일차방정식의 풀이

1+x+xy + y

1+y+yz + z 1+z+xz

= x

1+x+xy + xy

1+x+xy + 1

1+x+xy =1+x+xy 1+x+xy =1

272

^^16`:`11 ^{창 의 융 합}

정사각형 A의 한 변의 길이를 a, 가장 작은

C B

a 4b

3b c b

a-c a-c

2c -a2 정사각형과 두 번째로 작은 정사각형의 한 변의 길이를 각각 b, c라 하고 각 변의 길이 를 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

오른쪽 그림에서 정사각형 C의 한 변의 길이 는 a-c=2c이므로

a=3c ∴ c=1

3 a yy ㉠ 또 a

2 +2c+(a-c)=4b+3b+b이므로 3

2 a+c=8b yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 32 a+1

3 a=8b, 11

6 a=8b ∴ b=11 48 a 따라서 정사각형 B의 한 변의 길이는 3b=3_11

48 a=11 16 a이므로 정사각형 A의 한 변의 길이와 정사각형 B의 한 변의 길이의 비는 a`:`11

16 a=16`:`11

273

 ⑴ nÛ`+n ⑵ 13단계 ^{창 의 융 합}

⑴ 각 단계의 선의 길이의 합을 구하면 다음과 같다.

<1단계> 1_2

<2단계> 1_2+2_2=2_3

<3단계> 1_2+2_2+3_2=2_3+2_3=3_4 ⋮

따라서 <n단계>의 선의 길이의 합은 n(n+1)=nÛ`+n

⑵ n(n+1)에 n=12를 대입하면 12_13=156<170 n(n+1)에 n=13을 대입하면 13_14=182>170

따라서 선의 길이의 합이 처음으로 170보다 길어지는 것은 13단계부 터이다.

0 6

274^④ 275^④ 276²⁵ 277^④

278^b-6 279^⑤ 280^x=³₂ 281^③ 282⁶ 283^{a=5, b+}¹₃ 284⁹ 285^⑤ 286⁴ 287^-1 288⁴ 289⁸ 290^-10 291²⁴ 292²

본교재 075 ~ 077 쪽

교과서를 정복하는

STEP

1

^{핵 심 유 형}

274

^{ ④}

x의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식은 방정식이다.

① (우변)=4x-5-2x=2x-5에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

② (우변)=4(2x-3)=8x-12에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

③ (좌변)=7x+2-4x=3x+2에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

④ x=4일 때만 등식이 성립하므로 방정식이다.

⑤ (우변)=(5x+3)+(x-5)=6x-2이므로 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

따라서 방정식인 것은 ④이다.

275

^{ ④}

ㄱ. (좌변)+(우변)이므로 항등식이 아니다.

ㄴ. (좌변)=6x-4x=2x에서 (좌변)+(우변)이므로 항등식이 아니다.

ㄷ. (우변)=3(4-x)=-3x+12에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식 이다.

ㄹ. (우변)=2x+6-3x=6-x에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

ㅁ. (좌변)=8-4(x+1)=8-4x-4=-4x+4에서 (좌변)+(우변) 이므로 항등식이 아니다.

ㅂ. (우변)=3(2x-1)-x+6=6x-3-x+6=5x+3에서 (좌변)=(우변)이므로 항등식이다.

따라서 항등식은 ㄷ, ㄹ, ㅂ이다.

276

^{ 25}

9x-a(x+2)=9x-ax-2a=(9-a)x-2a이므로 (9-a)x-2a=-6x+3b

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 9-a=-6, -2a=3b 9-a=-6에서 a=15

-2a=3b에서 -2_15=3b, -30=3b ∴ b=-10

∴ a-b=15-(-10)=15+10=25

06^{일차방정식의 풀이} 035

277

^{ ④}

① 10x=4y의 양변을 2로 나누면 5x=2y 5x=2y의 양변에서 2y를 빼면 5x-2y=0

② a+1=b+1의 양변에 -1을 곱하면 -a-1=-b-1 -a-1=-b-1의 양변에 6을 더하면 5-a=5-b

③ x=-y의 양변에 2를 곱하면 2x=-2y 2x=-2y의 양변에 3을 더하면 2x+3=3-2y

④ a=1, b=-1, c=0인 경우 ac=bc이지만 a+7+b+7이다.

⑤ 7x=3y의 양변에서 7을 빼면 7x-7=3y-7 ∴ 7(x-1)=3y-7

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

278

^^b-6

4a+8=4(b+1)의 양변을 4로 나누면 a+2=b+1 a+2=b+1의 양변에서 7을 빼면 a-5=b-6 따라서  안에 알맞은 식은 b-6이다.

279

^{ ⑤}

① a-5=b+3의 양변에 8을 더하면 a+3=b+11

② a-5=b+3의 양변에 5를 더하면 a=b+8

③ a-5=b+3의 양변에 -1을 곱하면 -a+5=-b-3 -a+5=-b-3의 양변에서 8을 빼면 -a-3=-b-11

④ a-5=b+3의 양변에 c를 곱하면 ac-5c=bc+3c ac-5c=bc+3c의 양변에 5c를 더하면 ac=bc+8c ac=bc+8c의 양변에서 bc를 빼면 ac-bc=8c

⑤ a-5=b+3의 양변에 1을 더하면 a-4=b+4 a-4=b+4의 양변을 c로 나누면 a-4

c =b+4 c 따라서 옳은 것은 ⑤이다.

280

^^x=³₂

5(2x+3) 3 +7

6 x=3(5x-1)

2 +2의 양변에 6을 곱하면 10(2x+3)+7x=9(5x-1)+12

20x+30+7x=45x-9+12 -18x=-27 ∴ x=3

281

^{ ③}

3x-2+4x=5x-8에서 -2와 5x를 이항하면 3x+4x-5x=-8+2 ∴ 2x=-6 따라서 a=2, b=-6이므로

a+b=2+(-6)=-4

282

^{ 6}

0.3x-0.1=0.2(x-2)+0.18의 양변에 100을 곱하면 30x-10=20(x-2)+18

30x-10=20x-40+18, 10x=-12

∴ x=-6 5 따라서 a=-6

5 이므로 -5

2 a+3=-5 2 _{-6

5 }+3=3+3=6

283

^{ a=5, b+}¹₃

(a-2)xÛ`-x+5=3x(x-b)-7에서 axÛ`-2xÛ`-x+5=3xÛ`-3bx-7 axÛ`-5xÛ`-x+3bx+12=0

∴ (a-5)xÛ`+(3b-1)x+12=0 이 방정식이 x에 대한 일차방정식이므로 a-5=0, 3b-1+0

a-5=0에서 a=5, 3b-1+0에서 b+1 3

∴ a=5, b+1 3

284

^{ 9}

0.4(3x-2)=1

5 (x+2)+0.8의 양변에 10을 곱하면 4(3x-2)=2(x+2)+8, 12x-8=2x+4+8 10x=20 ∴ x=2

따라서 a=2이므로

|a-5|+|-3a| =|2-5|+|-3_2|

=|-3|+|-6|=3+6=9

285

^{ ⑤}

7x-{3x-(2-x)}=-5(x-3)+11에서

7x-(3x-2+x)=-5x+15+11, 7x-(4x-2)=-5x+26 7x-4x+2=-5x+26

8x=24 ∴ x=3, 즉 a=3 3`:`(2x-5)=4

5 `:`(x+1)에서 3(x+1)=4

5 (2x-5) 양변에 5를 곱하면 15(x+1)=4(2x-5)

15x+15=8x-20, 7x=-35 ∴ x=-5, 즉 b=-5 따라서 a=3, b=-5이므로 a-b=3-(-5)=3+5=8

286

^{ 4}

x★2=x+2-2x=-x+2이므로 (x★2)★5 =(-x+2)★5

=(-x+2)+5-5(-x+2)

=-x+2+5+5x-10=4x-3 따라서 4x-3=13이므로 4x=16 ∴ x=4

287

^^-1

(7-2x)`:`9

2 (x-1)=2`:`3에서 3(7-2x)=9(x-1) 21-6x=9x-9, -15x=-30 ∴ x=2

따라서 3x-a=7-(x+2a)의 해가 x=2이므로

3_2-a=7-(2+2a), 6-a=7-2-2a ∴ a=-1

288

^⁴

1.8x-1.5=2.7x+0.3의 양변에 10을 곱하면 18x-15=27x+3, -9x=18 ∴ x=-2 즉 1

2 -x-a

4 =x+3a

5 의 해가 x=-2이므로 12 --2-a

4 =-2+3a 5 양변에 20을 곱하면

10-5(-2-a)=4(-2+3a), 10+10+5a=-8+12a -7a=-28 ∴ a=4

289

^⁸

3x-5=6x-9의 좌변의 x의 계수 3을 a로 잘못 보았다고 하면 ax-5=6x-9

이 방정식의 해가 x=-2이므로

-2a-5=-12-9, -2a=-16 ∴ a=8 따라서 3을 8로 잘못 보았다.

290

^^-10

2(x-3)=a-4(x-2)에서

2x-6=a-4x+8, 6x=a+14 ∴ x= a+14 6 이때 a+14

6 가 자연수가 되려면 a+14는 6의 배수이어야 한다.

즉 a+14=6, 12, 18, 24, y이므로 a=-8, -2, 4, 10, y

따라서 모든 음의 정수 a의 값의 합은 (-8)+(-2)=-10

291

^²⁴

ax-8=(2-b)x+4b에서 (a+b-2)x=4b+8 이 방정식을 만족하는 x의 값이 무수히 많으므로 a+b-2=0, 4b+8=0

4b+8=0에서 b=-2

a+b-2=0에서 a-4=0 ∴ a=4

∴ aÛ`-ab=4Û`-4_(-2)=16+8=24

292

^²

(ax-5)`:`3

4 (x-a)=8`:`3에서 3(ax-5)=6(x-a), 3ax-15=6x-6a (3a-6)x=-6a+15

이 방정식을 만족하는 x의 값이 존재하지 않으므로 3a-6=0, -6a+15+0

∴ a=2

293^a=-³_{2 , b=-2} 294^-5 295^-11b+19c 296^⑤ 297^⑤ 298^-8 299⁶

300^x=⁵₃ 301^x=-₁₁⁸ 302² 303^-²³₂ 304^x=-⁷₃ 305^-27

306⁵ 307^-30 308^-11 309^⑤ 310²⁷

본교재 080 ~ 082 쪽

실전문제 체화를 위한

STEP

2

^{심 화 유 형}

293

^{ a=-}³_{2 , b=-2}

ax+b(4x-3)=(5a-2)x+6에서 ax+4bx-3b=(5a-2)x+6

∴ (a+4b)x-3b=(5a-2)x+6 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a+4b=5a-2, -3b=6 -3b=6에서 b=-2

b=-2를 a+4b=5a-2에 대입하면 a-8=5a-2, -4a=6 ∴ a=-3

294

^{ -5}

5kx-4b=ak+6x-2에 x=2를 대입하면 10k-4b=ak+12-2

∴ 10k-4b=ak+10

이 등식이 k에 대한 항등식이므로 10=a, -4b=10 따라서 a=10, b=-5

2 이므로 a+6b=10+6_{-5

2 }=10+(-15)=-5

295

^{ -11b+19c}

a=b의 양변에 3c를 더하면 a+3c= b+3c

a=2b-3c의 양변에 -3을 곱하면 -3a=-3(2b-3c)

∴ -3a= -6b+9c

a=-3b+c의 양변에 2를 곱하면 2a=2(-3b+c)

∴ 2a=-6b+2c

이 등식의 양변에 5c를 더하면 2a+5c=-6b+2c+5c

∴ 2a+5c= -6b+7c

따라서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 세 식은 각각 b+3c, -6b+9c, -6b+7c 이므로 세 식의 합은

(b+3c)+(-6b+9c)+(-6b+7c)=-11b+19c

06^{일차방정식의 풀이} 037

296

^{ ⑤}

① x-4=3x+5의 양변에서 3x를 빼면 x-4-3x=5 x-4-3x=5의 양변에 4를 더하면 x-3x=5+4

② x-4=3x+5의 양변에서 x를 빼면 -4=2x+5 -4=2x+5의 양변에 4를 더하면 0=2x+9

③ x-4=3x+5의 양변에 -1을 곱하면 -x+4=-3x-5

④ x-4=3x+5의 양변에서 2x를 빼면 -x-4=x+5

⑤ x-4=3x+5의 양변에 4를 더하면 x=3x+9 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

297

^{ ⑤}

① a 3 =-b

4 의 양변에 -12를 곱하면 -4a=3b -4a=3b의 양변에 7을 더하면 -4a+7=3b+7

② 3a-2=-b+3의 양변에 2를 더하면 3a=-b+5 3a=-b+5의 양변을 6으로 나누면 a

2 =-b 6 +5

③ a-b=a+b의 양변에서 a를 빼면 -b=b -b=b의 양변에서 b를 빼면 -2b=0 -2b=0의 양변을 -2로 나누면 b=0

④ 2a-5b=0의 양변에 5b를 더하면 2a=5b 2a=5b의 양변을 10으로 나누면 a

5 =b 2 a

5 =b

2 의 양변에 4를 더하면 a 5 +4=b

2 +4

⑤ -2ac+3=-2bc+3의 양변에서 3을 빼면 -2ac=-2bc -2ac=-2bc의 양변을 -2로 나누면 ac=bc

이때 a=1, b=-1, c=0인 경우 ac=bc이지만 a-1+b-1이다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

298

^^-8

|

^{5x-3 -7} -1 5 1

|

⁼^|^{x-2 0.5} 0.8 2.25|에서 12 (5x-3)-7

5 =2.25(x-2)-0.4이므로

양변에 100을 곱하면 50(5x-3)-140=225(x-2)-40 250x-150-140=225x-450-40

25x=-200 ∴ x=-8

299

^⁶

5x-3 2x-7 -3x-6 Y X

X=(5x-3)-(2x-7)=5x-3-2x+7=3x+4 Y=(2x-7)-(-3x-6)=2x-7+3x+6=5x-1 A=X-Y=(3x+4)-(5x-1)=-7이므로

3x+4-5x+1=-7, -2x+5=-7, -2x=-12 ∴ x=6

300

^{ x=}⁵₃

-1<x<1이므로 x-1<0, x+1>0 따라서 |x-1|+|x+1|+3x=7에서 -(x-1)+(x+1)+3x=7 -x+1+x+1+3x=7 3x=5 ∴ x=5

301

^{ x=-}₁₁⁸

2(2x+3)=8-2x에서 4x+6=8-2x, 6x=2

∴ x=1

3 , 즉 n=1 3 따라서 4x-m

3 = m+3x

5 의 해가 x=1 3 이므로 13 {4

3 -m}=m+1 5 양변에 45를 곱하면 15{4

3 -m}=9(m+1) 20-15m=9m+9, -24m=-11 ∴ m=11

24 1124 x+1

3 =0의 양변에 24를 곱하면 11x+8=0, 11x=-8

∴ x=- 8 11

302

^{ 2}

x-73 -2a-3

2 =1의 양변에 6을 곱하면 2(x-7)-3(2a-3)=6

2x-14-6a+9=6, 2x=6a+11 ∴ x=6a+11

2 yy 35`%

5(x-3a)+6=6a-13에서

5x-15a+6=6a-13, 5x=21a-19 ∴ x=21a-19 5

yy 35`%

이때 두 일차방정식의 해의 비가 5`:`2이므로 6a+11

2 `:`21a-19 5 =5`:`2

6a+11=21a-19, -15a=-30 ∴ a=2 yy 30`%

303

^{ -}²³₂

x+6a=4-3(x-3)에서

x+6a=4-3x+9, 4x=13-6a ∴ x=13-6a 4 x- x+5a

4 =-1의 양변에 4를 곱하면

4x-(x+5a)=-4, 4x-x-5a=-4, 3x=5a-4

∴ x=5a-4 3

주어진 두 일차방정식의 해가 절댓값은 같고 부호는 서로 다르므로 두 해 의 합은 0이다.

즉 13-6a

4 +5a-4

3 =0이므로 양변에 12를 곱하면 3(13-6a)+4(5a-4)=0, 39-18a+20a-16=0 2a=-23 ∴ a=-23

304

^^x=-⁷₃

1.6(ax-0.5)= x+2

5 +3에 x=3을 대입하면 1.6(3a-0.5)=4 양변에 10을 곱하면 16(3a-0.5)=40

48a-8=40, 48a=48 ∴ a=1 즉 주어진 방정식은 1.6(-x-0.5)=x+2

5 +3이므로 양변에 10을 곱하면 16(-x-0.5)=2(x+2)+30 -16x-8=2x+4+30, -18x=42 ∴ x=-7

305

^^-27

0.08(x+4)+3

5 =0.8-0.06x의 양변에 100을 곱하면 8(x+4)+60=80-6x, 8x+32+60=80-6x 14x=-12 ∴ x=-6

7 즉 |m-3|+7x=0의 해가 x=-6

7 이므로

|m-3|-6=0, |m-3|=6 m-3=6 또는 m-3=-6

∴ m=9 또는 m=-3

따라서 모든 상수 m의 값의 곱은 9_(-3)=-27

306

^⁵

4a+7b=-2a-5b에서 6a=-12b ∴ a=-2b x=3a+8b

a-4b 에 a=-2b를 대입하면 x=3_(-2b)+8b

-2b-4b = 2b -6b =-1

3 따라서 4x+k(x+3)=12의 해가 x=-1

3 이므로 -4

3 +k{-1

3 +3}=12, -4 3 +8

3 k=12 양변에 3을 곱하면 -4+8k=36

8k=40 ∴ k=5

307

^^-30

ax-35 =6

5 -x의 양변에 5를 곱하면 ax-3=6-5x, (a+5)x=9 ∴ x= 9

a+5 `(단, a+-5) yy 30`%

이때 9

a+5 가 정수가 되려면 a+5가 9의 약수 또는 9의 약수에 음의 부 호를 붙인 수이어야 한다.

즉 a+5=1, 3, 9, -1, -3, -9이므로

a=-4, -2, 4, -6, -8, -14 yy 50`%

따라서 모든 정수 a의 값의 합은

(-4)+(-2)+4+(-6)+(-8)+(-14)=-30 yy 20`%

308

^{ -11}

x3 +1 6 =a-x

12 -3

4 의 양변에 12를 곱하면 4x+2=a-x-9, 5x=a-11 ∴ x= a-11

a-115 이 음수가 되게 하는 자연수 a의 값은 a=1, 2, 3, y, 10 따라서 음수인 모든 x의 값의 합은

1-115 +2-11

5 +3-11

5 +y+10-11 5

=-10 5 -9

5 -8

5 -y-1 5

=-1+2+3+y+10 5

=-55 5 =-11

309

^{ ⑤}

3x-24 +7-ax 8 = x+b

2 의 양변에 8을 곱하면 2(3x-2)+7-ax=4(x+b)

6x-4+7-ax=4x+4b

∴ (2-a)x=-3+4b

이 방정식의 해가 무수히 많으므로 2-a=0, -3+4b=0 따라서 a=2, b=3

4 이므로 a-b=2-3 4 =5

310

^{ 27}

(a+5)x+2=2(3x-1)+7에서 (a+5)x+2=6x+5 (a-1)x+2=5, (a-1)x=3

이 방정식의 해가 없으므로 a-1=0 ∴ a=1 (b-1)x-3a+8=2c-5에서

(b-1)x=3a+2c-13

이 방정식의 해가 무수히 많으므로 b-1=0, 3a+2c-13=0 b-1=0에서 b=1

3a+2c-13=0에서 a=1이므로 3+2c-13=0 2c-10=0 ∴ c=5

∴ aÛ`+bÛ`+cÛ`=1Û`+1Û`+5Û`=1+1+25=27

311³³ 312³ 313^x=9 314^16개 315^x=3 316^x=-⁴₅ 317^{ㄱ, ㄷ, ㄹ} 318⁷ 319^x=14

320^{⑴ p=-}¹³12 , q=16 ⑵ p+-13 12 , q=16

창 의 융 합

321¹⁰ 322 ⑴ 20 ⑵ 2개, 2개

본교재 083 ~ 085 쪽

최상위권 굳히기를 위한

STEP

3

^{최 고 난} ^도 ^유 ^형

06^{일차방정식의 풀이} 039

311

^³³

7 , 7(4x+4)=4(11x-5) 28x+28=44x-20, -16x=-48

3x-2<3x+1이므로 (3x-2, 3x+1)=3x+1 2x-3>2x-5이므로 <2x-3, 2x-5>=2x-5

73 >3

x+3-x+4=5x-8, -5x=-15 ∴ x=3 Ü x¾4일 때, x+3>0, x-4>0이므로

문서에서 2021 고쟁이 중학수학 1-1 답지 정답 (페이지 35-40)