2021 고쟁이 중학수학 1-1 답지 정답

자연수의 성질

I

.

소인수분해

0

1

001

ㄷ, ㄹ

002

3

003

④, ⑤

004

88

005

②

006

2

007

③

008

④

009

15

010

④

011

④

012

33

013

④, ⑤

014

③

015

①

016

①

017

4

018

10개

019

6개 본교재 007 ~ 009 쪽 교과서를 정복하는

STEP

1

핵 심 유 형

00

1

 ㄷ, ㄹ ㄷ. 2와 3은 소수이지만 2_3=6은 합성수이다. ㄹ. 소수가 아닌 자연수는 1 또는 합성수이다. ㅁ. 30 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29의 10개이다. 따라서 옳지 않은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

00

2

 3 소수는 2, 79, 97의 3개이므로 a=3 합성수는 4, 15, 27, 63, 81, 111의 6개이므로 b=6 ∴ b-a=6-3=3

00

3

 ④, ⑤ ① 가장 작은 합성수는 4이다. ② 5는 소수이다. ③ 소수의 약수는 1과 자기 자신뿐이므로 약수의 개수는 항상 2개이다. ⑤ 소수 n의 약수는 1과 n뿐이므로 소수 n의 모든 약수의 합은 n+1 이다. 따라서 옳은 것은 ④, ⑤이다.

00

4

 88 2à`=128이므로 x=7 3Ý`=81이므로 y=81 ∴ x+y=7+81=88

00

5

 ② 3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, 3Þ`=243, y이므로 3의 거듭제곱의 일 의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 반복된다. 이때 169=4_42+1이므로 3Ú`ß`á`의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1 중 첫 번째 수인 3이다.

00

6

 2 tip 어떤 수를 10으로 나누었을 때의 나머지는 어떤 수의 일의 자리의 숫자와 같다. 2Þ`à`을 10으로 나눈 나머지는 2Þ`à`의 일의 자리의 숫자와 같고, 2Ú`=2, 2Û`=4, 2Ü`=8, 2Ý`=16, 2Þ`=32, y이므로 2의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6이 반복된다. 이때 57=4_14+1이므로 2Þ`à`을 10으로 나누었을 때의 나머지는 2, 4, 8, 6 중 첫 번째 수인 2이다.

00

7

 ③ ① 45=3Û`_5이므로 소인수는 3, 5의 2개 ② 48=2Ý`_3이므로 소인수는 2, 3의 2개 ③ 84=2Û`_3_7이므로 소인수는 2, 3, 7의 3개 ④ 147=3_7Û`이므로 소인수는 3, 7의 2개 ⑤ 484=2Û`_11Û`이므로 소인수는 2, 11의 2개 따라서 소인수의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.

00

8

 ④ 882를 소인수분해하면 882=2_3Û`_7Û`이므로 882의 소인수는 2, 3, 7이다. ∴ <882>=2+3+7=12

00

9

 15 1_2_3_y_10 =1_2_3_2Û`_5_(2_3)_7_2Ü`_3Û`_(2_5) =2¡`_3Ý`_5Û`_7 이므로 2¡`_3Ý`_5Û`_7=2Œ`_3º`_5`_7¶`에서 a=8, b=4, c=2, d=1 ∴ a+b+c+d=8+4+2+1=15

0

10

 ④ 189를 소인수분해하면 189=3Ü`_7 189에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 하므로 곱하는 수는 3_7_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 3_7=21

0

11

 ④ 54를 소인수분해하면 54=2_3Ü` 54_a=2_3Ü`_a=bÛ`이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 하 므로 가장 작은 자연수 a의 값을 구하면 a=2_3=6 이때 bÛ`=2_3Ü`_(2_3)=2Û`_3Ý`=(2_3Û`)Û`=18Û`이므로 b=18 ∴ a+b=6+18=24

0

12

 33 528을 소인수분해하면 528=2Ý`_3_11 나누는 자연수를 a라고 할 때 528<sub>a =</sub>2Ý`_3_11_a =(자연수)Û`이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 한다. 따라서 a의 값 중 가장 작은 자연수는 3_11=33

0

13

 ④, ⑤ 252를 소인수분해하면 252=2Û`_3Û`_7이므로 252의 약수는 2Û`의 약수와 3Û`의 약수와 7의 약수의 곱으로 이루어진다. 2Û`의 약수 : 1, 2, 2Û` 3Û`의 약수 : 1, 3, 3Û` 7의 약수 : 1, 7 따라서 252의 약수가 아닌 것은 ④, ⑤이다.

0

14

 ③ 300을 어떤 자연수로 나누면 나누어떨어지므로 어떤 자연수는 300의 약 수이다. 300을 소인수분해하면 300=2Û`_3_5Û`이므로 300의 약수는 2Û`의 약수와 3의 약수와 5Û`의 약수의 곱으로 이루어진다. 2Û`의 약수 : 1, 2, 2Û` 3의 약수 : 1, 3 5Û`의 약수 : 1, 5, 5Û` 따라서 2Û`_3Û`은 300의 약수가 될 수 없으므로 어떤 자연수가 될 수 없 는 것은 ③이다.

0

15

 ① 약수의 개수를 구하면 다음과 같다. ① 2Û`_3_5의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개) ② 5Û`_7Û`의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ③ 32=2Þ`이므로 약수의 개수는 5+1=6(개) ④ 54=2_3Ü`이므로 약수의 개수는 (1+1)_(3+1)=8(개) ⑤ 75=3_5Û`이므로 약수의 개수는 (1+1)_(2+1)=6(개) 따라서 약수의 개수가 가장 많은 것은 ①이다.

0

16

 ① 2Û`_5_11Å` 의 약수의 개수가 12개이므로 (2+1)_(1+1)_(x+1)=12, 6_(x+1)=12 x+1=2 ∴ x=1

0

17

 4 288을 소인수분해하면 288=2Þ`_3Û`이므로 288의 약수의 개수는 (5+1)_(2+1)=18(개) 3_5Œ`_7º`의 약수의 개수는 (1+1)_(a+1)_(b+1)=2_(a+1)_(b+1)(개) 이때 288의 약수의 개수와 3_5Œ`_7º`의 약수의 개수가 같으므로 2_(a+1)_(b+1)=18, (a+1)_(b+1)=9 a, b는 자연수이므로 a+1=3, b+1=3 ∴ a=2, b=2 ∴ a+b=2+2=4

0

18

 10개 약수의 개수가 홀수 개인 자연수는 어떤 자연수의 제곱인 수이다. 따라서 구하는 수는 1Û`=1, 2Û`=4, 3Û`=9, y, 10Û`=100의 10개이다.

0

19

 6개 약수의 개수가 3개인 수는 어떤 소수의 제곱인 수이다. 따라서 구하는 수는 2Û`=4, 3Û`=9, 5Û`=25, 7Û`=49, 11Û`=121, 13Û`=169의 6개이다.

0

20

2개

0

21

240

0

22

46

0

23

2

0

24

10

0

25

4개

0

26

②

0

27

5개

0

28

75

0

29

14

0

30

40개

0

31

9개

0

32

4

0

33

4개

0

34

③

0

35

⑤

0

36

8개

0

37

2 본교재 012 ~ 014 쪽 실전문제 체화를 위한

STEP

2

심 화 유 형

0

20

 2개 ㄱ. 5+6=11과 같이 소수와 합성수의 합이 소수일 수도 있다. ㄴ. 2의 배수 중 2는 소수이다. ㄹ. 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다.

ㅁ. a, b가 소수일 때, a_b의 약수는 1, a, b, a_b의 4개이므로 a_b 는 소수가 아니다. ㅂ. 33은 약수가 1, 3, 11, 33의 4개이므로 소수가 아니다. 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㅁ의 2개이다.

0

21

 240 ㈏에서 n의 약수는 1과 n뿐이므로 n은 소수이다. 이때 ㈎에서 50 이상 70 이하인 자연수 중 소수는 53, 59, 61, 67이다. 따라서 조건을 모두 만족하는 모든 n의 값의 합은 53+59+61+67=240

0

22

 46

n=a_b (a, b는 a<b인 소수)라고 하면

n의 약수는 1, a, b, n이다. yy 40`% 자연수 n의 모든 약수의 합이 n+26이므로 1+a+b+n=n+26 ∴ a+b=25 yy 20`% 이때 a, b는 모두 소수이고 합이 25인 두 소수는 2, 23뿐이므로 a=2, b=23 yy 20`% ∴ n=2_23=46 yy 20`%

0

23

 2 328ß`à`의 일의 자리의 숫자는 8ß`à`의 일의 자리의 숫자와 같다. 8Ú`=8, 8Û`=64, 8Ü`=512, 8Ý`=4096, 8Þ`=32768, y이므로 8의 거듭제 곱의 일의 자리 숫자는 8, 4, 2, 6이 반복된다. 이때 67=4_16+3이므로 328ß`à`의 일의 자리의 숫자는 8, 4, 2, 6 중 세 번째 수인 2이다. 01 소인수분해

003

0

24

 10 3Ú`=3, 3Û`=9, 3Ü`=27, 3Ý`=81, 3Þ`=243, y이므로 3의 거듭제곱의 일 의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 반복된다. yy 20`% 이때 104=4_26이므로 3Ú`â`Ý`의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1 중 네 번 째 수인 1이다. ∴ a=1 yy 25`% 7Ú`=7, 7Û`=49, 7Ü`=343, 7Ý`=2401, 7Þ`=16807, y이므로 7의 거듭제 곱의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1이 반복된다. yy 20`% 이때 402=4_100+2이므로 7Ý`â`Û`의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1 중 두 번째 수인 9이다. ∴ b=9 yy 25`% ∴ a+b=1+9=10 yy 10`%

0

25

 4개 239239 =239_1000+239=239_(1000+1) =239_1001=239_7_11_13 따라서 239239의 소인수는 7, 11, 13, 239의 4개이다.

0

26

 ② 2=2, 4=2Û`, 6=2_3, 8=2Ü`, 10=2_5, 12=2Û`_3, 14=2_7, 16=2Ý`, 18=2_3Û`, 20=2Û`_5, 22=2_11, 24=2Ü`_3, 26=2_13, 28=2Û`_7, 30=2_3_5이므로 2_4_6_y_30 =2_2Û`_(2_3)_y_(2_3_5) =2Û`ß`_3ß`_5Ü`_7Û`_11_13 따라서 a=26, b=6, c=3, d=2이므로 a+b+c+d=26+6+3+2=37

0

27

 5개 [n]=3이므로 n을 소인수분해하면 소인수 3의 지수는 3이다. 200 이하의 자연수 중 소인수분해하였을 때, 3Ü`_k ( k는 3의 배수가 아 닌 수) 꼴이 되는 수는 27_1=27, 27_2=54, 27_4=108, 27_5=135, 27_7=189 따라서 [n]=3이 되는 200 이하의 자연수 n은 27, 54, 108, 135, 189 의 5개이다.

0

28

 75 (3Ü`_5_7Û`)_a가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 하므로 곱하는 수 a는 3_5_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. a의 값이 될 수 있는 수는 3_5_1Û`=15, 3_5_2Û`=60, 3_5_3Û`=135, y 이때 a는 두 자리의 자연수이므로 15, 60 ∴ 15+60=75

0

29

 14 18_a=2_3Û`_a, 24_b=2Ü`_3_b가 모두 자연수 c의 제곱이 되려 면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 한다. 2_3Û`_a=2Ü`_3_b=cÛ`에서 c의 값은 가장 작아야 하므로 2_3Û`_(2Ü`)=2Ü`_3_(2_3)=(2Û`_3)Û` 즉 가장 작은 자연수 a, b를 각각 구하면 a=2Ü`=8, b=2_3=6 이때 cÛ`=(2Û`_3)Û`이므로 c=2Û`_3=12 ∴ a-b+c=8-6+12=14

0

30

 40개 2Þ`_3Ý`_5Ü`_7의 약수 중에서 홀수의 개수는 3Ý`_5Ü`_7의 약수의 개수 와 같다. 따라서 2Þ`_3Ý`_5Ü`_7의 약수 중에서 홀수의 개수는 (4+1)_(3+1)_(1+1)=40(개) 풀이 첨삭 여러 개의 자연수의 곱셈 (홀수)_(홀수)=(홀수)이지만 (짝수)_(짝수)=(짝수), (짝수)_(홀수)=(짝수), (홀수)_(짝수)=(짝수)이다. 즉 여러 개의 자연수의 곱셈에서 결과가 홀수가 되려면 곱하는 수 들은 모두 홀수이어야 한다.

0

31

 9개 (가로의 길이)_(세로의 길이)=980이므로 가로의 길이와 세로의 길이 는 모두 980의 약수이고, 그 곱은 980이다. 980을 소인수분해하면 980=2Û`_5_7Û`이므로 980의 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개) 따라서 가로의 길이와 세로의 길이의 쌍은 18Ö2=9(쌍)이므로 직사각 형은 모두 9개를 만들 수 있다. [다른 풀이] 980을 두 자연수의 곱으로 나타내면 1_980, 2_490, 4_245, 5_196, 7_140, 10_98, 14_70, 20_49, 28_35이므로 만들 수 있는 직사각형은 모두 9개이다.

0

32

 4 1960을 소인수분해하면 1960=2Ü`_5_7Û`이므로 P(1960)=(3+1)_(1+1)_(2+1)=24 24=2Ü`_3이므로 P(P(1960))=P(24)=(3+1)_(1+1)=8 8=2Ü`이므로 P(P(P(1960)))=P(8)=3+1=4

0

33

 4개 ㈏에서 2000=2Ý`_5Ü`이므로 2000의 약수는 다음과 같다. _ 1 2 2Û` 2Ü` 2Ý` 1 1 2 2Û` 2Ü` 2Ý` 5 5 2_5 2Û`_5 2Ü`_5 2Ý`_5 5Û` 5Û` 2_5Û` 2Û`_5Û` 2Ü`_5Û` 2Ý`_5Û` 5Ü` 5Ü` 2_5Ü` 2Û`_5Ü` 2Ü`_5Ü` 2Ý`_5Ü` ㈐에서 2000의 약수 중에서 어떤 자연수의 제곱이 되는 수는 1, 2Û`, 2Ý`, 5Û`, 2Û`_5Û`, 2Ý`_5Û`이다. ㈎에서 짝수이므로 ㈏, ㈐를 만족하는 수들 중에서 짝수는 2Û`, 2Ý`, 2Û`_5Û`, 2Ý`_5Û`이다. 따라서 조건을 모두 만족하는 자연수는 4개이다.

0

34

 ③  안에 주어진 수를 대입하여 약수의 개수를 구하면 다음과 같다. ① 2Û`_9=2Û`_3Û`의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ② 2Û`_25=2Û`_5Û`의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ③ 2Û`_32=2Û`_2Þ`=2à`의 약수의 개수는 7+1=8(개) ④ 2Û`_49=2Û`_7Û`의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) ⑤ 2Û`_121=2Û`_11Û`의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개) 따라서  안에 들어갈 수 없는 수는 ③이다.

0

35

 ⑤ ① 7의 약수의 개수는 2개이므로 f(7)=2 ② f(5)=2, f(9)=f(3Û`)=2+1=3이므로 f(5)+f(9)=2+3=5 ③ 2Û`_7Ü`_11의 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)_(1+1)=24(개) 이므로 f(2Û`_7Ü`_11)=24 ④ 약수의 개수가 2개인 수는 소수이다. ⑤ 36=2Û`_3Û`의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=9(개)이므로 f(36)_f(x)=18에서 9_f(x)=18 ∴ f(x)=2 이때 약수의 개수가 2개인 수는 소수이고 이 중 한 자리의 자연수 x 는 2, 3, 5, 7의 4개이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

0

36

 8개 6=6_1=3_2이므로 소인수분해하였을 때, 각각의 경우마다 조건을 만족하는 자연수를 구하면 다음과 같다. yy 10`% Ú 6=5+1에서 aÞ` ( a는 소수) 꼴일 때, 2Þ`=32 yy 40`% Û 6=3_2=(2+1)_(1+1)에서 aÛ`_b ( a, b는 서로 다른 소수) 꼴일 때, 2Û`_3=12, 2Û`_5=20, 2Û`_7=28, 2Û`_11=44, 3Û`_2=18, 3Û`_5=45, 5Û`_2=50 yy 40`% Ú, Û에서 구하는 자연수는 12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50이므로 8개이다. yy 10`%

0

37

 2 5_7Ü`_의 약수의 개수가 16개이고, 16=2_8=4_4=2_4_2이므로 Ú 16=2_8=(1+1)_(7+1)일 때, 5_7Ü`_=5_7à`에서 =7Ý`=2401 Û 16=4_4=(3+1)_(3+1)일 때, 5_7Ü`_=5Ü`_7Ü`에서 =5Û`=25 Ü 16=2_4_2=(1+1)_(3+1)_(1+1)일 때, 5_7Ü`_=5_7Ü`_( 5, 7 이외의 소수)에서 =2, 3, 11, y Ú ~ Ü에서  안에 들어갈 수 있는 가장 작은 자연수는 2이다.

0

38

45, 133

0

39

⑴ 38 ⑵ 42

0

40

640

0

41

14개

0

42

48

0

43

204

0

44

357

0

45

14개 창 의 융 합

0

46

5, 20, 45

0

47

10, 40, 90 본교재 015 ~ 017 쪽 최상위권 굳히기를 위한 STEP

3

최 고 난

도

유

형

0

38

 45, 133 a를 소인수분해하면 a=b_d_f_g이고 10보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7이므로 d=f, b+d+f-1=g를 만족하는 세 소수 b, d, g를 (b, d, g)로 나타내면 b=2, d=f=2, g=b+d+f-1=2+2+2-1=5 또는 b=2, d=f=3, g=b+d+f-1=2+3+3-1=7에서 (2, 2, 5), (2, 3, 7)이다. Ú g=5일 때, a =b_d_f_g =2_2_2_5=40 이므로 a+g=40+5=45 Û g=7일 때, a =b_d_f_g =2_3_3_7=126 이므로 a+g=126+7=133 Ú, Û에서 a+g의 값은 45, 133이다.

0

39

 ⑴ 38 ⑵ 42 ⑴ 54를 소인수분해하면 54=2_3Ü`이므로 S(54)=2+3+3+3=11 6300을 소인수분해하면 6300=2Û`_3Û`_5Û`_7이므로 S(6300)=2+2+3+3+5+5+7=27 ∴ S(54)+S(6300)=11+27=38 ⑵ 12를 서로 다른 세 개의 소수의 합으로 나타내고, 그때의 n의 값을 구 하면 다음과 같다. Ú 2+3+7=12이므로 n=2_3_7=42 Û 2+2+3+5=12이므로 n=2Û`_3_5=60 Ú, Û에서 S(n)=12를 만족하는 가장 작은 자연수 n의 값은 42 이다.

0

40

 640 14=14_1=7_2이므로 소인수분해하였을 때, 각각의 경우마다 조건을 만족하는 세 자리의 자연수를 구하면 다음과 같 다. yy 10`% Ú 14=13+1에서 aÚ`Ü` ( a는 소수) 꼴일 때, 2Ú`Ü`>999이므로 aÚ`Ü`을 만족하는 세 자리의 자연수는 없다. yy 35`% Û 14=7_2=(6+1)_(1+1)에서 aß`_b ( a, b는 서로 다른 소수) 꼴일 때, 세 자리의 자연수는 2ß`_3=192, 2ß`_5=320, 2ß`_7=448, 2ß`_11=704, 2ß`_13=832 yy 35`% 01 소인수분해

005

Ú, Û에서 세 자리의 자연수 중에서 가장 작은 수는 192, 가장 큰 수는 832이므로 두 수의 차는 832-192=640 yy 20`%

0

41

 14개 N을 소인수분해하였을 때, 소인수 7이 있어야 하므로 120 이하의 자연 수 중 7의 배수는 7=1_7, 14=2_7, 21=3_7, 28=2Û`_7, 35=5_7, 42=2_3_7, 49=7Û`, 56=2Ü`_7, 63=3Û`_7, 70=2_5_7, 77=7_11, 84=2Û`_3_7, 91=7_13, 98=2_7Û`, 105=3_5_7, 112=2Ý`_7, 119=7_17의 17개이다. 이때 77=7_11, 91=7_13, 119=7_17의 3개는 가장 큰 소인수가 7이 아니므로 가능한 N의 값은 모두 17-3=14(개)

0

42

 48 28을 소인수분해하면 28=2Û`_7이므로 f(28)=(2+1)_(1+1)=6 24를 소인수분해하면 24=2Ü`_3이므로 g(24)=(1+2+2Û`+2Ü`)_(1+3)=15_4=60 f(28)_f(x)=g(24)에서 6_f(x)=60 ∴ f(x)=10 즉 x는 약수의 개수가 10개인 자연수이다. 이때 10=10_1=5_2이므로 소인수분해하였을 때, 각각의 경우마다 조건을 만족하는 가장 작은 수를 구하면 다음과 같다. Ú 10=9+1에서 x=aá` ( a는 소수) 꼴일 때, 가장 작은 자연수는 x=2á`=512 Û 10=5_2=(4+1)_(1+1)에서 x=aÝ`_b ( a, b는 서로 다른 소수) 꼴일 때, 가장 작은 자연수는 x=2Ý`_3=48 Ú, Û에서 x의 값 중 가장 작은 자연수는 48이다.

0

43

 204 구하는 수를 aÂ`_bµ``_cÇ` ( a, b, c는 a<b<c인 소수이고 l, m, n은 자 연수)이라고 하면 ㈏에서 a+b+c=22 yy 20`% 이때 세 소수의 합은 짝수이고 2를 제외한 소수는 모두 홀수이므로 a=2 즉 2+b+c=22에서 b+c=20 ∴ a=2, b=3, c=17 또는 a=2, b=7, c=13 yy 20`% ㈎에서 약수의 개수가 12개이고 12=2_2_3=(1+1)_(1+1)_(2+1)이므로 aÂ`_bµ``_cÇ`이 가 장 작은 자연수이려면 l=2, m=1, n=1이어야 한다. yy 20`% Ú a=2, b=3, c=17일 때, aÛ`_b_c=2Û`_3_17=204 yy 15`% Û a=2, b=7, c=13일 때, aÛ`_b_c=2Û`_7_13=364 yy 15`% Ú, Û에서 조건을 만족하는 가장 작은 자연수는 204이다. yy 10`%

0

44

 357 여섯 자리의 자연수 abcabc에 대하여 abcabc=abc_1000+abc=abc_(1000+1)  =abc_1001=abc_7_11_13 이때a,b,c는서로다른한자리의소수이고a<b<c이므로 abc=235,237,257,357 Úabc=235일때,  abcabc=235_7_11_13=5_7_11_13_47이므로  약수의개수는  (1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)=32(개) Ûabc=237일때,  abcabc=237_7_11_13=3_7_11_13_79이므로  약수의개수는  (1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)=32(개) Üabc=257일때,  abcabc=257_7_11_13이므로  약수의개수는(1+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)=16(개) Ýabc=357일때,  abcabc=357_7_11_13=3_7Û`_11_13_17이므로  약수의개수는  (1+1)_(2+1)_(1+1)_(1+1)_(1+1)=48(개) Ú ~ Ý에서약수의개수가48개인세자리의자연수abc의값은357 이다

0

45

 14개 우산이펼쳐져있으려면스위치를누른횟수가홀수이어야한다.이때 번호의약수의개수만큼스위치가눌리므로,약수의개수가홀수개인 200이하의숫자를찾아야한다. 이때약수의개수가홀수개인수는제곱인수이므로200이하의제곱인 수는1Û`=1,2Û`=4,3Û`=9,4Û`=16,5Û`=25,6Û`=36,7Û`=49,8Û`=64, 9Û`=81,10Û`=100,11Û`=121,12Û`=144,13Û`=169,14Û`=196이다. 따라서200이하의제곱인수는14개이므로펼쳐져있는우산은모두14 개이다.

0

46

 5, 20, 45 창 의 융 합 전구의전원이ON이되려면번호의약수의개수가홀수개이어야한다. 약수의개수가홀수개이려면2Û`_5_n의소인수의지수가짝수이어야 하므로n=5_(자연수)Û`꼴이어야한다. Ún=5_1Û`=5일때,2Û`_5_n=2Û`_5_5=100 Ûn=5_2Û`=20일때,2Û`_5_n=2Û`_5_20=400 Ün=5_3Û`=45일때,2Û`_5_n=2Û`_5_45=900 Ýn=5_4Û`=80일때,2Û`_5_n=2Û`_5_80=1600  이때전구는1500개뿐이므로1600은n의값이될수없다. Ú ~ Ý에서구하는자연수n의값은5,20,45이다.

0

47

 10, 40, 90 창 의 융 합 90_a_b c 가어떤자연수의제곱이되려면소인수분해하였을때,모든 소인수의지수가짝수이어야한다. 90_a_b c =2_3Û`_5_a_bc 에서

Ú c=1일 때, 2_3Û`_5_a_b<sub>1</sub> =2_3Û`_5_a_b이므로 90_a_b

c 가 제곱인 수가 되려면 a_b=2_5 ∴ a_b_c=2_5_1=10

Û c=2일 때, 2_3Û`_5_a_b<sub>2</sub> =3Û`_5_a_b이므로 90_a_b_c 가 제곱인 수가 되려면 a_b=5 또는 a_b=4_5 ∴ a_b_c=5_2=10 또는 a_b_c=4_5_2=40 Ü c=3일 때, 2_3Û`_5_a_b<sub>3</sub> =2_3_5_a_b이므로 90_a_b<sub>c</sub> 가 제곱인 수가 되려면 a_b=5_6 ∴ a_b_c=5_6_3=90 Ý c=4일 때, 2_3Û`_5_a_b₄ =3Û`_5_a_b<sub>2</sub> 이므로 90_a_b<sub>c</sub> 가 제곱인 수가 되려면 a_b=2_5 ∴ a_b_c=2_5_4=40 Þ c=5일 때, 2_3Û`_5_a_b₅ =2_3Û`_a_b이므로 90_a_b_c 가 제곱인 수가 되려면

a_b=1_2 또는 a_b=2_4 또는 a_b=3_6

∴ a_b_c=1_2_5=10 또는 a_b_c=2_4_5=40 또는 a_b_c=3_6_5=90 ß c=6일 때, 2_3Û`_5_a_b<sub>6</sub> =3_5_a_b이므로 90_a_b<sub>c</sub> 가 제곱인 수가 되려면 a_b=3_5 ∴ a_b_c=3_5_6=90 Ú ~ ß에서 가능한 a_b_c의 값은 10, 40, 90이다. 풀이 첨삭 구하는 것은 a_b_c의 값이므로 a, b, c가 갖는 각각의 값은 중 요하지 않다. 예를 들어 a=2, b=3, c=5인 경우, a=3, b=2, c=5인 경우, a=1, b=6, c=5인 경우는 모두 a_b_c의 값이 30이기 때문이다. 이때 두 수 a, b는 두 주사위의 눈의 수이므로 a, b의 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 하나이다. 즉 a_b의 값은 1 이상이고 36 이하이다. 예를 들어 풀이 Ú에서 c=1일 때 a_b의 값은 2_5_2Û`=40도 가능하지만 a, b가 주사위의 눈의 수라는 조건 때문에 a_b의 값 은 2_5만 가능하다.

최대공약수와 최소공배수

0

2

048

6개

049

④

050

50개

051

①

052

6개

053

7

054

12`cm

055

14개

056

4개

057

8

058

432`cm

059

141

060

3바퀴

061

37

062

517

063

③

064

④

065

A=42, B=18 본교재 019 ~ 021 쪽 교과서를 정복하는

STEP

1

핵 심 유 형

0

48

 6개 세 수의 최대공약수는 2Û`_3 2Ü`_3 _5 2Ü`_3Û`_5 2Û`_3Ü` _7Û` (최대공약수)=2Û`_3 이때 세 수의 공약수의 개수는 최대공 약수의 약수의 개수와 같으므로 (2+1)_(1+1)=6(개)

0

49

 ④ 2_3Û` <sub>>³ 2</sub>4<sub>_ 2_3Ü`_7</sub> 2Ý`_ ↱ 3Û`_a 꼴 2 _3Ü`_7 (최대공약수)=2 _3Û` ` 2Ü`_a 3_7 즉 =3Û`_a ( a는 21과 서로소) 꼴 이다. ① 18=3Û`_2 2는 21과 서로소이다. ② 36=3Û`_4 4는 21과 서로소이다. ③ 45=3Û`_5 5는 21과 서로소이다. ④ 54=3Û`_6 6은 21과 서로소가 아니다. ⑤ 72=3Û`_8 8은 21과 서로소이다. 따라서  안에 들어갈 수 없는 것은 ④이다.

0

50

 50개 k와 36의 최대공약수가 1이므로 k는 36과 서로소이다. 이때 36=2Û`_3Û`이므로 k는 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수이다. 150 미만의 자연수 중에서 2의 배수는 74개이고 2의 배수가 아닌 3의 배수는 3, 9, 15, y, 147의 25개이다. 따라서 k의 개수는 149-(74+25)=50(개)

0

51

 ① 140=2Û`_5_7이므로 세 수의 최소 2 _3Û`_5 2Ü`_3 140 =2Û` _5_7 (최소공배수)=2Ü`_3Û`_5_7 공배수는 2Ü`_3Û`_5_7 이때 세 수의 공배수는 세 수의 최소 공배수인 2Ü`_3Û`_5_7의 배수이다. ① 2Ü`_3Û`_5Û`은 2Ü`_3Û`_5_7의 배 수가 아니므로 주어진 세 수의 공배수가 아니다. 02 최대공약수와 최소공배수

007

0

52

 6개 2Ü`_3, 2Û`_3_5의 공배수는 두 수 2Ü`_3 2Û`_3_5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 의 최소공배수인 2Ü`_3_5=120의 배수이다. 따라서 800 이하의 자연수 중 120 의 배수는 120, 240, 360, 480, 600, 720이므로 모두 6개이다.

0

53

 7 세 자연수의 최소공배수를 구하면 `a`>² `4_a  6_²a  8_a  `2`>² 4  ²6  `8  `2`>² 2  ²3  4

1  3  2

이때 4_a, 6_a, 8_a의 최소공배수가 168이므로 a_2_2_1_3_2=168, a_24=168 ∴ a=7

0

54

 12`cm 가능한 한 큰 장난감 상자의 한 모서 288 =2Þ`_3Û` 420 =2Û`_3 _5_7 252 =2Û`_3Û` _7 (최대공약수)=2Û`_3=12 리의 길이는 288, 420, 252의 최대공 약수와 같으므로 정육면체 모양의 장 난감 상자의 한 모서리의 길이는 2Û`_3=12(cm)

0

55

 14개 깃발 사이의 간격이 최대가 되려면 깃발 144 =2Ý`_3Û` 108 =2Û`_3Ü` (최대공약수)=2Û`_3Û`=36 사이의 간격은 144, 108의 최대공약수 이어야 하므로 2Û`_3Û`=36(m) 따라서 144Ö36=4, 108Ö36=3이므로 필요한 깃발은 (4+3)_2=14(개)

0

56

 4개 두 분수 165_{n ,} 198_{n 이 모두 자} 165 = 3 _5_11 198 =2_3Û` _11 (최대공약수)= 3 _11=33 연수가 되려면 자연수 n은 165 와 198의 공약수이어야 한다. 이때 165와 198의 최대공약수는 3_11=33이므로 자연수 n의 개수는 33의 약수의 개수와 같다. 따라서 33=3_11이므로 구하는 n의 개수는 (1+1)_(1+1)=4(개)

0

57

 8 어떤 자연수로 18을 나누면 2가 남으므로 16 =2Ý` 24 =2Ü`_3 (최대공약수)=2Ü`=8 18-2=16은 어떤 자연수로 나누면 나누어 떨어진다. 또 23을 나누면 1이 부족하므로 23+1=24는 어떤 자연수로 나누면 나누어떨어진다. 이때 어떤 자연수는 16과 24의 공약수이고, 이 중 가장 큰 수는 최대공 약수이다. 따라서 16과 24의 최대공약수는 2Ü`=8이므로 구하는 자연수는 8

0

58

 432`cm 가장 작은 정육면체를 만들려면 정육면 48 =2Ý`_3 54 =2 _3Ü` 24 =2Ü`_3 (최소공배수)=2Ý`_3Ü`=432 체의 한 모서리의 길이는 48, 54, 24의 최소공배수이어야 하므로 2Ý`_3Ü`=432(cm) 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 432`cm

0

59

 141 12, 8, 9로 나누면 나누어떨어지기 위해 12 =2Û`_3 8 =2Ü` 9 = 3Û` (최소공배수)=2Ü`_3Û`=72 서는 모두 3이 부족하므로 구하는 수를 x라고 하면 x+3은 12, 8, 9의 공배수 이다. 12, 8, 9의 최소공배수는 2Ü`_3Û`=72이므로 x+3=72, 144, 216, y ∴ x=69, 141, 213, y 따라서 세 자리의 자연수 중에서 가장 작은 수는 141

0

60

 3바퀴 두 톱니바퀴가 처음으로 다시 같은 톱니 36 =2Û`_3Û` 24 =2Ü`_3 (최소공배수)=2Ü`_3Û`=72 에서 동시에 맞물릴 때까지 돌아간 톱니 의 개수는 36, 24의 최소공배수이므로 2Ü`_3Û`=72(개) 따라서 톱니바퀴 B가 72Ö24=3(바퀴) 회전한 후이다.

0

61

 37 ;bA;가 가장 작은 수가 되려면 42 =2_3_7 21 = 3_7 6 =2_3 (최소공배수)=2_3_7=42 a는 42, 21, 6의 최소공배수이어야 하므로 a=42 b는 25, 10, 35의 최대공약수이어야 25 = 5Û` 10 =2_5 35 = 5 _7 (최대공약수)= 5 하므로 b=5 따라서 a-b=42-5=37

0

62

 517 어떤 자연수를 n이라고 하면 n은 5, 8, 5 = 5 8 =2Ü` 10 =2 _5 (최소공배수)=2Ü`_5=40 10의 어느 것으로 나누어도 항상 3이 부 족하므로 n+3은 5, 8, 10의 공배수이다. 이때 5, 8, 10의 최소공배수는 2Ü`_5=40이고 40의 배수 중 500에 가장 가까운 수는 480과 520이다. Ú n+3=480일 때, n=477 Û n+3=520일 때, n=517 Ú, Û에서 500에 가장 가까운 수는 517이다.

0

63

 ③ A, B의 최대공약수가 8이므로 A=8_a, B=8_b ( a<b, a, b는 서로소 )라고 하면

8_a_8_b=960이므로 a_b=15 Ú a=1, b=15일 때, A=8, B=120 Û a=3, b=5일 때, A=24, B=40 Ú, Û에서 A, B가 두 자리의 자연수이므로 A=24, B=40 ∴ A+B=24+40=64

0

64

 ④ 두 수의 최소공배수를 L이라고 하면 (두 수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 720=6_L ∴ L=120

0

65

 A=42, B=18 A, B의 최대공약수가 6이므로 A=6_a, B=6_b ( a>b, a, b는 서로소)라고 하면 6_a_b=126 ∴ a_b=21 Ú a=7, b=3일 때, A=42, B=18 Û a=21, b=1일 때, A=126, B=6 Ú, Û에서 A, B는 두 자리의 자연수이므로 A=42, B=18

0

66

36

0

67

30

0

68

300

0

69

21

0

70

③, ⑤

0

71

4개

0

72

12개

0

73

17

0

74

6개

0

75

10

0

76

③

0

77

18

0

78

70개

0

79

80그루

0

80

108

0

81

120분 후

0

82

6회

0

83

9

0

84

80번

0

85

37회

0

86

60

0

87

16

0

88

63 본교재 024 ~ 027 쪽 실전문제 체화를 위한

STEP

2

심 화 유 형

0

66

 36 360=2Ü`_3Û`_5이므로 2Ü`_3Û`_5, 360 =2Ü`_3Û`_5 2Ý`_3Û` _7 2Ü`_3Û`_5_7 (최대공약수)=2Ü`_3Û`=72 24<sub>_3Û`_7, 2Ü`_3Û`_5_7의 최대공</sub> 약수는 2Ü`_3Û`=72이다. 따라서 세 수의 공약수는 최대공약수 72의 약수이므로 두 번째로 큰 공약수는 2Û`_3Û`=36

0

67

 30 72=6_12, 84=6_14이고, 세 자연수의 최대공약수가 6이므로 a=6_ 꼴이다. 이때 12=2Û`_3이고, 14=2_7이므로 는 2와 서로소인 수이다. 2와 서로소인 수를 작은 수부터 차례대로 나열하면 1, 3, 5, 7, 9, y이므 로 a의 값이 될 수 있는 수를 작은 수부터 차례대로 나열하면 6_1=6, 6_3=18, 6_5=30, y이다. 따라서 세 번째에 오는 수는 30이다.

0

68

 300 ㈎에서 x와 36=2Û`_3Û`의 최대공약수는 12=2Û`_3이고 ㈏에서 x와 45=3Û`_5의 최대공약수는 15=3_5이므로 x는 2Û`_3_5를 인수로 가지지만 3Û`은 인수로 가지지 않는다. ㈐에서 xÉ300이므로 x의 값은 x=2Û`_3_5_1=60, x=2Û`_3_5_2=120 x=2Û`_3_5_4=240, x=2Û`_3_5_5=300 따라서 자연수 x의 값 중에서 가장 큰 값은 300이다.

0

69

 21 490=2_5_7Û` 두 자연수 A, B는 서로소가 아니므로 두 수 A, B는 각각 7을 소인수로 가지고 있어야 한다. 이때 A<B이므로 Ú A=2_7=14, B=5_7=35 ∴ B-A=35-14=21 Û A=7, B=2_5_7=70 ∴ B-A=70-7=63 Ú, Û에서 B-A의 값 중에서 가장 작은 값은 21이다.

0

70

 ③, ⑤ 24=2Ü`_3, 40=2Ü`_5이므로 24와 40의 최대공약수는 2Ü` ∴ [24, 40]=3+1=4 이때 [[24, 40], [a, 16]]=1에서 [4, [a, 16]]=1이므로 4와 [a, 16]은 서로소가 되어야 한다. ① a=4이면 4=2Û`, 16=24이므로 4와 16의 최대공약수는 2Û` ∴ [4, 16]=2+1=3 이때 4와 3의 최대공약수는 1이므로 [4, [4, 16]]=[4, 3]=1 ② a=5이면 5와 16의 최대공약수는 1이므로 [5, 16]=1 이때 4와 1의 최대공약수는 1이므로 [4, [5, 16]]=[4, 1]=1 ③ a=6이면 6=2_3, 16=2Ý`이므로 6과 16의 최대공약수는 2 ∴ [6, 16]=1+1=2 이때 4와 2의 최대공약수는 2이므로 [4, [6, 16]]=[4, 2]=1+1=2 ④ a=7이면 7과 16의 최대공약수는 1이므로 [7, 16]=1 이때 4와 1의 최대공약수는 1이므로 [4, [7, 16]]=[4, 1]=1 ⑤ a=8이면 8=2Ü`, 16=2Ý`이므로 8과 16의 최대공약수는 2Ü` ∴ [8, 16]=3+1=4 이때 4와 4의 최대공약수는 4=2Û`이므로 [4, [8, 16]]=[4, 4]=2+1=3 따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ③, ⑤이다.

0

71

 4개 ㈏에서 세 수 A, B, C의 최대공약수는 14이고 ㈐에서 A<B<C이므로 A=14_a, B=14_b, C=14_c ( a<b<c이고 a, b, c의 최대공약 수는 1 )라고 하면 ㈎에서 A+B+C=140이므로 14_a+14_b+14_c=140 ∴ a+b+c=10 이때 (A, B, C)의 개수는 세 자연수 a, b, c에 대하여 a+b+c=10 을 만족하는 (a, b, c)의 개수와 같다. 따라서 (a, b, c)는 (1, 2, 7), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 3, 5)의 4개 이므로 구하는 (A, B, C)의 개수는 4개이다. 02 최대공약수와 최소공배수

009

0

72

 12개 84=2Û`_3_7이고 a와 84의 최소공배수가 84가 되도록 하는 자연수 a 는 84의 약수의 개수와 같으므로 (2+1)_(1+1)_(1+1)=12(개)

0

73

 17 2Û`_3a<sub>_5, 2</sub>b<sub>_3Ü`_c의 최대공약수가 2Û`_3Û`이므로 3</sub>a_{=3Û`</sub> ∴ a=2 2Û`_3Û`_5, 2b<sub>_3Ü`_c의 최소공배수가 2}4_{_3Ü`_5_c이므로} 2b₌₂4 ∴ b=4 이때 c는 10보다 큰 소수이므로 a+b+c의 값이 가장 작으려면 c=11 이어야 한다. 따라서 a+b+c의 값 중에서 가장 작은 값은 2+4+11=17

0

74

 6개 36=2Û`_3Û`, 126=2_3Û`_7이고 36, 126, n의 최소공배수가 504=2Ü`_3Û`_7이므로 n은 2Ü`_3Û`_7의 약수이면서 2Ü`의 배수이어야 한다. 따라서 n의 값이 될 수 있는 자연수는 2Ü`_(3Û`_7의 약수)이므로 2Ü`, 2Ü`_3, 2Ü`_7, 2Ü`_3Û`, 2Ü`_3_7, 2Ü`_3Û`_7의 6개이다.

0

75

 10 ㈎에서 48=24_3, 104=2Ü`_13이므로 48★104=2Ü`=8 즉 (48★104)_x=560에서 8_x=560 ∴ x=70 yy 20`% ㈏에서 42=2_3_7, 30=2_3_5이므로 42◇30=2_3_5_7=210

즉 7_y=(42◇30)에서 7_y=210 ∴ y=30 yy 20`% 이때 70=2_5_7, 30=2_3_5이므로 x★y=70★30=2_5=10 yy 30`% x◇y=70◇30=2_3_5_7=210 ∴ (x★y)★(x◇y)=10★210=10 yy 30`%

0

76

 ③ ㄱ. 8=2Ü`, 20=2Û`_5이므로 8, 20의 최소공배수는 2Ü`_5=40 ∴ L(8, 20)=40 ㄴ. 같은 두 수에 대하여 두 수의 최소공배수는 그 자신이다. ∴ L(A, A)=A ㄷ. A=2, B=3일 때, L(2, 3)=6이고 L(2, 5)=10이므로 L(A, B)+L(A, A+B)

ㄹ. A=4, B=6, m=3, n=2일 때, m_A=3_4=12, n_B=2_6=12이므로 L(m_A, n_B)=L(12, 12)=12 한편 L(A, B)=L(4, 6)=12이므로 m_n_L(A, B)=3_2_12=72 ∴ L(m_A, n_B)+m_n_L(A, B) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

0

77

 18 ㈎, ㈏, ㈐에서 a로 27-3=24, 24 =2Ü`_3 48 =2Ý`_3 60 =2Û`_3_5 (최대공약수)=2Û`_3=12 45+3=48, 56+4=60을 나누면 나누 어떨어진다. yy 20`% 즉 a는 24=2Ü`_3, 48=2Ý`_3, 60=2Û`_3_5의 공약수이면서 나머지인 4보다 커야 한다. yy 10`% 이때 a는 세 수의 최대공약수 2Û`_3=12의 약수이면서 4보다 큰 수이므 로 6, 12이다. yy 40`% 따라서 조건을 모두 만족하는 자연수 a의 값의 합은 6+12=18 yy 30`%

0

78

 70개 만들 수 있는 정사각형의 한 변의 길이 90 =2_3Û`_5 63 = 3Û` _7 (최대공약수)= 3Û`=9 는 90과 63의 공약수이다. 이때 90과 63의 최대공약수는 3Û`=9 이고 정사각형의 넓이가 50`cmÛ` 이상 100`cmÛ` 이하이므로 구하는 정사 각형의 한 변의 길이는 9`cm이다. 따라서 가로는 90Ö9=10(개), 세로는 63Ö9=7(개)로 나누어지므로 만들어지는 정사각형의 개수는 10_7=70(개)이다.

0

79

 80그루 가능한 한 나무를 적게 심어야 하므로 나 108 =2Û`_3Ü` 84 =2Û`_3 _7 (최대공약수)=2Û`_3=12 무 사이의 간격이 최대가 되어야 한다. 즉 108과 84의 최대공약수는 2Û`_3=12 이므로 나무 사이의 간격은 12`m이다. 따라서 직사각형 모양의 공원에 가로로 108Ö12+1=10(줄), 세로로 84Ö12+1=8(줄)을 심어야 하므로 나무를 모두 10_8=80(그루) 심을 수 있다.

0

80

 108 두 분수 96_{n ,} 102_{n  가 모두 자연수이려면} 96 =2Þ`_3 102 =2 _3_17 (최대공약수)=2 _3=6 n은 96과 102의 공약수이어야 하고, 분 수 m_{n  을 약분하였을 때, 가장 작은 자연} 수가 되려면 n의 값은 96과 102의 공약수 중 가장 큰 수, 즉 최대공약수 이어야 하므로 n=2_3=6 이때 102_{n <}m_{n  에서} 102_{6 <}m_{6 이므로} m은 102보다 큰 수 중 가장 작은 6의 배수이어야 한다. ∴ m=6_18=108

0

81

 120분 후 세 지점 A, B, C 사이의 거리의 합이 249+278+313=840(m)이므로 민주는 840Ö84=10(분)마다 윤성이는 840Ö105=8(분)마다 다운이는 840Ö140=6(분)마다 출발점을 지난다. 따라서 10, 8, 6의 최소공배수가 10 =2 _5 8 =2Ü` 6 =2 _3 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 2Ü`_3_5=120이므로 세 사람이 다시 동시에 출발점에 있게 되는 때 는 120분 후이다.

0

82

 6회 세 기차가 동시에 출발하는 간격은 20 =2Û` _5 30 =2 _3_5 40 =2Ü` _5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 20, 30, 40의 최소공배수이므로 2Ü`_3_5=120(분), 즉 2시간이다. 이때 세 도시로 가는 기차가 처음으 로 동시에 출발하는 시각은 오전 10시이므로 오후 9시까지 오전 10시, 낮 12시, 오후 2시, 오후 4시, 오후 6시, 오후 8시의 6회 동시에 출발한다. 풀이 첨삭 기차역에서 세 도시로 가는 기차가 처음 출발하는 시각이 각각 다르 므로 세 도시로 가는 기차가 처음으로 동시에 출발하는 시각을 구해 야한다. 기차 A B C 출발 시각 08:00 08:00 08:20 08:40 08:40 09:00 09:00 09:20 09:20 09:30 09:40 10:00 10:00 10:00 따라서 세 기차가 처음으로 동시에 출발하는 시각은 오전 10시이다.

0

83

 9 40, 90, 150의 최소공배수가 40 =2Ü` _5 90 =2 _3Û`_5 150 =2 _3 _5Û` (최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Û`=1800 2Ü`_3Û`_5Û`=1800이므로 세 개 의 증정품을 모두 받는 사람 수는 1800의 배수이다. 이때 15000Ö1800=8`y`600이므로 a=8 40, 150의 최소공배수가 2Ü`_3_5Û`=600이므로 비누와 장바구니를 받 게 되는 사람 수는 600의 배수이다. 이때 15000Ö600=25이므로 25명 인데 치약은 받지 않아야 하므로 세 가지를 모두 받은 사람을 제외해야 한다. ∴ b=25-8=17 ∴ b-a=17-8=9

0

84

 80번 두 톱니바퀴 A, B가 같은 톱니에서 처음 8 =2Ü` 12 =2Û`_3 (최소공배수)=2Ü`_3=24 으로 다시 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 수는 8과 12의 최소공배수이므로 2Ü`_3=24(개)이다. 이때 톱니 24개가 서로 맞물려 돌아가는 동안 같은 번호끼리 맞물리는 것은 처음의 8번이다. 톱니바퀴 A가 30바퀴 회전하는 동안 두 톱니바퀴 A, B는 모두 8_30=240(개)의 톱니가 맞물리게 되므로 같은 번호가 적힌 톱니가 서 로 맞물리는 것은 모두 (240Ö24)_8=80(번)

0

85

 37회 노즐 A는 18+2=20(초)마다 물을 내 20 =2Û`_5 50 =2 _5Û` 40 =2Ü`_5 (최소공배수)=2Ü`_5Û`=200 뿜고, 노즐 B는 45+5=50(초)마다 물을 내뿜고, 노즐 C는 30+10=40(초)마다 물을 내뿜는다. yy 35`% 이때 20, 50, 40의 최소공배수는 2Ü`_5Û`=200이므로 세 노즐은 200초 마다 동시에 물을 내뿜는다. yy 35`% 따라서 오전 11시부터 오후 1시까지, 즉 7200초 동안 세 노즐 A, B, C 가 동시에 물을 내뿜는 횟수는 총 7200Ö200+1=37(회) yy 30`%

0

86

 60 A, B의 최대공약수가 12이므로 A=12_a, B=12_b ( a<b, a, b는 서로소 )라고 하면 두 자연수 A, B의 최소공배수가 72이므로 12_a_b=72 ∴ a_b=6 Ú a=1, b=6일 때, A=12, B=72 Û a=2, b=3일 때, A=24, B=36 이때 두 수 A, B의 차가 12이므로 A=24, B=36 ∴ A+B=24+36=60

0

87

 16 14_A=16_B, 즉 2_7_A=2_8_B이고 7과 8은 서로소이므 로 A는 8의 배수, B는 7의 배수이다. A=8_k, B=7_k ( k는 자연수)라고 하면 A, B의 최소공배수가 896, 최대공약수가 k이므로 (8_k)_(7_k)=896_k, 56_k=896 ∴ k=16 따라서 A=8_16=128, B=7_16=112이므로 A-B=128-112=16

0

88

 63

㈏에서 A=14_a, C=14_c`( a<c, a와 c는 서로소) 14`> ²A  C   a  c 이때 A와 C의 최소공배수는 28이므로 14_a_c=28, a_c=2 ∴ a=1, c=2 (∵ a<c ) 즉 A=14_1=14, C=14_2=28 ㈐에서 C=28=7_4이므로 7`> ²B  28   b  4 B=7_b`( b와 4는 서로소) 이때 B와 C의 최소공배수는 84이므로 7_b_4=84 ∴ b=3, 즉 B=7_3=21 ∴ A+B+C=14+21+28=63 02 최대공약수와 최소공배수

011

0

89

63

0

90

22

0

91

36

0

92

12

0

93

32

0

94

24, 216

0

95

16번째

0

96

⑤

0

97

3개

0

98

550`m 창 의 융 합

0

99

32개

100

138분 본교재 028 ~ 030 쪽 최상위권 굳히기를 위한 STEP

3

최 고 난

도

유

형

0

89

 63 n(1, x)=n(1, 99)+n(100, x)이므로 n(1, x)=n(1, 99)+50 yy ㉠ 이때 1 이상 99 이하의 자연수 중에서 2와 3의 공배수, 즉 6의 배수의 개 수는 99Ö6=16`y`3에서 16개 6과 5의 공배수, 즉 30의 배수의 개수는 99Ö30=3`y`9에서 3개이므로 n(1, 99)=16-3=13 따라서 ㉠에 n(1, 99)=13을 대입하면 n(1, x)=13+50=63

0

90

 22 14=2_7, 35=5_7, m의 최소공배수가 140=2Û`_5_7이므로 m의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 a=2Û`=4 36=2Û`_3Û`, 360=2Ü`_3Û`_5, n의 최대공약수가 18=2_3Û`이므로 n의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 b=2_3Û`=18 ∴ a+b=4+18=22

0

91

 36 18 x , 36x  이 자연수이므로 x는 18과 36의 공약수이고 18과 36의 최대공 약수는 18이므로 x는 18의 약수이다. 이때 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이고 x는 5보다 큰 자연수이므로 x=6, 9, 18 또 x와 y의 최소공배수가 5의 배수이므로 y는 5의 배수이고 ;[};는 자연 수이므로 y는 x의 배수이다. 즉 y는 5와 x의 공배수이다. Ú x=6이면 y는 6과 5의 공배수이므로 y=30, 60, ⋯ Û x=9이면 y는 9와 5의 공배수이므로 y=45, 90, ⋯ Ü x=18이면 y는 18과 5의 공배수이므로 y=90, 180, ⋯ 이때 18<y<36이므로 y=30 ∴ x+y=6+30=36

0

92

 12 60=2Û`_3_5, 270=2_3Ü`_5이고, 60, A, 270의 최소공배수는 1080=2Ü`_3Ü`_5이므로 A는 2Ü`_3Ü`_5의 약수이면서 2Ü`의 배수이어 야 한다. 즉 A=2Ü`_( 3Ü`_5의 약수) 꼴이므로 A가 될 수 있는 수는 2Ü`, 2Ü`_3, 2Ü`_3Û`, 2Ü`_3Ü`, 2Ü`_5, 2Ü`_3_5, 2Ü`_3Û`_5, 2Ü`_3Ü`_5의 8개이다. ∴ a=8 이때 최대공약수는 2를 반드시 포함해야 하고 2_( 3_5의 약수)가 되어 야 하므로 세 수의 최대공약수로 가능한 자연수는 2, 2_3, 2_5, 2_3_5의 4개이다. ∴ b=4 ∴ a+b=8+4=12

0

93

 32 세 수 41, 105, 201을 A로 나눈 나머지를 r라고 하면

41=A_a+r, 105=A_b+r, 201=A_c+r ( a, b, c, r는 자연 수, 0Ér<A)와 같이 나타낼 수 있다. 이때 105-41=A_b-A_a=64, 201-41=A_c-A_a=160, 201-105=A_c-A_b=96이므로 64 =2ß` 160 =2Þ` _5 96 =2Þ`_3 (최대공약수)=2Þ`=32 A는 64, 160, 96의 공약수이고 A의 값 중 가장 큰 수는 64, 160, 96의 최대공약 수이다. 따라서 A의 값 중 가장 큰 수는 2Þ`=32

0

94

 24, 216 A, B의 최대공약수가 6이므로 A=6_a, B=6_b ( a와 b는 서로소)라고 하면 A_B=(6_a)_(6_b)에서 a_b_36=1296 ∴ a_b=36 yy 30`% Ú a=36, b=1 또는 a=1, b=36일 때, A=6_36=216, B=6_1=6 또는 A=6_1=6, B=6_36=216 이때 A는 4의 배수이므로 A=216 yy 30`% Û a=9, b=4 또는 a=4, b=9일 때, A=6_9=54, B=6_4=24 또는 A=6_4=24, B=6_9=54 이때 A는 4의 배수이므로 A=24 yy 30`% Ú, Û에서 조건을 모두 만족하는 자연수 A의 값은 24, 216이다. yy 10`%

0

95

 16번째 x번째 삼각형이 첫 번째 삼각형과 완전히 포개어진다고 하면 360ù_n+48ù=48ù_x ( n은 자연수) ∴ 360ù_n=(x-1)_48ù (x-1)_48이 48과 360의 최소공배수일 때, x번째 삼각형은 첫 번째 삼각형과 처음으로 완전히 포개어진다. 48과 360의 최소공배수는 48 =2Ý`_3 360 =2Ü`_3Û`_5 (최소공배수)=2Ý`_3Û`_5=720 2Ý`_3Û`_5=720 (x-1)_48=720이므로 x-1=15 ∴ x=16 따라서 첫 번째 삼각형과 처음으로 완전히 포개어지는 삼각형은 16번째 삼각형이다.

0

96

 ⑤ 모둠의 개수는 남학생 수 29+1=30(명) 30 =2 _3_5 24 =2Ü`_3 (최대공약수)=2 _3=6 과 여학생 수 25-1=24(명)의 공약수가 되어야 한다. 이때 최대공약수가 2_3=6 이므로 모둠의 개수는 6의 약수인 1개, 2개, 3개, 6개인데 나머지 1보다 는 커야 하므로 가능한 모둠의 개수는 2개, 3개, 6개이다. ① 모둠의 개수는 최대 6개이다. ② 모둠의 개수를 3개로 나누면 첫 번째 모둠과 두 번째 모둠에는 남학생 30Ö3=10(명), 여학생 24Ö3=8(명)이 배정된다. 마지막 모둠에는 남학생이 1명 적고, 여학생이 1명 많으므로 남학생 10-1=9(명), 여학생 8+1=9(명)이 배정된다. 따라서 각 모둠에 18명씩 배정된다. ③, ④, ⑤ 모둠의 개수를 최대 6개로 하면 각 모둠에 남학생 30Ö6=5(명), 여학생 24Ö6=4(명)씩 배정이 되 지만 마지막 모둠에는 남학생 5-1=4(명), 여학생 4+1=5(명)이 배정되어 4+5=9(명)이 배정된다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

0

97

 3개 두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하고, A=a_G, B=b_G ( a와 b는 서로소, a>b )라고 하면 최소공배수를 최대공약수로 나눈 몫이 28이므로

L

G =a_b_GG =a_b=28

a, b는 서로소이고 a>b이므로 a_b=28을 만족하는 a, b를 (a, b)로 나타내면 (7, 4), (28, 1) Ú a=7, b=4일 때, A=7_G, B=4_G이므로 A+B =7_G+4_G=(7+4)_G=11_G=33 ∴ G=3 ∴ A=7_3=21, B=4_3=12 Û a=28, b=1일 때, A=28_G, B=1_G이므로 A+B =28_G+1_G=(28+1)_G=29_G=33 이를 만족하는 자연수 G는 존재하지 않는다. Ú, Û에서 A-B=21-12=9=3Û`이므로 A-B, 즉 9의 약수의 개 수는 2+1=3(개)이다.

0

98

 550`m 10, 22의 최소공배수는 10 =2_5 22 =2 _11 (최소공배수)=2_5_11=110 2_5_11=110이므로 호수의 둘 레의 길이는 110의 배수이다. yy 30`% Ú 호수의 둘레의 길이가 110`m인 경우 묘목을 10`m 간격으로 심을 때, 필요한 묘목의 수는 110Ö10=11(그루) 묘목을 22`m 간격으로 심을 때, 필요한 묘목의 수는 110Ö22=5(그루) 따라서 두 묘목의 수의 차는 11-5=6(그루) Û 호수의 둘레의 길이가 110_2=220(m)인 경우 묘목을 10`m 간격으로 심을 때, 필요한 묘목의 수는 220Ö10=22(그루) 묘목을 22`m 간격으로 심을 때, 필요한 묘목의 수는 220Ö22=10(그루) 따라서 두 묘목의 수의 차는 22-10=12(그루) ⋮ Ú, Û, y에서 호수의 둘레의 길이가 110`m씩 늘어날수록 묘목의 수 의 차가 6그루씩 커진다. yy 40`% 따라서 두 묘목의 수의 차가 30그루가 되려면 30Ö6=5이므로 호수의 둘레의 길이는 110_5=550(m) yy 30`%

0

99

 32개 창 의 융 합 직사각형 모양의 벽 ABCD의 가로에 들어가는 타일의 개수는 144Ö6=24(개), 세로에 들어가는 타일의 개수는 96Ö6=16(개) 24와 16의 최대공약수는 2Ü`=8이므로 24 =2Ü`_3 16 =2Ý` (최대공약수)=2Ü`=8 직사각형 모양의 벽 ABCD와 가로, 세로의 길이의 비율이 같은 직사각형 중 가장 적은 타 일로 겹치지 않게 빈틈없이 붙일 수 있는 직사각형은 가로에 타일이 24Ö8=3(개), 세로에 타일이 16Ö8=2(개) 있는 직사각형이다. 가로에 타일이 3개, 세로에 타일이 2개가 들어간 직사각형에서 대각선이 지나는 타일은 다음 그림과 같이 총 4개이다. 따라서 오른쪽 그림과 같은 직사각형이 벽 ABCD에 총 16Ö2=8(개)가 있으므로 대각선 BD가 지나가는 타일의 개수는 4_8=32(개)

100

 138분 창 의 융 합 264=14_18+12이므로 케이블카 한 대에 14명씩 18번, 나머지 12명 을 1번 태워야 한다. A, B 케이블카가 올라가고 내려오는 데 걸리는 시간은 각각 12분, 20분 이고, 두 케이블카는 12, 20의 공배수만큼의 시간이 지날 때마다 동시에 탑승장에 도착한다. 이때 12, 20의 최소공배수는 12 =2Û`_3 20 =2Û` _5 (최소공배수)=2Û`_3_5=60 2Û`_3_5=60이므로 60분 간격으 로 두 케이블카는 동시에 출발한다. 60Ö12=5이므로 60분 동안 A 케이블카는 5_14=70(명)을 태우고, 60Ö20=3이므로 60분 동안 B 케이블카는 3_14=42(명)을 태우고 전망대에 올라간다. 즉 60분 동안 70+42=112(명)이 전망대에 올라가고 60_2=120(분) 동안 112_2=224(명)이 전망대에 올라간다. 이때 남은 사람은 264-224=40(명)이고 A 케이블카는 6분 동안, B 케이블카는 10분 동안 동시에 14명씩 각각 태우고 올라가고 B 케이블카 가 전망대에 도착하기 전에 A 케이블카가 다시 전망대를 출발하여 6분 동안 내려와 나머지 40-(14+14)=12(명)을 태우고 올라가는 데 6분 이 걸린다. 따라서 구하는 최소 시간은 120+12+6=138(분) 02 최대공약수와 최소공배수

013

정수와 유리수

II

.

정수와 유리수

0

3

101

4

102

③

103

①, ③

104

1

105

a=-4, b=2

106

-1

107

⑤

108

④

109

;4#;

110

4

111

ㄷ, ㅁ, ㅂ

112

①

113

③

114

6개

115

5개

116

①

117

60

118

⑤

119

⑴ 7개 ⑵ 4개

120

9개

121

④ 본교재 033 ~ 036 쪽 교과서를 정복하는

STEP

1

핵 심 유 형

101

 4 정수는 0, :Á3°:=5, -;1#7$;=-2, 4의 4개이므로 a=4 정수가 아닌 유리수는 -1.2, ;4#;, -;3&;의 3개이므로 b=3 음의 유리수는 -1.2, -;3&;, -;1#7$;의 3개이므로 c=3 ∴ a+b-c=4+3-3=4

102

 ③ ③ 기차가 출발한 지 ²10분이 지났다. +10분

103

 ①, ③ ① _{(0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있는 수가 유리수이다.}(정수) ③ 음의 정수 중 가장 큰 수는 -1이다.

104

 1 주어진 수를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다. -3 -2 -1 - 2-₃ 0 1 2 2.5 3 5 -₃ 따라서 오른쪽에서 네 번째에 있는 수는 1이다.

105

 a=-4, b=2 -:Á3£:과 ;4&;을 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다. -4 -5 -3 -2 -1 -13-₃ 0 1 _-72 4 따라서 -:Á3£:에 가장 가까운 정수는 -4이므로 a=-4 ;4&;에 가장 가까운 정수는 2이므로 b=2

106

 -1 두 점 A와 B 사이의 거리가 10이므로 점 C는 두 수 -6과 4를 나타내 는 점으로부터 10_;2!;=5만큼 떨어져 있고 수직선 위에 세 점 A, B, C를 나타내면 다음과 같다. -4 -5 -6 A C B -3 -2 -1 0 1 2 3 4 따라서 점 C가 나타내는 수는 -1이다.

107

 ⑤ 원점에서 가장 멀리 떨어져 있는 점이 나타내는 수는 절댓값이 가장 큰 수이다. ① |-2.3|=2.3 ② |-;3*;|=;3*; ③ |1|=1 ④ |-;8&;|=;8&; ⑤ |-3.1|=3.1 따라서 원점에서 가장 멀리 떨어져 있는 것은 ⑤이다.

108

 ④ |a|=|b|이고 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리가 :Á7¤:이므로 두 점 은 원점으로부터 각각 :Á7¤:_;2!;=;7*;만큼 떨어져 있다. 따라서 두 수는 -;7*;, ;7*;이고 a>b이므로 a=;7*;

109

 ;4#; |-;7^;|=;7^;=;1!4@0);, |-;5$;|=;5$;=;1!4!0@;, |\;4#;|=\;4#;=;1!4)0%;이므로 ∴ [{-;7^;}★ {-;5$;}]◆ \;4#;={-;7^;}◆ \;4#;=;4#;

110

 4 |x|=3이므로 x=3 또는 x=-3 |y|=5이므로 y=5 또는 y=-5

Ú x, y를 나타내는 두 점 사이의 거리가 가장 멀 때, x=-3, y=5 또는 x=3, x=-5일 때이므로 a=8 Û x, y를 나타내는 두 점 사이의 거리가 가장 가까울 때, x=-3, y=-5 또는 x=3, x=5일 때이므로 b=2 Ú, Û에서 ;bA;=;2*;=4

111

 ㄷ, ㅁ, ㅂ ㄱ. 절댓값은 항상 0 또는 양수이다. ㄴ. 양수나 음수에 상관없이 원점에서 멀리 떨어져 있을수록 절댓값이 크다. ㄹ. 음수는 절댓값이 클수록 작다. ㅅ. 0의 절댓값은 0 하나뿐이다. 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㅁ, ㅂ이다.

112

 ① ① |-;6%;|=;6%;, ;3@;=;6$;이므로 |-;6%;|>;3@; ② (음수)<(양수)이므로 -;4#;<+;5$; ③ -;2!;=-;6#;, -;3!;=-;6@;이므로 -;2!;<-;3!; ④ |-;7$;|=;7$;이므로 0<|-;7$;| ⑤ |-;5^;|=;5^;=;2@0$;, |+;4%;|=;4%;=;2@0%;이므로 |-;5^;|<|+;4%;| 따라서 옳은 것은 ①이다.

113

 ③ ① -12 < -10 ② (음수)<(양수)이므로 -0.33 < ;1£0; ③ -;5$;=-;4#5^;, -;9*;=-;4$5);이므로 -;5$; > -;9*; ④ ;4#;=;2@8!;, |-;7^;|=;7^;=;2@8$;이므로 ;4#; < |-;7^;| ⑤ |-;9&;|=;9&;=;1!8$;, |+;6%;|=;6%;=;1!8%;이므로 |-;9&;| < |+;6%;| 따라서 부등호가 나머지 넷과 다른 하나는 ③이다.

114

 6개 -;4!;=-;1£2;과 ;6&;=;1!2$; 사이에 있는 정수가 아닌 유리수 중에서 기약 분수로 나타낼 때 분모가 12인 분수는 -;1Á2;, ;1Á2;, ;1°2;, ;1¦2;, ;1!2!;, ;1!2#; 의 6개이다.

115

 5개 ㈎에서 -2<aÉ4이므로 이를 만족하는 정수 a는 -1, 0, 1, 2, 3, 4 ㈏에서 -;4(;Éa<3.4이므로 이를 만족하는 정수 a는 -2, -1, 0, 1, 2, 3 따라서 주어진 조건을 모두 만족하는 정수 a는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이다.

116

 ① aÉx<8을 만족하는 정수 x의 개수가 4개이려면 x=4, 5, 6, 7이어야 하므로 a=4 -3<y<b를 만족하는 정수 y의 개수가 5개이려면 y=-2, -1, 0, 1, 2이어야 하므로 b=3 ∴ a-b=4-3=1

117

 60 A : -10<5<8에서 a=-10 B : |1|<|-7|<|9|에서 b=9 C : |-;3@;|<|;4#;|<|-;5$;|에서 c=-;3@; ∴ |a|_|b|_|c|=|-10|_|9|_|-;3@;|=10_9_;3@;=60

118

 ⑤ ㈎에서 b<0, |b|=4이므로 b=-4 ㈏에서 |a|<|b|이고 b=-4이므로 |a|<|-4|=4 ∴ -4<a<4 ㈐에서 c<-5 따라서 c<-5<-4=b<a<4이므로 c<b<a

119

 ⑴ 7개 ⑵ 4개 ⑴ |;2{;|<2에서 -2<;2{;<2 따라서 -;2$;<;2{;<;2$;이므로 구하는 정수 x의 값은 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3의 7개이다. ⑵ 3É|x|<5이므로 |x|=3, 4 따라서 구하는 정수 x는 -4, -3, 3, 4의 4개이다.

120

 9개 절댓값이 :£7¢:인 두 수는 -:£7¢:, :£7¢: 이때 -:£7¢:=-4;7^;, :£7¢:=4;7^;이므로 -:£7¢:와 :£7¢: 사이에 있는 정수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 9개이다.

121

 ④ |;3N;|É1이므로 -1É;3N;É1 -;3#;É;3N;É;3#;이므로 이를 만족하는 정수 n의 값은 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 |n|¾0.9이므로 nÉ-0.9 또는 n¾0.9 따라서 구하는 정수 n은 -3, -2, -1, 1, 2, 3의 6개이다.

122

2개

123

2

124

13

125

16

126

4

127

a=3, b=-4

128

⑤

129

(-4, -1, 8), (-16, -9, 12)

130

23

131

12개

132

(4, -3, 2), (3, -2, 1)

133

b<a<c<d

134

17

135

②, ⑤

136

23개

137

④

138

105

139

④ 본교재 038 ~ 040 쪽 실전문제 체화를 위한

STEP

2

심 화 유 형

122

 2개 ㄴ. 음의 정수 중 가장 큰 수는 -1이므로 가장 오른쪽에 위치한 점이 나타내는 수는 -1이다. ㄹ. 정수 3과 4 사이에는 다른 정수가 없다. ㅁ. 유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 이루어져 있다. 03 정수와 유리수

015

ㅂ. 두 정수 사이에 있는 정수의 개수는 항상 유한 개이므로 셀 수 있다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ의 2개이다.

123

 2 :Á7¢:, -2.8, -3, ;5#;을 정수와 정수가 아닌 유리수로 구분한다. :Á7¢:=2, -3은 정수이고, -2.8, ;5#;은 정수가 아닌 유리수이다. ∴ [:Á7¢:]+{-2.8}-{-3}+[;5#;]=0+1-0+1=2

124

 13 점 A가 나타내는 수는 3 또는 -3 점 B가 나타내는 수는 10 또는 -6 따라서 두 점 A, B가 나타내는 수가 각각 -3, 10일 때 두 점 A, B 사 이의 거리가 최대이므로 구하는 거리는 13이다.

125

 16 A B C D E b c e -4 8 두 수 -4, 8을 나타내는 두 점 A, D 사이의 거리가 12이므로 두 점 A, B 사이의 거리는 12Ö3=4 yy 10`% 즉 위의 그림과 같이 5개의 점 A, B, C, D, E 사이의 간격이 모두 4이 므로 점 A에서 오른쪽으로 4만큼 떨어진 점 B가 나타내는 수는 0 yy 25`% 점 C가 나타내는 수는 0+4=4 yy 25`% 점 E가 나타내는 수는 8+4=12 yy 25`% 따라서 b=0, c=4, e=12이므로 b+c+e=0+4+12=16 yy 15`%

126

 4 6개의 점을 주어진 조건에 따라 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. A C E B 3 5 8 3 2 D F 따라서 점 B와 점 F 사이의 거리는 4이다.

127

 a=3, b=-4 절댓값이 같고 거리가 24인 두 정수는 -12, 12이므로 두 점 A, B가 나 타내는 수는 각각 -12, 12이다. 이때 두 점 A, B 사이의 거리를 8등분 하는 점들 사이의 간격은 24_{8 =3} 이므로 8등분 하는 7개의 점이 나타내는 수는 왼쪽에서부터 차례대로 -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9이다. 따라서 오른쪽에서 세 번째에 있는 점이 나타내는 수는 3이므로 a=3 A(B) B(A) -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 또 두 점 A, B 사이의 거리를 6등분 하는 점들 사이의 간격은 24_{6 =4이} 므로 6등분 하는 5개의 점이 나타내는 수는 왼쪽에서부터 차례대로 -8, -4, 0, 4, 8이다. 따라서 왼쪽에서 두 번째에 있는 점이 나타내는 수는 -4이므로 b=-4 A(B) B(A) -12 -8 -4 0 4 8 12

128

 ⑤ Ú 0<a<b일 때, 조건을 만족하는 a, b의 값은 존재하지 않는다. Û a<0<b일 때, a=-10, b=2 a 0 2 b 12 |a| |b| Ü a<b<0일 때, a=-15, b=-3 a -3 0 b 12 |a| _|b| Ú ~ Ü에서 모든 a의 절댓값의 합은 |-10|+|-15|=10+15=25

129

 (-4, -1, 8), (-16, -9, 12) 점 C가 점 D보다 왼쪽에 위치하므로 점 C가 나타내는 수는 점 D가 나 타내는 수보다 작다. 따라서 점 C가 나타내는 수는 2 또는 -2이고 점 D가 나타내는 수는 5 이다. Ú 점 C가 나타내는 수가 2, 점 D가 나타내는 수가 5일 때, 두 점 C, D 사이의 거리는 3이므로 (a, b, e)는 (-4, -1, 8) A B C D E -4 -1 2 5 8 Û 점 C가 나타내는 수가 -2, 점 D가 나타내는 수가 5일 때, 두 점 C, D 사이의 거리는 7이므로 (a, b, e)는 (-16, -9, 12) A B C D E -16 -9 -2 5 12 Ú, Û에서 조건을 만족하는 (a, b, e)는 (-4, -1, 8), (-16, -9, 12)

130

 23 ㈑에서 d=|-9|-|6|=9-6=3 d=3이고 ㈐에서 d는 b보다 5만큼 작으므로 b는 d보다 5만큼 크다. ∴ b=3+5=8 ㈎에서 a와 b는 부호가 서로 반대이고 절댓값은 같으므로 a=-8 ㈏에서 c는 a보다 4만큼 크므로 c=-4 ∴ |a|+|b|+|c|+|d| =|-8|+|8|+|-4|+|3| =8+8+4+3=23

131

 12개 Ú |a|=0, |b|=3일 때, (a, b)는 (0, 3), (0, -3)의 2개이다. yy 20`% Û |a|=1, |b|=2일 때, (a, b)는 (1, 2), (1, -2), (-1, 2), (-1, -2)의 4개이다. yy 20`% Ü |a|=2, |b|=1일 때, (a, b)는 (2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)의 4개이다. yy 20`% Ý |a|=3, |b|=0일 때, (a, b)는 (3, 0), (-3, 0)의 2개이다. yy 20`% Ú ~ Ý에서 조건을 만족하는 (a, b)는 2+4+4+2=12(개) yy 20`%

132

 (4, -3, 2), (3, -2, 1) ㈎에서 a>b이고 a와 b는 서로 다른 부호이므로 a>0, b<0 ㈏에서 a, c는 서로 같은 부호이므로 c>0 ㈐에서 |a|=|b|+1=(|c|+1)+1=|c|+2 세 정수 a, b, c는 절댓값이 4 이하인 서로 다른 정수이므로 Ú a=4일 때, b=-3, c=2이므로 (a, b, c)는 (4, -3, 2) Û a=3일 때, b=-2, c=1이므로 (a, b, c)는 (3, -2, 1) Ü a=2일 때, b=-1, c=0이므로 조건을 만족하지 않는다. Ý a=1일 때, b=0이므로 조건을 만족하지 않는다. Ú ~ Ý에서 조건을 모두 만족하는 (a, b, c)는 (4, -3, 2), (3, -2, 1)

133

 b<a<c<d ㈎에서 두 점 A, B는 0을 나타내는 점의 왼쪽에 있으므로 a<0, b<0 ㈏에서 점 A는 점 B보다 0을 나타내는 점 가까이에 있으므로 b<a<0 ㈐에서 a와 c는 서로 다른 정수이고 절댓값이 같으므로 c>0 ㈑에서 점 C는 두 점 A, D의 가운데에 있으므로 a<0<c<d 이때 a, b, c, d를 조건에 맞게 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. b a 0 c d B A C D ∴ b<a<c<d

134

 17 -4.3보다 크지 않은 정수는 -5, -6, -7, y이므로 a=[-4.3]=-5 0보다 크지 않은 정수는 0, -1, -2, y이므로 b=[0]=0 5보다 크지 않은 정수는 5, 4, 3, y이므로 c=[5]=5 1.8보다 크지 않은 정수는 1, 0, -1, y이므로 d=[1.8]=1 -:Á3¤:=-5;3!;이고 -5;3!;보다 크지 않은 정수는 -6, -7, -8, y이므로 e=[-:Á3¤:]=-6 ∴ |a|+|b|+|c|+|d|+|e| =|-5|+|0|+|5|+|1|+|-6| =5+0+5+1+6=17

135

 ②, ⑤

① a=-2, b=-1일 때, |b|<|a|이지만 a는 b보다 작다. ② 절댓값이 작을수록 원점에 가깝다.

③ a=-2, b=1일 때, |b|<|a|이지만 b는 양수, a는 음수이다. ④ a=1, b=0일 때, |b|<|a|이지만 a는 양수이다.

⑤ 음수는 절댓값이 클수록 작은 수이므로 수직선에서 a를 나타내는 점 이 b를 나타내는 점보다 왼쪽에 있다. 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.

136

 23개 주어진 전개도로 정육면체를 만들면 a가 적혀 있는 면과 마주 보는 면에 적혀 있는 수는 -4이므로 a=4 이때 b=3_a이므로 b=3_4=12 b가 적혀 있는 면과 마주 보는 면에 적혀 있는 수는 c이므로 c=-12 따라서 두 수 b, c 사이에 존재하는 정수는 -11, -10, ⋯, -1, 0, 1, ⋯, 10, 11의 23개이다.

137

 ④ 절댓값이 0인 수는 0의 1개 절댓값이 1인 수는 -1, 1의 2개 절댓값이 2인 수는 -2, 2의 2개 ⋮

절댓값이 a인 수는 -a, a의 2개

따라서 절댓값이  이하인 정수가 49개이므로 이 중 0을 제외한 정수는 48개이다. ∴ =48_{2 =24}

138

 105 ㈎에서 11Éx<24인 정수 x는 11, 12, 13, ⋯, 22, 23 yy 20`% ㈏에서 |x|¾15이므로 x¾15 또는 xÉ-15 yy 20`% ㈐에서 x는 15, 17, 19, 21 yy 20`% ㈎, ㈏, ㈐를 모두 만족하는 x의 값은 15, 17, 19, 21이므로 a=15, b=21 yy 30`% 따라서 15=3_5, 21=3_7이므로 a, b의 최소공배수는 3_5_7=105 yy 10`%

139

 ④ ㈎에서 b<a<0 ㈏에서 61<|a|É79이므로 a가 될 수 있는 수는 -79, -78, y, -63, -62 ㈐에서 |a|는 소수이므로 a가 될 수 있는 수는 -79, -73, -71, -67 따라서 조건을 모두 만족하는 정수 a는 -79, -73, -71, -67의 4개 03 정수와 유리수

017