실력 콕콕
2 원주각
개념 콕콕
본문 | 63 쪽351
⑴∠x= 12 ∠AOB= 12 _124ù=62ù
⑵∠x=2∠APB=2_58ù=116ù
⑶∠x=2∠APB=2_40ù=80ù
⑷∠x= 12 ∠AOB= 12 _94ù=47ù
⑴ 62ù ⑵ 116ù ⑶ 80ù ⑷ 47ù
352
⑴∠x=∠ADB=32ù
⑵∠x=∠ABD=22ù
⑴ 32ù ⑵ 22ù
353
⑴∠APB=90ù이므로∠x=90ù-62ù=28ù
⑵∠ACB=90ù이므로∠x=90ù-56ù=34ù
⑴ 28ù ⑵ 34 ù
354
⑴µAB=µCD이므로∠AQB=∠CPD=25ù
∴x=25
⑵∠BAC=∠DAE이므로µBC=µDE=3(cm)
∴x=3
⑴ 25 ⑵ 3
355
⑴(µBC에대한원주각의크기)= 12 _80ù=40ù이므로x=40
⑵(µBC에대한원주각의크기)= 12 _70ù=35ù이므로x=8
⑴ 40 ⑵ 8
356
⑴20 : x=3 : 6 ∴x=40
⑵60 : 24=x : 8 ∴x=20
⑶x : 36=8 : 12 ∴x=24
⑷ABÓ가원O의지름이므로∠ACB=90ù 90 : 30=x : 5 ∴x=15
⑴ 40 ⑵ 20 ⑶ 24 ⑷ 15
362
∠BOC=xù라고하면
µ BC=2p_9_ x360 =4p ∴x=80
∴∠BAC= 12 ∠BOC= 12 _80ù=40ù ①
363
오른쪽그림과같이원의중심을O라하고 OAÓ,OBÓ를그으면
∠AOB=2∠ACB=2_30ù=60ù
따라서△OAB가정삼각형이므로 ABÓ=OAÓ=7`(cm)
7`cm
364
오른쪽그림과같이ADÓ를그으면
∠ADC= 12 ∠AOC
= 12 _76ù=38ù 35%
∠BAD= 12 ∠BOD= 12 _28ù=14ù 35%
△ADP에서∠ADC=∠BPD+∠BAD이므로
∠BPD=∠ADC-∠BAD=38ù-14ù=24ù 30%
24ù
365
∠APB= 12 _250ù=125ù
∠AOB=360ù-250ù=110ù
AOBP에서∠x=360ù-(125ù+66ù+110ù)=59ù ③
366
∠BAC= 12 _(360ù-130ù)=115ù
ABOC에서∠x=360ù-(115ù+45ù+130ù)=70ù ②
367
∠x=2∠ABC=2_66ù=132ù
∠y= 12 _(360ù-∠x)= 12 _(360ù-132ù)=114ù
∴∠x+∠y=132ù+114ù=246ù 246ù
368
△ABC는이등변삼각형이므로
∠BAC=180ù-2_32ù=116ù
0
$
" #
±
0
"
#
$ %
1
± ±
357
36ù358
39ù359
③360
44ù361
3p`cmÛ`362
①363
7`cm364
24ù365
③366
②367
246ù368
128ù369
68ù370
56ù371
119ù372
110ù373
78ù374
60ù375
⑤376
③377
25ù378
③379
25ù380
20ù381
⑤382
28ù383
57ù384
48ù385
105ù386
④387
80ù388
70ù389
2'55390
7 5391
4'5392
8p393
②394
30ù395
100ù396
65ù397
3`cm398
104ù399
40ù400
39401
56ù402
60ù403
15ù404
18p`cm본문 | 64 ~ 69 쪽
유형 콕콕
357
오른쪽그림과같이OEÓ를그으면
∠AOE=2∠ACE=2_24ù=48ù
∠EOB=120ù-48ù=72ù
∴∠x= 12 ∠EOB= 12 _72ù=36ù
36ù
358
∠APB= 12 ∠AOB= 12 _78ù=39ù
△OBP는OPÓ=OBÓ인이등변삼각형이므로
∠x=∠OPB=39ù 39ù
359
△ABO에서∠BOC=22ù+42ù=64ù
∴∠BDC= 12 ∠BOC= 12 _64ù=32ù ③
360
∠AOB=2∠APB=2_46ù=92ù
△OAB는OAÓ=OBÓ인이등변삼각형이므로
∠OBA= 12 _(180ù-92ù)=44ù 44ù
361
∠BOC=2∠BAC=2_60ù=120ù 따라서색칠한부분의넓이는
p_3Û`_ 120360 =3p(cmÛ`) 3p`cmÛ`
$ %
# Y
&
" ±
±0
Ⅱ. 원의 성질 37
Ⅱ- 2. 원주각
∠ABD=∠ACD=24ù
△ABP에서∠x=36ù+24ù=60ù 60ù
375
∠x=∠BDC=38ù
∠y=2∠BDC=2_38ù=76ù
∴∠x+∠y=38ù+76ù=114ù ⑤
376
∠ABD=180ù-(36ù+42ù)=102ù
∴∠x=∠ABD=102ù ③
377
△PAC에서∠PAC=52ù-27ù=25ù
∴∠DBC=∠DAC=25ù 25ù
378
∠BDC=∠BAC=64ù
∠ACB=∠ADB=40ù 따라서△DBC에서
∠x=180ù-(64ù+29ù+40ù)=47ù ③
379
오른쪽그림과같이QAÓ를그으면
∠AQB= 12 ∠AOB= 12 _70ù=35ù이므로
∠CQA=60ù-35ù=25ù
∴∠x=∠CQA=25ù
25ù
380
∠BAC=∠BDC=∠x 20%
△APC에서∠ACD=30ù+∠x 30%
△QCD에서(30ù+∠x)+∠x=70ù,2∠x=40ù
∴∠x=20ù 50%
20ù
381
BDÓ는원O의지름이므로∠BCD=90ù
∠BDC=∠BAC=54ù이므로
△BCD에서∠x=90ù-54ù=36ù
⑤
Y 0
"
$ # 1
2
±
±
0
# ± $
Y
% 크기는
2∠BAC=2_116ù=232ù
∴∠x=360ù-232ù=128ù
128ù
369
오른쪽그림과같이OAÓ,OBÓ를그으면
∠PAO=∠PBO=90ù이므로
∠AOB=180ù-44ù=136ù
∴∠ACB= 12 ∠AOB
= 12 _136ù=68ù 68ù
370
오른쪽그림과같이OAÓ,OBÓ를그으면
∠AOB=2∠ACB=2_62ù=124ù
∠PAO=∠PBO=90ù이므로
∠APB=180ù-124ù=56ù
56ù
371
오른쪽그림과같이OAÓ,OBÓ를그으면
∠PAO=∠PBO=90ù이므로
∠AOB=180ù-58ù=122ù
∴∠x= 12 _(360ù-122ù)=119ù
119ù
372
△ABO에서OAÓ=OBÓ이므로
∠AOB=180ù-2_20ù=140ù 20%
∠ACB= 12 ∠AOB= 12 _140ù=70ù 30%
∠APB=180ù-140ù=40ù 30%
∴∠ACB+∠APB=70ù+40ù=110ù 20%
110ù
373
오른쪽그림과같이AEÓ를그으면
∠BAE=∠BDE=42ù,
∠EAC=∠EFC=36ù
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC
=42ù+36ù
=78ù
78ù
"
#
1 ± 0 $
"
#
$ 1
0 ±
#
$
"
1
0 Y
±
"
# $
%
&
± '
±
388
△PAD에서∠x=90ù-20ù=70ù 30%
70ù
△A'BC에서A'BÓ=12이므로
A'CÓ="Ã12Û`-8Û`=4'5
∴tan`A=tan`A'= 8
4'5=2'5
△A'BC에서A'BÓ=10이므로
A'CÓ="Ã10Û`-6Û`=8 sin`A=sin`A'= 610 =3
tan`A=tan`A'=6'2
A'CÓ=3이므로
A'CÓ=2'2
△A'BC에서A'BÓ=¿¹(6'2)Û`+(2'2)Û`=4'5
따라서원O의지름의길이는4'5이다. 4'5
△ABC에서∠ACB=90ù-33ù=57ù
∴∠ADB=∠ACB=57ù 57ù
384
AEÓBDÓ이므로∠AEC=∠DPE=42ù(엇각)
따라서△PCB에서∠CPB=180ù-(25ù+50ù)=105ù
105ù
∴∠BOC=180ù-(44ù+56ù)=80ù 80ù
#
Ⅱ. 원의 성질 39
Ⅱ- 2. 원주각
△PCD에서∠PCD=75ù-30ù=45ù
∠ACD`:`∠BDC=µAD`:`µBC이므로
45 :30=µAD:2 ∴µAD=3(cm) 3`cm
398
∠APB`:`∠DQC=µAB`:`µCD=10`:`5=2`:`1이므로
∠APB=2∠DQC=2_26ù=52ù
∴∠AOB=2∠APB=2_52ù=104ù 104ù
399
△ABC에서∠ABC=90ù-25ù=65ù
∠BAC:∠ABC=µBC:µAC이므로 25:65=15:µAC
∴µAC=39 39
401
오른쪽그림과같이BCÓ를그으면
∠ABC= 15 _180ù=36ù
∠BCD= 19 _180ù=20ù
△PCB에서∠x=36ù+20ù=56ù
56ù
∴(원O의둘레의길이)=2p_4=8p 20%
8p
∠y=∠BOC+∠COD
=40ù+40ù=80ù
∴∠x+∠y=20ù+80ù=100ù 100ù
396
409
∠PAO=∠PBO=90ù(①)이므로
∠AOB=180ù-62ù=118ù(②)
∴∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_118ù=59ù(③)
△AOB는이등변삼각형이므로
∠ABO=;2!;_(180ù-118ù)=;2!;_62ù=31ù(④)
∠PAB=∠PBA=90ù-∠ABO이므로
∠PAB=90ù-31ù=59ù(⑤)
따라서옳지않은것은③이다. ③
410
오른쪽그림과같이ABÓ를그으면
∠BAC=∠BEC=∠x,
∠ABE=∠ACE=∠y
△ABD에서
(35ù+∠x)+(∠y+33ù)+27ù=180ù
∴∠x+∠y=85ù 85ù
411
∠ACD= 12 ∠AOD= 12 _56ù=28ù
∠ECB=∠ACE=28ù+∠x
∠ACB=90ù이므로
28ù+∠x+(28ù+∠x)=90ù,2∠x=34ù
∴∠x=17ù 17ù
412
∠ADC=90ù이므로
∠x=90ù-20ù=70ù
∠ACB=∠ADB=70ù이므로
△PBC에서∠y=180ù-(30ù+70ù)=80ù
∴∠y-∠x=80ù-70ù=10ù 10ù
413
∠ACB=∠ADC=90ù,∠A는공통이므로
△ABC»△ACD(AA닮음)
∴∠ABC=∠ACD=x
△ABC에서ACÓ="Ã12Û`-8Û`=4'5이므로 sin`x_cos`x=4'5
12 _ 8 12 =2'5
9 2'59
414
∠ACB=90ù이므로
△ABC에서ACÓ=16`cos`60ù=16_ 12 =8(cm)
△CAD에서CDÓ=8`sin`60ù=8_ '3
2 =4'3(cm) 4'3`cm
" ±
±
±
$ Z Z
#
%
&
Y Y
404
∠ACP에서∠CAP=85ù-25ù=60ù 30%
원O의둘레의길이를l`cm라고하면
µ BC`:`l=60:180 40%
∴l=18p
따라서원O의둘레의길이는18p`cm이다. 30%
18p`cm
405
25`cm2406
③407
61ù408
30p`cm2409
③410
85ù411
17ù412
10ù413
2'59414
4'3`cm415
36ù416
23ù417
16 3 p`cm418
96ù419
4 9배420
(100+150p)`mÛ`본문 | 70 ~ 71 쪽
실력 콕콕
405
∠BOC=2∠BAC=2_75ù=150ù
∴△OBC= 12 _10_10_sin`(180ù-150ù)
= 12 _10_10_1
2 =25(cmÛ`) 25`cmÛ`
406
∠BOC=2∠BAC=2∠x
△ODC에서∠ADO=2∠x+20ù
△ABD에서∠x+45ù=2∠x+20ù
∴∠x=25ù ③
407
오른쪽그림과같이ADÓ를그으면
∠ADC= 12 ∠AOC= 12 _68ù=34ù
∠BAD= 12 ∠BOD= 12 _54ù=27ù
△AED에서∠x=34ù+27ù=61ù 61ù
408
색칠한부분에해당하는부채꼴의중심각의크기는
2∠ABC=2_150ù=300ù 따라서색칠한부분의넓이는
p_6Û`_ 300360 =30p(cmÛ`) 30p`cmÛ`
0
"
$ #
& %
± ±
Y
Ⅱ. 원의 성질 41
Ⅱ- 2. 원주각
∠BAE=180ù_(5-2)
5 =108ù BCÓ=CDÓ=DEÓ이므로µBC=µCD=µDE
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE
∴∠CAD=;3!;∠BAE=;3!;_108ù=36ù 36ù
416
∠APB=;2!;_222ù=111ù
△PAB에서
∠PAB+∠PBA=180ù-111ù=69ù yy㉠
µ PB=;2!;µ PA이므로∠PBA=2∠PAB yy㉡
㉡을㉠에대입하면3∠PAB=69ù
∠PAB=23ù 23ù
417
∠APD=31ù+46ù+23ù=100ù이므로
¨ABD=2p_6_ 100180 =20 3 p(cm)
∴µPA+µPD=2p_6- 203 p=16
3 p(cm) 16 3 p`cm
418
∠ACB=90ù이고µAE= 23 µAB이므로
∠ACE= 23 ∠ACB= 23 _90ù=60ù
µAC:µCB=3:2이므로µCB에대한중심각의크기는 3+2 _1802 ù=72ù
∴∠BAC= 12 _72ù=36ù
따라서△CAQ에서∠x=60ù+36ù=96ù 96ù
419
오른쪽그림과같이ADÓ를긋고
∠DAB=∠x,∠ADC=∠y라고하면
△APD에서∠x+∠y=80ù
즉,µAC와µBD에대한원주각의크기의합 이80ù이므로
µAC+µBD의길이는원의둘레의길이의
180 =80 4
9 (배)이다. 4 9배
$
#
"
%
1 ±
오른쪽그림과같이원의중심을O라하고
OAÓ,OBÓ를그으면
∠AOB=2∠APB=2_45ù=90ù
△AOB가직각이등변삼각형이므로 OAÓ=20`sin`45ù=20_ '2
2 =10'2(m)
이때△AOB= 12 _10'2_10'2=100(mÛ`)이고¨APB에대한
중심각의크기가360ù-90ù=270ù이므로무대를제외한공연장의
넓이는100+p_(10'2)Û`_ 270360 =100+150p(mÛ`)
(100+150p)`mÛ`
1
" #
0
AN
±
421
52ù422
88ù423
45ù424
50ù425
18+6'3426
12+4'3427
40ù428
26ù429
12p430
20p431
120ù432
100ù본문 | 72 ~ 73 쪽
서술형 콕콕
421
단계 1 오른쪽그림과같이ADÓ를그으면
ABÓ가반원O의지름이므로
∠ADB=90ù ∴∠ADP=90ù
△PAD에서
∠PAD=90ù-64ù=26ù
단계 2 ∠x=2∠CAD=2_26ù=52ù
52ù
422
오른쪽그림과같이ADÓ를그으면 ABÓ가반원O의지름이므로
∠ADB=90ù
∴∠ADP=90ù
△PAD에서
∠PAD=90ù-46ù=44ù 60%
∴∠x=2∠CAD=2_44ù=88ù 40%
88ù
423
단계 1 ∠BAC=∠BDC=∠x
△PBD에서∠BDC=∠DPB+∠PBD이므로
∠x=25ù+∠PBD
∴∠PBD=∠x-25ù
Y
" #
0 1
$ ± %
Y
#
"
$ %
1
0
±
428
오른쪽그림과같이ABÓ를그으면
µBC=µCD이므로
∠BAC=∠CAD=32ù 35%
∠OAB=32ù+32ù=64ù이고
△OAB는OAÓ=OBÓ인이등변삼각형이므로
∠AOB=180ù-2_64ù=52ù 30%
∴∠ACB= 12 ∠AOB= 12 _52ù=26ù 35%
26ù
429
단계 1OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=ACÓ
즉△ABC는이등변삼각형이므로
∠BAC=180ù-2_70ù=40ù
단계 2∠BAC : ∠ABC=µBC : µAC이므로
40 : 70=µBC : 21p ∴µBC=12p
12p
430
OMÓ=ONÓ이므로ABÓ=ACÓ 즉△ABC는이등변삼각형이므로
∠BAC=180ù-2_65ù=50ù 50%
∠BAC : ∠ACB=µBC : µAB이므로
50 : 65=µBC : 26p ∴µBC=20p 50%
20p
431
단계 112개의점사이의호에대한원주각의크기는모두같으므로
∠ADB= 312 _180ù=45ù
단계 2∠CAD= 512 _180ù=75ù
단계 3△AED에서∠x=∠ADE+∠EAD=45ù+75ù=120ù
120ù
432
9개의점사이의호에대한원주각의크기는모두같으므로
∠ADB= 29_180ù=40ù 40%
∠CAD= 39_180ù=60ù 40%
△AED에서
∠x=∠ADE+∠EAD=40ù+60ù=100ù 20%
100ù
$
#
%
"
0
±
단계 2△ABQ에서∠BQC=∠BAQ+∠ABQ이므로
65ù=∠x+(∠x-25ù),2∠x=90ù
∴∠x=45ù
45ù
424
∠DCA=∠DBA=∠x
△BPD에서∠DBA=∠BPD+∠BDP이므로
∠x=30ù+∠BDP ∴∠BDP=∠x-30ù 50%
△QCD에서∠AQD=∠DCQ+∠CDQ이므로 70ù=∠x+(∠x-30ù),2∠x=100ù
∴∠x=50ù 50%
50ù
425
단계 1ABÓ가반원O의지름이므로∠ACB=90ù
단계 2ACÓ=ABÓ`sin`30ù=12_ 12 =6
BCÓ=ABÓ`cos`30ù=12_ '3
2 =6'3
단계 3(△ABC의둘레의길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ
=12+6'3+6
=18+6'3
18+6'3
426
ABÓ가반원O의지름이므로∠ACB=90ù 20%
ACÓ=ABÓ`sin`60ù=8_ '3
2 =4'3
BCÓ=ABÓ`cos`60ù=8_ 12 =4 60%
∴(△ABC의둘레의길이)=ABÓ+BCÓ+CAÓ
=8+4+4'3=12+4'3 20%
12+4'3
427
단계 1오른쪽그림과같이ACÓ를그으면
µBD=µCD이므로
∠CAD=∠BAD=25ù
단계 2∠OAC=25ù+25ù=50ù이고
△OCA는OAÓ=OCÓ인이등변삼각형 이므로
∠AOC=180ù-2_50ù=80ù
단계 3∠ADC= 12 ∠AOC= 12 _80ù=40ù
40ù
#
%
$
"
0
±
Ⅱ. 원의 성질 43
Ⅱ- 3. 원주각의 활용
Ⅱ. 원의 성질