프에서 최댓값이 3, 최솟값이 -3이므로 a=3 b>0_{이고 주기가 ;4%;p-} =p이므로 =p ∴ b=2 ∴ ab=3_2=6

09

a>0_{이고 주기가 ;3@;p-{-} }=p이므로 =p ∴ a=2 함수 y=cos 2(x+b)+1의 그래프는 함수 y=cos 2x+1의 그래프를 x축의 방향으로 -b만큼 평행이동한 것이므로 -b=-∴ b= (∵ 0<b<p) ∴ ab=2_ =;3@;p

10

a>0이므로 함수 y=a sin x의 최댓값은 a이고 최솟값은 -a

이다.

함수 y=a sin x의 최댓값이 2이므로

a=2

또 a sin x=a sin { x+2p}=a sin (x+4b)이므로 함수 y=a sin x의 주기는 4b이다.

따라서 4b=2이므로 b=;2!; ∴ a+b=2+;2!;=;2%;

11

a sin =-;2A;에서 sin =-;2!;이므로

=;6&;p 또는 =:¡6¡:p ∴ x=;2%;p 또는 x=;2(;p 즉, AB”=;2(;p-;2%;p=2p 삼각형 PAB의 넓이가 최대이려면 삼각형 PAB의 높이가 최대 이어야 하므로 점 P의 y좌표가 a일 때 최대이다. 따라서 삼각형 PAB의 높이가 최대일 때 그 높이는 ;2#;a이다. 삼각형 PAB의 넓이의 최댓값이 6p이므로 ;2!;_2p_;2#;a=6p ∴ a=4 y O P A B x -₂a y=-₂a y=f(x) x+p 3 x+p 3 x+p 3 x+p 3 p 2b p 2b p 2b p 2b p 2b p 2b p 3 p 3 p 3 2p a p 3 2p b p 4 ∴ a+b=4+(-2)=2

04

a>0이고 주어진 그래프에서 최댓값이 4, 최솟값이 -4이므로 a=4 b>0_{이고 주기가 ;;¡3¡;;p-{-} }=4p이므로 =4p _{∴ b=;2!;} y=4 sin {;2!;x+c}의 그래프가 점 {;3%;p, 4}를 지나므로 4 sin {;6%;p+c}=4 sin {;6%;p+c}=1 ;6%;p+c= (∵ -p<c<p) ∴ c=-∴ abc=4_;2!;_{- }=-;3@;p

05

두 점 {a, ;3@;}, {b, ;3@;}가 직선 x= 에 대하여 대칭이므로 = ∴ a+b=p ∴ cos (a+b)=cos p=-1

06

y=sin¤ x-2 cos x y=(1-cos¤ x)-2 cos x y=-cos¤ x-2 cos x+1 cos x=t(-1…t…1)로 놓으면 y=-t¤ -2t+1=-(t+1)¤ +2 즉, t=-1일 때 최댓값 M=2, t=1일 때 최솟값 m=-2 ∴ M-m=4

07

함수 f(x)=a sin x+1의 그래프는 함수 y=a sin x의 그래프 를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. a는 양수이므로 함수 y=a sin x가 최대일 때 함수 f(x)는 최대이고, 함수 y=a sin x가 최소일 때 함수 f(x)는 최소이므로 함수 f(x)는 sin x=1일 때 최댓값 M=a+1, sin x=-1일 때 최솟값 m=-a+1을 갖는다. 따라서 M-m=(a+1)-(-a+1)=2a=6이므로 a=3 y O 2 -2 1 1 -1 t y=-t¤ -2t+1 p 2 a+b 2 p 2 p 3 p 3 p 2 2p b p 3

07

③

08

6

09

①

10

⑤

11

4

12

①

13

③ 본문040쪽

유형`06. 삼각함수의 그래프

19

12

sin {x+ }=cos x, cos (x+p)=-cos x이므로

f(x)=cos x-cos¤ x=-{cos x-;2!;}¤ +;4!;

따라서 cos x=;2!;일 때, 함수 f(x)의 최댓값은 ;4!;이다.

13

f(x)=cos¤ {x-;4#;p}-cos {x- }+k f(x)=cos¤ {x- - }-cos {x- }+k f(x)=cos¤ [ -{x- }]-cos {x- }+k f(x)=sin¤ {x- }-cos {x- }+k f(x)=1-cos¤ {x- }-cos {x- }+k cos {x- }=t로 놓으면 -1…t…1 y=-t¤ -t+k+1=-{t+;2!;}¤ +k+;4%; t=-;2!;일 때 최댓값 k+;4%;, t=1일 때 최솟값 k-1을 갖는다. 따라서 k+;4%;=3에서 k=;4&;이고, m=;4&;-1=;4#;이므로 k+m=;4&;+;4#;=;2%;

14

y=-2 sin {2x+ }+1에서 최댓값은 M=|-2|+1=3 또 주기는 p= =p ∴ Mp=3p

15

a<0이고 최댓값이 4이므로 |a|+c=-a+c=4㉠㉠yy`㉠ b>0이고 주기가 p이므로 =p ∴ b=2 f(p)=3이므로 a sin {2p+ }+c=3 a sin +c=3<sub>, ;2!;a+c=3</sub> ∴ a+2c=6 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;3@;, c=;;¡3º;; ∴ a+b+c=-;3@;+2+;;¡3º;;=;;¡3¢;; p 6 p 6 2p b 2p 2 p 3 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 4 p 2 p 4 p 2 p 4 p 4 p 2

16

a>0이고 주어진 그래프에서 최댓값이 3, 최솟값이 -1이므로 a+d=3, -a+d=-1 두 식을 연립하여 풀면 a=2, d=1 b>0_{이고 주기가 ;;¡8∞;;p-{-;8%;p}=;2%;p이므로} =;2%;p ∴ b=;5$; y=2 cos ;5$;(x+c)+1의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1=2 cos ;5$;c+1, cos ;5$;c=0 ;5$;c=- (∵ -p<c<0) ∴ c=-;8%;p ∴ abcd=2_;5$;_{-;8%;p}_1=-p [다른 풀이]

y=2 cos ;5$;(x+c)+1의 그래프는 y=2 cos ;5$;x의 그래프를 x축의 방향으로 -c만큼 평행이동한 것이므로 -c=;8%;p ∴ c=-;8%;p

17

y=sin px의 주기는 =2이므로 b=2+(1-a)=3-a c=3-(1-a)=2+a ∴ a+b+c=a+(3-a)+(2+a)=5+a sin ap=;3@;이므로

f(a+b+c)=f (5+a)=sin (5p+ap)

f(a+b+c)=sin (p+ap)

f(a+b+c)=-sin ap=-;3@;

18

함수 y=2 cos 의 그래프와 직선 y=1의 교점의 x좌표는

2 cos =1에서 cos =;2!; = 또는 = (∵ 0…x…6p) ∴ x=p 또는 x=5p ∴ PQ”=5p-p=4p

19

y=sin¤ x-2 cos x+1 y=(1-cos¤ x)-2 cos x+1 y=-cos¤ x-2 cos x+2 cos x=t`(-1…t…1)로 놓으면 y=-t¤ -2t+2=-(t+1)¤ +3 즉, t=-1일 때 최댓값 M=3, t=1일 때 최솟값 m=-1 ∴ M+m=3+(-1)=2 y O -1 3 2 -1 1 t y=-t¤ -2t+2 5p 3 x 3 p 3 x 3 x 3 x 3 x 3 2p p y O 1 2 3 x y=₃2 3 2 a b c y=f(x) p 2 2p b

14

②

15

④

16

③

17

②

18

④

19

② 본문041쪽

01

2 sin x-1=0_{에서 sin x=;2!;}

0…x…2p_{에서 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y=;2!;은}

그림과 같다.

따라서 교점의 x좌표를 구하면

x= _{또는 x=;6%;p}

02

tan x='2 sin x에서 ='2 sin x 0<x<p에서 sin x+0이므로 cos x= 0<x<p에서 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y= 는 그림과 같다. 따라서 교점의 x좌표를 구하면 x=

03

cos x(2 sin x-1)=0에서 cos x=0_{또는 sin x=;2!;} 0…x…2p이므로 cos x=0에서 x= _{또는 x=;2#;p} sin x=;2!;에서 x= _{또는 x=;6%;p} 따라서 모든 x의 값의 합은 +;2#;p+ +;6%;p=3pp₆ p 2 p 6 p 2 p 4 y O 1 -1 x ' 2 2 4 p p ' y= ₂2 y=cos x '2 2 '2 2 sin x cos x p 6 y O 1 -1 x 2p y=sin x p p 6 5 6 p 2 1 y=2 1

04

2 sin¤ x+5 cos x+1=0에서 2(1-cos¤ x)+5 cos x+1=0 2 cos¤ x-5 cos x-3=0 (2 cos x+1)(cos x-3)=0 ∴ cos x=-;2!; (∵ -1… cos x…1) 0…x…2p에서 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y=-;2!;은 그림과 같다. 교점의 x좌표를 구하면 x=;3@;p 또는 x=;3$;p 따라서 모든 x의 값의 합은 ;3@;p+;3$;p=2p

05

sin 2x= 에서 2x=t로 놓으면 sin t= 이고, 0…x<2p에서 0…t<4p 이 범위에서 함수 y=sin t의 그래프와 직선 y= 은 그림과 같다. 교점의 t좌표를 구하면 t= _{또는 t=;3@;p 또는 t=;3&;p 또는 t=;3*;p} ∴ x= 또는 x= 또는 x=;6&;p 또는 x=;3$;p 따라서 주어진 방정식의 해가 아닌 것은 ③이다.

06

sin¤ x+cos¤ x=1에서 cos¤ x=1-sin¤ x이므로 = =cos x = 0…x…2p에서 함수 y=cos x의 그래프와 직선 y= 의 교 점의 x좌표를 a, b`(a<b)라 하면 y=cos x의 그래프는 직선 x=p에 대하여 대칭이므로 a=2p-b ∴ a+b=2p 따라서 모든 해의 합은 2p이다. 1 '3 1 '3 cos¤ x cos x 1-sin¤ x cos x p 3 p 6 p 3 y O 1 -1 t y=sin t ' y= 3 2 ' 3 2 4p 3p 2p p p 3 2 _p 3 7 _p 3 8 3 p '3 2 '3 2 '3 2 y O 1 -1 x -₂1 y=cos x y=-2 1 p 3 2 _p 3 4 p 2p

01

④

02

②

03

④

04

2p

05

③

06

③

07

③

08

-1

09

③

0

7

본문043`~`044쪽

삼각방정식과 삼각부등식

유형`07. 삼각방정식과 삼각부등식

21

07

x-;4“;=t로 놓으면 0…x<2p에서 -;4“;…t<;4&;p이고 주어진 방정식은 cos t=-∴ t=;6%;p 또는 t=;6&;p 즉, x-;4“;=;6%;p 또는 x-;4“;=;6&;p이므로 x=;1!2#;p 또는 x=;1!2&;p 따라서 모든 해의 합은 ;1!2#; p+;1!2&; p=;2%; p

08

0…x<2p에서 함수 y=sin x의 그래프와 직선 y= 은 그림과 같다. 교점의 x좌표를 구하면 x= _{또는 x=;3@;p} 즉, 주어진 부등식을 만족시키는 x의 값의 범위는 <x<;3@;p 따라서 a+b=p이므로 cos (a+b)=cos p=-1

09

0…x…p에서 함수 y=cos x의 그래프와 두 직선 y=-;2!;, y=;2!;은 그림과 같다. 교점의 x좌표를 구하면 cos x=;2!;에서 x= cos x=-;2!;에서 x=;3@;p 즉, 주어진 부등식을 만족시키는 x의 값의 범위는 <x<;3@;p ∴ b-a=;3@;p- =p₃ p₃ p 3 p 3 p 3 2 y O 1 -1 - x 2 1 2 1 y=cos x y=₂1 y=-2 1 p 3 p p 3 p 3 y O 1 -1 x y=sin x ' y=₂3 ' 3 2 p 2p p 3 2 3 p '3 2 '3 2

10

cos¤ x-sin x=1에서 cos¤ x=1-sin¤ x이므로 (1-sin¤ x)-sin x=1

sin¤ x+sin x=0 ∴ sin x=0 또는 sin x=-1

0<x<2p_{에서 x=p 또는 x=;2#;p}

따라서 모든 실근의 합은 p+;2#;p=;2%;p 이므로 p+q=2+5=7

11

cos¤ x=1-sin¤ x이므로 방정식 cos¤ x=sin¤ x-sin x에서 1-sin¤ x=sin¤ x-sin x

2 sin¤ x-sin x-1=0 (2 sin x+1)(sin x-1)=0 ∴ sin x=-;2!; 또는 sin x=1 0…x<2p이므로 ⁄_{sin x=-;2!;에서 x=;6&;p 또는 x=:¡6¡:p} ¤sin x=1_{에서 x=;2“;} ⁄, ¤에서 주어진 방정식의 모든 해의 합은 ;6&; p+:¡6¡: p+;2“;=;2&; p

12

2 sin¤ x+3 cos x=3에서 sin¤ x=1-cos¤ x이므로 2(1-cos¤ x)+3 cos x=3 2 cos¤ x-3 cos x+1=0 (2 cos x-1)(cos x-1)=0 ∴ cos x=;2!; 또는 cos x=1 0…x<2p이므로 x=0_{또는 x=;3“; 또는 x=;3%;p} 따라서 방정식의 모든 실근의 합은 0+;3“;+;3%;p=2p

13

(sin x+cos x)¤ ='3 sin x+1에서 1+2 sin x cos x='3 sin x+1

sin x (2 cos x-'3)=0 ∴ sin x=0 또는 cos x= 0…x…p이므로 sin x=0일 때, x=0 또는 x=p cos x= 일 때, x=p 6 '3 2 '3 2

10

7

11

④

12

④

13

①

14

②

15

③

16

④ 본문044`~`045쪽

2 cos¤ x+cos x-1=0 (cos x+1)(2 cos x-1)=0 ∴ cos x=-1 또는 cos x=;2!; 0…x…2p이므로 cos x=-1에서 x=p cos x=;2!;에서 x= 또는 x=;3%;p 따라서 모든 근의 합은 p+ +;3%;p=3p이다.

18

2 cos¤ x+sin x=2에서 cos¤ x=1-sin¤ x이므로 2 (1-sin¤ x)+sin x=2 2 sin¤ x-sin x=0 sin x (2 sin x-1)=0 ∴ sin x=0 또는 sin x=;2!; ⁄sin x=0에서 ⁄x=0또는 x=p 또는 x=2p ¤_{sin x=;2!;에서} ⁄_{x=;6“; 또는 x=;6%;p} ⁄, ¤에서 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 5이다.

19

tan x=2 sin x에서 =2 sin x

sin x=2 sin x cos x, sin x(2 cos x-1)=0 ∴ sin x=0 또는 cos x=;2!; 0…x…p이므로 sin x=0에서 x=0또는 x=p cos x=;2!;에서 x= 따라서 모든 해의 합은 0+p+ = p

20

2 sin {x- }=1에서 sin {x- }=;2!; 0…x…2p이므로 x- = 또는 x- =;6%;p ∴ x= 또는 x=;6&;p 따라서 모든 해의 합은 +;6&;p=;3%;p p 2 p 2 p 3 p 6 p 3 p 3 p 3 4 3 p 3 p 3 sin x cos x p 3 p 3 따라서 모든 실근의 합은 0+p+ =;6&;p

14

4 cos¤ x-1=0에서 (2 cos x-1)(2 cos x+1)=0 ∴ cos x=;2!; 또는 cos x=-;2!; 0<x<2p이므로 x=;3“; 또는 x=;3@;p 또는 x=;3$;p 또는 x=;3%;p ;3“;는 제1사분면의 각이므로 sin ;3“; cos ;3“;>0 ;3@; p는 제2사분면의 각이므로 sin ;3@; p cos ;3@; p<0 ;3$; p는 제3사분면의 각이므로 sin ;3$; p cos ;3$; p>0 ;3%; p는 제4사분면의 각이므로 sin ;3%; p cos ;3%; p<0 따라서 조건을 만족시키는 모든 x의 값의 합은 ;3@; p+;3%; p=;3&; p

15

1+'2 sin 2x=0에서 sin 2x=-2x= 또는 2x= `(∵ 0…2x…2p) ∴ x= 또는 x= 따라서 모든 해의 합은 + = =

16

주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 실근을 갖지 않아야 하므로 =4 cos¤ h-6 sin h<0 2 sin¤ h+3 sin h-2>0 (2 sin h-1)(sin h+2)>0 sin h+2>0_{이므로 sin h>;2!;에서} <h<;6%;p 따라서 a= , b=;6%;p이므로 3a+b= +;6%;p=;3$;p

17

2 sin¤ x-cos x-1=0에서 2(1-cos¤ x)-cos x-1=0 p 2 p 6 p 6 D 4 3p 2 12p 8 7p 8 5p 8 7p 8 5p 8 7p 4 5p 4 1 '2 p 6

17

④

18

5

19

④

20

④

21

7

22

②

23

③

24

⑤ 본문045`~`046쪽