유형 콕콕 - 2021 수학의 바이블 유형 중3-2 답지 정답

249

오른쪽그림과같이점O에서ABÓ에내린수선 의발을H라고하면

△OAH에서AHÓ="Ã6Û`-4Û`=2'5(cm)

∴ABÓ=2AHÓ=4'5(cm)

4'5`cm

250

AHÓ= 12 ABÓ= 12 _10=5(cm)이므로

원O의반지름의길이를rcm라고하면

△OAH에서r="Ã12Û`+5Û`=13

따라서원O의둘레의길이는2p_13=26p(cm) 26p`cm

251

오른쪽그림의△OAM에서

AMÓ="Ã8Û`-4Û`=4'3(cm)

∴ABÓ=2AMÓ=2_4'3=8'3(cm)

⑤

ADN ADN 0

" ) #

ADN 0

" . #

ADN

오른쪽그림과같이원의중심O에서CDÓ 에내린수선의발을E라고하면

`CEÓ= 12 CDÓ=3(cm)

`OCÓ=OAÓ= 12 ABÓ=5(cm)

△COE에서OEÓ="Ã5Û`-3Û`=4(cm) ^70%

∴△COD= 12 _6_4=12(cmÛ`) ^30%

12`cmÛ`

253

오른쪽그림과같이OAÓ를긋고원O의반 지름의길이를r`cm라고하면

OMÓ=r-4(cm)

△OAM에서

rÛ`=6Û`+(r-4)Û`,8r=52 

∴r= 132

따라서원O의지름의길이는2_ 132 =13(cm) 13`cm

254

OMÓ= 12 OCÓ= 12 _10=5(cm)이므로

△OMB에서BMÓ="Ã10Û`-5Û`=5'3(cm)

∴ABÓ=2BMÓ=10'3(cm) ^10'3`cm

255

△CBM에서BMÓ="Ã10Û`-6Û`=8(cm)

∴AMÓ=BMÓ=8(cm)

OCÓ=OAÓ=x(cm)이므로OMÓ=x-6(cm) 따라서△OAM에서xÛ`=8Û`+(x-6)Û`

12x=100 ∴x= 253  ²⁵ 3

256

오른쪽그림과같이OAÓ를그으면원O의반 지름의길이가9cm이므로

OAÓ=9`cm,OMÓ=9-3=6(cm)

△AOM에서AMÓ="Ã9Û`-6Û`=3'5(cm)

∴ABÓ=2AMÓ=6'5(cm)

⑤

257

오른쪽그림과같이원의중심을O라고하 면CDÓ의연장선은점O를지난다.

원의반지름의길이를r라고하면

△AOD에서

" #

$ & %

ADN0

ADN

" .

ADN ADN

. #

ADN

" % #

S

△AOM에서rÛ`=(4'3)Û`+{ r2 }Û`,rÛ`=64 

∴∠AOB=2∠AOM=2_60ù=120ù 120ù

264

△OCN에서CNÓ="Ã5Û`-3Û`=4(cm) ONÓ⊥CDÓ이므로CDÓ=2CNÓ=8(cm)

이때OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=CDÓ=8(cm) 8`cm

265

△OAM에서OMÓ="Ã8Û`-7Û`='15(cm) 이때ABÓ=CDÓ=14(cm)이므로

ONÓ=OMÓ=5(cm) ^20%

△AON에서ANÓ="Ã7Û`-5Û`=2'6(cm)

ABÓ=2ANÓ=4'6(cm) ^50% rÛ`=8Û`+(r-4)Û`,8r=80 

∴r=10

따라서원의반지름의길이는10이다. 10

258

오른쪽그림과같이원의중심을O라고하면

CDÓ의연장선은점O를지난다.

△AOD에서ADÓ="Ã5Û`-4Û`=3(cm)

∴ABÓ=2ADÓ=6(cm)

AMÓ="Ã11Û`-5Û`=4'6(cm)

따라서ABÓ=2AMÓ=8'6(cm)이므로

△ABC= 12 _8'6_6=24'6(cmÛ`) 24'6`cmÛ`

261

오른쪽그림과같이원의중심O에서ABÓ에

내린수선의발을M이라고하면 OAÓ=6`cm,OMÓ= 12 OAÓ=3(cm)

△OAM에서AMÓ="Ã6Û`-3Û`=3'3(cm)

∴ABÓ=2AMÓ=6'3(cm) ^②

Ⅱ. 원의 성질 27

Ⅱ- 1. 원과 직선

AMON에서

∠MAN=360ù-(90ù+120ù+90ù)=60ù OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=ACÓ

즉△ABC는이등변삼각형이므로

∠ABC=∠ACB= 12 _(180ù-60ù)=60ù 따라서△ABC는정삼각형이므로

BCÓ=ABÓ=2AMÓ=2_4=8 8

270

OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=BCÓ 즉△ABC는이등변삼각형이므로

∠ABC=180ù-2_55ù=70ù 따라서OMBN에서

∠MON=360ù-(90ù+70ù+90ù)=110ù 110ù

271

△ABC에서AMÓ=BMÓ,ANÓ=CNÓ이므로

삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의하여

BCÓ=2MNÓ=14(cm)

OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=ACÓ=2AMÓ=12(cm) 따라서△ABC의둘레의길이는

ABÓ+BCÓ+ACÓ=12+14+12=38(cm) 38`cm

272

오른쪽그림과같이OTÓ를긋고원O의반 지름의길이를r`cm라고하면

∠PTO=90ù이므로

△POT에서(4+r)Û`=8Û`+rÛ`

8r=48 ∴r=6

따라서원O의반지름의길이는6`cm이다. 6`cm

273

OTÓ=OAÓ=5(cm),∠OTP=90ù이므로

△OPT에서PTÓ="Ã7Û`-5Û`=2'6(cm) ^2'6`cm

274

OAÓ=r`cm라고하면

OTÓ=OAÓ=r(cm),POÓ=8+r(cm) ^20%

∠PTO=90ù이므로△POT에서

(8+r)Û`=rÛ`+12Û`,16r=80 ∴r=5 ^50%

∴△POT= 12 _12_5=30(cmÛ`) ^30%

30`cmÛ`

1 "

ADN

ADN 0

SADN SADN

오른쪽그림과같이OTÓ를긋고원O의

반지름의길이를r`cm라고하면

∠PTO=90ù이고

∠TPO=30ù이므로

△TPO에서

sin`30ù= TOÓ

POÓ= r3+r =1

2 2r=3+r ∴r=3

∴PTÓ= 3

tan`30ù =3_ 3

'3=3'3(cm) ^④

276

∠PAO=90ù이므로∠PAB=90ù-26ù=64ù 이때PAÓ=PBÓ에서△PBA는이등변삼각형이므로

∠APB=180ù-2_64ù=52ù 52ù

277

∠PAO=∠PBO=90ù이므로

AOBP에서∠AOB=180ù-48ù=132ù

∴µAB=2p_5_ 132360 =11

3 p(cm) ¹¹₃ p`cm

278

PAÓ=PBÓ에서△APB는이등변삼각형이므로

∠PBA= 12 _(180ù-40ù)=70ù

∠PBO=90ù이므로∠ABO=90ù-70ù=20ù 20ù

279

∠AOB=180ù-50ù=130ù

색칠한부채꼴의중심각의크기는360ù-130ù=230ù이므로 구하는넓이는p_6Û`_ 230360 =23p(cmÛ`) 23p`cmÛ`

280

오른쪽그림과같이OAÓ를그으면

OAÓ=OBÓ=4(cm)이므로 POÓ=6+4=10(cm)

∠PAO=90ù이므로△APO에서

PAÓ="Ã10Û`-4Û`=2'21(cm)

2'21`cm

281

∠AOB=180ù-60ù=120ù 오른쪽그림과같이OPÓ를그으면

△AOPª△BOP(RHS합동)이므로

∠APO=∠BPO= 12 ∠APB

= 12 _60ù=30ù

ADN

SADN 1 SADN

± 0

ADN ADN 1

$ 0

# 1

ADN 0

∴OAÓ=6'3`tan`30ù=6'3_ '3

3 =6(cm)

∴(색칠한부분의넓이)=p_6Û`_120

360 =12p(cmÛ`) ^12p`cmÛ`

282

OCÓ=OAÓ=8(cm)이므로

POÓ=9+8=17(cm) ^20%

∠PAO=90ù이므로△APO에서

PAÓ="Ã17Û`-8Û`=15(cm) ^30%

△PAOª△PBO(RHS합동)이므로 ^30%

APBO=2△PAO=2_{ 12 _15_8}

=120(cmÛ`) ^20%

120`cmÛ`

283

오른쪽그림과같이POÓ를그으면

△PAOª△PBO(RHS합동)이므로

∠AOP=∠BOP= 12 ∠AOB

= 12 _120ù=60ù

∴PAÓ=5`tan`60ù=5'3(cm)

∠APB=180ù-120ù=60ù이고PAÓ=PBÓ이므로

△APB는정삼각형이다.

∴ABÓ=PAÓ=5'3(cm)

5'3`cm

284

(△ACB의둘레의길이)=2ADÓ이므로

10+7+9=2ADÓ ∴ADÓ=13(cm)

∴BDÓ=ADÓ-ABÓ=13-10=3(cm) 3`cm

285

①,②원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같으므로

AEÓ=AFÓ,BDÓ=BFÓ

③ODÓ=OFÓ(반지름의길이)

④△OCDª△OCE(RHS합동)이므로

∠OCD=∠OCE ⑤

286

ACÓ=AXÓ=8-5=3(cm)

PYÓ=PXÓ=8(cm)이므로

BCÓ=BYÓ=8-6=2(cm)

∴ABÓ=ACÓ+BCÓ=3+2=5(cm)

ADN 0

다른 풀이

(삼각형ABP의둘레의길이)=2PXÓ=2_8=16(cm) 이므로5+ABÓ+6=16

∴ABÓ=5(cm)

5`cm

287

∠ADO=90ù이므로△AOD에서 ADÓ="Ã13Û`-5Û`=12(cm)

∴(△ABC의둘레의길이)=2ADÓ

=2_12=24(cm) 24`cm

288

오른쪽그림과같이반원O와CDÓ의

접점을E라고하면

DEÓ=DAÓ=2(cm),

CEÓ=CBÓ=5(cm)이므로

CDÓ=2+5=7(cm)

꼭짓점D에서BCÓ에내린수선의발을H라고하면 BHÓ=ADÓ=2(cm)이므로

CHÓ=5-2=3(cm)

△CDH에서DHÓ="Ã7Û`-3Û`=2'10(cm)

∴ABÓ=DHÓ=2'10(cm) ^2'10`cm

289

반원O와CDÓ의접점을E라고하면

ADÓ=DEÓ,BCÓ=CEÓ이므로

ADÓ+BCÓ=DEÓ+CEÓ=CDÓ=9(cm) 따라서ABCD의둘레의길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =6+9+9

=24(cm) 24`cm

290

PCÓ=PAÓ=x(cm),QCÓ=QBÓ=8(cm)

∴PQÓ=x+8(cm)

오른쪽그림과같이점P에서QBÓ에내린

수선의발을H라고하면△PQH에서

(8+x)Û`=(8'2)Û`+(8-x)Û`

32x=128 ∴x=4

4

291

DPÓ=DAÓ=9(cm),CPÓ=CBÓ=4(cm)이므로

CDÓ=9+4=13(cm) ^30%

ADN

" 0

& )

" %

ADN

0 ADN

2 #

0 )

ADN YADN

ADN

Ⅱ. 원의 성질 29

Ⅱ- 1. 원과 직선

ADÓ에내린수선의발을H라고하면 DHÓ=9-4=5(cm)이므로

△DHC에서

HCÓ="Ã13Û`-5Û`=12(cm) ^50%

∴ABCD= 12 _(9+4)_12=78(cmÛ`) ^20%

AHÓ="Ã3Û`-2Û`='5(cm)

∴ABÓ=2AHÓ=2'5(cm)

⑤

293

오른쪽그림과같이OAÓ를그으면

∠ADO=90ù이고OAÓ=4+6=10(cm)이 므로△AOD에서

ADÓ="Ã10Û`-6Û`=8(cm)

∴ABÓ=2ADÓ=16(cm)

∠OHA=90ù이므로△OAH에서xÛ`-yÛ`=3Û`=9

∴(색칠한부분의넓이)=pxÛ`-pyÛ `

=p(xÛ`-yÛ`)=9p(cmÛ`) ③

295

CEÓ=x`cm라고하면CFÓ=CEÓ=x(cm)

ADÓ=AFÓ=6-x(cm),BDÓ=BEÓ=12-x(cm) ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로

10=(6-x)+(12-x),2x=8 ∴x=4

따라서CEÓ의길이는4`cm이다. 4`cm

296

AFÓ=ADÓ=3(cm)이므로

BEÓ=BDÓ=11-3=8(cm),CEÓ=CFÓ=9-3=6(cm)

∴BCÓ=BEÓ+CEÓ=8+6=14(cm) 14`cm

) ADN

ADN ADN

ADN

=2(ADÓ+BEÓ+CFÓ)

=2_(6+16)=44(cm)

44`cm

298

AFÓ=ADÓ=2(cm),CFÓ=CEÓ=3(cm) ^30%

BDÓ=x`cm라고하면BEÓ=BDÓ=x(cm) 2(2+x+3)=18,2x+10=18,2x=8 

∴x=4 ^50%

∴ABÓ=ADÓ+BDÓ=2+4=6(cm) ^20%

6`cm

299

BCÓ="Ã5Û`-4Û`=3(cm)

오른쪽그림과같이원O의반지름의길이를

5=(4-r)+(3-r),2r=2 ∴r=1

따라서원O의반지름의길이는1`cm이다. ④

300

BDÓ=x`cm라고하면BEÓ=BDÓ=x(cm) ADÓ=AFÓ=10(cm),CEÓ=CFÓ=2(cm)

△ABC에서(10+x)Û`=(x+2)Û`+12Û`

16x=48 ∴x=3

∴ABÓ=ADÓ+BDÓ=10+3=13(cm) ③

301

△ABC에서10Û`=(6+r)Û`+(4+r)Û`

rÛ`+10r-24=0,(r+12)(r-2)=0 ∴r=2(∵r>0)

따라서원O의넓이는p_2Û`=4p(cmÛ`) 4p`cmÛ`

ADN ADN

302

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

12+14=(4+DSÓ)+16 ∴DSÓ=6(cm)

∴DRÓ=DSÓ=6(cm) 6`cm

303

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로(x+3)+(2x-4)=x+(x+6)

3x-1=2x+6 ∴x=7 ③

304

ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

ADÓ+BCÓ=17+13=30(cm) ^60%

∴BCÓ=30_ 35 =18(cm) ^40%

18`cm

305

DGÓ=DHÓ=3(cm)이므로DCÓ=3+4=7(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로ABCD의둘레의길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =2(ABÓ+CDÓ)

=2_(10+7)=34(cm) 34`cm

306

오른쪽그림과같이OFCG는한변의

길이가5`cm인정사각형이므로

BHÓ=BFÓ=11-5=6(cm)

∴AEÓ=AHÓ=8-6=2(cm)

2`cm

307

원의지름의길이가8`cm이므로CDÓ=8(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로

ADÓ+BCÓ=11+8=19(cm)

∴ABCD= 12_19_8=76(cmÛ`) ^③

308

오른쪽그림과같이원의중심O에서

ABÓ에내린수선의발을F라고하면

OFBE는정사각형이다.

OEÓ=r`cm라고하면BEÓ=r`cm이므로 7+10=6+(r+7) ∴r=4

따라서원O의반지름의길이는4`cm이다. ⑤ 0

$ (

)

# '

ADN

ADN ADN

# & $

ADN

ADN '

SADN SADN ADN

309

△ABE에서BEÓ="Ã13Û`-12Û`=5(cm) ADÓ=x`cm라고하면CEÓ=x-5(cm) AEÓ+CDÓ=ADÓ+ECÓ이므로

13+12=x+(x-5),2x=30 ∴x=15

따라서ADÓ의길이는15`cm이다. ②

310

ABÓ=CDÓ=8(cm)이므로

△ABE에서AEÓ="Ã6Û`+8Û`=10(cm) ^30%

CEÓ=x`cm라고하면ADÓ=6+x(cm) ^20%

AEÓ+CDÓ=ADÓ+ECÓ이므로

10+8=(6+x)+x,2x=12 ∴x=6

따라서CEÓ의길이는6`cm이다. ^50%

6`cm

311

BEÓ=x`cm라고하면BEÓ+CDÓ=DEÓ+BCÓ이므로 x+4=DEÓ+6 ∴DEÓ=x-2(cm)

AEÓ=ADÓ-DEÓ=6-(x-2)=8-x(cm)이므로

△ABE에서xÛ`=(8-x)Û`+4Û`,16x=80 ∴x=5

따라서BEÓ의길이는5`cm이다. ③

312

오른쪽그림과같이원O'의반지름의

길이를r`cm라하고BCÓ와두원O,

O'의접점을각각E,F라고하자.

점O'에서OEÓ에내린수선의발을H 라고 하면 원 O의 반지름의 길이는

4`cm이므로

OHÓ=4-r(cm),OO'Ó=4+r(cm),

HO'Ó=14-(4+r)=10-r(cm)

△OHO'에서(4+r)Û`=(4-r)Û`+(10-r)Û`

rÛ`-36r+100=0 ∴r=18-4'14(∵0<r<4) 따라서원O'의반지름의길이는(18-4'14)`cm이다.

(18-4'14)`cm

313

반원Q의반지름의길이를r`cm라고하면

PQÓ=6+r(cm),OQÓ=12-r(cm) 따라서△POQ에서

(6+r)Û`=(12-r)Û`+6Û`

36r=144 ∴r=4

따라서반원Q의반지름의길이는4`cm이다. ③

0 0

# $

)

& '

" ADN %

ADN SADN

ADN

0 2

1 SADN

ADN ADN

Ⅱ. 원의 성질 31

Ⅱ- 1. 원과 직선

오른쪽그림과같이부채꼴AOB와원O'의

접점을C,D,E라하고원O'의반지름의

길이를r`cm라고하면

CODO'은정사각형이므로

OO'Ó='2r`cm

OEÓ=6`cm이므로'2r+r=6,('2+1)r=6 

∴r= 6

'2+1=6('2-1) 따라서원O'의둘레의길이는

2p_6('2-1)=12('2-1)p(cm) ^12('2-1)p`cm 0

0 #

ADN SADN

315

^16p`cm

316

^③

317

⁶'2

318

^32`cmÛ`

319

²^'30`cm

320

²⁵^'3`cmÛ`

321

^④

322

^24`cm

323

³⁶^'3`cmÛ`

324

^36p`cmÛ`

325

^51ù

326

⁶^'10_{5 `}^cm

327

²⁰^'3`cm

328

²¹^'5`cmÛ`

329

^60ù

330

^2`cm

331

^12`cm

332

^⑤

333

^63`cmÛ`

334

³'2`cm

335

^10`cm

336

337

¹⁸

338

^50`cm

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