h
Ü 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=1이므로 직선
㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 (2, 1)을 지나야 한다.
즉, 2a+1=0 ∴ a=- 12 Ú ~ Ü에서 모든 a의 값의 곱은
;2!;_{-;3@;}_{-;2!;}=;6!; ;6!;
301
점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하면 직 선 BC의 기울기는
6-42-8 =-;3!;이므로 직선 AD의 기울기는 3이다.
따라서 직선 AD의 방정식은
y+1=3(x-3) ∴ y=3x-10 yy ㉠ 또, 점 B에서 변 AC에 내린 수선의 발을 E라 하면 직선 AC의 기울기는 6-(-1)
2-3 =-7이므로 직선 BE의 기울기는 ;7!;이다.
따라서 직선 BE의 방정식은
y-4=;7!;(x-8) ∴ y=;7!;x+:ª7¼: yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=;2(;, y=;2&;
따라서 구하는 세 수선의 교점의 좌표는 {;2(;, ;2&;}이다.
{;2(;, ;2&;}
KEY Point
삼각형의 각 꼭짓점에서 대변에 그은
수심세 수선은 한 점에서 만나며 세 수선의 교점을 수심이라 한다.
302
점 ('3, 1)과 직선 y='3x+n, 즉 '3x-y+n=0 사이의 거리가 3이므로
0 Y
&
$ %
#
"
Z
연습문제 실력
|2_1+1_0-k|
연습문제 실력
U P
0<"Ã12-2kÉ'60<12-2kÉ6, -12<-2kÉ-6
∴ 3Ék<6 3Ék<6
317
원의 중심이 직선 y=x-1 위에 있으므로 원의 중심 의 좌표를 (a, a-1)이라 하면 반지름의 길이는 |a|
이다. 즉, 이 원의 방정식은 (x-a)Û`+(x-a+1)Û`=aÛ`
이 원이 점 (3, -1)을 지나므로 (3-a)Û`+(-1-a+1)Û`=aÛ`
(3-a)Û`=0 ∴ a=3 따라서 구하는 반지름의 길이는
|3|=3 ②
318
원의 반지름의 길이를 r (r>0)라 하면 x축과 y축에 동시에 접하고 중심이 제 3 사분면 위에 있으므로 원의 중심의 좌표는 (-r, -r)이다.
이때 원의 중심 (-r, -r)가 직선 2x-5y=6 위에 있으므로
-2r+5r=6 ∴ r=2 따라서 구하는 원의 방정식은 (x+2)Û`+(y+2)Û`=4
(x+2)Û`+(y+2)Û`=4
319
점 P의 좌표를 (a, b), 선분 AP의 중점의 좌표를 (x, y)라 하면
x= a+32 , y=b+2 2
∴ a=2x-3, b=2y-2 yy ㉠
점 P가 원 (x-1)Û`+(y+2)Û`=8 위의 점이므로 (a-1)Û`+(b+2)Û`=8 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
(2x-3-1)Û`+(2y-2+2)Û`=8
4(x-2)Û`+4yÛ`=8 ∴ (x-2)Û`+yÛ`=2 이 원이 점 (0, -2)를 지나므로
(0-a)Û`+(-2-1)Û`=25
aÛ`=16 ∴ a=4 (∵ a>0) 4
314
구하는 원의 중심을 C라 하면 점 C는 ABÓ의 중점이므 로 점 C의 좌표는
{ 5+a2 , 1-3
2 }, 즉 {a+5 2 , -1}
또, 원의 반지름의 길이는 ACÓ의 길이와 같으므로 ACÓ=¾¨{ a+52 -5}Û`+(-1-1)Û`='5 양변을 제곱하면
{ a-52 }Û`+4=5
{ a-52 }Û`=1, a-5=Ñ2
∴ a=3 (∵ a<5 )
따라서 중심이 점 (4, -1)이고 반지름의 길이가 '5 인 원의 방정식은
(x-4)Û`+(y+1)Û`=5
(x-4)Û`+(y+1)Û`=5
315
xÛ`+yÛ`-6x-8y+10=0에서 (x-3)Û`+(y-4)Û`=15
직선이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심을 지나야 하므로 점 (1, 0)과 원의 중심 (3, 4)를 지나는 직선 의 방정식은
y= 4-03-1 (x-1)
∴ y=2x-2
따라서 구하는 y절편은 -2이다. ③
316
xÛ`+yÛ`+4x-2y+2k-7=0에서 (x+2)Û`+(y-1)Û`=12-2k
이 방정식이 반지름의 길이가 '6 이하인 원을 나타내 려면
BPÓ=CPÓ에서 BPÓ Û`=CPÓ Û`이므로 (a-3)Û`+(b-3)Û`=(a+4)Û`+(b-6)Û`
14a-6b+34=0 ∴ 7a-3b=-17 yy ㉤
㉣, ㉤을 연립하여 풀면 a=-2, b=1
따라서 원의 중심은 점 P(-2, 1)이고 반지름의 길이는 APÓ="Ã(-2-0)Û`+(1+4)Û`='29
이므로 구하는 원의 방정식은 (x+2)Û`+(y-1)Û`=29
(x+2)Û`+(y-1)Û`=29
323
원주각의 성질에 의하여
0 Y Z
"
#
△PAB가 직각삼각형이 되려면 선분 PA 또는 선 분 PB가 원의 지름이 되 어야 한다. 점 P의 좌표
를 (x, y)라 하면 주어진 원의 중심의 좌표가 (2, 1) 이므로
Ú 선분 PA가 원의 지름일 때,
x+62 =2, y+42 =1 ∴ x=-2, y=-2 Û 선분 PB가 원의 지름일 때,
x-22 =2, y+42 =1 ∴ x=6, y=-2 Ú, Û에서 점 P의 좌표는 (-2, -2) 또는 (6, -2) 이므로 이 두 점을 이은 선분의 중점의 좌표는 { -2+62 , -2-2
2 }, 즉 (2, -2)
따라서 a=2, b=-2이므로 a+b=0 0
324
APÓ : BPÓ=2 : 1에서
APÓ=2 BPÓ ∴ APÓ Û`=4 BPÓ Û`
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
(x+1)Û`+(y-1)Û`=4{(x-2)Û`+(y-1)Û`}
xÛ`+yÛ`-6x-2y+6=0
∴ (x-3)Û`+(y-1)Û`=4 따라서 선분 AP의 중점이 그리는 도형은 중심이 점
(2, 0)이고 반지름의 길이가 '2인 원이므로 구하는 도 형의 넓이는
p_('2)Û`=2p 2p
320
원 xÛ`+yÛ`=9의 중심 O(0, 0)과 점 P(6, 2) 사이의 거리는
OPÓ="Ã6Û`+2Û`=2'10 원의 반지름의 길이가 3 이므로 선분 PQ의 길이 의 최댓값은 M=2'10+3, 최솟값은 m=2'10-3
∴ Mm=(2'10+3)(2'10-3)=31 31
321
xÛ`+yÛ`-4kx+2ky+10k-15=0에서 (x-2k)Û`+(y+k)Û`=5kÛ`-10k+15
이 원의 중심의 좌표는 (2k, -k)이고 반지름의 길이 는 "Ã5kÛ`-10k+15이다.
원의 넓이가 최소가 되려면 반지름의 길이가 최소가 되어야 하므로
"Ã5kÛ`-10k+15="Ã5(k-1)Û`+10
에서 k=1일 때 원의 반지름의 길이가 최소가 되고 그 때의 원의 중심의 좌표는 (2, -1)이다. ⑤
322
5x+2y+8=0 yy ㉠
7x-3y-12=0 yy ㉡
3x+7y-30=0 yy ㉢
직선 ㉠과 ㉡, 직선 ㉡과 ㉢, 직선 ㉢과 ㉠의 교점을 각 각 A, B, C라 하면
A(0, -4), B(3, 3), C(-4, 6)
세 점 A, B, C를 지나는 원의 중심을 P(a, b)라 하면 APÓ=BPÓ=CPÓ
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-0)Û`+(b+4)Û`=(a-3)Û`+(b-3)Û`
6a+14b-2=0 ∴ 3a+7b=1 yy ㉣ 2
'¶10
P(6, 2)
O Q
Q
3 3