f(x) =(x-1){(x-2)Q'(x)+10}+5
=(x-1)(x-2)Q'(x)+10(x-1)+5
=(x-1)(x-2)Q'(x)+10x-5
이므로 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫은 Q'(x), 나머지는 10x-5이다.
따라서 a=10, b=-5이므로
3a+b =3_10+(-5)=25 25
39
f(x)를 (x-1)Û`(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 axÛ`+bx+c`(a, b, c는 상수)라 하면 f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+axÛ`+bx+c 그런데 f(x)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 x+1이므로 axÛ`+bx+c를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 나머지도 x+1이다.
즉, axÛ`+bx+c=a(x-1)Û`+x+1 yy ㉠
∴ f(x) =(x-1)Û`(x-2)Q(x)+a(x-1)Û`+x+1 한편, f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 f(2)=a+3=4
∴ a=1
따라서 구하는 나머지는 ㉠에서
(x-1)Û`+x+1=xÛ`-x+2 xÛ`-x+2
40
P(x)=(xÛ`-x-1)(ax+b)+2 yy ㉠ P(x+1)을 xÛ`-4로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하 면 나머지가 -3이므로
P(x+1) =(xÛ`-4)Q(x)-3
=(x+2)(x-2)Q(x)-3 이 식의 양변에 x=2를 대입하면 P(3)=-3 양변에 x=-2를 대입하면 P(-1)=-3 이때 ㉠의 양변에 x=3을 대입하면 P(3)=5(3a+b)+2=-3
∴ 3a+b=-1 yy ㉡
36
f(x)=xÜ`+axÛ`-7x+b라 하면 f(x)가 x-1, x+2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여 f(1)=0, f(-2)=0
f(1)=0에서 1+a-7+b=0
∴ a+b=6 yy ㉠
f(-2)=0에서 -8+4a+14+b=0
∴ 4a+b=-6 yy ㉡
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-4, b=10
∴ f(x)=xÜ`-4xÛ`-7x+10
f(x)가 x-1, x+2, x-c를 인수로 가지므로 xÜ`-4xÛ`-7x+10=(x-1)(x+2)(x-c) 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=0을 대 입하면
10=2c ∴ c=5
∴ a+b+c =-4+10+5=11 11
37
f(x)+g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 10이 므로
f(2)+g(2)=10
{ f(x)}Û`+{ g(x)}Û` 을 x-2로 나누었을 때의 나머지 가 58이므로
{ f(2)}Û`+{ g(2)}Û`=58
f(x)g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 f(2)g(2)이므로
{ f(2)}Û`+{ g(2)}Û`={ f(2)+g(2)}Û`-2 f(2)g(2) 에서 58=10Û`-2 f(2)g(2)
∴ f(2)g(2)=21 21
38
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫은 Q(x), 나머지는 5이므로
f(x)=(x-1)Q(x)+5 yy ㉠
Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나머지는 10이므로
Q(x)=(x-2)Q'(x)+10
따라서 f(x)는 x+1, x-4를 인수로 갖는 이차식이 므로
f(x)=a(x+1)(x-4)`( a는 상수) yy ㉠ 로 놓을 수 있다.
이때 f(0)=-4이므로 ㉠에서 f(0)=-4a=-4 ∴ a=1
∴ f(x)=(x+1)(x-4)
따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는
f(-2)=-1_(-6)=6 6
43
f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫이 QÁ(x)이므로 나 머지를 RÁ이라 하면
f(x)=(x-1)QÁ(x)+RÁ yy ㉠ f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Qª(x)이므로 나 머지를 Rª라 하면
f(x)=(x-2)Qª(x)+Rª yy ㉡
㉡의 양변에 x=2를 대입하면 f(2)=Rª 조건 ㈎에서 Qª(1)=f(2)=Rª
즉, ㉡에서
f(x)=(x-2)Qª(x)+Qª(1) 이 식의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=-Qª(1)+Qª(1)=0
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
f(1)=RÁ=0 ∴ f(x)=(x-1)QÁ(x) 이때 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차식이므로 QÁ(x)=x+a (a는 상수)라 하면
f(x)=(x-1)(x+a)
즉, QÁ(1)=1+a, Qª(1)=f(2)=2+a이므로 조건
㈏에서
QÁ(1)+Qª(1)=(1+a)+(2+a)=6 2a+3=6 ∴ a=;2#;
따라서 f(x)=(x-1){x+;2#;}이므로
f(3)=2_;2(;=9 ③
㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 P(-1)=-a+b+2=-3
∴ a-b=5 yy ㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-4
∴ 50a+b=50-4=46 46
41
f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 QÁ(x)라 하면 나머지가 xÛ`+x+1이므로 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)QÁ(x)+xÛ`+x+1 양변에 x=2를 대입하면 f(2)=7
양변에 x=3을 대입하면 f(3)=13
또한, f(6x)를 6xÛ`-5x+1, 즉 (2x-1)(3x-1)로 나누었을 때의 몫을 Qª(x), 나머지를
R(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면 f(6x)=(2x-1)(3x-1)Qª(x)+ax+b 양변에 x=;2!; 을 대입하면
f(3)=;2!;a+b=13 yy ㉠
양변에 x=;3!; 을 대입하면
f(2)=;3!;a+b=7 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=36, b=-5 따라서 R(x)=36x-5이므로
R(1)=36-5=31 31
42
f(1-x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 -4이므로
f(1-x)=(x-1)Q(x)-4 양변에 x=1을 대입하면 f(0)=-4
xf(x)를 (x+1)(x-4)로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면 나누어떨어지므로
x f(x)=(x+1)(x-4)Q'(x) 양변에 x=-1, x=4를 각각 대입하면 f(-1)=0, f(4)=0
연습문제 실력
U P
f(-1)=2Q(-1)+2=6∴ Q(-1)=2
㉡의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면
Q(1)=a+b=4 yy ㉢
Q(-1)=-a+b=2 yy ㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=1, b=3
따라서 ㉡에서 Q(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 나머
지는 x+3이다. x+3
46
f(1)=f(2)=f(3)=5에서
f(1)-5=0, f(2)-5=0, f(3)-5=0
이므로 f(x)-5는 x-1, x-2, x-3을 인수로 갖 는다.
이때 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차식이므로 f(x)-5=(x-1)(x-2)(x-3)
∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+5 따라서 f(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 f(4) =(4-1)(4-2)(4-3)+5
=11 11
47
7=x라 하면 6=x-1이므로 730+720+7을 6으로 나누었을 때의 나머지는 x30+x20+x를 x-1로 나누 었을 때의 나머지와 같다.
이때 x30+x20+x를 x-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면
x30+x20+x=(x-1)Q(x)+R 양변에 x=1을 대입하면
R=3
따라서 730+720+7을 6으로 나누었을 때의 나머지는
3이다. 3
44
xÇ`(xÛ`+ax+b)를 (x-3)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 3Ç`(x-3)이므로
xÇ`(xÛ`+ax+b)
=(x-3)Û`Q(x)+3Ç`(x-3) yy ㉠
㉠의 양변에 x=3을 대입하면 3Ç`(9+3a+b)=0
3Ç`+0이므로 9+3a+b=0
∴ b=-3a-9 yy ㉡
∴ xÛ`+ax+b =xÛ`+ax-3a-9
=(xÛ`-9)+a(x-3)
=(x-3)(x+3+a)
㉠에서
xÇ`(x-3)(x+3+a)
=(x-3)Û`Q(x)+3Ç`(x-3)
=(x-3){(x-3)Q(x)+3Ç` } 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 xÇ`(x+3+a)=(x-3)Q(x)+3Ç`
양변에 x=3을 대입하면 3Ç`(6+a)=3Ç`
3Ç`+0이므로 6+a=1 ∴ a=-5
이를 ㉡에 대입하면 b=6 ④
45
f(x)를 xÛ`+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 -2x이므로
f(x)=(xÛ`+1)Q(x)-2x yy ㉠ f(x)를 xÛ`-1, 즉 (x-1)(x+1)로 나누었을 때의 나머지가 6이므로
f(1)=6, f(-1)=6
한편, Q(x)를 xÛ`-1로 나누었을 때의 몫을 Q₁(x), 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면
Q(x) =(xÛ`-1)Q₁(x)+ax+b
=(x+1)(x-1)Q₁(x)+ax+b yy ㉡
㉠의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면 f(1)=2Q(1)-2=6
∴ Q(1)=4
51
주어진 다항식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2xÛ`-xy-yÛ`-4x+y+2
=2xÛ`-(y+4)x-(yÛ`-y-2)
=2xÛ`-(y+4)x-(y+1)(y-2)
1` -(y+1)
Ú -2y-2
2 y-2
Ú y-2
-y-4
=(x-y-1)(2x+y-2)
따라서 a=1, b=-1, c=2, d=1이므로
a+b+c+d=3 3
52
2xÝ`+5xÜ`+xÛ`+ax+b가 (x+1)Û`을 인수로 가지므로 (x+1)Û`으로 나누어떨어진다.
조립제법을 이용하면
-1 2 5 1 `a b -2 -3 `2 -a-2 -1 2 3 -2 a+2 -a+b-2 -2 -1 `3
2 1 -3 a+5 나누어떨어지면 나머지가 0이므로 -a+b-2=0, a+5=0
∴ a=-5, b=-3 따라서 f(x)를 인수분해하면 f(x) =(x+1)Û`(2xÛ`+x-3)
=(x+1)Û`(x-1)(2x+3)
a=-5, b=-3, (x+1)Û`(x-1)(2x+3)
53
11Ý`-6Ý` =(11Û`-6Û`)(11Û`+6Û`)
=(11-6)(11+6)_157
=5_17_157 따라서 a=5, b=17이므로
a+b=22 ②
11111Ú 11111Ú
48
⑴ 8xÜ`-27yÜ`-18xy-1
=(2x)Ü`+(-3y)Ü`+(-1)Ü`
-3_2x_(-3y)_(-1)
={2x+(-3y)+(-1)}
_{(2x)Û`+(-3y)Û`+(-1)Û`-2x_(-3y) -(-3y)_(-1)-(-1)_2x}
=(2x-3y-1)(4xÛ`+9yÛ`+6xy+2x-3y+1)
⑵ -(2x-3)Ü`=(3-2x)Ü`이고
(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0이므로 (x-1)Ü`+(x-2)Ü`-(2x-3)Ü`
=(x-1)Ü`+(x-2)Ü`+(3-2x)Ü`
=3(x-1)(x-2)(3-2x)