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수리 영역 •
수리“가”형 정답 1 ③ 2 ① 3 ② 4 ① 5 ① 6 ② 7 ⑤ 8 ④ 9 ⑤ 10 ③ 11 ④ 12 ④ 13 ④ 14 ⑤ 15 ④ 16 ⑤ 17 ③ 18 ② 19 ① 20 ③ 21 ② 22 80 23 32 24968 2520226 36 272622836029 54 30125 해 설 1. [ ] 거듭제곱근과 지수법칙에 관한 계산 능 력을 측정한다. × ÷ × ÷ = 221×2 32÷2 62 =2 12 +23 -13 =22 +1 13 = 265= 6 25 2. [출제의도] 행렬의 덧셈, 곱셈, 단위행렬에 관한 계 산 능력을 측정한다.
3. [출제의도] 무리식의 극한에 관한 계산 능력을 측정 한다. lim → ∞ lim → ∞ lim → ∞
4. [출제의도] 행렬의 곱셈과 연립방정식에 관한 계산 능력을 측정한다.
에서
에서 에서 ∴ ∴ 5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계, 지수법 칙, 로그의 성질에 관한 이해력을 측정한다. 이차방정식 에서 근과 계수의 관계에 의하여 ∴ ․ log log log log 6. [출제의도] 상용로그의 가수에 관한 이해력을 측정 한다.log log log log에서 log
같은 방법으로 log, log
∴ log log log
log․ ․ log 7. [출제의도] 역행렬의 존재 조건과 도형의 방정식에 관한 이해력을 측정한다. 행렬
의 역행렬이 존재하지 않으므로 ∴ 따라서 점 가 그리는 도형은 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이다 8. [출제의도] 행렬의 성질과 행렬의 곱셈에 관한 이해 력을 측정한다. ㄱ. ∴ 거짓 ㄴ. ∴ 참 ㄷ. 이고, ㄴ에서 이므로 ∴ 참 9. [출제의도] 수열의 합에 대한 성질을 이해하고 있는 가를 묻는 문항이다.
․ ∴ ․ 10. [출제의도] 행렬의 표현과 역행렬에 관한 이해력을 측정한다. 점 Q 는 원 와 직선 의 교 점이므로 ≠이다. 행렬
의 역행 렬이 존재하려면 ≠, ≠ ∴ ≠ 따라서 점 P 중에서 ≠인 점은 그림에서 모두 개다. 11. [출제의도] 규칙의 이해 및 등차수열의 일반항, 합 에 관한 이해력을 측정한다. ㄱ. 구슬을 개씩 붙여 나가므로 ㄴ. 수열
은 첫째항이 이고, 공차가 인 등차 수열이므로 ∴ ․ ㄷ.
․ ․ ․ 12. [출제의도] 수열의 표현 및 무한급수에 관한 이해 력을 측정한다. 을 으로 나눈 나머지는 의 일의 자리수이므로 , , , , …
∞ ⋯ 13. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수에 관한 증명능 력을 측정한다. log 에서 log 의 지표는 이고, log 에서 log 의 지표는 이다. 따라서 log와 log 의 지표의 합은 이다. ∴ 나 다 14. [출제의도] 수학적귀납법을 이해하고, 이를 이용한 증명 능력을 측정한다.
이므로 일 때에도 등식이 성립함을 보이려면 양변에 을 더하여야 한다. 이 때, 좌변은
이고, 우변은 이므로 일 때에도 주어진 등식이 성립한다. ∴ (가) (나) 15. [출제의도] 수열의 극한에 관한 성질을 이해하고, 여러 가지 상황에 따른 문제해결능력을 측정한다. ㄱ. lim →∞ 라고 하면 lim →∞ lim →∞ ∴ 참 ㄴ. [반례] 이면 lim → ∞ 이지만 은 진동하므로 발산한다. ∴ 거짓 ㄷ.
∞ 이 수렴하므로 lim →∞ lim →∞ 이면 lim →∞ 이므로 ≦ ≦ 에서 lim →∞ ∴참16. [ ] 행렬과 연립일차방정식의 해에 관한 문 제 해결 능력을 측정한다.
이므로
⇔
이 때 행렬
의 역행렬이 존재하면 으로 오직 한 쌍이 존재하고, 역행렬이 존재하지 않으면 무수히 많이 존재한다. 따 라서 에서 ∴ 또는 그런데 일 때, 을 만족하는 양수 가 존재하지 않는다. 한편, 일 때, 즉 를 만족하는 양수 가 존재한다. ∴ 17. [출제의도] 실생활과 관련된 상황을 수열과 관계지 어 문제를 해결한다. 개의 선분으로 분할되는 영역의 수의 최대값을 이라 하면, : … … 따라서 개의 선분으로 분할된 영역의 수가 최소한 이려면 ≧ ≧ ∴ ≧ 따라서 선분을 최소한 7개 그려야 한다. 18. [출제의도] 규칙을 발견하여 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다. ⋅⋅∠A O P 이므로 lim → ∞ lim →∞ ∠A O P 한편, ∠AOP , ∠AOP , ∠AOP , ∠AOP , ⋮ ∴lim n →∞ ∠AOP …
따라서, lim →∞ →∞lim ∠AOP 19. [출제의도] 타교과(화학)과 관련된 지수 문제의 해 결 능력을 측정한다 처음 산소 기체의 압력과 부피를 각각 이라 하 고 부피가 배 증가했을 때의 압력과 부피를 각각 라 하면 그런데 이므로 ⋅ 즉, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 20. [출제의도] 타교과(지구과학)과 관련된 로그 문제 의 해결 능력을 측정한다. 겉보기등급이 등급, 절대등급이 등급 일 때, 지구로부터의 거리는 pc이므로 log 에서 log, × ∴ 따라서 거리 지수는 log 이 때, 겉보기등급은 등급이고 절대등급이 등 급인 별의 지구로부터의 거리를 이라 하면, log log 에서log ∴ pc 21. [출제의도] 실생활과 관련된 행렬 문제의 해결 능 력을 측정한다. ‘인컬’에 해당하는 이차정사각행렬은
,
이고, 암호화 되는 글자에 해당되는 행렬을 각각 , 라 하면
에서
․
⇨ ‘직’ 또,
에서
⇨ ‘선’ 따라서 ‘인컬’로 암호화되는 글자는 ‘직선’이다. 22. [출제의도] 수열의 합에 관한 계산 능력을 측정한다.
․ 23. [출제의도] 무한수열의 수렴에 대한 성질을 이해하 고 있는가를 묻는 문항이다. 두 무한수열 {an} , {bn}이 수렴하므로 lim →∞ lim →∞
lim → ∞
lim → ∞ ․ ∴ lim → ∞ 24. [출제의도] 등차수열의 합에 관한 이해력을 측정한다. a + (a +2 ) + ⋯ + ( b - 2 ) + b는 항이 22개 인 등차수열의 합이므로 ∴ × 25. [출제의도] 행렬의 곱셈과 규칙성의 이해를 측정한다. A =( )
1 20 1에서 A2=AA=( )
1 2 0 1( )
1 20 1 =( )
1 40 1
A4=A3A=( )
1 6 0 1( )
1 20 1 =( )
1 80 1 ⋮ 이상에서
임을 알 수 있다. ∴
따라서 A100의 모든 성분의 합은 1+200+0+1 = 202이다. 26. [출제의도] 등비중항에 관한 이해력을 측정한다. 세 수 3, 6, m이 등비수열을 이루므로 m= 12 세 수 m, n, 108 즉 12, n, 108이 등비수열을 이 루므로 n2= 12 ×108 = 24×34= 362 ∴ n = 36 27. [출제의도] 로그의 성질과 표현력을 측정한다. 아래 쪽부터 빈 칸에 알맞은 값을 차례로 구하면 그 림과 같다. ∴ 28. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하여 문제를 해결하는 능력을 측정한다. log log 이므로 log log log log × × log ∴ 29. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계, 등비 수열에 관한 문제 해결 능력을 측정한다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 , , , 이 때, 가 양수이므로 는 모두 양수이다. 한편, 네 수 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 ＞ 놓으면 , ∴ r = 2, ∴ ∴ 30. [ ] 규칙성의 이해와 무한급수에 관한 문제 해결 능력을 측정한다. 아래 그림과 같이 생각하면 정사각형 ABCD의 빗 금친 부분과 어두운 부분의 넓이의 합은 정사각형 A2B2C2D2의 넓이와 같다. 따라서 정사각형A2B2C2D2의 넓이는 정사각형 A1B1C1D1의 넓이의 15 이다. 이와 같이 생각하면 Sn + 1= 15 Sn (n = 1 , 2 , 3 , ⋯), S1= 1이므로 ∞ = 1 1- 15 = 54 ∴ 100∑n = 1∞ Sn= 100 × 54 = 125 수리“나”형 정답 1 ③ 2 ① 3 ④ 4 ① 5 ① 6 ② 7 ⑤ 8 ④ 9 ③ 10 ③ 11 ③ 12 ② 13 ④ 14 ⑤ 15 ⑤ 16 ⑤ 17 ② 18 ④ 19 ① 20 ③ 21 ② 2215023 15 24 99 2520226 10 272622836029 90 30 60 해 설 3. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈에 관한 계산 능력을 측정한다.
log log
log log
log log
log log
∴
9. [출제의도] 정육면체와 관련된 공간 지각 능력을 측 정한다. 전개도를 접어 3이 쓰인 면이 정면으 로 오도록 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다. 이 때, 한 꼭지점에서 만나는 세 면에 쓰인 수의 합을 구해 보면, 4+1+3=8, 4+3+6=13, 4+6+2=12, 4+2+1=7, 5+1+3=9, 5+3+6=14, 5+6+2=13, 5+2+1=8 따라서 세 면에 쓰인 수의 합이 10인 경우는 없다. 11. [출제의도] 행렬의 성질을 이해하고 추론하는 능력 을 측정한다. ㄱ. P=( )
1 00 2k , Q=( )
1 00 2l 이라 하면
∴ 참 ㄴ. P=( )
1 00 2k 이라 하면 P2=(
1 0)
0 2k( )
1 00 2k =(
1 00 22k)
P3=P2P=(
1 0)
0 22k(
1 00 2k)
=(
1 00 23k)
∴ 참 ㄷ. P=( )
1 00 2k (k는 양의 정수)라 하면 P- 1= 1 2k( )
2 k0 0 1 =(
1 00 2-k)
그런데 -k는 음의 정수이므로 ∉ ∴ 거짓 12. [출제의도] 최대공약수와 서로소에 관한 이해력을 측정한다. , 가 서로소일 때, 잘려지는 정사각형의 개수가 이므로 에서 14. [출제의도] 지수법칙을 이해하고, 귀류법을 이용한 증명능력을 측정한다. (은 유리수)라 가정하면 는 서로소인 자연수)라 놓을 수 있다. 이 때 를 대입하여 정리하면 … ㉠ 따라서 은 의 배수이고, (는 자연수) 로 놓고 ㉠식에 대입하여 정리하면 위의 식에서 는 짝수를 인수로 갖게 되어 가 서 로소라는 가정에 모순이다. 그러므로 은 무리수이다. 15. [출제의도] 삼각함수와 행렬에 관한 문제 해결 능 력을 측정한다.
이므로
cos sin sin cos 따라서 cos sin 이므로tan cossin
17. [출제의도] 행렬과 절대부등식에 관한 문제 해결 능력을 측정한다. A의 역행렬이 존재하므로 ≠에서 ≠ … ㉠ ㉠이 임의의 실수 t에 대하여 성립하려면 ․ ∴ 따라서 정수 a는 , ±, ±의 개이다. 18. [출제의도] 실생활과 관련된 행렬 문제의 표현력을 측정한다.
이므로 의 성분은 × × 이다. 한편, × × 에서 , 는 각각 ‘을’ 공장에서 올해 계 획한 제품 의 생산량과 같다. 따라서, 의 성분은 ‘을’ 공장이 올해 계획한 제품 와 의 생산량의 합을 나타낸다. 22. [출제의도] 지수법칙을 이용한 계산 능력을 측정한다. 23. [출제의도] 행렬과 연립방정식의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문항이다.
를 행렬을 이용하여 나타내면,
양변의 왼쪽에
의 역행렬을 곱하면,
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 이다. ∴ 24. [ ] 로그의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문항이다. log log log…log log × × ×……×
