등차수열

2R c¤ +a¤ -b¤

2ca a

c¤ +a¤ -b¤

2ca c 2R a

01

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 d=a™-a¡=3

∴ a¡º=a¡+9d=1+9_3=28

02

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¢=a+3d=9 ㉠㉠yy`㉠

a¶=a+6d=21 ㉠㉠yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, d=4

∴ a™+a§=(a+d)+(a+5d)

=2a+6d

=2_(-3)+6_4=18

03

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=a+2d=6 ㉠㉠yy`㉠

a¢+a§=(a+3d)+(a+5d)

=2a+8d=20 ㉠㉠yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=2

∴ a¡º=a+9d=2+9_2=20

04

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 aª=7a∞에서 a+8d=7(a+4d)

∴ 3a+10d=0㉠㉠yy`㉠

a£+a¶=4에서 (a+2d)+(a+6d)=4

∴ a+4d=2 ㉠㉠yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-10, d=3

∴ a¡™=a+11d=-10+11_3=23

05

주어진 등차수열의 공차를 d라 하면 a+d=2㉠ yy`㉠

a+2d=b㉠ yy`㉡

a+3d=5㉠㉠yy`㉢

㉢-㉠을 하면 2d=3 ∴ d=;2#;

d=;2#;을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 a=;2!;, b=;2&;

∴ ;aB;= =7

;2&;

;2!;

01

③

02

④

03

⑤

04

⑤

05

②

06

⑤

07

③

08

②

09

②

0 9

본문053`~`054쪽

유형`09. 등차수열

27 06

a¡=3, a¡º=31이므로 첫째항부터 제`10항까지의 합은

=170

07

a¡+a™+a£+y+a«=-120에서

24+a¡+a™+a£+y+a«+(-44)=-140

즉, 첫째항이 24, 끝항이 -44, 항의 개수가 (n+2)인 등차수열 의 합이 -140이므로

=-140 10(n+2)=140 ∴ n=12

08

S«=3n¤ -2n에서 næ2일 때, a«=S«-S«–¡

=(3n¤ -2n)-{3(n-1)¤ -2(n-1)}

=6n-5㉠㉠yy`㉠

n=1일 때,

a¡=S¡=3_1¤ -2_1=1

이때, a¡=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=6n-5`(`næ1)

∴ a£=6_3-5=13 [다른 풀이]

a£=S£-S™=(3_3¤ -2_3)-(3_2¤ -2_2)=13

09

S«=n¤ -2n+3에서 næ2일 때, a«=S«-S«–¡

=(n¤ -2n+3)-{(n-1)¤ -2(n-1)+3}

=2n-3㉠㉠yy`㉠

n=1일 때,

a¡=S¡=1¤ -2_1+3=2

이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같지 않으므로 a¡=2, a«=2n-3`(`næ2)

∴ a¡º=2_10-3=17

∴ a¡+a¡º=2+17=19 [다른 풀이]

a¡=S¡=1-2+3=2 a¡º=S¡º-Sª

=(10¤ -2_10+3)-(9¤ -2_9+3)

=17

∴ a¡+a¡º=19 (n+2){24+(-44)}

2 10(3+31)

10

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡º-a¶=(4+9d)-(4+6d)

=3d=6

∴ d=2

∴ a¢=4+3d=4+3_2=10

11

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a∞=a¡+4d=5 yy`㉠

a¡∞=a¡+14d=25 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a¡=-3, d=2

∴ a™º=a¡+19d=-3+19_2=35

12

등차수열 { a« }의 첫째항과 공차가 같으므로 첫째항과 공차를 모 두 a라 하자.

등차수열 { a« }의 일반항 a«은 a«=a+(n-1)a=an a™+a¢=24에서 2a+4a=24

∴ a=4

따라서 a«=4n이므로 a∞=4_5=20

13

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=a£+8에서

a¡=(a¡+2d)+8이므로 d=-4 이때 2a¢-3a§=3에서

2(a¡+3d)-3(a¡+5d)=-a¡-9d

=-a¡+36=3

∴ a¡=33

a«=33+(n-1)(-4)=-4n+37 a˚=-4k+37<0에서

k>:£4¶:=9.25

따라서 자연수 k의 최솟값은 10이다.

[다른 풀이]

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=a£+8에서

a£-a¡=2d=-8이므로 d=-4

이때 a¢-a§=a¡-a£=8이므로 2a¢-3a§=2(a¢-a§)-a§

=2_8-a§=3

∴ a§=13

aª=a§+3d=13+3_(-4)=1>0, a¡º=a§+4d=13+4_(-4)=-3<0

따라서 a˚<0을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 10이다.

14

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 2(a™+a£)=aª에서

2{(2+d)+(2+2d)}=2+8d

10

①

11

12

13

②

14

15

①

16

①

17

18

19

①

20

④

21

②

22

①

23

①

본문``054`~`056쪽

8+6d=2+8d, 2d=6

∴ d=3

15

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=-15이고 a¢=|a£|æ0이므로 a¡+3d=-15+3dæ0

∴ dæ5 yy`㉠

|a£|=a¢에서 |a¡+2d|=a¡+3d이므로 a¡+2d=a¡+3d또는 a¡+2d=-(a¡+3d)

⁄a¡+2d=a¡+3d이면 d=0이므로 ㉠에 모순이다.

¤a¡+2d=-(a¡+3d)이면

⁄d=-;5@;a¡=-;5@;_(-15)=6이므로 ㉠을 만족시킨다.

⁄, ¤에서 d=6이므로 a¶=a¡+6d=-15+6_6=21

16

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 조건 ㈎에서 (a+5d)+(a+7d)=0 2a+12d=0

∴ a=-6d㉠㉠yy`㉠

또한, 조건 ㈏에서

|a+5d|=|a+6d|+3 이므로 이 식에 ㉠을 대입하면

|-d|=3㉠㉠∴ d=3`(∵ d>0) 따라서 a=-18이므로

a™=a+d=(-18)+3=-15

17

첫째항이 -6이고 공차가 2인 등차수열의 첫째항부터 제`n항까 지의 합이 30이므로

=30 n¤ -7n-30=0, (n-10)(n+3)=0

∴ n=10`(∵ n>0)

18

공차를 d라 놓으면 a«=2+(n-1)d

a«= =200

4+9d=40 ∴ d=4

∴ a¡¡=2+(11-1)_4=42

19

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a∞+a¡£=3aª에서

(a+4d)+(a+12d)=3(a+8d) 이를 정리하면 a=-8d㉠㉠㉠㉠yy㉠

a˚=;2(;에서 =;2(;

이를 정리하면 4a+34d=1㉠㉠yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, d=;2!;

∴ a¡£=a+12d=2

20

등차수열의 일반항을 a«이라 하면 a«=50-4(n-1)=-4n+54 -4n+54>0에서 n<13.5이므로

18(2a+17d) 2

¡18 k=1

10{2_2+(10-1)d}

¡10 n=1

n {2_(-6)+(n-1)_2}

næ14일 때, a«<0이다. 즉, a¡º a¡¡ a¡™ a¡£ a¡¢ a¡∞ a¡§

y‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ y 14 10 6 2 -2 -6 -10 이므로

S¡£>S¡™=S¡¢>S¡¡=S¡∞>S¡º=S¡§>Sª=S¡¶>y 따라서 m=11일 때, S˚의 값이 최대이다.

21

이차방정식 x¤ -14x+24=0의 두 근이 a£, a•이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a£+a•=14

수열 {a«}이 등차수열이므로

a«= = =42

[참고]

이차방정식 x¤ -14x+24=0의 두 근이 a£, a•이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a£+a•=14, a£a•=24

등차수열 {a« }의 공차를 d (d>0)라 하면 a£+a•=(a¡+2d)+(a¡+7d)=14에서 2a¡+9d=14 ∴ a¡=7-;2(;d㉠㉠yy㉠ a£ a•=(a¡+2d)(a¡+7d)=24㉠㉠yy㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 {7-;2%;d} {7+;2%;d}=24 49-;;™4∞;;d¤ =24 ∴ d¤ =4 d>0이므로 d=2

d=2를 ㉠에 대입하면 a¡=-2

따라서 등차수열 {a« }은 첫째항이 -2이고 공차가 2인 수열이므로 일반항 a«은

a«=2n-4

22

a•-a§=(6+7d)-(6+5d)=2d

S•-S§=a•+a¶=(6+7d)+(6+6d)=12+13d

이때, =2이므로 =2

d=12+13d ∴ d=-1

23

S«=n¤ -10n에서 næ2일 때,

a«=S«-S«–¡=(n¤ -10n)-{(n-1)¤ -10(n-1)}

=2n-11㉠㉠yy`㉠

n=1일 때,

a¡=S¡=1¤ -10_1=-9

이때, a¡=9는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=2n-11`(`næ1)

이때, a«<0에서 2n-11<0

∴ n<:¡2¡:=5.5

따라서 구하는 자연수 n은 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.

2d 12+13d a•-a§

S•-S§

6_14 2 6(a£+a•)

¡8 n=3

m+4¡

k=m

유형`09. 등차수열

29

S¡∞= =75

a+7d=5 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, d=2

∴ a™º=-9+19_2=29

30

{a«}, {b«}이 등차수열이므로

a˚+ b˚= +

=5{(a¡+b¡)+(a¡º+b¡º)}=350 (a¡+b¡)+(a¡º+b¡º)=70

∴ a¡º+b¡º=70-25=45

31

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™+a§=14에서 2a+6d=14㉠㉠yy㉠

a«= =64에서

2a+7d=16㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 d=2, a=1

∴ a¡™=1+11_2=23

32

등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=-10, a¶=-10+6d

a˚= 이므로

-10+6d= 에서 d=4

∴ a˚= =80

33

수열 {a«}의 첫째항부터 제`n항까지의 합을 S«이라 하면 S«=;Kn+! a˚=n¤ +n이므로

næ2일 때, a«=S«-S«–¡

=(n¤ +n)-{(n-1)¤ +(n-1)}

=2n㉠㉠yy`㉠

n=1일 때, a¡=S¡=1¤ +1=2

이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=2n`(`næ1)

∴ a™º+a£º=2_20+2_30=100

34

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a§=a+5d=42㉠ yy`㉠

a¡£=a+12d=84㉠ yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=12, d=6

이때, 첫째항부터 제`k항까지의 합이 324이므로

=324 k¤ +3k-108=0, (k-9)(k+12)=0

∴ k=9 (∵ k>0) k {2_12+(k-1)_6}

10{2_(-10)+9_4}

¡10 k=1

7{2_(-10)+6d}

2 7{2_(-10)+6d}

¡7 k=1

8{a+(a+7d)}

¡8 n=1

10(b¡+b¡º) 2 10(a¡+a¡º)

¡10 k=1

15(2a+14d) 2

24

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=a+2d=13 yy`㉠

a™+a∞=(a+d)+(a+4d)

=2a+5d=30 yy`㉡

㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=5, d=4

∴ a§=a+5d=5+5_4=25

25

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a∞=4a£에서 a+4d=4(a+2d)

∴ 3a+4d=0㉠㉠yy`㉠

a¡+a¢=1에서 a+(a+3d)=1

∴ 2a+3d=1㉠㉠yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, d=3

∴ a¶=a+6d=-4+6_3=14

26

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¡+a™=a+(a+d)

=2a+d=14㉠ yy`㉠

a£+a¢=(a+2d)+(a+3d)

=2a+5d=50㉠ yy`㉡

㉡-㉠`을 하면 4d=36 ∴ d=9

∴ a¢-a£=d=9

27

공차가 3인 등차수열 {a«}에 대하여 a¢=a¡+3_3=a¡+9

aª=a¡+8_3=a¡+24

이때, a¢：aª=2：5에서 2aª=5a¢이므로 2(a¡+24)=5(a¡+9)

2a¡+48=5a¡+45, 3a¡=3

∴ a¡=1

28

등차수열 {a«}의 첫째항을 a라 하면

|a™-3|=|a£-3|에서

|(a+4)-3|=|(a+2_4)-3|

|a+1|=|a+5|

즉, a+1=-(a+5)이므로 2a=-6 ∴ a=-3

∴ a§=a+5_4=-3+20=17

29

등차수열 {a«}의 첫째항 a, 공차를 d라 하면

S¡º= =0

2a+9d=0 yy㉠ 10(2a+9d)

24

25

④

26

④

27

①

28

③

29

30

31

32

33

100

34

②

본문``056`~`057쪽

01

a§=a£_2‹ =5_8=40

02

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a∞=ar› =6㉠ yy`㉠

a¡º=ar· =192㉠ yy`㉡

㉡÷㉠을 하면 rﬁ =32 ∴ r=2

r=2를 ㉠에 대입하면 a=;8#;

∴ 32a¡=32a=32_;8#;=12

03

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a£=ar¤ =3

∴ a¡_a™_a¢_a∞=a_ar_ar‹ _ar›

=a› r° =(ar¤ )›

=3› =81

04

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡+a™=a+ar=6

∴ a(1+r)=6㉠ yy`㉠

a£+a¢=ar¤ +ar‹ =18

∴ ar¤ (1+r)=18㉠㉠yy`㉡

㉡÷㉠을 하면 r¤ =3

∴ a¶+a•=arﬂ +ar‡ =arﬂ (1+r)

=(r¤ )‹ _a(1+r)

=3‹ _6

=162

05

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™a¢=ar_ar‹ =a¤ r› =16 yy`㉠

a£a∞=ar¤ _ar› =a¤ rﬂ =64 yy`㉡

㉡÷㉠을 하면

r¤ =4 ∴ r=2`(∵ r>0) r=2를 ㉠에 대입하면 a¤ =1 ∴ a=1`(∵ a>0)

∴ a¶=arﬂ =2ﬂ =64

06

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™a¢aª=ar_ar‹ _ar° =a‹ r⁄ ¤ =(ar› )‹ =64 이때, (ar› )‹ =4‹ 이므로

a∞=ar› =4

07

x+y이므로 x+0, r+1

x, y, z는 이 순서대로 공비가 r인 등비수열을 이루므로 y=xr, z=xr¤㉠㉠yy`㉠

㉠을 3x-2y=z에 대입하면 3x-2xr=xr¤

xr¤ +2xr-3x=0 r¤ +2r-3=0`(∵ x+0) (r+3)(r-1)=0

∴ r=-3`(∵ r+1)

08

a¡=3, a«≠¡=2a«이므로 수열 {a«}은 첫째항이 3, 공비가 2인 등 비수열이다.

∴ a¡+a™+a£+y+aª= =1533

09

등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r`(`r>0)라 하면 a¡+a£=a+ar¤ =5

∴ a(1+r¤ )=5㉠ yy`㉠

a£+a∞=ar¤ +ar› =20

∴ ar¤ (1+r¤ )=20㉠ yy`㉡

㉡÷㉠을 하면

r¤ =4 ∴ r=2`(∵ r>0) r=2를 ㉠에 대입하면 5a=5 ∴ a=1

따라서 첫째항부터 제`10항까지의 합은

=2⁄ ‚ -1=1023

10

등비수열 {a«}의 공비를 r`(r>0)라 하면 a∞=3r› =48

r› =16 ∴ r¤ =4

∴ a£=3r¤ =3_4=12

11

등비수열 {a«}의 공비를 r`(r>0)라 하면

=r¤ =4

∴ r=2`(∵ r>0) 따라서 a«=2^n-1이므로 a¢=2^4-1=2‹ =8

12

등비수열 {a«}의 첫째항을 a라 하면 a¡+a™+a¢=a+a_2+a_2‹

=11a=55 a¶

a∞

1_(2⁄ ‚ -1) 2-1

3(2· -1) 2-1

01

⁴⁰

02

①

03

⑤

04

②

05

④

06

②

07

①

08

②

09

⑤

10

본문059`~`060쪽

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