2R c¤ +a¤ -b¤
2ca a
2R
c¤ +a¤ -b¤
2ca c 2R a
2R
01
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 d=a™-a¡=3∴ a¡º=a¡+9d=1+9_3=28
02
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¢=a+3d=9 ㉠㉠yy`㉠a¶=a+6d=21 ㉠㉠yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, d=4
∴ a™+a§=(a+d)+(a+5d)
=2a+6d
=2_(-3)+6_4=18
03
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=a+2d=6 ㉠㉠yy`㉠a¢+a§=(a+3d)+(a+5d)
=2a+8d=20 ㉠㉠yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=2
∴ a¡º=a+9d=2+9_2=20
04
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 aª=7a∞에서 a+8d=7(a+4d)∴ 3a+10d=0㉠㉠yy`㉠
a£+a¶=4에서 (a+2d)+(a+6d)=4
∴ a+4d=2 ㉠㉠yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-10, d=3
∴ a¡™=a+11d=-10+11_3=23
05
주어진 등차수열의 공차를 d라 하면 a+d=2㉠ yy`㉠a+2d=b㉠ yy`㉡
a+3d=5㉠㉠yy`㉢
㉢-㉠을 하면 2d=3 ∴ d=;2#;
d=;2#;을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 a=;2!;, b=;2&;
∴ ;aB;= =7
;2&;
12
;2!;
01
③02
④03
⑤04
⑤05
②06
⑤07
③08
②09
②0 9
본문053`~`054쪽
등차수열
유형`09. 등차수열
27 06
a¡=3, a¡º=31이므로 첫째항부터 제`10항까지의 합은=170
07
a¡+a™+a£+y+a«=-120에서24+a¡+a™+a£+y+a«+(-44)=-140
즉, 첫째항이 24, 끝항이 -44, 항의 개수가 (n+2)인 등차수열 의 합이 -140이므로
=-140 10(n+2)=140 ∴ n=12
08
S«=3n¤ -2n에서 næ2일 때, a«=S«-S«–¡=(3n¤ -2n)-{3(n-1)¤ -2(n-1)}
=6n-5㉠㉠yy`㉠
n=1일 때,
a¡=S¡=3_1¤ -2_1=1
이때, a¡=1은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=6n-5`(`næ1)
∴ a£=6_3-5=13 [다른 풀이]
a£=S£-S™=(3_3¤ -2_3)-(3_2¤ -2_2)=13
09
S«=n¤ -2n+3에서 næ2일 때, a«=S«-S«–¡=(n¤ -2n+3)-{(n-1)¤ -2(n-1)+3}
=2n-3㉠㉠yy`㉠
n=1일 때,
a¡=S¡=1¤ -2_1+3=2
이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같지 않으므로 a¡=2, a«=2n-3`(`næ2)
∴ a¡º=2_10-3=17
∴ a¡+a¡º=2+17=19 [다른 풀이]
a¡=S¡=1-2+3=2 a¡º=S¡º-Sª
=(10¤ -2_10+3)-(9¤ -2_9+3)
=17
∴ a¡+a¡º=19 (n+2){24+(-44)}
2 10(3+31)
2
10
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡º-a¶=(4+9d)-(4+6d)=3d=6
∴ d=2
∴ a¢=4+3d=4+3_2=10
11
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a∞=a¡+4d=5 yy`㉠a¡∞=a¡+14d=25 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a¡=-3, d=2
∴ a™º=a¡+19d=-3+19_2=35
12
등차수열 { a« }의 첫째항과 공차가 같으므로 첫째항과 공차를 모 두 a라 하자.등차수열 { a« }의 일반항 a«은 a«=a+(n-1)a=an a™+a¢=24에서 2a+4a=24
∴ a=4
따라서 a«=4n이므로 a∞=4_5=20
13
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=a£+8에서a¡=(a¡+2d)+8이므로 d=-4 이때 2a¢-3a§=3에서
2(a¡+3d)-3(a¡+5d)=-a¡-9d
=-a¡+36=3
∴ a¡=33
a«=33+(n-1)(-4)=-4n+37 a˚=-4k+37<0에서
k>:£4¶:=9.25
따라서 자연수 k의 최솟값은 10이다.
[다른 풀이]
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=a£+8에서
a£-a¡=2d=-8이므로 d=-4
이때 a¢-a§=a¡-a£=8이므로 2a¢-3a§=2(a¢-a§)-a§
=2_8-a§=3
∴ a§=13
aª=a§+3d=13+3_(-4)=1>0, a¡º=a§+4d=13+4_(-4)=-3<0
따라서 a˚<0을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 10이다.
14
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 2(a™+a£)=aª에서2{(2+d)+(2+2d)}=2+8d
10
①11
3512
2013
②14
315
①16
①17
1018
4219
①20
④21
②22
①23
①본문``054`~`056쪽
8+6d=2+8d, 2d=6
∴ d=3
15
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=-15이고 a¢=|a£|æ0이므로 a¡+3d=-15+3dæ0∴ dæ5 yy`㉠
|a£|=a¢에서 |a¡+2d|=a¡+3d이므로 a¡+2d=a¡+3d또는 a¡+2d=-(a¡+3d)
⁄a¡+2d=a¡+3d이면 d=0이므로 ㉠에 모순이다.
¤a¡+2d=-(a¡+3d)이면
⁄d=-;5@;a¡=-;5@;_(-15)=6이므로 ㉠을 만족시킨다.
⁄, ¤에서 d=6이므로 a¶=a¡+6d=-15+6_6=21
16
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 조건 ㈎에서 (a+5d)+(a+7d)=0 2a+12d=0∴ a=-6d㉠㉠yy`㉠
또한, 조건 ㈏에서
|a+5d|=|a+6d|+3 이므로 이 식에 ㉠을 대입하면
|-d|=3㉠㉠∴ d=3`(∵ d>0) 따라서 a=-18이므로
a™=a+d=(-18)+3=-15
17
첫째항이 -6이고 공차가 2인 등차수열의 첫째항부터 제`n항까 지의 합이 30이므로=30 n¤ -7n-30=0, (n-10)(n+3)=0
∴ n=10`(∵ n>0)
18
공차를 d라 놓으면 a«=2+(n-1)da«= =200
4+9d=40 ∴ d=4
∴ a¡¡=2+(11-1)_4=42
19
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a∞+a¡£=3aª에서(a+4d)+(a+12d)=3(a+8d) 이를 정리하면 a=-8d㉠㉠㉠㉠yy㉠
a˚=;2(;에서 =;2(;
이를 정리하면 4a+34d=1㉠㉠yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, d=;2!;
∴ a¡£=a+12d=2
20
등차수열의 일반항을 a«이라 하면 a«=50-4(n-1)=-4n+54 -4n+54>0에서 n<13.5이므로18(2a+17d) 2
¡18 k=1
10{2_2+(10-1)d}
2
¡10 n=1
n {2_(-6)+(n-1)_2}
2
næ14일 때, a«<0이다. 즉, a¡º a¡¡ a¡™ a¡£ a¡¢ a¡∞ a¡§
y‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ y 14 10 6 2 -2 -6 -10 이므로
S¡£>S¡™=S¡¢>S¡¡=S¡∞>S¡º=S¡§>Sª=S¡¶>y 따라서 m=11일 때, S˚의 값이 최대이다.
21
이차방정식 x¤ -14x+24=0의 두 근이 a£, a•이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여a£+a•=14
수열 {a«}이 등차수열이므로
a«= = =42
[참고]
이차방정식 x¤ -14x+24=0의 두 근이 a£, a•이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a£+a•=14, a£a•=24
등차수열 {a« }의 공차를 d (d>0)라 하면 a£+a•=(a¡+2d)+(a¡+7d)=14에서 2a¡+9d=14 ∴ a¡=7-;2(;d㉠㉠yy㉠ a£ a•=(a¡+2d)(a¡+7d)=24㉠㉠yy㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 {7-;2%;d} {7+;2%;d}=24 49-;;™4∞;;d¤ =24 ∴ d¤ =4 d>0이므로 d=2
d=2를 ㉠에 대입하면 a¡=-2
따라서 등차수열 {a« }은 첫째항이 -2이고 공차가 2인 수열이므로 일반항 a«은
a«=2n-4
22
a•-a§=(6+7d)-(6+5d)=2dS•-S§=a•+a¶=(6+7d)+(6+6d)=12+13d
이때, =2이므로 =2
d=12+13d ∴ d=-1
23
S«=n¤ -10n에서 næ2일 때,a«=S«-S«–¡=(n¤ -10n)-{(n-1)¤ -10(n-1)}
=2n-11㉠㉠yy`㉠
n=1일 때,
a¡=S¡=1¤ -10_1=-9
이때, a¡=9는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=2n-11`(`næ1)
이때, a«<0에서 2n-11<0
∴ n<:¡2¡:=5.5
따라서 구하는 자연수 n은 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.
2d 12+13d a•-a§
S•-S§
6_14 2 6(a£+a•)
2
¡8 n=3
m+4¡
k=m
유형`09. 등차수열
29
S¡∞= =75
a+7d=5 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, d=2
∴ a™º=-9+19_2=29
30
{a«}, {b«}이 등차수열이므로a˚+ b˚= +
=5{(a¡+b¡)+(a¡º+b¡º)}=350 (a¡+b¡)+(a¡º+b¡º)=70
∴ a¡º+b¡º=70-25=45
31
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™+a§=14에서 2a+6d=14㉠㉠yy㉠a«= =64에서
2a+7d=16㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠㉠yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 d=2, a=1
∴ a¡™=1+11_2=23
32
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=-10, a¶=-10+6da˚= 이므로
-10+6d= 에서 d=4
∴ a˚= =80
33
수열 {a«}의 첫째항부터 제`n항까지의 합을 S«이라 하면 S«=;Kn+! a˚=n¤ +n이므로næ2일 때, a«=S«-S«–¡
=(n¤ +n)-{(n-1)¤ +(n-1)}
=2n㉠㉠yy`㉠
n=1일 때, a¡=S¡=1¤ +1=2
이때, a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=2n`(`næ1)
∴ a™º+a£º=2_20+2_30=100
34
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a§=a+5d=42㉠ yy`㉠a¡£=a+12d=84㉠ yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=12, d=6
이때, 첫째항부터 제`k항까지의 합이 324이므로
=324 k¤ +3k-108=0, (k-9)(k+12)=0
∴ k=9 (∵ k>0) k {2_12+(k-1)_6}
2
10{2_(-10)+9_4}
2
¡10 k=1
7{2_(-10)+6d}
2 7{2_(-10)+6d}
2
¡7 k=1
8{a+(a+7d)}
2
¡8 n=1
10(b¡+b¡º) 2 10(a¡+a¡º)
2
¡10 k=1
¡10 k=1
15(2a+14d) 2
24
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=a+2d=13 yy`㉠a™+a∞=(a+d)+(a+4d)
=2a+5d=30 yy`㉡
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=5, d=4
∴ a§=a+5d=5+5_4=25
25
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a∞=4a£에서 a+4d=4(a+2d)∴ 3a+4d=0㉠㉠yy`㉠
a¡+a¢=1에서 a+(a+3d)=1
∴ 2a+3d=1㉠㉠yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, d=3
∴ a¶=a+6d=-4+6_3=14
26
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¡+a™=a+(a+d)=2a+d=14㉠ yy`㉠
a£+a¢=(a+2d)+(a+3d)
=2a+5d=50㉠ yy`㉡
㉡-㉠`을 하면 4d=36 ∴ d=9
∴ a¢-a£=d=9
27
공차가 3인 등차수열 {a«}에 대하여 a¢=a¡+3_3=a¡+9aª=a¡+8_3=a¡+24
이때, a¢:aª=2:5에서 2aª=5a¢이므로 2(a¡+24)=5(a¡+9)
2a¡+48=5a¡+45, 3a¡=3
∴ a¡=1
28
등차수열 {a«}의 첫째항을 a라 하면|a™-3|=|a£-3|에서
|(a+4)-3|=|(a+2_4)-3|
|a+1|=|a+5|
즉, a+1=-(a+5)이므로 2a=-6 ∴ a=-3
∴ a§=a+5_4=-3+20=17
29
등차수열 {a«}의 첫째항 a, 공차를 d라 하면S¡º= =0
2a+9d=0 yy㉠ 10(2a+9d)
2
24
2525
④26
④27
①28
③29
2930
4531
2332
8033
10034
②본문``056`~`057쪽
01
a§=a£_2‹ =5_8=4002
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a∞=ar› =6㉠ yy`㉠a¡º=ar· =192㉠ yy`㉡
㉡÷㉠을 하면 rfi =32 ∴ r=2
r=2를 ㉠에 대입하면 a=;8#;
∴ 32a¡=32a=32_;8#;=12
03
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a£=ar¤ =3∴ a¡_a™_a¢_a∞=a_ar_ar‹ _ar›
=a› r° =(ar¤ )›
=3› =81
04
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡+a™=a+ar=6∴ a(1+r)=6㉠ yy`㉠
a£+a¢=ar¤ +ar‹ =18
∴ ar¤ (1+r)=18㉠㉠yy`㉡
㉡÷㉠을 하면 r¤ =3
∴ a¶+a•=arfl +ar‡ =arfl (1+r)
=(r¤ )‹ _a(1+r)
=3‹ _6
=162
05
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™a¢=ar_ar‹ =a¤ r› =16 yy`㉠a£a∞=ar¤ _ar› =a¤ rfl =64 yy`㉡
㉡÷㉠을 하면
r¤ =4 ∴ r=2`(∵ r>0) r=2를 ㉠에 대입하면 a¤ =1 ∴ a=1`(∵ a>0)
∴ a¶=arfl =2fl =64
06
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™a¢aª=ar_ar‹ _ar° =a‹ r⁄ ¤ =(ar› )‹ =64 이때, (ar› )‹ =4‹ 이므로a∞=ar› =4
07
x+y이므로 x+0, r+1x, y, z는 이 순서대로 공비가 r인 등비수열을 이루므로 y=xr, z=xr¤㉠㉠yy`㉠
㉠을 3x-2y=z에 대입하면 3x-2xr=xr¤
xr¤ +2xr-3x=0 r¤ +2r-3=0`(∵ x+0) (r+3)(r-1)=0
∴ r=-3`(∵ r+1)
08
a¡=3, a«≠¡=2a«이므로 수열 {a«}은 첫째항이 3, 공비가 2인 등 비수열이다.∴ a¡+a™+a£+y+aª= =1533
09
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r`(`r>0)라 하면 a¡+a£=a+ar¤ =5∴ a(1+r¤ )=5㉠ yy`㉠
a£+a∞=ar¤ +ar› =20
∴ ar¤ (1+r¤ )=20㉠ yy`㉡
㉡÷㉠을 하면
r¤ =4 ∴ r=2`(∵ r>0) r=2를 ㉠에 대입하면 5a=5 ∴ a=1
따라서 첫째항부터 제`10항까지의 합은
=2⁄ ‚ -1=1023
10
등비수열 {a«}의 공비를 r`(r>0)라 하면 a∞=3r› =48r› =16 ∴ r¤ =4
∴ a£=3r¤ =3_4=12
11
등비수열 {a«}의 공비를 r`(r>0)라 하면=r¤ =4
∴ r=2`(∵ r>0) 따라서 a«=2n-1이므로 a¢=24-1=2‹ =8
12
등비수열 {a«}의 첫째항을 a라 하면 a¡+a™+a¢=a+a_2+a_2‹=11a=55 a¶
a∞
1_(2⁄ ‚ -1) 2-1
3(2· -1) 2-1
01
4002
①03
⑤04
②05
④06
②07
①08
②09
⑤10
본문059`~`060쪽