우석대학교 에너지전기공학과

(1)

일반수학

강의 (20)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(2)

(지난 시간 주요내용 복습) 6-2-3.

𝑡𝑎𝑛

함수의 역함수 

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

에서

𝑦 = 𝑏

가 되는

𝑥

는 무수히 많음.  축소된 함수

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 , −

𝜋₂

< 𝑥 <

𝜋₂ 는

1:1

함수이므로 역함수가 존재함.  축소된 탄젠트 함수

𝑉𝑠.

아크탄젠트 함수  축소된 탄젠트 함수:

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

정의역:

−

𝜋₂

< 𝑥 <

𝜋₂

치역:

−∞ < 𝑦 < ∞

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

(1) 아크탄젠트 함수에서는 축소된 탄젠트 함수의 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로,

𝑥

와

𝑦

의 구간이 바뀜. (2)

𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑥

는

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑦

를 의미하므로, 『

𝑦

는 탄젠트 값이

𝑥

가 되기 위한 각』 복습  아크탄젠트 함수:

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑥

정의역:

−

𝜋 2

< 𝑦 <

𝜋 2

치역:

−∞ < 𝑥 < ∞

𝑦 𝑥 0 1 −1 −π 2 π 2 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1_𝑥 𝑦 = 𝑥

(3)

숙제1)

𝑐𝑜𝑠

−1

𝑐𝑜𝑠

𝜋 6

=

𝜋 6 가 됨을 보여라.  다음주 월 (5월21일) 수업 시작 전 까지 제출. 시간 엄수 !  역삼각함수 응용 문제 풀이 가이드 (1) 주어진 역삼각함수의 구간확인. (2) 주어진 값과 역삼각함수의 구간을 활용하여 몇 사분면의 각인지 확인. (3) 주어진 값과 역삼각함수의 정의를 활용하여, 삼각함수의 각을 구함.  주어진 값이 직각삼각형의 특수각인 경우: 특수각을 활용하여 각과 삼각함수의 값을 구함.  특수각이 아닌 경우: 직각삼각형의 비와 피타고라스정리를 활용하여 삼각함수의 값을 구함.  역삼각함수 및 구간  아크사인 함수:

𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛

−1

𝑥 ,

−

π 2

≤ 𝑦 ≤

π 2

& − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

 아크코사인 함수:

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1

𝑥 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 & − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

 아크탄젠트 함수:

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑥 ,

−

π 2

< 𝑦 <

π 2

& − ∞ < 𝑥 < ∞

복습

(4)

예제1)

𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠

−1 3 2 의 값을 구하라. (주어진 각이 특수각인경우) (1) 주어진 역삼각함수의 구간 확인  위 식에서

𝑐𝑜𝑠

−1 3 2 을 𝑦 라 하면:

𝑐𝑜𝑠

−1 3 2

= 𝑦

3 2

= 𝑐𝑜𝑠 𝑦

 아크코사인 함수 구간

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 & − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

(2) 주어진 값과 역삼각함수의 구간을 활용하여 몇 사분면의 각인지 확인.  아크코사인 함수 구간

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋

에서 3 2

= 𝑐𝑜𝑠 𝑦 > 0

𝑦

는

1/4

분 면의 각

0 < 𝑦 <

𝜋 2 (3) 주어진 값과 역삼각함수의 정의를 활용하여, 삼각함수의 각을 구함.  3 2

= 𝑐𝑜𝑠 𝑦

1/4

분 면에서 코사인함수의 값이 3 2 이 되기 위한 각:

𝑦 =

π 6 (특수각)  따라서

𝑐𝑜𝑠

−1 ₂3

= 𝑦=

𝜋₆



𝑐𝑜𝑠

−1 3 2

=

𝜋 6 를

𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠

−1 3 2 에 대입

𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠

−1 3 2

= 𝑡𝑎𝑛

𝜋 6

=

1 3 6-2. 역 삼각함수

(5)

예제2)

𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑛

−1 1 3 의 값을 구하라. (주어진 각이 특수각이 아닌 경우) (1) 주어진 역삼각함수의 구간 확인  위 식에서

𝑡𝑎𝑛

−1 1 3 을 𝑦 라 하면:

𝑡𝑎𝑛

−1 1 3

= 𝑦

1 3

= 𝑡𝑎𝑛 𝑦

 아크탄젠트 함수 구간

−

π 2

< 𝑦 <

π 2

& − ∞ < 𝑥 < ∞

(2) 주어진 값과 역삼각함수의 구간을 활용하여 몇 사분면의 각인지 확인.  아크탄젠트 함수 구간

−

π 2

< 𝑦 <

π 2 에서 1 3

= 𝑡𝑎𝑛 𝑦 > 0

𝑦

는

1/4

분 면의 각

0 < 𝑦 <

𝜋 2 (3) 주어진 값과 역삼각함수의 정의를 활용하여, 삼각함수의 각을 구함.  1 3

= 𝑡𝑎𝑛 𝑦

1/4

분 면에서 탄젠트함수의 값이 1 3 이 되기 위한 각:

𝑦 =?

(특수각이 아님) 

𝑡𝑎𝑛 𝑦 =

1₃ 일 때,

1/4

분 면 각: 우측 그림에서

직각삼각형의 빗변 길이

= 3

2

+ 1

2

= 10

∴

𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑛

−1 1 3

= 𝑐𝑜𝑠 𝑦 =

𝑥 𝑟

=

3 10 6-2. 역 삼각함수 3 1 𝑦 𝑦 𝑥 10

(6)

예제3)

𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣 =

𝑣 1+𝑣2 임을 보여라. (1) 주어진 역삼각함수의 구간 확인  위 식에서

𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣

을 𝑦 라 하면:

𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣 = 𝑦 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛 𝑦

−

π 2

< 𝑦 <

π 2

& − ∞ < 𝑥 < ∞

(2) 주어진 값이 숫자가 아니라

𝑣

이므로 몇 사분면의 각인지 확인 불가! 

1/4

분면

0 ≤ 𝑦 <

π 2 이면:

𝑣 = 𝑡𝑎𝑛 𝑦 > 0

직각삼각형의 빗변의 길이:

𝑟 = 1

2

+ 𝑣

2

= 1 + 𝑣

2

∴

𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣 = 𝑠𝑖𝑛 𝑦 =

𝑦_𝑟

=

𝑣 1+𝑣2 

4/4

분면

−

𝜋 2

< 𝑦 < 0

이면: 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛 𝑦 < 0 직각삼각형의 빗변의 길이:

𝑟 = 1

2

+ 𝑣

2

= 1 + 𝑣

2 ∴

𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣 = 𝑠𝑖𝑛 𝑦 =

𝑦 𝑟

=

𝑣 1+𝑣2 6-2. 역 삼각함수 구간을 나누어서 검토. 1 𝑣 𝑦 𝑦 𝑥 𝑟 =? (_1/4분면의 각) 1 𝑣 𝑦 𝑦 𝑥 𝑟 =? (4/4 분면의 각)

(7)

7. 삼각형과 삼각함수 7-1. 삼각함수의 항등식 7-1-1. 항등식  두 함수

𝑓(𝑥)

와

𝑔(𝑥)

의 정의 역이 같고, 그 정의 역에 속한 모든 원소

𝑥

에 대해

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

가 성립 할 때, 이를 항등식이라 한다.

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒:

항등식이 아닌 등식을 방정식 이라 함. 예시) 항등식과 방정식  항등식: 모든

𝑥

에 대해 등식이 성립함.

(𝑥 + 1)

2

= 𝑥

2

+ 2𝑥 + 1 , 𝑠𝑖𝑛

2

𝑥 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝑥 = 1

…

 방정식: 특정

𝑥

에 대해 등식이 성립함.

2𝑥 + 5 = 0, 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

… 7-1. 삼각함수의 항등식

(8)

7-1-2. 기본적인 삼각함수의 항등식 (요약) 1) 상제관계:

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =

_{𝑐𝑜𝑠 𝜃}𝑠𝑖𝑛 𝜃

,

𝑐𝑜𝑡 𝜃 =

𝑐𝑜𝑠 𝜃_{𝑠𝑖𝑛 𝜃} 2) 역수관계:

𝑐𝑠𝑐 𝜃 =

_{𝑠𝑖𝑛 𝜃}1

,

𝑠𝑒𝑐 𝜃 =

_{𝑐𝑜𝑠 𝜃}1

, 𝑐𝑜𝑡 𝜃 =

_{𝑡𝑎𝑛 𝜃}1

3) 제곱관계:

𝑐𝑜𝑠

2

𝜃 + 𝑠𝑖𝑛

2

𝜃 = 1 ,

1 + 𝑡𝑎𝑛

2

𝜃 = 𝑠𝑒𝑐

2

𝜃 ,

1 + 𝑐𝑜𝑡

2

𝜃 = 𝑐𝑠𝑐

2

𝜃

4) 우함수:

𝑐𝑜𝑠 −𝜃 = cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑐(−𝜃) = 𝑠𝑒𝑐 𝜃

5) 기함수:

𝑠𝑖𝑛 −𝜃 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 , 𝑐𝑠𝑐 −𝜃 = − 𝑐𝑠𝑐 𝜃

𝑡𝑎𝑛 −𝜃 = − 𝑡𝑎𝑛 𝜃 ,

𝑐𝑜𝑡 −𝜃 = − 𝑐𝑜𝑡 𝜃

7-1. 삼각함수의 항등식

(9)

예제) 다음의 항등식을 유도하라. (1)

𝑠𝑒𝑐 𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃

𝑠𝑒𝑐 𝜃 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

_{𝑐𝑜𝑠 𝜃}1

∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

_{𝑐𝑜𝑠 𝜃}𝑠𝑖𝑛 𝜃

= 𝑡𝑎𝑛 𝜃

(2)

𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣 =

𝑣 1+𝑣2  위 식에서

𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣

을

𝜃

라 하면:

𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣 = 𝜃 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃

−

π 2

< 𝜃 <

π 2 에서

𝑠𝑒𝑐 𝜃 > 0



1 + 𝑡𝑎𝑛

2

𝜃 = 𝑠𝑒𝑐

2

𝜃

로 부터

𝑠𝑒𝑐 𝜃 = ± 1 + 𝑡𝑎𝑛

2

𝜃

𝑠𝑒𝑐 𝜃 > 0

이므로,

𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 1 + 𝑡𝑎𝑛

2

𝜃



𝑡𝑎𝑛 𝜃 =

𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

를 활용하여

𝑠𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑣 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =

𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑐 𝜃

=

𝑡𝑎𝑛 𝜃 1+𝑡𝑎𝑛2𝜃

=

𝑣 1+𝑣2 7-1. 삼각함수의 항등식 함수구간

1/4

분면과

4/4

분면에서

𝑐𝑜𝑠 𝜃 > 0