x+(x-4)É2, 2xÉ6 ∴ xÉ3 그런데 0Éx<4이므로 0ÉxÉ3 Ü x¾4일 때,
x-(x-4)É2
즉, 0_xÉ-2이므로 해는 없다.
Ú ~ Ü에서 주어진 부등식의 해는
xÉ3 xÉ3
212
2"Ã(1-x)Û`+3|x+1|<9에서 2|1-x|+3|x+1|<9 Ú x<-1일 때,
2(1-x)-3(x+1)<9 -5x<10 ∴ x>-2
그런데 x<-1이므로 -2<x<-1 yy ㉠ Û -1Éx<1일 때,
2(1-x)+3(x+1)<9 ∴ x<4
그런데 -1Éx<1이므로 -1Éx<1 yy ㉡ Ü x¾1일 때,
-2(1-x)+3(x+1)<9 5x<8 ∴ x< 85 그런데 x¾1이므로 1Éx<8
5 yy ㉢
-2 -1 1 ;5*; x
㉠ ㉡ ㉢
Ú ~ Ü에서 주어진 부등식의 해는 -2<x< 85
한편, 연립부등식 5x+a<6x+4<x+b는 [5x+a<6x+4
6x+4<x+b
5x+a<6x+4에서 x>a-4 6x+4<x+b에서 x< b-45
이 연립부등식의 해가 -2<x<;5*;이므로
㉠을 풀면 6x-30+1É5x+8 ∴ xÉ37
㉡을 풀면 5x+8É6x-30+6 ∴ x¾32
∴ 32ÉxÉ37
따라서 가능한 의자의 개수는 32, 33, 34, 35, 36, 37 이므로 의자의 개수가 될 수 없는 것은 ⑤ 38이다.
⑤
다른풀이
6명씩 앉으면 의자 4개가 남는다는 것은 학 생이 6(x-5)명 초과 6(x-4)명 이하라는 뜻이므로 6(x-5)<5x+8É6(x-4) ∴ 32Éx<38209
|x-2|<a에서 -a<x-2<a
∴ 2-a<x<2+a
이 범위에 포함되는 모든 정수 x의 개수가 19이므로 2+a-(2-a)-1=19
2a=20 ∴ a=10 ①
210
|3-x|¾-2(x+5)에서 Ú x<3일 때,
3-x¾-2(x+5), 3-x¾-2x-10
∴ x¾-13
그런데 x<3이므로 -13Éx<3 Û x¾3일 때,
-(3-x)¾-2(x+5), -3+x¾-2x-10 3x¾-7 ∴ x¾-;3&;
그런데 x¾3이므로 x¾3 Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는
x¾-13 ∴ a=-13 -13
211
|x|-|x-4|É2에서 Ú x<0일 때,
-x+(x-4)É2
즉, 0_xÉ6이므로 해는 모든 실수이다.
그런데 x<0이므로 x<0
216
부등식 0<f(x)<g(x)에서 f(x)>0, f(x)<g(x)
Ú f(x)>0의 해는 y=f(x)의 그래프가 x축보다 위 쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로
x<-2 또는 x>2 yy ㉠ Û f(x)<g(x)의 해는 y=f(x)의 그래프가 y=g(x) 의 그래프보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위 이므로
-1<x<3 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통부분은 2<x<3 따라서 a=2, b=3이므로
a+b=5 5
217
-3xÛ`+4x+15>0에서
3xÛ`-4x-15<0, (3x+5)(x-3)<0
∴ -;3%;<x<3
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 0,
1, 2의 4개이다. 4
218
xÛ`-xÉ2|x-1|에서 Ú x<1일 때,
xÛ`-xÉ-2(x-1)
xÛ`+x-2É0, (x+2)(x-1)É0
∴ -2ÉxÉ1
그런데 x<1이므로 -2Éx<1 Û x¾1일 때,
xÛ`-xÉ2(x-1)
xÛ`-3x+2É0, (x-1)(x-2)É0
∴ 1ÉxÉ2
그런데 x¾1이므로 1ÉxÉ2 Ú, Û에서 주어진 부등식의 해는 -2ÉxÉ2
따라서 a=-2, b=2이므로
b-a=4 4
a-4=-2, b-45 =;5*; ∴ a=2, b=12
∴ a+b=14 14
213
|x-2|É;3@;k-4의 해가 존재하지 않으려면
;3@;k-4<0이어야 하므로
;3@;k<4 ∴ k<6
따라서 자연수 k는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다. ②
214
||x+1|-2|<5에서 -5<|x+1|-2<5
∴ -3<|x+1|<7
그런데 |x+1|¾0이므로 |x+1|<7 -7<x+1<7 ∴ -8<x<6
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 -7, -6, -5, y, 4, 5의 13개이다. 13
215
2|x+1|+|x-1|Ék에서 f(x)=2|x+1|+|x-1|이라 하면 Ú x<-1일 때,
f(x)=-2(x+1)-(x-1)=-3x-1 그런데 x<-1에서 -3x>3
즉, -3x-1>2이므로 f(x)>2 Û -1Éx<1일 때,
f(x)=2(x+1)-(x-1)=x+3
그런데 -1Éx<1에서 2Éx+3<4이므로 2Éf(x)<4
Ü x¾1일 때,
f(x)=2(x+1)+(x-1)=3x+1 그런데 x¾1에서 3x¾3
즉, 3x+1¾4이므로 f(x)¾4 Ú ~ Ü에서
f(x)=2|x+1|+|x-1|¾2 따라서 주어진 부등식이 해를 가지려면
k¾2 k¾2
연습문제 실력
U P
㉠, ㉡의 공통부분은
a<-1 a<-1
222
ㄱ. (x+1)Û`¾0은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
따라서 해는 모든 실수이다.
ㄴ. xÛ`-x-1=0에서 x=1Ñ'5
2 이므로 xÛ`-x-1>0의 해는
x< 1-'52 또는 x> 1+'52 ㄷ. xÛ`+6x+9>0에서 (x+3)Û`>0
따라서 해는 x+-3인 모든 실수이다.
ㄹ. xÛ`-4x+6>0에서 (x-2)Û`+2>0 따라서 해는 모든 실수이다.
이상에서 해가 모든 실수인 것은 ㄱ, ㄹ이다.
ㄱ, ㄹ
223
|x|+|x-2|<3에서 Ú x<0일 때,
-x-(x-2)<3, -2x<1 ∴ x>-;2!;
그런데 x<0이므로 -;2!;<x<0 yy ㉠ Û 0Éx<2일 때,
x-(x-2)<3
즉, 0_x<1이므로 x는 모든 실수이다.
그런데 0Éx<2이므로 0Éx<2 yy ㉡ Ü x¾2일 때,
x+x-2<3, 2x<5 ∴ x<;2%;
그런데 x¾2이므로 2Éx<;2%; yy ㉢
0 2 x
-;2!; ;2%;
㉠ ㉡ ㉢
Ú ~ Ü에서 주어진 부등식의 해는 -;2!;<x<;2%;
219
공의 높이가 80`m 이상이므로 50t-5tÛ`¾80, 5tÛ`-50t+80É0 tÛ`-10t+16É0, (t-2)(t-8)É0
∴ 2ÉtÉ8
따라서 공의 높이가 80`m 이상인 시간은 2초부터 8초 까지이므로 8-2=6(초) 동안이다. 6초
220
이차부등식 axÛ`+bx+c¾0의 해가 오직 x=3뿐이므로 이차 함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 는 오른쪽 그림과 같아야 한다.
따라서 a<0이고
axÛ`+bx+c=a(x-3)Û`=axÛ`-6ax+9a
∴ b=-6a, c=9a yy ㉠
㉠을 bxÛ`+cx+6a<0에 대입하면 -6axÛ`+9ax+6a<0
양변을 -3a로 나누면 2xÛ`-3x-2<0 (∵ -3a>0)
(2x+1)(x-2)<0 ∴ -;2!;<x<2
따라서 부등식 bxÛ`+cx+6a<0을 만족시키는 정수
x는 0, 1의 2개이다. ②
221
이차함수 y=axÛ`-3의 그래프가 직선 y=-4x-a 보다 항상 아래쪽에 있으려면 모든 실수 x에 대하여 이차부등식 axÛ`-3<-4x-a, 즉
axÛ`+4x+a-3<0이 성립해야 하므로
a<0 yy ㉠
또, 이차방정식 axÛ`+4x+a-3=0의 판별식을 D라 하면
D4 =4-a(a-3)<0
aÛ`-3a-4>0, (a+1)(a-4)>0
∴ a<-1 또는 a>4 yy ㉡
x
y=axÛ`+bx+c 3
225
해가 1<x<5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차부등식은
(x-1)(x-5)<0 yy ㉠
㉠과 f(x)>0의 부등호의 방향이 다르므로 ㉠의 양변 에 a<0인 상수 a를 곱하면
a(x-1)(x-5)>0
즉, f(x)=a(x-1)(x-5)라 하면 f(3-2x) =a(3-2x-1)(3-2x-5)
=4a(x-1)(x+1)
f(0)=5a이므로 부등식 f(3-2x)>f(0)에서 4a(x-1)(x+1)>5a
a{4(x-1)(x+1)-5}>0 4xÛ`-9<0 (∵ a<0)
(2x+3)(2x-3)<0 ∴ -;2#;<x<;2#;
따라서 정수 x는 -1, 0, 1의 3개이다. 3
226
이차부등식 -xÛ`+2(k+3)x+4(k+3)>0, 즉 xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)<0의 해가 존재하지 않으 려면 모든 실수 x에 대하여
xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)¾0 이 성립해야 한다.
이차방정식 xÛ`-2(k+3)x-4(k+3)=0의 판별식 을 D라 하면
D4 =(k+3)Û`+4(k+3)É0 kÛ`+10k+21É0, (k+7)(k+3)É0
∴ -7ÉkÉ-3
따라서 정수 k의 최솟값은 -7이다. -7
227
xÛ`-2x+3É-xÛ`+k에서 2xÛ`-2x+3-kÉ0 이때 f(x)=2xÛ`-2x+3-k라 하면
f(x)=2{x-;2!;}Û`+;2%;-k
-1ÉxÉ1에서 f(x)É0이 항상 성립하려면 y=f(x) 의 그래프가 다음 그림과 같아야 한다.
① 4xÛ`-12x+5<0, (2x-1)(2x-5)<0 ∴ ;2!;<x<;2%;
② 4xÛ`-8x-5>0, (2x+1)(2x-5)>0 ∴ x<-;2!; 또는 x>;2%;
③ 4xÛ`-8x-5<0, (2x+1)(2x-5)<0 ∴ -;2!;<x<;2%;
④ 4xÛ`+8x-5>0, (2x+5)(2x-1)>0 ∴ x<-;2%; 또는 x>;2!;
⑤ 4xÛ`+8x-5<0, (2x+5)(2x-1)<0 ∴ -;2%;<x<;2!;
따라서 주어진 부등식과 해가 같은 부등식은 ③이다.
③
224
해가 ;1Á4;<x< 1
10 이고 xÛ` 의 계수가 1인 이차부등식은 {x-;1Á4;}{x-;1Á0;}<0
∴ xÛ`-;3¤5;x+;14!0;<0 yy ㉠
㉠과 주어진 부등식 axÛ`+bx+c>0의 부등호의 방향 이 다르므로
a<0
㉠의 양변에 a를 곱하면 axÛ`-;3¤5;ax+;14!0;a>0
이 부등식이 axÛ`+bx+c>0과 일치하므로
b=-;3¤5;a, c=;14!0;a yy ㉡
㉡을 4cxÛ`-2bx+a>0에 대입하면
;3Á5;axÛ`+;3!5@;ax+a>0 xÛ`+12x+35<0 (∵ a<0) (x+7)(x+5)<0
∴ -7<x<-5
-7<x<-5