임의의 실수 와 점 P
에 대하여 두 점 A
, B
사이의 거리가 최소가 될 때의 ∠APB의 크기를 라 하자. cos
이라고 할 때, 의 값을 구하여라. (단, 는 서로소인 자연수이다.)Ⅰ. 점 A의 자취를 구해보면 X , Y 이라 하면 X , Y 제곱해서 더하면 X Y X 정리하면 X Y 따라서 점 A의 자취는 중심이 이고 반지름이 인 원이다. 한편, 점 B의 자취는
이다.원 C 과 직선
에 대하여 원의 중심에서 직선에 그은 수선이 원과 만나는 점이 A, 직선과 만나는 점이 B이다. CB
이므로 AB
⋯ ① 직선 CB의 방정식이 이므로 B
따라서 PB
⋯ ② 점 A는 CB 를
로 내분하는 점이므로 A
따라서 PA ⋯ ③ ∆PAB에서 코사인법칙에 의해 cos∠APB
Ⅱ. 직선 CB의 방정식이 이므로 원의 방정식 에 대입하면
따라서 A
직선 AP 가 축의 양의 부분과 이루는 각을 , 직선 BP 가 축의 양의 부분과 이루는 각을 라고 하면 tan , tan 따라서 tan tan⋅tantan tan tan
tan sec에서 cos
