2021 수학의 바이블 유형 중3-2 답지 정답

전체 글

(1)

중학

3

-

2

정답과 풀이

(2)

Ⅰ. 삼각비

1

삼각비

개념

콕콕

본문 | 7, 9 쪽

001

  ⑴ ;1!7%; ⑵ ;1¥7; ⑶ ;;Á8°;; ⑷ ;1¥7; ⑸ ;1!7%; ⑹ ;1¥5;

002

⑴ABÓ="Ã4Û`-3Û`='7

  ⑴ '7 ⑵ sin`C= '4 ,7 cos`C= 34 ,tan`C= '37

003

⑴sin`A= 6 ABÓ= 35   ∴ABÓ=10 ⑵ACÓ="Ã10Û`-6Û`=8  ⑴ 10 ⑵ 8

004

 ⑴ BCÓ, ACÁÓ, ACªÓ ⑵ ACÓ, ACÁÓ, ABªÓ ⑶ BCÓ, ABÁÓ, BªCªÓ

005

⑴sin`30ù+tan`45ù= 12+1=32  ⑵sin`45ù-cos`45ù= '2 -2 '22 =0 ⑶sin`60ù_tan`60ù= '2 _'3=3 32  ⑷cos`45ùÖsin`30ù= '22Ö 12 ='22 _2='2 ⑴ 32 ⑵ 0 ⑶ 32'2

006

 ⑴ 60ù ⑵ 45ù ⑶ 60ù ⑷ 30ù ⑸ 60ù ⑹ 45ù

007

⑴sin`45ù= x10 ='22   ∴x=5'2 ⑵cos`30ù= x4 ='32   ∴x=2'3 ⑶tan`60ù=4x ='3  ∴x=4'3 ⑷sin`30ù= 5x=12   ∴x=10 ⑸cos`60ù= 3x=12   ∴x=6 ⑹tan`45ù= x '7=1  ∴x='7  ⑴ 5'2 ⑵ 2'3 ⑶ 4 ⑷ 10 ⑸ 6 ⑹ '7

008

⑴sin`x=BCÓ ABÓ= BCÓ 1 =BCÓ ⑵cos`x=ACÓ

ABÓ= ACÓ 1 =ACÓ

⑶tan`x=DEÓ

AEÓ= DEÓ 1 =DEÓ

⑷sin`y=ACÓ ABÓ= ACÓ 1 =ACÓ ⑸cos`y=BCÓ ABÓ= BCÓ 1 =BCÓ ⑹z=y`(동위각)이므로cos`z=cos`y=BCÓ  ⑴ BCÓ ⑵ AC Ó ⑶ DE Ó ⑷ ACÓ ⑸ BCÓ ⑹ BCÓ

009

⑴sin`40ù=ABÓ OAÓ=ABÓ=0.6428 ⑵cos`40ù=OBÓ OAÓ=OBÓ=0.7660 ⑶tan`40ù=CDÓ OCÓ=CDÓ=0.8391  ⑴ 0.6428 ⑵ 0.7660 ⑶ 0.8391

010

⑴cos`0ù+tan`0ù=1+0=1 ⑵sin`0ù_cos`90ù=0_0=0 ⑶2cos`0ù-4sin`30ù=2_1-4_ 12=0 ⑷3 sin`90ùÖtan`45ù=3_1Ö1=3  ⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ 0 ⑷ 3

011

⑴cos`0ù=1,cos`90ù=0이므로cos`0ù>cos`90ù ⑵sin`0ù=0,tan`0ù=0이므로sin`0ù=tan`0ù ⑶sin`0ù=0,sin`90ù=1이므로sin`0ù<sin`90ù ⑷tan`45ù=1,cos`0ù=1이므로tan`45ù=cos`0ù   ⑴ > ⑵ = ⑶ < ⑷ =

012

⑴0ù<x<90ù인범위에서x의크기가커지면sin`x의값은증가 하므로sin`35ù<sin`55ù ⑵0ù<x<90ù인범위에서x의크기가커지면cos`x의값은감소 하므로cos`30ù>cos`40ù ⑶0ù<x<90ù인범위에서x의크기가커지면tan`x의값은증가 하므로tan`50ù<tan`70ù   ⑴ < ⑵ > ⑶ <

(3)

Ⅰ. 삼각비 3

1. 삼각비

⑴sin`25ù<sin`45ù= '2 ,2 cos`25ù>cos`45ù= '2   2  ∴sin`25ù<cos`25ù

⑵sin`70ù>sin`45ù= '2 ,2 cos`70ù<cos`45ù= '2  2  ∴sin`70ù>cos`70ù ⑶sin`51ù<sin`90ù=1,tan`51ù>tan`45ù=1   ∴sin`51ù<tan`51ù   ⑴ < ⑵ > ⑶ <

014

  ⑴ 0.2924 ⑵ 0.9659 ⑶ 0.2867

015

  ⑴ 66ù ⑵ 63ù ⑶ 65ù

0

16

0

17

0

18

'52

0

19

316'7

0

20

0

21

3'1Œ3 13

0

22

158

0

23

4'2Œ3 23

0

24

9

0

25

20

0

26

32'3

0

27

'47

0

28

0

29

0

30

6 7

0

31

'101Œ0

0

32

3'55

0

33

4

0

34

8 15

0

35

12 5

0

36

1 5

0

37

3 2

0

38

7 4

0

39

3'55

0

40

7 5

0

41

158

0

42

0

43

5 13

0

44

4 5

0

45

1 5

0

46

2'59

0

47

'36

0

48

'2 3

0

49

7 9

0

50

3 2

0

51

0

0

52

0

53

0

54

4

0

55

7

0

56

1 2

0

57

2

0

58

30ù

0

59

30ù

0

60

0

61

0

0

62

2'3

0

63

3

0

64

2'3

0

65

6'6

0

66

4'7

0

67

0

68

6'3 cmÛ`

0

69

9 2

0

70

0

71

'2-1

0

72

0

73

y= '33x+'3

0

74

y=x-7

0

75

60ù

0

76

0

77

③, ⑤

0

78

0

79

0

80

1.75

0

81

0

82

0

83

2

0

84

3 2

0

85

0

86

③ 본문 | 10 ~ 20 쪽

유형

콕콕

0

16

ABÓ="Ã13Û`-5Û`=12

①sin`A= 513 ②tan`A=12 ③sin`C=5 1213 ④cos`C=13 5

 ⑤

0

17

sin`B=;aB;

①cos`B=;aC; ②tan`B=;cB; ③sin`C=;aC;

④cos`C=;aB; ⑤tan`C=;bC;

따라서sin`B와같은것은④이다. ④

0

18

ADÓ=BCÓ='5

ABD에서ABÓ=¿¹3Û`-('5)Û`=2 ∴tan`x= '2 5 '5 2 

0

19

BCÓÓ=¿¹16Û`-(4'7)Û`=12이므로 30% sin`A= 1216 =34 ,cos`A=416 ='7 '74  50% ∴ sin`A_cos`A= 34 _'74 =316 '7 20%  316'7

0

20

ACÓ="Ã5Û`-3Û`=4 ∴sin`C+cos`C-tan`C=;5#;+;5$;-;4#;=;2!0#;  ①

0

21

ACÓ=2k,BCÓ=3k(k>0)라고하면 ABÓ="Ã(2k)Û`+(3k)Û`='1Œ3k ∴sin`A= 3k '1Œ3k= 3'1Œ3 13  3'1Œ313

0

22

ADC에서ACÓ="Ã10Û`-6Û`=8

ABC에서BCÓ="Ã17Û`-8Û`=15 ∴tan`B= 8 15  8 15

0

90

0

91

0

0

92

60ù

0

93

0

94

1.1356

0

95

2.9638

0

96

0

97

0

98

1.9578

(4)

0

23

ABC에서BCÓ=¿¹(2'1Œ1)Û`-4Û`=2'7 BDÓ= 12 BCÓ='7이므로

ABD에서ADÓ=¿¹('7)Û`+4Û`='2Œ3 ∴cos`x= 4 '2Œ3= 4'2Œ3 23  4'2Œ323

0

24

sin`A= BCÓ 15 =;5$;이므로BCÓ=12 ∴ABÓ="Ã15Û`-12Û`=9 9

0

25

tan`B= 12 BCÓ=;5#;이므로BCÓ=20 20

0

26

cos`C= 4 x =;2!;이므로x=8 y="Ã8Û`-4Û`=4'3 ∴xy=8_4'3=32'3 32'3

0

27

cos`B= 6 ABÓ=;4#;이므로ABÓ=8 40% ACÓ="Ã8Û`-6Û`=2'7 30% ∴cos`A=2'78 ='74  30%  '74

0

28

cos`A= ABÓ 3'5= '3 이므로ABÓ=5(cm)5 BCÓ=¿¹(3'5)Û`-5Û`=2'5(cm) ∴

ABC= 1 2 _5_2'5=5'5(cmÛ`) ④

0

29

sin`B= 9 BCÓ= ' 3 2 이므로BCÓ=6'3 ABÓ=¿¹(6'3)Û`-9Û`=3'3 ∴sin`C_tan`C=36'3 '3_ 3'3 9 ='3 6  ②

0

30

cos`B= BHÓ 16 ='7 4 이므로BHÓ=4'7 따라서AHÓ=¿¹16Û`-(4'7)Û`=12이므로

AHC에서sin`C= AHÓ ACÓ= 12 14 =6 7  6 7

0

31

tan`A= 18 ABÓ=;2#;이므로ABÓ=12 ∴BDÓ= 12ABÓ=12 _12=6

DBC에서CDÓ="Ã6Û`+18Û`=6'1Œ0 ∴sin`x=BDÓ CDÓ= 66'1Œ0= '10    1Œ0 '1Œ010

0

32

오른쪽그림과같이tan`A= 12인직각삼각형 ABC에서ACÓ="Ã2Û`+1Û`='5 ∴sin`A+cos`A = 1 '5+ 2'5  = '5 +5 2'55 =3'55  3'55

0

33

오른쪽 그림과 같이 sin`A= 23인직각삼각형 ABC에서ABÓ="Ã3Û`-2Û`='5 ∴6`cos`A_tan`A=6_ '3 _5 2 '5=4  4

0

34

5`cos`A-3=0에서cos`A= 35 20% 오른쪽그림과같이cos`A= 35인 직각삼각형ABC에서 BCÓ="Ã5Û`-3Û`=4이므로 40% ∴tan`A-sin`A= 43-45 =15 8 40%  158

0

35

오른쪽그림과같이sin`(90ù-A)= 513 인 직각삼각형ABC에서 BCÓ="Ã13Û`-5Û`=12  ∴tan`A= 125  12 5

0

36

직선3x-4y+12=0의그래프가x축,y 축과 만나는 점을 각각 A, B라고 하면 A(-4,0),B(0,3)이므로 직각삼각형AOB에서AOÓ=4,BOÓ=3, ABÓ="Ã4Û`+3Û`=5 $ "  #  $ " #   " # $   "  # $ ±"  0 B   # " YZ  Z Y

(5)

Ⅰ. 삼각비 5 1. 삼각비 ∴cos`a-sin`a=;5$;-;5#;=;5!; 5

0

37

일차함수y= 32x+2의그래프가x축,y축 과만나는점을각각A,B라고하면 A{-;3$;,0},B(0,2)이므로 직각삼각형AOB에서AOÓ=;3$;,BOÓ=2 ∴tan`a=BOÓ

AOÓ=2Ö;3$;=2_;4#;=;2#;  3 2

0

38

직선4x-7y+28=0이x축,y축과만나 는점을각각A,B라고하면 A(-7,0),B(0,4)이므로 직각삼각형AOB에서 AOÓ=7,BOÓ=4 ∴tan`a=AOÓ

BOÓ= 7 4  7 4

0

39

x-2y+4=0의그래프는오른쪽그림과 같으므로A(-4,0),B(0,2) 직각삼각형AOB에서AOÓ=4,BOÓ=2 ∴ABÓ="Ã4Û`+2Û`=2'5 따라서sin`a= 2 2'5= '5 ,5 cos`a= 4 2'5= 2'5 5 이므로sin`a+cos`a= '5 +5 2'5 5 =3'5 5  3'55

0

40

∠ABD=∠CAD, ∠ADB=∠CDA=90ù이므로

ABD»

CAD(AA닮음) ∴∠ACD=∠BAD=x,  ∠ABD=∠CAD=y

ABC에서BCÓ="Ã9Û`+12Û`=15이므로 sin`x= ABÓ BCÓ= 9 15 =;5#;,sin`y=ACÓ BCÓ=;1!5@;=;5$;

∴sin`x+sin`y=;5#;+;5$;=;5&;  7 5

0 " # B    Z Y  Z Y 0 B " #   YZ  Y Z B 0 # "   Y YZ  Z Y Z "   % # Z Y $ ∠BAC=∠AHC=90ù,∠C는공통이 므로

ABC»

HAC(AA닮음) ∴∠ABC=∠HAC=x

ABC에서ACÓ="Ã17Û`-15Û`=8 ∴tan`x=ACÓ ABÓ=;1¥5;  158

0

42

ABC»

DBA»

DAC  (AA닮음)이므로 ∠B=∠CAD,∠C=∠DAB ④

ABD에서  cos`C=cos`(∠DAB)= ADÓ ABÓ ④

0

43

∠BAC=∠BED=90ù,∠B는공통이 므로

ABC»

EBD(AA닮음) ∴∠BCA=∠BDE=x

ABC에서BCÓ="Ã12Û`+5Û`=13 ∴cos`x=ACÓ BCÓ= 5 13  135

0

44

∠ABC=∠AED=90ù,∠A는공통이므 로

ABC»

AED(AA닮음) ∴∠ADE=∠ACB=x

ADE에서AEÓ="Ã5Û`-3Û`=4 ∴sin`x=AEÓ ADÓ=;5$;  4 5

0

45

∠BAD=∠AHD=90ù, ∠ABD=∠HAD이므로

ABD»

HAD(AA닮음) ∴∠ABD=∠HAD=x

ABD에서BDÓ="Ã12Û`+16Û`=20이므로 sin`x= ADÓ BDÓ= 16 20 =4 5 , cos`x= ABÓ BDÓ= 12 20 =35 ∴sin`x-cos`x= 4 5 -3 5 =1 5  1 5 ) # " $   Y Y # $ % " # "   $ & % Y Y Y " & % # $ Y   " % # ) $   Y Y

(6)

0

46

∠ACB=∠ADE,∠A는공통이므로

ABC»

AED(AA닮음) ∴∠ABC=∠AED 20%

ADE에서 AEÓ="Ã12Û`-8Û`=4'5이므로 sin`B=sin`(∠AED)= ADÓ DEÓ= 8 12 =;3@; sin`C=sin`(∠ADE)= AEÓ DEÓ= 4'5 12 ='5 3  60% ∴sin`B_sin`C=;3@;_ '3 =5 2'59  20%  2'59

0

47

BFH에서∠BFH=90ù이고 FHÓ="Ã5Û`+5Û`=5'2,BHÓ=¿¹(5'2)Û`+5Û`=5'3 ∴cos`x=5'2 5'3= '3 6 '63

0

48

AEG에서∠AEG=90ù이고 EGÓ="Ã3Û`+3Û`=3'2,AGÓ=¿¹(3'2)Û`+3Û`=3'3 ∴sin`x_cos`x= 3 3'3_33'2 '3= '3 2 '23

0

49

ACÓ="Ã8Û`+8Û`=8'2이므로OCÓ= 1 2 ACÓ=1 2 _8'2=4'2

VOC에서VOÓ="Ã9Û`-(4'2)Û`=7 ∴sin`x=VOÓ VCÓ=;9&; 7 9

0

50

CEG에서∠CGE=90ù이고 EGÓ="Ã4Û`+3Û`=5,CEÓ="Ã5Û`+5Û`=5'2 70% ∴sin`x_cos`x+tan`x= 5 5'2_ 5 5'2+;5%;=;2#; 30%  3 2

0

51

sin`30ù_tan`60ù-cos`30ù_tan`45ù = 1 2 _'3-'3 2 _1='3 2 -'3 2 =0 0

0

52

①cos`45ù+sin`45ù= '2 +2 '2 2 ='2 $ # " & %   ②tan`45ù-3`cos`60ù=1-3_ 1 2 =-1 2

③cos`60ù sin`30ù =1 2 Ö1 2 =1,tan45ù=1  ∴cos`60ù sin`30ù =tan`45ù ④1+cos`60ù=1+ 1 2 =3 2 ,'3cos`30ù='3_'3 2 = 3 2   

∴1+cos`60ù='3cos`30ù

⑤tan`60ù_tan`45ù='3_1='3,2sin`60ù=2_ '23 ='3 ∴tan`60ù_tan`45ù=2sin`60ù ②

0

53

(주어진식)={ 1 2 +'32 }_{1 2 -'32 } ={;2!;}Û`-{ '2 }3 Û`= 1 4 -3 4 =-1 2  ②

0

54

(주어진식)=4_1 2 +{2_;2!;+1}Ö{'3_'3 3 } =2+2=4 4

0

55

sin`30ù=;2!;이므로  30% 2xÛ`-ax+3=0에x=;2!;을대입하면 ;2!;-;2!;a+3=0,-;2!;a=-;2&;  ∴a=7 70%  7

0

56

A=180ù_1+2+3 =301 ù이므로 cos`A_tan`A =cos`30ù_tan`30ù= '2 _3 '3 3 =1 2  다른 풀이 세내각의크기를각각x,2x,3x`(x>0ù)라고하면 x+2x+3x=180ù,6x=180ù ∴x=30ù 따라서A=30ù이므로 cos`A_tan`A =cos`30ù_tan`30ù= '2 _3 '3 3 =1 2  1 2

0

57

sin`A-cos`A=sin`60ù-cos`60ù= '3-1 2 sin`A+cos`A=sin`60ù+cos`60ù= '3+1 2 ∴(주어진식)= 2 '3-1- 2 '3+1='3+1-('3-1)=2 2

(7)

Ⅰ. 삼각비 7 1. 삼각비

0

58

10ù<x<50ù에서20ù<2x<100ù ∴ 5ù<2x-15ù<85ù sin`45ù= '2 이므로2x-15ù=45ù2 2x=60ù  ∴x=30ù 30ù

0

59

0ù<∠B<90ù이고cos`B=918 ='3 '3 2 이때cos`30ù= '2 이므로∠B=30ù3 30ù

0

60

4xÛ`-4x+1=0에서(2x-1)Û`=0  ∴x=;2!; 따라서0ù<a<90ù이고sin`a=;2!;이므로a=30ù ②

0

61

15ù<x+15ù<90ù이고tan`45ù=1이므로 x+15ù=45ù  ∴x=30ù ∴sin`2x-cos`x=sin`60ù-cos`30ù= '2 -3 '3 2 =0 0

0

62

ABH에서sin`45ù= AHÓ 3'2= '2   ∴AHÓ=32

AHC에서sin`60ù= 3 ACÓ= '2   ∴ACÓ=2'33 2'3

0

63

ABC에서tan`60ù= ACÓ 2'3='3  ∴ACÓ=6

ACD에서sin`30ù= ADÓ 6 =;2!;  ∴ADÓ=3 3

0

64

ABC에서tan`60ù= ABÓ '2 ='3  ∴ABÓ='6

ABD에서sin`45ù= '6 ADÓ= '2   ∴ADÓ=2'32 2'3

0

65

DBC에서tan`30ù= 12 BCÓ= ' 3 3   ∴BCÓ=12'3

ABC에서cos`45ù= ACÓ 12'3= '2   ∴ACÓ=6'62 6'6

0

66

ABC에서

sin`30ù= ABÓ 16 =;2!;  ∴ABÓ=8 30%

cos`30ù= BCÓ 16 = 2   ∴BCÓ=8'3 30% BDÓ= 1 2 BCÓ=1 2 _8'3=4'3이므로

ABD에서ADÓ=¿¹(4'3)Û`+8Û`=4'7 40%  4'7

0

67

ABC에서tan`30ù= 6 BCÓ= ' 3 3   ∴BCÓ=6'3

ADC에서tan`45ù= 6 CDÓ=1  ∴CDÓ=6 ∴BDÓ=BCÓ-CDÓ=6'3-6=6('3-1) ③

0

68

ABD에서∠ADC=∠ABD+∠BAD이므로 ∠BAD=60ù-30ù=30ù ∴ADÓ=BDÓ=4(cm)

ADC에서

sin`60ù= ACÓ 4 ='3 2   ∴ACÓ=2'3(cm) cos`60ù= DCÓ 4 =1 2   ∴DCÓ=2(cm) 따라서BCÓ=BDÓ+DCÓ=4+2=6(cm)이므로

ABC= 1 2 _6_2'3=6'3(cm2 ) 6'3 cmÛ`

0

69

ABC에서sin`30ù= ACÓ 12 =1 2   ∴ACÓ=6

ADC에서sin`60ù= CDÓ 6 ='3 2 ∴CDÓ=3'3

DEC에서cos`30ù= DEÓ 3'3= '2   ∴DEÓ=;2(;3  9 2

0

70

ABC에서 sin`30ù= 2 ABÓ= 1 2   ∴ABÓ=4 tan`30ù= 2 BCÓ= ' 3 3   ∴BCÓ=2'3 오른쪽그림에서△BAD는 ∠BAD=30ù-15ù=15ù=∠BDA 이므로이등변삼각형이다. ∴BDÓ=ABÓ=4

ADC에서 tan`15ù=ACÓ DCÓ=4+22 '3=2-'3 ③  # $ % & " ± ± ± ± " # $ % ± ± ± ±   

(8)

0

77

③tan`x=CDÓ

ODÓ= CDÓ

1 =CDÓ

⑤sin`z=sin`y=OBÓ

OAÓ= OBÓ 1 =OBÓ ③, ⑤

0

78

∠AOB=180ù-(90ù+35ù)=55ù ∴sin`55ù=ABÓ

OAÓ=ABÓ 1 =ABÓ ③

0

79

cos`48ù= ODÓ OAÓ= ODÓ 1 =ODÓ ∴BDÓ=OBÓ-ODÓ=1-cos`48ù ④

0

80

AOB에서 ∠OAB=180ù-(90ù+47ù)=43ù이므로 sin`43ù= OBÓ

OAÓ=OBÓ 1 =OBÓ=0.68 tan`47ù= CDÓ ODÓ=CDÓ 1 =CDÓ=1.07 ∴sin`43ù+tan`47ù=0.68+1.07=1.75 1.75

0

81

①sin`90ù+tan`45ù=1+1=2 ②cos`90ù-sin`0ù=0-0=0 ③sin`30ù+cos`60ù_sin`90ù=;2!;+;2!;_1=1 ④tan`30ù_sin`60ù+tan`0ù= '3 _3 '3 2 +0=;2!; ⑤(sin`0ù-cos`45ù)_(cos`90ù+sin`45ù) ={0- '2 }_{0+2 '2 2 }=-;2!; ④

0

82

③sin`90ù=cos`0ù=tan`45ù=1 ③

0

83

(주어진식)=1_1-'2 2 _0+1=2 2

0

84

'3x-3y+6=0에서y= '3 x+2이므로3 20% tan`a= '3   ∴a=30ù 3 30% ∴cos`2a+sin`3a+cos`3a=cos`60ù+sin`90ù+cos`90ù =;2!;+1+0=;2#; 50%  3 2

0

71

AOC에서 cos`45ù= 3 OAÓ= ' 2 2   ∴OAÓ=3'2 30%

tan`45ù=ACÓ 3 =1  ∴ACÓ=3 30%

OBÓ=OAÓ=3'2이므로

ABC에서 tan`x= ACÓ BCÓ=3+33'2='2-1 40%  '2-1

0

72

ABD에서 cos`60ù= 4 ADÓ=;2!;  ∴ADÓ=8 tan`60ù= BDÓ 4 ='3  ∴BDÓ=4'3 ∠ADC=60ù+90ù=150ù이고ADÓ=CDÓ=8이므로

ADC에서∠CAD=;2!;_(180ù-150ù)=15ù 

ABC에서∠CAB=15ù+60ù=75ù이므로 tan`75ù= BCÓ ABÓ= 8+4'34 =2+'3 ①

0

73

직선의기울기는tan`30ù= '33 y절편을k라고하면tan`30ù= k 3 ='3 3   ∴k='3  따라서구하는직선의방정식은y= '3 x+'3 3 y= '33x+'3

0

74

구하는직선의방정식을y=ax+b라고하면 a=tan`45ù=1 직선y=x+b가점(2,-5)를지나므로 -5=2+b  ∴b=-7 따라서구하는직선의방정식은y=x-7 y=x-7

0

75

'3x-y+6=0에서y='3x+6 y='3x+6의그래프가x축의양의방향과이루는예각의크기를 a라고하면기울기가'3이므로 tan`a='3  ∴a=60ù 60ù

0

76

기울기는tan`45ù=1이므로a=1 y=x+b에x=4,y=0을대입하면0=4+b  ∴b=-4 ∴ab=1_(-4)=-4 ①

(9)

Ⅰ. 삼각비 9

1. 삼각비

①, ②, ③0ùÉx<90ù인범위에서x의크기가커지면sin`x,

tan`x의값은각각증가하고,cos`x의값은감소한다. ④cos`60ù=;2!;,tan`30ù= '3 이므로cos`60ù<tan`30ù3

⑤sin`45ù= '2 ,cos`45ù=2 '2 2 이므로sin`45ù=cos`45ù ④

0

86

45ù<A<90ù일때,cos`A<sin`A<1,tan`A>1이므로 cos`A<sin`A<tan`A ③

0

87

sin`15ù<sin`55ù<sin`80ù<sin`90ù=1이고 cos`0ù=1,tan`50ù>tan`45ù=1이므로 sin`15ù<sin`55ù<sin`80ù<cos`0ù<tan`50ù ③

0

88

sin`90ù=1,cos`90ù=0,sin`45ù= '2 이고2 1=tan`45ù<tan`55ù<tan`65ù이므로 cos`90ù<sin`45ù<sin`90ù<tan`55ù<tan`65ù 따라서크기가작은것부터차례대로나열하면ㄴ,ㄷ,ㄱ,ㄹ,ㅁ  ㄴ, ㄷ, ㄱ, ㄹ, ㅁ

0

89

0ù<x<90ù일때,0<sin`x<1이므로 sin`x-1<0,1+sin`x>0 ∴"Ã(sin`x-1)Û`+"Ã(1+sin`x)Û`=-(sin`x-1)+(1+sin`x) =-sin`x+1+1+sin`x=2  ⑤

0

90

0ù<x<45ù일때,0<tan`x<1이므로 tan`x-1<0,tan`x+1>0 ∴"Ã(tan`x-1)Û`-"Ã(tan`x+1)Û`  =-(tan`x-1)-(tan`x+1)  =-tan`x+1-tan`x-1  =-2`tan`x ①

0

91

0ù<x<45ù일때,sin`x<cos`x이므로 sin`x-cos`x<0,cos`x-sin`x>0 ∴"Ã(sin`x-cos`x)Û`-"Ã(cos`x-sin`x)Û`  =-(sin`x-cos`x)-(cos`x-sin`x)  =-sin`x+cos`x-cos`x+sin`x  =0 0 45ù<x<90ù일때,0<cos`x<sin`x이므로 cos`x-sin`x<0,cos`x>0 30% ∴"Ã(cos`x-sin`x)Û`+"ÃcosÛ``x =-(cos`x-sin`x)+cos`x =-cos`x+sin`x+cos`x  =sin`x 40% 따라서sin`x= '2 이므로x=60ù3 30%  60ù

0

93

sin`23ù=0.3907이므로x=23ù tan`21ù=0.3839이므로y=21ù ∴x+y=23ù+21ù=44ù ②

0

94

sin`46ù-cos`49ù+tan`47ù =0.7193-0.6561+1.0724 =1.1356 1.1356

0

95

sin`64ù=0.8988이므로x=64ù,cos`66ù=0.4067이므로y=66ù ∴tan`x+sin`y=tan`64ù+sin`66ù =2.0503+0.9135=2.9638 2.9638

0

96

⑤tan`36ù-sin`38ù=0.7265-0.6157=0.1108 ⑤

0

97

∠B=180ù-(90ù+37ù)=53ù sin`53ù= ACÓ ABÓ이므로0.7986= ACÓ 10   ∴ACÓ=7.986 ③

0

98

OBÓ=cos`x=0.6428 주어진삼각비의표에서cos`50ù=0.6428이므로 x=50ù 40% ∴ABÓ+CDÓ=sin`50ù+tan`50ù =0.7660+1.1918=1.9578 60%  1.9578

(10)

0

99

ABÓ="Ã6Û`-4Û`=2'5

①sin`A=;6$;=;3@; ②cos`A=2'5 6 ='5 3

③tan`A= 4 2'5=2'5 5  ④cos`C=;6$;=;3@; ⑤tan`C=2'5 4 ='5 2  ③

100

∠AEF=∠EFC(엇각), ∠CEF=∠AEF(접은각)이므로

∠EFC=∠CEF  ∴CFÓ=CEÓ=AEÓ=5

오른쪽그림과같이점E에서BCÓ에내린 수선의발을H라고하면EHÓ=ABÓ=3이 므로

EHC에서CHÓ="Ã5Û`-3Û`=4

EFH에서FHÓ=5-4=1이므로 tan`x= EHÓ FHÓ=;1#;=3 3

101

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ에 내린수선의발을H라고하면

ABH에서cos`B= BHÓ 9 ='5 3 이므로 BHÓ=3'5 ∴AHÓ=¿¹9Û`-(3'5)Û`=6 따라서

AHC에서sin`C= AHÓ ACÓ= 6 10 =35  3 5

102

오른쪽그림과같이tan`A='2인직각삼각형 ABC에서 ACÓ=¿¹1Û`+('2)Û`='3이므로 sin`A= '2 '3= ' 6 3 ,cos`A= 1'3= '33   " & % $ ( ' #   Y ) # $ "   ) $  " #  ∴sinÛ``A+cosÛ``A={ '3 }6 Û`+{'33 }Û`=1 1

103

일차방정식2x-3y-6=0의그래프는 오른쪽그림과같으므로OAÓ=3,OBÓ=2 ∴ABÓ="Ã3Û`+2Û`='1Œ3 ∠OAB=a(맞꼭지각)이므로  직각삼각형AOB에서 sin`a= 2 '1Œ3,cos`a='1Œ33 ∴sinÛ``a-cosÛ``a= 413 -13 =-9 13 5 - 5 13

104

∠ACB=∠CDB=90ù,∠B는공통이므로

ABC»

CBD(AA닮음) ∴∠BAC=∠BCD=x

ABC에서tan`x= BCÓ 4 ='5 2   ∴BCÓ=2'5 ∴ABÓ=¿¹(2'5)Û`+4Û`=6 6

105

∠BAC=∠DEC=90ù,∠C는공통이므 로

ABC»

EDC(AA닮음) ∠B=∠CDE=x

ABC에서 BCÓ=¿¹(4'2)Û`+7Û`=9이므로 sin`x= ACÓ

BCÓ=;9&;,tan`x= ACÓ ABÓ= 7 4'2

∴tan`x =;9&;_sin`x 4'27 =4'29  4'29 

106

ABE에서sin`x= 6

AEÓ=;3@;이므로AEÓ=9

∠ABE=∠CDE=90ù,∠AEB=∠CED(맞꼭지각)이므로

ABE»

CDE(AA닮음)

이때AEÓ`:`CEÓ=BEÓ`:`DEÓ,9`:`6=6`:`DEÓ  ∴DEÓ=4

∴ADÓ=AEÓ+EDÓ=9+4=13

EDC에서CDÓ="Ã6Û`-4Û`=2'5

ADC에서tan`y= CDÓ ADÓ= 2'5 13  213'5

107

BEÓ= 1 2 BCÓ=1 2 _6=3이므로

ABE에서AEÓ="Ã6Û`-3Û`=3'3 DEÓ=AEÓ=3'3 0  # "  YZ B B Y Z " % # $  Y Y # & % "  $ Y  Y

0

99

100

3

101

3 5

102

1

103

- 5 13

104

6

105

4'2 9

106

213'5

107

1 3

108

109

8

110

'33

111

2'3

112

2'3

113

12'3 cmÛ`

114

y='3 x+5

115

116

1 4

117

118

119

120

121

27.8

122

5'2Œ626 본문 | 21 ~ 23 쪽

실력

콕콕

(11)

Ⅰ. 삼각비 11 1. 삼각비 #  $ & % Y ) 내린수선의발을H라고하면점H는

BCD의무게중심이므로 EHÓ= 1 3 DEÓ=1 3 _3'3='3 

AEH에서 cos`x= EHÓ AEÓ= '3'33 = 1 3  1 3

108

A=sin`60ù+cos`30ù= '2 +3 '3 2 ='3 B=sin`45ù+tan`45ù= '2 +1=2 2+2'2 ∴AÛ`+BÛ` =('3)Û`+{2+2 }'2 Û` =3+6+44'2 = 9 2 +'2 ④

109

sin`A= '2 이므로A=60ù(∵0ù<A<90ù)3 따라서tan`A=tan`60ù='3이므로 2 tanÛ``A-'3`tan`A+5=2_('3)Û`-'3_'3+5  =6-3+5=8  8

110

2xÛ`-3x+1=0,(2x-1)(x-1)=0 ∴x= 1 2 또는x=1 이때이차방정식의두근이cos`A,sin`B이고cos`A<sin`B이므로 cos`A= 1 2 ,sin`B=1 따라서A=60ù,B=90ù이므로 tan`(B-A)=tan(90ù-60ù)=tan30ù= '3 3 '33

111

ABC에서

sin`30ù=ABÓ 12 =;2!;  ∴ABÓ=6

cos`30ù=BCÓ 12 ='3 2   ∴BCÓ=6'3

∠BAC=60ù이므로∠BAD= 1 2 ∠BAC=30ù

ABD에서tan`30ù= x 6 ='3 3   ∴x=2'3 y=6'3-2'3=4'3  ∴y-x=4'3-2'3=2'3  2'3

ADC에서∠CAD=30ù이므로  cos`30ù=ADÓ 8 ='3 2   ∴ADÓ=4'3 

ADE에서sin`30ù=DEÓ 4'3= 1 2   ∴DEÓ=2'3 다른 풀이 ∠C=60ù이므로 △ADC에서cos`60ù= CDÓ 8 =1 2   ∴CDÓ=4

CED에서sin`60ù= DEÓ 4 ='3 2   ∴DEÓ=2'3 2'3

113

오른쪽그림과같이두꼭짓점A,D에 서BCÓ에내린수선의발을각각E,F 라고하면

ABE에서 sin`60ù= AEÓ 4 ='3 2   ∴AEÓ=2'3(cm)

cos`60ù= BEÓ 4 =1 2   ∴BEÓ=2(cm)

ABEª

DCF`(RHA`합동)이므로CFÓ=BEÓ=2(cm) 따라서ADÓ=EFÓ=8-(2+2)=4(cm)이므로ABCD= 1 2 _(4+8)_2'3=12'3(cmÛ`) 12'3 cmÛ`

114

sin60ù= '2 이므로a=60ù3  ∴(직선의기울기)=tan`a=tan`60ù='3 이때y절편이5이므로구하는직선의방정식은y='3x+5  y='3 x+5

115

AOB에서sin`a= ABÓ

OAÓ=ABÓ,cos`a=OAÓOBÓ =OBÓ ∠OAB=∠OCD=b이므로

sin`b= OBÓ

OAÓ=OBÓ,cos`b=ABÓ OAÓ=ABÓ

따라서점A의좌표는(cos`a,sin`a),(cos`a,cos`b), (sin`b,sin`a),(sin`b,cos`b)로나타낼수있다. ③

116

tan`45ù= CDÓ ODÓ=CDÓ=1 sin`45ù= ABÓ OAÓ=ABÓ= '2 2 # $ " % & ±  ± ± # $ % " ADN ADN & ± '

(12)

cos`45ù= OBÓ OAÓ=OBÓ= ' 2 2  ∴(색칠한부분의넓이)=

COD-

AOB  = 1 2 _1_1-1 2 _'2 2 _'2 2 =1 4  1 4

117

(주어진식)=1-'3 3 _0+{;2!;+;2!;}Ö1  =1-0+1=2 ⑤

118

⑤tan`A의값중가장작은값은tan`0ù=0이지만tan`90ù의값 은정할수없으므로tan`A의값중가장큰값은알수없다.  ⑤

119

0=sin`0ù<sin`35ù<sin`45ù= '2 2 '2 2 =cos`45ù<cos`20ù<cos`0ù=1 tan`45ù=1 ∴tan`45ù>cos`20ù>cos`45ù>sin`35ù>sin`0ù ②

120

45ù<x<90ù일때,tan`x>1,sin`x<1이므로 1-tan`x<0,tan`x>0,1-sin`x>0 ∴"Ã(1-tan`x)Û`-"ÃtanÛ``x+"Ã(1-sin`x)Û`  =-(1-tan`x)-tan`x+(1-sin`x)  =-1+tan`x-tan`x+1-sin`x=-sin`x ①

121

ABD에서cos`55ù= BDÓ 20   ∴BDÓ=20cos`55ù=20_0.57=11.4 sin`55ù= ADÓ 20   ∴ADÓ=20sin`55ù=20_0.82=16.4 ∠BAD=90ù-55ù=35ù이므로∠CAD=80ù-35ù=45ù

ADC에서tan`45ù= CDÓ 16.4 =1 ∴CDÓ=16.4 ∴BCÓ=BDÓ+CDÓ=11.4+16.4=27.8 27.8

122

도로의경사도가20`%이므로tan`A_100=20 `∴tan`A= 1 5 # % $ "  ± ± ±± 따라서오른쪽그림과같은직각삼각형  " #   $ ABC에서 ACÓ="Ã5Û`+1Û`='2Œ6이므로 cos`A= 5 '2Œ6=5'2Œ626  5'2Œ626

123

2'55

124

'42

125

7 5

126

3'32

127

4'3

128

4'6

129

9 10

130

2'5

131

'22

132

'23

133

'33

134

'3 본문 | 24 ~ 25 쪽

서술형

콕콕

123

단계 1cos`A= 3 ACÓ= ' 5 5 이므로ACÓ=3'5 단계 2BCÓ=¿¹(3'5)Û`-3Û`=6 단계 3cos`C=BCÓ ACÓ= 63'5=2'552'55

124

sin`C= ABÓ 9 =2'23 이므로ABÓ=6'2 40%

ACÓ=¿¹9Û`-(6'2)Û`=3 30% ∴tan`B=ACÓ ABÓ= 36'2= ' 2 4  30%  '42

125

단계 1

DEC와

BAC에서   ∠DEC=∠BAC=90ù,   ∠C는공통이므로  

DEC»

BAC(AA닮음)   ∴∠CBA=∠CDE=x 단계 2

ABC에서BCÓ="Ã6Û`+8Û`=10 단계 3sin`x=ACÓ BCÓ= 8 10 =;5$;,cos`x=ABÓ BCÓ= 6 10 =;5#;

  ∴sin`x+cos`x=;5$;+;5#;=;5&;

7 5

126

ABC와

DEC에서 ∠ABC=∠DEC=90ù, ∠C는공통이므로

ABC»

DEC(AA닮음) ∴∠EDC=∠BAC=x 40%   # & $ % Y " Y Y # $ & %   " Y

(13)

Ⅰ. 삼각비 13 1. 삼각비 sin`x= CEÓ CDÓ= 4'3

8 ='3 2 ,tan`x=CEÓ DEÓ=

4'3 4 ='3 ∴sin`x+tan`x= '2 +'3=3 3'3 2  40%  3'32

127

단계 1

DBC에서sin`45ù= BCÓ 6'2= '2   ∴BCÓ=62 단계 2

ABC에서sin`60ù= 6 ACÓ= ' 3 2   ∴ACÓ=4'34'3

128

ABC에서tan`30ù= 4 BCÓ= '3   ∴BCÓ=4'33 50%

DBC에서sin`45ù=4'3 BDÓ= '2   ∴BDÓ=4'62 50%  4'6

129

단계 1기울기가3인직선의방정식을y=3x+k라고하면   이직선이점(-1,3)을지나므로3=3_(-1)+k    ∴k=6   따라서직선의방정식은y=3x+6 단계 2y=3x+6에y=0을대입하면0=3x+6,x=-2이므로 A(-2,0)   y=3x+6에x=0을대입하면y=6이므로B(0,6)   따라서AOÓ=2,BOÓ=6이므로  

AOB에서ABÓ="Ã2Û`+6Û`=2'1Œ0 단계 3sin`a= 6 2'1Œ0= 3'1Œ0 10 ,cos`a=2'1Œ02 = ' 1Œ0 10 ,   tan`a= 6 2 =3이므로   sin`a_cos`a_tan`a=3'1Œ0 10 _'1Œ0 10 _3=109 9 10

130

기울기가-2인직선의방정식을y=-2x+k라고하면 이직선이점(2,2)를지나므로2=-2_2+k ∴k=6 30% 따라서직선의방정식은y=-2x+6 y=-2x+6에y=0을대입하면0=-2x+6,x=3이므로 A(3,0) y=-2x+6에x=0을대입하면y=6이므로B(0,6)

따라서OAÓ=3,OBÓ=6이므로

BOA에서

ABÓ="Ã3Û`+6Û`=3'5 30% 따라서sin`a= 6 3'5=2'5 5 ,cos`a=33'5= '5 ,tan`a=5 6 3 =2이 므로 5(sin`a-cos`a)_tan`a=5_{ 5 - 5 }_2  =2'5 40%  2'5

131

단계 1 2sin(2x+10ù)=tan`60ù에서2sin(2x+10ù)='3   ∴sin(2x+10ù)= '23 단계 2 sin`60ù= '2 이므로2x+103 ù=60ù,2x=50ù    ∴x=25ù 단계 3 cos(x+20ù)=cos`45ù= '22  '22

132

'2cos(3x-15ù)=tan`45ù에서'2cos(3x-15ù)=1 ∴cos(3x-15ù)= 1 '2= '2 2 35% cos`45ù= '2 이므로3x-152 ù=45ù 3x=60ù  ∴x=20ù 35% ∴sin(x+40ù)=sin`60ù= '2 3 30%  '23

133

단계 1 0ù<x<45ù일때,0<sin`x<cos`x<1이므로   cos`x+1>0,cos`x-sin`x>0   ∴"Ã(cos`x+1)Û`-"Ã(cos`x-sin`x)Û`   =cos`x+1-(cos`x-sin`x)   =cos`x+1-cos`x+sin`x    =sin`x+1 단계 2 sin`x+1= 32이므로sin`x=12   ∴x=30ù   ∴tan`x=tan`30ù= '33  '33

134

45ù<x<90ù일때,0<cos`x<sin`x<1이므로 sin`x+cos`x>0,cos`x-sin`x<0 ∴"Ã(sin`x+cos`x)Û`+"Ã(cos`x-sin`x)Û`  =sin`x+cos`x+{-(cos`x-sin`x)}  =sin`x+cos`x-cos`x+sin`x=2sin`x 50% 2sin`x='3이므로sin`x= '2   ∴x=603 ù ∴tan`x=tan`60ù='3  50%  '3

(14)

Ⅰ. 삼각비

2

삼각비의 활용

개념

콕콕

본문 | 27, 29 쪽

135

⑴ a`sin`B ⑵ ;aC;, a`cos`B ⑶ bc ,c`tan`B

a`sin`C ⑸ ;aB;, bcos`C ;bC;, ctan`C

136

 ⑴ 12, 6'3 ⑵ 8, 4'2 ⑶ 2, 2'3

137

⑴x=10`sin`42ù=10_0.67=6.7 y=10`cos`42ù=10_0.74=7.4 ⑵∠B=180ù-(90ù+33ù)=57ù이므로 x=5`cos`57ù=5_0.54=2.7  y=5`sin`57ù=5_0.84=4.2  ⑴ x=6.7, y=7.4 ⑵ x=2.7, y=4.2

138

⑴

ABH에서AHÓ=10`sin`60ù=10_ '2 =5'3(3 cm) ⑵

ABH에서BHÓ=10`cos`60ù=10_ 12 =5(cm) ⑶CHÓ=BCÓ-BHÓ=20-5=15(cm) 

AHC에서ACÓ=¿¹(5'3)Û`+15Û`=10'3(cm)  ⑴ 5'3 cm ⑵ 5 cm ⑶ 10'3 cm

139

⑴

ABC에서∠C=180ù-(105ù+30ù)=45ù ⑵

ABH에서AHÓ=6`sin`30ù=6_ 12 =3(cm) ⑶

AHC에서ACÓ=sin`45ù =3_3 2 '2=3'2(cm)  ⑴ 45ù ⑵ 3 cm ⑶ 3'2 cm

140

⑴∠BAH=30ù이므로BHÓ=h`tan`30ù= '3 h3 ⑵∠CAH=45ù이므로CHÓ=h`tan`45ù=h ⑶BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로8= '3 h+h3  3+3'3h=8  ∴h=4(3-'3)  ⑴ '33h ⑵ h ⑶ 4(3-'3 )

141

⑴∠BAH=60ù이므로BHÓ=h`tan`60ù='3 h ⑵∠ACH=180ù-135ù=45ù이므로CAH=45ù   ∴CHÓ=h`tan`45ù=h ⑶BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로10='3 h-h  ('3-1)h=10  ∴h=5('3+1)  ⑴ '3 h ⑵ h ⑶ 5('3 +1)

142

⑴

ABC= 12 _5_4_sin`30ù = 12_5_4_;2!;=5 ⑵

ABC= 12 _10_6'2_sin`45ù =;2!;_10_6'2_ '22=30  ⑴ 5 ⑵ 30

143

⑴

ABC= 12 _4_10_sin(180ù-135ù) =;2!;_4_10_ '2 =10'22 ⑵

ABC= 12 _2_3'3_sin(180ù-120ù) =;2!;_2_3'3_ '2 =;2(;3  ⑴ 10'2 ⑵ ;2(;

144

⑴☐ABCD=4_6_sin`60ù=4_6_ '23=12'3 ⑵☐ABCD=7_8_sin`45ù=7_8_ '22=28'2  ⑴ 12'3 ⑵ 28'2

145

⑴☐ABCD=5_8_sin(180ù-150ù)=5_8_ 12=20 ⑵☐ABCD=10_14_sin(180ù-135ù) =10_14_ '2 =70'22  ⑴ 20 ⑵ 70'2

146

⑴☐ABCD= 12 _8_10_sin`45ù =;2!;_8_10_ '22=20'2

(15)

Ⅰ. 삼각비 15 2. 삼각비의 활용 ⑵☐ABCD= 12_12_10_sin(180ù-150ù) =;2!;_12_10_ 12=30  ⑴ 20'2 ⑵ 30

147

5.64

148

12.3

149

150

②, ③

151

152

153

8'3 3 p cmÜ`

154

11.55 m

155

4.76 m

156

157

(10'3+30)m

158

67.5 m

159

12 m

160

25초

161

'2Œ1

162

2'3Œ1`m

163

13

164

'3Œ7

165

9'6

166

2'6

167

20'2

168

(20'2+20'6)`m

169

5(3-'3)`cm

170

10('3-1)`m

171

3.2

172

36(3-'3)`cmÛ`

173

3'3

174

175

(3+'3 )`km

176

8`cmÛ`

177

178

15'3 cmÛ`

179

45ù

180

18'3`cmÛ``

181

20`cmÛ`

182

7'3 cmÛ`

183

12'2 5 cm

184

21'3`cmÛ`

185

186

150ù

187

16p-12'3

188

23'3 2

189

24

190

6'3

191

65'3

192

70'2`cmÛ`

193

18`cmÛ`

194

60ù

195

3'3`cmÛ`

196

12'2`cmÛ`

197

198

45ù

199

4'2`cm 본문 | 30 ~ 36 쪽

유형

콕콕

147

x=4`cos`40ù=4_0.77=3.08 y=4`sin`40ù=4_0.64=2.56 ∴x+y=3.08+2.56=5.64 5.64

148

ACÓ=6`tan`64ù=6_2.05=12.3 12.3

149

∠A=28ù이므로ABÓ=sin`28ù 5 ②

150

∠A=32ù이므로 x=12`cos`58ù=12`sin`32ù ②, ③ FGÓ=8`cos`30ù=8_ '2 =4'3(3 cm) CGÓ=8`sin`30ù=8_ 1 2 =4(cm) 따라서직육면체의부피는4'3_6_4=96'3(cmÜ`) ⑤

152

ABÓ=5'2`cos`45ù=5'2_ '2 =5(2 cm) ACÓ=5'2`sin`45ù=5'2_ '2 =5(2 cm) 따라서삼각기둥의겉넓이는 2_{ 1 2 _5_5}+6_(5+5+5'2)=85+30'2(cmÛ`) ②

153

AOÓ=4`sin`60ù=4_ '2 =2'3(3 cm) 40% BOÓ=4`cos`60ù=4_ 1 2 =2(cm) 40% 따라서원뿔의부피는 1 3 _p_2Û`_2'3=8'33 p(cmÜ`) 20%  8'3 3 p cmÜ`

154

ACÓ=15`sin`42ù=15_0.67=10.05(m) 따라서지면에서열기구까지의높이는 ADÓ=ACÓ+CDÓ=10.05+1.5=11.55(m) 11.55 m

155

BCÓ=4`tan`50ù=4_1.19=4.76(m)이므로 지면에서지점C까지의높이는4.76`m이다. 4.76 m

156



ABC에서ACÓ=6`tan`60ù=6'3(m)

DBC에서DCÓ=6`tan`45ù=6(m) 따라서광고판의세로의길이는 ADÓ=ACÓ-DCÓ=6'3-6=6('3-1)(m) ②

157

SRÓ=30`tan`30ù =30_ '3 =10'3(3 m) RQÓÓ=30`tan`45ù=30(m) 따라서B건물의높이는 SQÓ=SRÓ+RQÓ=10'3+30(m)  (10'3+30)m AN " # 0 3 4 1 2 ± ±

(16)

158

오른쪽그림과같이자동차의위치를C,C지점 에서지면에내린수선의발을B라고하면 ACÓ=180_ 5060 =150(m) ∴BCÓ=150`sin`27ù=150_0.45=67.5(m) 따라서구하는높이는67.5m이다. 67.5 m

159

ABÓ=6`tan`37ù =6_0.75=4.5(m) 40% ACÓ=cos`37ù =6 0.8 6  =7.5(m) 40% 따라서부러지기전의나무의높이는 ABÓ+ACÓ=4.5+7.5=12(m) 20%  12 m

160

ACÓ = 840 sin`12ù =0.21 840 =4000(m) 따라서경비행기가착륙하는데걸리는시간은4000160 =25(초)이다.  25초

161

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ에 내린수선의발을H라고하면 AHÓ=6`sin`30ù=6_ 12 =3 BHÓ=6`cos`30ù=6_ '2 =3'33 CHÓ=5'3-3'3=2'3이므로 ACÓ=¿¹3Û`+(2'3)Û`='2Œ1 '2Œ1

162

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ에 내린수선의발을H라고하면 AHÓ=10`sin`60ù=10_ '2 =5'3(3 m) BHÓ=10`cos`60ù=10_ 12 =5(m) CHÓ=12-5=7(m)이므로 ACÓ=¿¹(5'3)Û`+7Û`=2'3Œ1(m) 2'3Œ1`m $ " ± # " AN # ± $ # $ AN " ±  # $ " ) ±  # $ " ) AN AN ±

163

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ에내린 수선의발을H라고하면 CHÓ=15`cos`C=15_ 35 =9 ∴AHÓ=¿¹15Û`-9Û`=12 BHÓ=14-9=5이므로 ABÓ=¿¹5Û`+12Û`=13 13

164

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ의 연장선에내린수선의발을H라고하면 ∠ABH=180ù-120ù=60ù AHÓ=4`sin`60ù=4_ '2 =2'3 3 BHÓ=4`cos`60ù=4_ 12 =2 60% CHÓ=3+2=5이므로 ACÓ=¿¹(2'3)Û`+5Û`='3Œ7 40%  '3Œ7

165

오른쪽그림과같이꼭짓점C에서ABÓ에내린 수선의발을H라고하면 ∠B=180ù-(45ù+75ù)=60ù이므로 CHÓ=18`sin`60ù=18_ '2 =9'33 ∴ACÓ=sin`45ù =9'3_9'3 2 '2=9'6 9'6

166

오른쪽그림과같이꼭짓점B에서ACÓ에내 린수선의발을H라고하면 ∠A=180ù-(75ù+45ù)=60ù이므로 BHÓ=6`sin`45ù=6_ '2 =3'22 ∴ABÓ=sin`60ù =3'2_3'2 2 '3=2'6 2'6

167

오른쪽그림과같이꼭짓점B에서ACÓ에내 린수선의발을H라고하면 ∠A=180ù-(105ù+30ù)=45ù BHÓ=20`sin`45ù=20_ '2 =10'22 ∴BCÓ=sin`30ù =10'2_2=20'210'2 20'2 # $ "   ) "  #  $ ) ± ± ± #  $ " ) ± ± # " )  $ ± ± ±  " # $ ) ± ± ±

(17)

Ⅰ. 삼각비 17 2. 삼각비의 활용 오른쪽그림과같이꼭짓점C에서ABÓ 에내린수선의발을H라고하면 AHÓ=40`cos`45ù =40_ '2 =20'2(2 m) CHÓ=40`sin`45ù=40_ '2 =20'2(2 m) 이때∠B=180ù-(45ù+105ù)=30ù이므로 BHÓ=tan`30ù =20'2_20'2 3 '3=20'6(m) ∴ABÓ=AHÓ+BHÓ=20'2+20'6`(m) (20'2+20'6)`m

169

AHÓ=h`cm라고하면∠BAH=45ù,∠CAH=30ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h(cm),CHÓ=h`tan`30ù= '3 h(3 cm) BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로10=h+ '3 h,3 3+3'3h=10  ∴h=5(3-'3) 5(3-'3)`cm

170

전봇대의높이CHÓ의길이를h`m라고하면 ∠ACH=60ù,∠BCH=45ù이므로 AHÓ=h`tan`60ù='3h(m) 30% BHÓ=h`tan`45ù=h(m) 30% ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로20='3h+h,('3+1)h=20 ∴h=10('3-1) 따라서전봇대의높이는10('3-1)`m이다. 40%  10('3-1)`m

171

AHÓ=h라고하면∠BAH=65ù,∠CAH=20ù이므로 BHÓ=h`tan`65ù=2.14h,CHÓ=h`tan`20ù=0.36h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로8=2.14h+0.36h,2.5h=8  ∴h=3.2 3.2

172

오른쪽그림과같이꼭짓점B에서ACÓ에내린 수선의발을H라하고BHÓ=h`cm라고하면 ∠ABH=45ù,∠CBH=30ù이므로 AHÓ=h`tan`45ù=h(cm) CHÓ=h`tan`30ù= '3 h(3 cm) ACÓ=AHÓ+CHÓ이므로12=h+ '3 h,3 3+3 h=12 '3 ∴h=6(3-'3) ∴

ABC= 12 _12_6(3-'3)=36(3-'3)(cmÛ`)  36(3-'3)`cmÛ` " $ # AN ) ± ± ± # $ " ADN ) ± ± ± ± AHÓ=h라고하면∠BAH=60ù,∠CAH=30ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h,CHÓ=h`tan`30ù= '3 h3 BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로6='3h- '3 h,3 2'33 h=6  ∴h=3'3 3'3

174

∠ACH=65ù,∠BCH=48ù이므로 AHÓ=h`tan`65ù(m),BHÓ=h`tan`48ù(m) ABÓ=AHÓ-BHÓ이므로90=h`tan`65ù-h`tan`48ù h(tan`65ù-tan`48ù)=90 ∴h=tan`65ù-tan`48ù 90 ①

175

AHÓ=h`km라고하면 ∠BAH=45ù,∠CAH=30ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h(km),CHÓ=h`tan`30ù= '3 h(3 km) BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로2=h- '3 h,3 3-3 h=2 '3 ∴h=3+'3 따라서산의높이는(3+'3)`km이다. (3+'3 )`km

176

∠A=180ù-2_75ù=30ù ∴

ABC= 12 _4'2_4'2_sin`30ù = 12_4'2_4'2_12   =8(cmÛ`) 8`cmÛ`

177

1 2 _6_BCÓ_sin`60ù=12'3이므로 3'3 2 BCÓ=12'3 ∴BCÓ=8(cm) ③

178

 0ù<∠A<90ù이고tan`A='3이므로∠A=60ù ∴

ABC= 12 _6_10_sin`60ù = 12_6_10_'3 2   =15'3(cmÛ`) 15'3 cmÛ`

(18)

179

1 2 _8_12_sin`B=24'2이므로sin`B= '22 이때0ù<∠B<90ù이므로∠B=45ù 45ù

180



ABC= 12 _12_18_sin`60ù = 12_12_18_'3 2 =54'3(cmÛ`) 50% ∴

GBC= 13

ABC= 13 _54'3=18'3(cmÛ`) 50%  18'3 cm2

181

AEÓDCÓ이므로

AED=

AEC ∴ABED=

ABE+

AED 

=

ABE+

AEC=

ABC 

= 12_5_8'2_sin`45ù = 12_5_8'2_'2 2

=20(cmÛ`) 20`cmÛ`

182

ADÓ=BEÓ=CFÓ,AFÓ=BDÓ=CEÓ,∠A=∠B=∠C=60ù이므로

ADFª

BEDª

CFE(SAS합동) 따라서

ADF=

BED=

CFE이므로

DEF=

ABC-3

ADF 

= 12_10_10_sin`60ù-3_{12 _4_6_sin`60ù} = 12_10_10_'3 2 -3_{ 12_4_6_'3 2 } =25'3-18'3=7'3(cmÛ`) 7'3 cmÛ`

183

ABC=

ABD+

ADC이므로

1 2 _4_6=12 _4_ADÓ_sin`45ù+ 12 _ADÓ_6_sin`45ùù 12=5'22 ADÓ  ∴ADÓ=125 ('2 cm) 12'2 5 cm

184

∠A=180ù-(25ù+35ù)=120ù ∴

ABC= 12 _12_7_sin`(180ù-120ù) = 12_12_7_'3 2   =21'3(cmÛ`) 21'3`cmÛ`

185

1 2 _8_ACÓ_sin`(180ù-135ù)=10'6이므로 2'2`ACÓ=10'6 ∴ACÓ=5'3(cm) ③

186

1 2 _6'3_12_sin`(180ù-B)=18'3이므로 sin`(180ù-B)= 12 따라서180ù-∠B=30ù이므로∠B=150ù 150ù

187

AOC는이등변삼각형이므로∠AOC=180ù-2_30ù=120ù (부채꼴AOC의넓이)=p_(4'3)Û`_ 120360 =16p 40%

AOC= 12 _4'3_4'3_sin`(180ù-120ù) = 12_4'3_4'3_'32 =12'3 40% 따라서색칠한부분의넓이는 (부채꼴AOC의넓이)-

AOC=16p-12'3 20%  16p-12'3

188

오른쪽그림과같이ACÓ를그으면

ABCD=

ABC+

ACD 

= 12_5_8_sin`60ù + 12 _2_3'3_sin`(180ù-150ù) = 12_5_8_'3 2 + 12 _2_3'3_12  =232 '3 23'3 2

189

ABC에서ACÓ=cos`45ù =4'2_4'2 2 '2=8 ∴ABCD  =

ABC+

ACD  = 12_4'2_8_sin`45ù+12 _8_4_sin`30ù = 12_4'2_8_'2 2 + 12 _8_4_12   =24 24 $ # " %     ± ±

(19)

Ⅰ. 삼각비 19 2. 삼각비의 활용 오른쪽그림과같이정육각형은6개의합동인 정삼각형으로나누어진다. 따라서정육각형의넓이는 6_{ 12_2_2_sin`60ù} =6_{ 12_2_2_'32 }=6'3 6'3

191

오른쪽그림과같이대각선AC를그으면

ABCD=

ABC+

ACD 

= 12_10_18_sin`60ù + 12 _8_10_sin`(180ù-120ù)  = 12_10_18_'32 +12 _8_10_'32   =65'3 65'3

192

∠B=180ù-135ù=45ù이므로  ABCD=10_14_sin`45ù =10_14_ '22 =70'2(cmÛ`) 70'2`cmÛ`

193

ABCD는BCÓ=ABÓ=6(cm)인평행사변형이므로 ABCD=6_6_sin`30ù =6_6_ 12=18(cmÛ`) 18`cmÛ`

194

5_8_sin`B=20'3이므로sin`B= '23 이때0ù<∠B<90ù이므로∠B=60ù 60ù

195

ABCD=4_6_sin`60ù=4_6_ '23 =12'3(cmÛ`) ∴

APD= 1 4 ABCD  = 1 4 _12'3=3'3(cmÛ`) 3'3`cmÛ`

196

ABCD= 12_6_8_sin`(180ù-135ù)  = 12_6_8_'22   =12'2(cmÛ`) 12'2`cmÛ`   ± " # $ %     ± ± ∠BOC=180ù-(55ù+65ù)=60ù ∴ABCD= 12_4_5_sin`60ù = 12_4_5_'32 =5'3(cmÛ`) ②

198

1 2 _12_9_sin`x=27'2이므로 sin`x= '22 이때∠x는예각이므로∠x=45ù 45ù

199

ABCD는등변사다리꼴이므로ACÓ=BDÓ이고 30% 1 2 _ACÓ_BDÓ_sin`(180ù-120ù)=8'3이므로 '3 4 ACÓÛ`=8'3 50%

ACÓÛ`=32  ∴ACÓ=4'2(cm)(∵ACÓ>0) 20%

 4'2`cm

200

201

202

89.91 m

203

6 m

204

2'1Œ3 cm

205

206

(3-'3)`km

207

9('3-1)

208

4('3+1)cmÛ`

209

'22

210

48`cmÛ`

211

3 2

212

4`cm

213

6`cmÛ`

214

50'2`cmÛ`

215

3 5

216

64'3

217

52'3

218

30'3`cmÛ`

219

16 cm

220

30'2`cmÛ`

221

91'3

222

28 cmÛ`

223

1 m 본문 | 37 ~ 39 쪽

실력

콕콕

200

∠C=180ù-(43ù+90ù)=47ù이므로 BCÓ=tan`47ù 2 ⑤

201

ABO에서OAÓ=4'3`tan`30ù=4'3_ '3 =4(3 cm)

OBC에서OCÓ=tan`45ù =4'3(cm)4'3 따라서삼각뿔의부피는 1 3 _{1 2 _4'3_4'3}_4=32(cmÜ`) ③

(20)

202

ABH에서AHÓ=100`cos`36ù=100_0.81=81(m)

CAH에서CHÓ=81`tan`48ù=81_1.11=89.91(m)  89.91 m

203



DBH에서DHÓ=4'3`sin`60ù=4'3_ '2 =6(3 m) BHÓ=4'3`cos`60ù=4'3_ 1 2 =2'3(m) ∴AHÓ=10'3+2'3=12'3(m)

CAH에서CHÓ=12'3`tan`30ù=12'3_ '3 =12(3 m) ∴CDÓ=CHÓ-DHÓ=12-6=6(m) 6 m

204

∠B=180ù-120ù=60ù이므로 오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ에 내린수선의발을H라고하면 AHÓ=6`sin`60ù=6_ '2 =3'3(3 cm) BHÓ=6`cos`60ù=6_ 1 2 =3(cm) CHÓ=8-3=5(cm)이므로 ACÓ=¿¹(3'3)Û`+5Û`=2'1Œ3(cm) 2'1Œ3 cm

205

오른쪽그림과같이꼭짓점C에서ABÓ에내린 수선의발을H라고하면 CHÓ=4`sin`63ù 이때∠A=180ù-(63ù+67ù)=50ù이므로

ACÓ= CHÓ sin`50ù =4`sin`63ù sin`50ù

 ④

206

오른쪽그림과같이꼭짓점C에서ABÓ에내 린수선의발을H라하고CHÓ=h`km라고 하면 ∠ACH=45ù,∠BCH=30ù이므로 AHÓ=h`tan`45ù=h(km) BHÓ=h`tan`30ù= '3 h(km)3 ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 2=h+ '3 h,3 3+3'3 h=2  ∴h=3-'3 따라서지면에서비행기까지의높이는(3-'3)km이다.  (3-'3)`km $ % " # ADN ADN ± ± ) " # $  ) ± ± ± " ) IALN ALN # ± ± $

207

BCD에서 BCÓ=sin`45ù =3'2_3'2 2 '2=6 점E에서BCÓ에내린수선의발을H라하 고EHÓ=h라고하면 ∠BEH=45ù,∠CEH=60ù이므로 BHÓ=h`tan`45ù=h,CHÓ=h`tan`60ù='3h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로6=h+'3h,(1+'3)h=6  ∴h=3('3-1) ∴

EBC= 1 2 _6_3('3-1)=9('3-1) 9('3-1)

208

AHÓ=hcm라고하면 ∠BAH=60ù,∠CAH=45ù이므로 BHÓ=h`tan`60ù='3h(cm) CHÓ=h`tan`45ù=h(cm) BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로4='3h-h,('3-1)h=4  ∴h=2('3+1) ∴

ABC= 1 2 _4_2('3+1) =4('3+1)(cmÛ`)  4('3+1)cmÛ`

209

1 2 _6_10_sin`x=10'3이므로sin`x= '33 오른쪽그림과같은

PQR에서 QRÓ="Ã3Û`-('3)Û`='6 ∴tan`x= '3 '6= '22  '22

210

∠BCE=∠ECF=∠FCD= 1 3 _90ù=30ù

CDF에서CFÓ= 12 cos`30ù =12_ 2 '3=8'3(cm) BCÓ=DCÓ,∠BCE=∠DCF,∠B=∠D=90ù이므로

BCEª

DCF(ASA합동) ∴CEÓ=CFÓ=8'3(cm) ∴

ECF= 1 2 _8'3_8'3_sin`30ù = 1 2 _8'3_8'3_1 2=48(cmÛ`) 48`cmÛ` " $ % & # ± ± I ±  ) 1 3 2  Y 

(21)

Ⅰ. 삼각비 21 2. 삼각비의 활용

ABC= 1 2 _ABÓ_ACÓ_sin`A이므로

ADE= 1 2 _ADÓ_AEÓ_sin`A = 1 2 _3ABÓ_1 2 ACÓ_sin`A = 3 2 _{1 2 _ABÓ_ACÓ_sin`A}= 3 2

ABC 따라서

ADE의넓이는

ABC의넓이의 3 2 배이다. 3 2

212

∠C=180ù-(37ù+23ù)=120ù 1 2 _BCÓ_6_sin`(180ù-120ù)=6'3이므로 3'3 2 BCÓ=6'3  ∴BCÓ=4(cm) 4`cm

213

DEÓ=4`sin`60ù=4_ '2 =2'3(3 cm) ∠EDC=30ù+90ù=120ù ∴

ECD= 1 2 _2'3_4_sin`(180ù-120ù) = 1 2 _2'3_4_'3 2 =6(cmÛ`) 6`cmÛ`

214

오른쪽그림과같이정팔각형은8개의합동 인이등변삼각형으로나누어진다. ∠AOB= 1 8 _360ù=45ù이므로

AOB= 1 2 _5_5_sin`45ù = 1 2 _5_5_'2 2 =254 ('2 cmÛ`)  따라서정팔각형의넓이는 8

AOB=8_254 =50'2('2 cmÛ`) 50'2`cmÛ`

215

AMÓ=ANÓ="Ã2Û`+1Û`='5 ∴ABCD 

=

ABM+

AMN+

NMC+

AND 

= 1 2 _2_1+1 2 _'5_'5_sin`x+ 1 2 _1_1+1 2 _2_1 =1+ 5 2 `sin`x+ 1 2 +1=5 2 +5 2 `sin`x 따라서5 2 +5 2 `sin`x=4이므로 5 2 `sin`x= 3 2   ∴sin`x= 3 5  3 5 0 " & # % ' ) $ ( ± 0 ADN 오른쪽그림과같이AEÓ를그으면 ADÓ=AB'Ó,∠ADE=∠ABE'=90ù, AEÓ는공통이므로

ADEª

AB'E(RHS합동) ∠DAE=∠B'AE= 1 2 _(90ù-30ù)=30ù

AB'E에서 EB'Ó=8'3`tan`30ù=8'3_ '3 =83 ∴AB'ED=2

AB'E 

=2_{ 1 2 _8'3_8}=64'3 64'3

217

오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BCÓ에 내린수선의발을H라고하면 AHÓ=8`sin`60ù=8_ '2 =4'33 BHÓ=8`cos`60ù=8_ 1 2 =4 CHÓ=16-4=12이므로ACÓ=¿¹(4'3)Û`+12Û`=8'3 ∴ABCD=

ABC+

ACD 

= 1 2 _8_16_sin`60ù+ 1 2 _8'3_5'2_sin`45ù = 1 2 _8_16_'3 2 +1 2 _8'3_5'2_'2 2   =52'3 52'3

218

DCÓ=ABÓ=12`cm이므로 ABCD=12_20_sin`60ù=12_20_ '23 =120'3(cmÛ`) ∴

AMC= 1 2

ABC  = 1 2 _1 2 ABCD  = 1 4 ABCD  = 1 4 _120'3  =30'3(cmÛ`) 30'3`cmÛ`

219

 ABCD의한변의길이를x`cm라고하면 x_x_sin`60ù=8'3이므로 '3 2 xÛ`=8'3,xÛ`=16  ∴x=4(∵x>0) 따라서ABCD의둘레의길이는4_4=16(cm)이다.  16 cm # " # $ & $ % % ±  ± ± ± # $ " %    ± ± )

(22)

224

8 m

225

10.6 m

226

4'6 cm

227

10 cm

228

154'3

229

24 5

230

'1Œ9 cm

231

2'1Œ3 cm

232

44'3

233

30'3

234

5'22

235

3'2 본문 | 40 ~ 41 쪽

서술형

콕콕

224

단계 1BCÓ=10`tan`33ù=10_0.65=6.5(m) 단계 2(나무의높이)=6.5+1.5=8(m) 8 m

225

BCÓ=20`sin`27ù=20_0.45=9(m) 70% ∴(가로등의높이)=9+1.6=10.6(m) 30%  10.6 m

226

단계 1AHÓ=8`sin`60ù =8_ '2 =4'3(3 cm) 단계 2∠C=180ù-(75ù+60ù)=45ù 이므로   ACÓ=sin`45ù =4'3_4'3 '22 =4'6(cm) 4'6 cm

227

오른쪽그림과같이꼭짓점B에서ACÓ 에내린수선의발을H라고하면 ∠A=180ù-(105ù+30ù)=45ù 이므로 BHÓ=5'2`sin`45ù=5'2_ '2 =5(2 cm) 50% ∴BCÓ=sin`30ù =5_2=10(cm)5 50%  10 cm

228

단계 1

ABC= 12 _10_6_sin`60ù = 12 _10_6_'3 2 =15'3

단계 2

ABC=

ABD+

ADC이므로

  15'3= 12_10_ADÓ_sin`30ù+12 _ADÓ_6_sin`30ù   15'3= 12_10_ADÓ_12 +12 _ADÓ_6_ 12   15'3= 52ADÓ+32 ADÓ,4ADÓ=15'3    ∴ADÓ=154'3154'3 ADN " # ±) ± $ ± # " $ ) ADN ± ± ±

220

오른쪽그림과같이겹쳐진부분을 ABCD라고하면

DCP에서 CDÓ=sin`45ù =6_6 2 '2=6'2(cm)

BQC에서 ∠BCQ=∠DCP=45ù`(맞꼭지각)이므로 BCÓ=sin`45ù =5_5 2 '2=5'2(cm) ABCD는평행사변형이므로  ABCD=6'2_5'2_sin`(180ù-135ù) =6'2_5'2_ '2 2  =30'2(cmÛ`) 30'2`cmÛ`

221

BDÓ=2OBÓ=2_13=26,ACÓ=2OCÓ=2_7=14 ∴ABCD= 1 2 _26_14_sin`(180ù-120ù)  = 1 2 _26_14_'3 2 =91'3 91'3

222

두대각선이이루는각의크기를x(0ù<xÉ90ù)라고하면 ABCD= 1 2 _7_8_sin`x=28`sin`x(cmÛ`) sin`x=1일때,ABCD의넓이가가장크다. 따라서ABCD의넓이중가장큰값은28`cmÛ`이다. 28 cmÛ`

223

오른쪽그림과같이점B에서OAÓ에내린수선의 발을H라고하자.

BOH에서OBÓ=OAÓ=2(m)이므로 OHÓ=OBÓ`cos`60ù=2_ 1 2 =1(m) 따라서AHÓ=OAÓ-OHÓ=2-1=1(m)이므로 지연이는지점A를기준으로1`m위에위치한다. 1 m ADN ADN ADN ADN 2 1 " $ % # ± AN±) AN 0 " #

수치

Updating...

참조

Updating...

관련 주제 :