Ⅰ. 수열의 극한
Ⅱ. 함수의 극한과 연속
Ⅲ. 다항함수의 미분법
Ⅳ. 다항함수의 적분법
®
[미적분Ⅰ]
내신・모의고사
대비
T
E
S
T
[정답 및 해설]
Ⅰ. 수열의 극한
S U M M A C U M L A U D E 내신・모의고사 대비 TEST0
1
[ +1]=[ ]+1 yy㉠ -1<[ ]… yy㉡ ㉠, ㉡에서 <[ +1]… +1 < [ +1]… { +1} 각 변에 극한을 취하면 … [ +1]… { + } … [ +1]… ∴ [ +1]= ④0
2
f(n)=3‚ +3⁄ +3¤ +y+3« = = g(n)=5‚ +5⁄ +5¤ +y+5« = =111335« ±⁄ -1 4 5« ±⁄ -1 1112555-1 3« ±⁄ -1 111332 3« ±⁄ -1 11123-1 1 1 12 n 12 1 1n lim n⁄¶ 1 12 n 12 1 1n lim n⁄¶ 1 12 1 1n 1 12 lim n⁄¶ n 12 1 1n lim n⁄¶ 1 12 lim n⁄¶ n 12 1 1n n 12 1 1n 1 12 n 12 n 12 n 12 n 12 n 12 n 12 n 12 n 12 = = = ∴ = = ③0
3
(2n)¤¤ =4n¤ (2n+1)¤ =4n¤ +4n+1 2n<"4√n¤ +ç2n<2n+1 따라서 "4√n¤ +ç2n의 정수 부분은 2n이다. a«=2n b«="4√n¤ +ç2n-2n ∴ b« ∴= ∴= ∴= 11111332 =1112 ① Æ4¬+ ¬;n@; +2 lim n⁄¶ 2n 11111123 "4√n¤ +ç2n +2n lim n⁄¶ ("4√n¤ +ç2n-2n)("4√n¤ +ç2n+2n) 11111111111111234 "4√n¤ +ç2n +2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 5 1 14 3 3 6 {1}n +5-1455 5« 1111111453 4 {1}n +45 lim n⁄¶ f(n)+g(n) 11111243« +5« lim n⁄¶ 3 3 6 {1}n +5-1455 5« 1111111453 4 {1}n +45 2¥3« ±⁄ +5« ±⁄ -3 111111154(3« +5« ) 3« ±⁄ -1 5« ±⁄ -1 11133+111332 4 11111111153« +5« f(n)+g(n) 11111243« +5«미적분Ⅰ
Ⅰ- 1. 수열의 극한 본문 402~408쪽 01④ 02③ 03① 04 12 05② 06① 07⑤ 08 15 09① 10④ 11② 12② 13② 14⑤ 15① 16① 17② 18② 19③ 20③ 21① 22 23 23② 24④03
Ⅰ-1. 수열의 극한0
4
a+0이면 주어진 식의 극한은 ¶ 또는 -¶로 발산하므로 a=0이어야 한다. a=0을 주어진 식에 대입하면 = =;3B;=4 ∴ b=12 ∴ a+b=0+12=12 120
5
시립 병원 개원 n일째, 입원 환자의 수를 a«이 라 하면 a«≠¡= a«+300 a«= a«≠¡=a이므로 a«≠¡= { a«+300} a= a+300, a=300 ∴ a=750 따라서 장기적으로 이 병원의 입원 환자는 750명으로 수 렴하므로 병상이 부족하지 않기 위한 최소한의 병상 수는 750이다. ②0
6
a= =n¤ +n+1 b= =3n¤ -n+3 ∴ = =111 ① 3 n¤ +n+1 11112343n¤ -n+3 lim n⁄¶ a 1b lim n⁄¶ 6n¤ -2n+6 1111122 2n¤ +2n+2 1111122 2 15 3 15 3 15 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3 15 b+;n&; 111 3+;n!; lim n⁄¶ bn+7 11223n+1 lim n⁄¶0
7
A’«B”«≠¡”=A’«C”«≠¡” 이므로 ∠A«C«≠¡B«≠¡ =∠A«B«≠¡C«≠¡이고, 원의 접선과 그 접점을 지 나는 현이 이루는 각의 크 기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기과 같 으므로 ∠A«C«≠¡B«≠¡=∠C«≠¡A«≠¡B«≠¡ a«=∠B«A«C«으로 놓으면 △A«B«≠¡C«≠¡에서 a«+2a«≠¡=180˘ a«≠¡=- a«+90˘ a«≠¡-60˘=- (a«-60˘) a«-60˘=(a¡-60˘){- }n - 1 ∴ a«=60˘ ⑤0
8
수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 3n¤ +2n<a«<3n¤ +3n 이므로 < < 이때, 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 … … 이 성립하고 = 111135 {3+;n@;}2 =15, 1+15 n lim n⁄¶ 5(3n¤ +2n) 111115n¤ +2n lim n⁄¶ 5(3n¤ +3n) 111115n¤ +2n lim n⁄¶ 5a« 1115n¤ +2n lim n⁄¶ 5(3n¤ +2n) 111115n¤ +2n lim n⁄¶ 5(3n¤ +3n) 111112n¤ +2n 5a« 1112n¤ +2n 5(3n¤ +2n) 111112n¤ +2n lim n⁄¶ 1 12 1 12 1 12 An Cn Cn+1 Bn Bn+1 An+1미적분Ⅰ
Ⅰ-1. 수열의 극한
내신・모의고사 대비 TEST= =15 이므로 샌드위치 정리에 의해 =15 15
0
9
a«을 n일 후 비타민의 잔류량이라고 하면 a¡=(1-0.6)¥100+100=140이고 a«≠¡=(1-0.6)a«+100= a«+100 yy㉠ a«=0.4a«–¡+100 yy㉡ ㉠-㉡을 하면 a«≠¡-a«=0.4(a«-a«–¡) a£-a™=0.4(a™-a¡) a¢-a£=0.4(a£-a™) `⋮ ⋮ a«-a«–¡=0.4(a«–¡-a«–™) a«≠¡-a«=0.4(a«-a«–¡) ∴a«≠¡-a«=(a™-a¡)¥(0.4)« —⁄ a™=0.4a¡+100=0.4_140+100=156, a¡=140이므로 a™-a¡=156-140=16, a«≠¡-a«=16¥(0.4)« —⁄ a«=140+ =140+ =140+ ¥{1-(0.4)« —⁄ } ∴ a«= [140+ ¥{1-(0.4)« —⁄ }] =140+ = ① 500 113 80 123 80 123 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 80 123 16{1-(0.4)« —⁄ } 111111151-0.4 16¥(0.4)˚ —⁄ n-1 ; k=1 0.4 5a« 1115n¤ +2n lim n⁄¶ 5 {3+;n#;} 111132 1+15 n lim n⁄¶ 5(3n¤ +3n) 111115n¤ +2n lim n⁄¶10
f¡(x)= x f™(x)= { x}= x f£(x)= { x}= x ⋮ f«(x)= x g(x)= { x+ x+ x+ y + x} g(x)= { + + + y + }x g(x)= x=x ∴g(2)=2 ④11
원 x¤ +y¤ =4n¤ +3n의 반지름의 길이 r는 r="√4n¤ +3n yy㉠ 또, 이 원의 중심 O에서 점 A«(n, '3n)까지의 거리는 O’A«”="√n¤ +3n¤ =2n yy㉡ 이때, ㉠, ㉡의 크기를 비교해 보면 r¤ >O’A«”¤ 이므로 점 A«은 원의 내부에 위치한다. 따라서 원 위의 점 P에 대하여 선분 PA«의 길이의 최솟값 a«은 a«=r-O’A«”="√4n¤ +3n-2n ∴ a«= ("√4n¤ +3n-2n) ∴ a«= ∴ a«= ∴ a«=1113 =;4#; ② "4+2 3n 1111112 "√4n¤ +3n+2n lim n⁄¶ ("√4n¤ +3n-2n)("√4n¤ +3n+2n) 1111111111111155 "√4n¤ +3n+2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1 1[1-{1} n ] 2 2 11111141 1-1 2 lim n⁄¶ 1 132« 1 132‹ 1 132¤ 1 12 lim n⁄¶ 1 132« 1 132‹ 1 132¤ 1 12 lim n⁄¶ 1 132« 1 132‹ 1 132¤ 1 12 1 132¤ 1 12 1 12 1 12미적분Ⅰ
Ⅰ-1. 수열의 극한
내신・모의고사 대비 TEST05
Ⅰ-1. 수열의 극한12
1부터 n까지의 자연수 가운데 2개의 수를 뽑아 곱한 값들의 합은 (1+2+3+y+n)(1+2+3+y+n) 이다. 따라서 구하려는S«은 S«= S«= S«= ∴ = = ②13
그래프를 이용하면 쉽게 예측 가능하다. y='ƒx+6의 그래프에 x='ß6 을 대입하고, y=x의 그래프를 이용하여 x="√6+'≈ß6 을 대입하고, 다시 같은 방법으로 x=ø6π+"√6π+'≈ß6 을 대입하는 과정 을 반복하면 결국 a«은 y='ƒx+6과 y=x의 그래프 의 교점의 x좌표 또는 y좌표임을 알 수 있다. 'ƒx+6 =x, x+6=x¤ , (x+2)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ x>0) ∴lima«=3 ② n⁄¶ lim n⁄¶ O -6 ´6 = x a¡ a™ a£ a¢ a™ a£ … … y y=x y= x+6 1 1 18 3n› +2n‹ -3n¤ -2n 111111112324n› lim n⁄¶ S« 12n› lim n⁄¶ 3n› +2n‹ -3n¤ -2n 11111111124 n(n+1) n(n+1)(2n+1) [11113]2 - 111111112 6 11111111111111122 (1+2+3+y+n)¤ -(1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤ ) 1111111111111111111214
{a«}： 2, 8, 18, 32, y ∨ ∨ ∨ {b«}： 6 10 14 ∴a«=2+ (4k+2)=2n¤ S«= a˚= 2k¤ = ㄱ.a¡º=200 (참) ㄴ. S¡™=1300 (참) ㄷ. = =3 (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤15
a«b«=5, a«=¶이므로 b«=0이다. (∵ b«=¶이면 a«b«+5이고, (∵ b«=c (c는 0이 아닌 상수)이면 a«b«=¶) ∴ (a«b«¤ -a«b«-b«+1) = (a«b«-1)(b«-1) =4_(-1)=-4 ①16
a«='ƒn+ßa∂«–¡ 의 양변을 제곱하면 a«¤ =n+a«–¡ a«¤ -n=a«–¡(a«+'ßn )(a«-'ßn )=a«–¡
a«-'ßn= ¥ 이때,0<a«-'ån<1이므로 a«–¡ 1 11123 a«+'ßn lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 6n‹ 11111111n(n+1)(2n+1) lim n⁄¶ na« 1234S« lim n⁄¶ n(n+1)(2n+1) 111111113 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n-1 ¡ k=1
미적분Ⅰ
Ⅰ-1. 수열의 극한
내신・모의고사 대비 TEST< -1< … { -1}… 1… …1 ∴ = ①
17
⁄n=1일 때 1+4 ¤n=2일 때 (1+4)+8 ‹n=3일 때 (1+4+8)+12 3 3 -3 -3 O x y O -2 -2 2 2 x y O -1 1 1 -1 x y 1 a« 123 'ßn lim n⁄¶ a« 123 'ßn lim n⁄¶ 1 123 'ßn lim n⁄¶ a« 123 'ßn lim n⁄¶ 0 123 'ßn lim n⁄¶ 1 123 'ßn a« 123 'ßn 0 123 'ßn ∴a«=5+ 4(k+1)=2n¤ +2n+1 ∴ = =1 ②18
… … … ⋮ … 변변 곱하면 …{ }n 0<a«≠¡…{ }n ¥a¡ 각 변에 극한을 취하면 0… a«≠¡…0 ∴ a«≠¡= a«=0 yy㉠ ∴ =2017 (∵ ㉠) ②19
a«=n{æ≠ -a}= 이므로 n이 무한대로 커질 때, 분모가 0으로 수렴한다. 따라서 a«이 수렴하기 위해서는 분자도 0으로 수렴해야 한다. {æ≠ -a}= ∴ a= 1 12 0 n-1 112334n+1 lim n⁄¶ n-1 Æ…11233 -a4n+1 11111131 1n n-1 112334n+1 2016a«≠¡+2017n¤ +2014 11111111112332018a«+n¤ -2015 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2014 11342015 2014 11342015 a«≠¡ 115a¡ 2014 11342015 a«≠¡ 115a« 2014 11342015 a¢ 13a£ 2014 11342015 a£ 13a™ 2014 11342015 a™ 13a¡ 2n¤ +2n+1 1111122n¤ lim n⁄¶ a« 1232n¤ lim n⁄¶ n-1 ¡ k=1미적분Ⅰ
Ⅰ-1. 수열의 극한
내신・모의고사 대비 TEST07
Ⅰ-1. 수열의 극한 a«=n{æ≠ - } = = ∴ a«= ③20
ㄱ. ㄴ. ㄷ. 따라서 수렴하는 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③ a£ a™ a™ a£ … k=a¡ O x y y=f{x} y=x O…a£ x a£ a™ a™ k=a¡ y y=x y=f{x} 수렴 O…a£ x a£ a™ a™ k=a¡ y y=x y=f{x} 수렴 5 -12 16 lim n⁄¶ -5n 1112516n+4 1111111n-1 1 Æ…11233 + 14n+1 2 n-1 1 n {11233-1}4n+1 4 111111133n-1 1 Æ…11233 + 14n+1 2 1 12 n-1 112334n+121
B’P¡Ú=x¡= B’P«Ú=x«으로 놓으면 B’P«Ú≠¡’을 밑변으로 하는 직각삼각형에서 x«≠¡=(1-x«)cos60˘ = - x« x«≠¡- =- {x«- } x«- ={x¡- }{- }n - 1 x«= {- }n - 1 + ∴ B’P«Ú= [ {- }n - 1 + ]= ①22
조건 ㈎에서 a«=¶이므로 =0 yy㉠ 또, 조건 ㈏에서 (2a«-5b«)=3이므로 2a«-5b«=c«이라 하면 b«=;5!;(2a«-c«)이고 c«=3 yy㉡ 이때, ㉠, ㉡이 모두 수렴하므로 = c«¥ 151 =3¥0=0 a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ c« 15a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 15a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1 13 1 13 1 12 1 16 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 13 1 12 1 16 1 12 1 13 1 13 1 13 1 12 1 13 1 12 1 12 1 12 A Pn+1 Pn xn+1 xn 1-xn xn P¡ C B미적분Ⅰ
Ⅰ-1. 수열의 극한
내신・모의고사 대비 TEST이 성립한다. ∴ = ∴ = ∴ = ∴ = 따라서 p=7, q=16이므로 p+q=7+16=23 23
23
정육각형 H«의 넓이를 S«이라 하면, S¡=100 S«≠¡= S«+x (n=1, 2, 3, y) S«≠¡- x= {S«- x} S«- x={100- x}{ }n - 1 S«= x+{100- x}{ }n - 1 ∴ S«= x=42 ∴ x=35 ②24
"√f(n)-n= 이므로 ("√f(n)-n)=1이 되려면 f(n)은 이차함수이어야 한다. f(n)=an¤ +bn+c(a+0)를 대입하면 lim n⁄¶ f(n)-n¤ 11111 "√f(n)+n 6 15 lim n⁄¶ 1 16 6 15 6 15 1 16 6 15 6 15 6 15 1 16 6 15 1 16 16 137 c« 16-3¥15 a« 111122c« 7-15 a« lim n⁄¶ 16a«-3c« 11123227a«-c« lim n⁄¶ 2a«+3¥;5!;(2a«-c«) 1111111122 a«+;5!;(2a«-c«) lim n⁄¶ 2a«+3b« 111232a«+b« lim n⁄¶ "√f(n)-n= = 이고, ("√f(n)-n)=1이므로 a=1, b=2 이때 f{ }= + +c이므로 f { }=10에서 c=10 ∴ f(x)=x¤ +2x+10 ∴ f(1)=13 ④ 1 1n lim n⁄¶ 2 1n 1 13n¤ 1 1n lim n⁄¶ (a-1)n¤ +bn+c 1111111234 "√an¤ √+b√n+c+n f(n)-n¤ 11111 "√f(n)+n미적분Ⅰ
Ⅰ-1. 수열의 극한
내신・모의고사 대비 TEST09
Ⅰ-2. 급수0
1
'3 =3;2!;, "ç'3=3 , ø∑"ç'μ3=3 , y log;9!;'3 +log;9!;"ç'3 +log;9!;ø∑"ç'μ3 +y={- }_ +{- }_ +{- }_ +y = =- ①
0
2
급수 (a« -b« )이 수렴하려면 ⁄a=b일 때 0으로 수렴 ¤a+b일 때 a« , b« 이 각각 수렴해야 하므로 -1<a<1이고 -1<b<1 따라서 주어진 보기에서 ⁄ 또는 ¤를 만족하는 (a, b) 는 ㄱ, ㄷ이다. ③0
3
r« 이 수렴하므로 -1<r<1 ㄱ. 과 ;¶1113(-r)«2 이 각각 수렴하므로 수렴 n=1 r« 132 ¶ ; n=1 ¶ ; n=1 ¶ ; n=1 ¶ ; n=1 ¶ ; n=1 1 1 12 - ;4!; 1115 1- ;2!; 1 142‹ 1 12 1 142¤ 1 12 1 12 1 12 1 132‹ 1 132¤ (∵ -1<-r<1 jK (-r)« 이 수렴) ㄴ. r« 과 r¤ « 이 각각 수렴하므로 수렴 (∵ 0…r¤ <1 jK r¤ « 이 수렴) ㄷ. -1<r<1, - < < - < -1<- jK { -1}n 은 반드시 수 렴한다고 할 수 없다. 따라서 수렴하는 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③0
4
공비가 a인 등비급수가 수렴하므로 -1<a<1a+0이므로 1+a+a¤ +a‹ + y = =ka
k= =
-1<a<1일 때, -2<-{a- }2 + … ∴ k<- 또는 kæ4
따라서 k의 값이 될 수 없는 것은 '2뿐이다. ②
0
5
a¡=2, a™=2;2!;, a£=2 , y,a«=2∴ a¡a™a£y a«= 2{1+ ;2!; + +y + } =2 =4 4 1 111 1-;2!; 1 1152« —⁄ 1 132¤ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1152« —⁄ 1 132¤ 1 12 1 14 1 14 1 12 1 11111113 -{a-;2!;}2 +;4!; 1 111234a(1-a) 1 1121-a r 12 ¶ ; n=1 1 12 r 12 3 12 1 12 r 12 1 12 ¶ ; n=1 ¶ ; n=1 ¶ ; n=1 ¶ ; n=1
미적분Ⅰ
Ⅰ-2. 급수
내신・모의고사 대비 TEST Ⅰ- 2. 급수 본문 409~413쪽 01① 02③ 03③ 04② 05 4 06② 07 330 cm 08① 09② 10③ 11① 12② 13① 14③ 15① 1612 17④ 18③ 19②0
6
어두운 부분의 직각삼각형의 빗변과 다른 한 변 의 길이의 비가 2 : 1임을 이용한다. (r«≠¡+r«) : (r«-r«≠¡)=2 : 1 2r«-2r«≠¡=r«≠¡+r« 3r«≠¡=r« ∴r«≠¡= r« ∴ r«= =9 ②0
7
90 cm 높이에서 떨어진 공이 바닥에 닿으면 다 시 90_ 만큼 튀어오른 후, 다시 90_ 만큼 떨어진 다. 이 공은 다시 90_{ }2 만큼 튀어오른 다음, 다시 90_{ }2 만큼 떨어진다. 이와 같이 반복되는 상황을 식 으로 나타내면 공이 정지할 때까지 움직인 거리 S는 S=90+2[90_ +90_{ }2 +90_{ }3 +y] S=90+2_ S=90+240 S=330 (cm) 330 cm 4 90_1 7 111234 1-1 7 4 17 4 17 4 17 4 17 4 17 4 17 4 17 6 11151 1-1 3 ¶ ¡ n=1 1 13 On On+1 30æ rn+1 rn0
8
오른쪽 그림에 서 가장 큰 칸의 넓이를 로 하면 전체의 넓이 는 1이다. ∴ + + + y + + y=1 ①0
9
1523+7=1530이므로 5로 나눈 나머지는 0 1523¤ +7=×××6이므로 5로 나눈 나머지는 1 1523‹ +7=×××4이므로 5로 나눈 나머지는 4 1523› +7=×××8이므로 5로 나눈 나머지는 3 1523fi +7=×××0이므로 5로 나눈 나머지는 0 1523fl +7=×××6이므로 5로 나눈 나머지는 1 ⋮ 결국,a«은 0, 1, 4, 3이 반복되어 나타난다. ∴ = + + + + y =0.01430143 y =0.H014H3= ②10
A«=(x«-x«≠¡)f(x«) =[{ }n - 1 -{ }n ]{ } 2n-2 ={ } n-1 {1- }{ } 2n-2 = { }3n-3= { }n-1 이므로 8 14427 1 13 2 13 1 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 143 1 11999913333 3 11110000 4 1121000 1 11100 0 1210 a˚ 12310˚ ¶ ¡ k=1 n 1152n+1 3 1216 2 18 1 14 1 14 4 1 8 1 8 1 16 1 16 1 16 1 321 321 321 321미적분Ⅰ
Ⅰ-2. 급수
내신・모의고사 대비 TEST11
Ⅰ-2. 급수 S«=A«+A«≠¡ = { } n-1 + { } n ={ + } ¥ { }n-1 = ¥{ }n-1 ∴ S˚= = ¥ = ③11
피타고라스의 정리를 이용하면 a«≠¡=æ{≠ }≠2 +{≠ }2 = a« a«={ }n - 1 정사각형 A«의 넓이를 S«이라 하면 어두운 부분의 넓이 의 합 S는 S=S¡-S™+S£-S¢+S∞-S§+ y =a¡¤ -a™¤ +a£¤ -a¢¤ +a∞¤ -a§¤ +ya«¤ ={ }n - 1 이므로 S=1- +{ }2 -{ }3 + y = {- }k - 1 = =1133449 ① 14 1 11111 1- {-;9%;} 5 19 n ¡ k=1 lim n⁄¶ 5 19 5 19 5 19 5 19 '5 1333 '5 1333 2a« 113 a« 133 35 1 1334457 27 1219 35 1281 35 1281 111248 1-12 27 n ¡ k=1 lim n⁄¶ 8 1227 35 1281 8 1227 8 14481 1 13 8 14427 1 13 8 14427 1 13
12
동쪽으로 움직인 거리와 북쪽으로 움직인 거리 를 나누어 생각한다. 동쪽으로 움직인 거리의 총합 A는 A=100+100_{ }+100_{ }2 + y A= =500(m) 북쪽으로 움직인 거리의 총합 B는 B=25+25_{ }+25_{ }2 + y B= =250(m) 따라서 오른쪽 그림에 서 알 수 있 듯 이 250'5 m 떨어진 곳 에 가까워진다. ②13
반지름의 길이가 r, 호의 길이가 l인 부채꼴의 넓이는 rl이므로 S«= _1_ ={ }n (n=1, 2, 3, y) 따라서 수열 {S«}은 첫째항이 이고, 공비도 인 등 비수열이므로 S«= =1 ① 1 12 11151 1-1 2 ¶ ¡ n=1 1 12 1 12 1 12 1 12332« —⁄ 1 12 1 12 250´5`m 500`m 250`m 25 111339 1-12 10 9 1210 9 1210 100 11154 1-1 5 4 15 4 15미적분Ⅰ
Ⅰ-2. 급수
내신・모의고사 대비 TEST14
=0.13131 y a¡=1, a™=3, a£=1, a¢=3, …∴ = + + + + y ∴ = + + + + + + y ∴ = + + + y ∴ = = ③
15
O’A'”=O’AÚ이고 △A¡D¡O는 직각이등변삼각형이므로 반원의 반지 름의 길이를 '2로 나눈 값이 반원에 접 한 직사각형의 가로의 길이가 되고, 이 값의 2배가 세로의 길이가 된다. 즉, A¡B¡C¡D¡=5'2_10'2=100 A’¡B¡”을 지름으로 하는 반원에 대해서도 마찬가지이므로 A™B™C™D™=5_10=50 이와 같은 방식으로 모든 직사각형의 넓이를 더하면 S=100+50+25+12.5+ y S= =200 ①16
(a˚≠¡-a˚)¤ =2{1- }=S«이라 하면 S«-S«–¡=(a«≠¡-a«)¤ 이므로 (a«≠¡-a«)¤ =2{1- }-2{1- } 1 1139n-1 1 139« 1 139« n ¡ k=1 100 11151 1-1 2 10 O A¡ B¡ B A D¡ C¡ 3 1 14 2 13 111241 1-13 3¤ 2 133fi 2 133‹ 2 13 1 133fi 1 133fi 1 133‹ 1 133‹ 1 13 1 13 3 133› 1 133‹ 3 133¤ 1 13 a« 123« ¶ ¡ n=1 13 1299 = -= -= (단, n=2, 3, 4, y) 이때, (a™-a¡)¤ =S¡=2{1- }= 이므로 (a«≠¡-a«)¤ = (단, n=1, 2, 3, y) 그런데 a«≠¡>a«에서 a«≠¡-a«= 이므로 a«=a¡+ =10+ (∵ a¡=10) ∴ a«=10+ =10+ ∴ a«=10+2=12 1217
x=0일 때, f(x)=0 x+0일 때, f(x)= =1+x¤ {∵ 0< <1} 각 그래프와의 교점의 개수는 다음과 같다. ① y=x ⁄ 교점 1개 ② y=x¤ ⁄ 교점 1개 ③ x¤ +y¤ =1 ⁄ 교점 없다. ④ x¤ +(y-1)¤ =1 ⁄ 교점 3개 ⑤ x¤ +y¤ =2 ⁄ 교점 2개 O 1 x y y=f{x} ④ ② ① ③ ⑤ 1 11231+x¤ x¤ 1111141 1-111 1+x¤ ;3$; 1122 1-;3!; 4 133« ¶ ¡ n=1 lim n⁄¶ 4 133˚ n-1 ¡ k=1 4 133˚ n-1 ¡ k=1 4 133« 16 139« 16 139 1 139⁄ 16 139« 2 139« 18 139« 2 139« 2 1139n-1미적분Ⅰ
Ⅰ-2. 급수
내신・모의고사 대비 TEST13
Ⅰ-2. 급수 따라서 주어진 함수의 그래프와의 교점이 3개인 도형의 방정식은 ④ x¤ +(y-1)¤ =1이다. ④18
현재 국민들은 0.6M(원)을 현금으로 보유하고 있으며 은행에 예금된 0.4M원 가운데 70 %인 0.28M(원)은 다시 국민에게 대출된다. 국민들은 대출 받 은 0.28M(원)의 60 %인 0.28_0.6M(원)을 현금으로 보유하고 다시 0.28_0.4M(원)은 예금한다. 이 과정을 식으로 나타내면 (현금)=0.6M+0.28_0.6M+(0.28)¤ _0.6M+y (현금)= = M ③19
각 단계마다 그려지는 도형은, 바로 이전 단계에 그려진 도형을 일정한 비율로 축소한 것이므로, 수열 {S«} 은 등비수열이 된다. ⁄ 첫째항：오른쪽 그림과 같이 반원의 중심을 O, 반원이 B’¡C”¡’과 만 나는 두 점을 각각 P, Q라 하고 A’O’의 연장 선이 B’¡C”¡’ 과 만나는 점을 M이라 하자. 삼각형 AB™C™가 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로 OP”=OQ”=OB”™’=1 (∵ 반원의 반지름) 또, O’M”=;3!;A’M”=;3!;_{
_3}
= 따라서 삼각형 OPM은 ∠POM=30˘인 직각삼각형 이므로 삼각형 OPQ는 한 변의 길이가 1인 정삼각형 이다. '3 12552 '3 12552 A B¡ Q C¡ O P S¡ M C™ B™ 1 1 2 3 C 5 1 16 0.6M 111231-0.28 ∴ ∠POQ=60˘ ∴ S¡=(부채꼴 OPQ의 넓이) ∴ S¡=-(정삼각형 OPQ의 넓이) ∴ S¡=p¥1¤ ¥ - ¥1¤ ∴ S¡= -¤ 공비：정삼각형 AB¡C¡과 정삼각형 AB™C™가 닮음이 고 닮음비가 3 : 2이므로 S¡ : S™=3¤ : 2¤ =9 : 4 따라서 축소되는 넓이의 비율, 즉 공비는 ;9$;이다. ⁄, ¤에서 S«은 첫째항이 - 이고 공비가 ;9$; 인 등비급수의 합이므로 S«= = S«=1116p-9'31111122 ② 20 9(2p-3'3) 1111125512¥5 p '3 1-1256 4 111154 1-;9$; ¶ ¡ n=1 '3 12554 p 156 ¶ ¡ n=1 '3 12554 p 156 '3 12554 60˘ 151360˘미적분Ⅰ
Ⅰ-2. 급수
내신・모의고사 대비 TESTⅡ. 함수의 극한과 연속
S U M M A C U M L A U D E 내신・모의고사 대비 TEST0
1
주어진 그래프로부터 f(x)=3, f(x)=0 ∴ f(x)+ f(x)=3+0=3 ③0
2
= = = = ④0
3
x⁄ 1일 때 (분모) ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어 야 한다. 즉, (x‹ +ax-1)=1+a-1=0 ∴ a=0 ∴ = (x¤ +x+1)=1+1+1=3=b ∴ a+3b=9 9 lim x⁄1 x‹ -1 11344x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 'ß6 1 122442 2'3 12544 2'2 2x('ƒ3+x+'ƒ3-x ) 11111111233 2x('ƒ2+x+'ƒ2-x ) lim x⁄0 (2+x-2+x)('ƒ3+x+'ƒ3-x ) 11111111111112544 (3+x-3+x)('ƒ2+x+'ƒ2-x ) lim x⁄0 'ƒ2+x-'ƒ2-x 1111111 'ƒ3+x-'ƒ3-x lim x⁄0 lim x⁄0+ lim x ⁄-1-lim x⁄0+ lim x⁄-1-0
4
0…x<1일 때 0<f(x)<1이므로 [ f(x)]=0 ∴ [ f(x)]=0 ②0
5
=b에서 x⁄2일 때 극한값이 존재하고, (분모) ⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, ('ƒx+a-2)='ƒ2+a-2=0'ƒ2+a =2, 2+a=4 ∴ a=2 yy ㉠ ㉠을 주어진 식에 대입하면 = = = =;4!; ∴ b=;4!; ∴ 10a+4b=20+1=21 21
0
6
주어진 식의 분모, 분자에 ("x√+a¤ +"x√+b¤ )('4ƒx+a+'4ƒx+b )를 곱하면 (주어진 식)= =(a+b)¥11442+21+1=2 ④ (a¤ -b¤ )('4ƒx+a+'4ƒx+b ) 111111111111334 (a-b)("x√+a¤ +"x√+b¤ ) lim x⁄¶ 1 11121 'ƒx+2 +2 lim x⁄2 (x+2)-4 11121211123 (x-2)('ƒx+2+2 ) lim x⁄2 'ƒx+2-2 111212x-2 lim x⁄2 'ƒx+a-2 111214x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 'ƒx+a-2 111214x-2 lim x⁄2 lim x⁄0+미적분Ⅰ
본문 414~418쪽 Ⅱ- 1. 함수의 극한 01③ 02④ 03 9 04② 05 21 06④ 07④ 08① 09 18 10③ 11⑤ 12④ 13④ 14② 15④ 16④ 17① 18④07
=4에서 x-2=t로 놓으면 x=t+2이고, x⁄2일 때 t ⁄0이므로 = = [ ¥ ] =;2!; =4 따라서 =8이므로 =8 ④0
8
[x]=2이므로 ([x]‹ +a[x]¤ +b[x]+1)=8+4a+2b+1 [x]=1이므로 ([x]‹ +a[x]¤ +b[x]+1)=1+a+b+1 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 9+4a+2b=2+a+b ∴ 3a+b=-7 ①0
9
f(x)=1이므로 a=0, b=1 yy`㉠ f(x)= 이므로 = ∴ e=1 yy`㉡ =-1에서 x⁄-1일때(분모) ⁄0이므로(분자) ⁄0이어야한다. -1+c-d+1=0 ∴ c=d yy`㉢ x‹ +cx¤ +dx+1 1111112334x‹ -x¤ +2 lim x⁄-1 1 12 e 12 1 12 lim x⁄0 lim x⁄¶ lim x ⁄2-lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x⁄2+ f(x) 114x lim x⁄0 f(t) 114t lim t⁄0 f(t) 114t lim t⁄0 f(t) 114t 1 112t+2 lim t⁄0 f(t) 11124(t+2)t lim t⁄0 f(x-2) 1111x¤ -2x lim x⁄2 f(x-2) 1111x¤ -2x lim x⁄2 = = =-1 ∴ c=8 yy`㉣ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣에서 a+b+c+d+e=0+1+8+8+1=18 1810
직선 y=x+1과 수직인 직선의 기울기는 -1 이므로 점 P(t, t+1)을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 y-(t+1)=-(x-t) ∴ y=-x+2t+1 점 Q는 이 직선과 y축의 교점이므로 Q(0, 2t+1) 이제 세 점 A(-1, 0), P, Q에 대하여 AQ”¤ =1¤ +(2t+1)¤ =4t¤ +4t+2 AP”¤ =(t+1)¤ +(t+1)¤ =2t¤ +4t+2 ∴ = ∴ = =;2$;=2 ③11
A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)이고 P(t, 1-t¤ )(0<t<1)으로 놓으면 직선 CP의 방정식은 y= x+1 ∴ y=-tx+1 점 Q의 좌표는 -tx=-1에서 x= 이므로 { , 0} 또, 직선 AP의 방정식은 y= (x+1) ∴ y=(1-t)(x+1) 1-t¤ 1133t+1 1 1t 1 1t -t¤ 1234t 4 2 4+1+15 t t¤ 11111554 2 2+1+15 t t¤ lim t⁄¶ 4t¤ +4t+2 111112t¤ +4t+2 lim t⁄¶ AQ”¤ 112 AP”¤ lim t⁄¶ 3-c 11445 x¤ +(c-1)x+1 11111113x¤ -2x+2 lim x⁄-1 (x+1){x¤ +(c-1)x+1} 11111111112344(x+1)(x¤ -2x+2) lim x⁄-115
Ⅱ-1. 함수의 극한미적분Ⅰ
Ⅱ-1. 함수의 극한
내신・모의고사 대비 TEST점 R의 좌표는 { , (1-t) } ∴ QR”= , BQ”= 점 P가 점 B에 한없이 가까이 가면 t⁄ 1-이므로 구하는 극한값은 = = (t+1)=2 ⑤
12
주어진 식의 분모, 분자에 x¤ 을 곱하면 = =t로 치환하면 x⁄ 0+일 때 t ⁄ ¶이므로 (주어진 식)= (주어진 식)= = {∵ =2} ④13
① x=2, x=-2에서 모두 극한값을 가지므로 곱도 극한값을 가진다. ② x=2, x=-2에서 모두 극한값을 가지므로 곱도 극 한값을 가진다. ③ f(x)=0, f(x)=1 f(-x)= f(x)=1 f(-x)= f(x)=0 ∴ { f(x)f(-x)}=0=lim { f(x)f(-x)} x ⁄2-lim x⁄2+ lim x⁄-2+ lim x ⁄2-lim x ⁄-2-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2+ f(t) 12334t¤ lim t⁄¶ 2 1 17 4-2 11443+4 f(t) 4-114 t¤ 1111144f(t) 3+2¥114 t¤ lim t⁄¶ 1 1x 1 4-x¤ f {1}x 11111241 3+2x¤ f {1}x lim x⁄0+ 4 1 12-fx¤ {1}x 111112443 1 12+2fx¤ {1}x lim x⁄0+ lim t ⁄1-(1-t)(t+1) 111112544t 111112544341-t 12434t lim t ⁄1-QR” 11BQ” lim t ⁄1-1-t 12434t (1-t)(t+1) 111112544t t+1 12434t 1 1t ④ f(x)=-¶, f(-x)=c(양인 상수) f(x)=¶, f(-x)=c ∴ { f(x)f(-x)}=-¶ ∴ { f(x)f(-x)}=¶ 따라서 좌극한과 우극한이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다. ⑤ x=2, x=-2에서 모두 극한값을 가지므로 곱도 극 한값을 가진다. 따라서 { f(x)f(-x)}의 값이 존재하지 않는 것은 ④이다. ④14
① 1+ 은 유리수이므로 f {1+ }= {1+ }‡ =1 (참) ② 2+ 은 무리수이므로 f {2+ } = {2+ }fl =2fl (거짓) ③ -1+ 은 무리수이므로 f {-1+ } = {-1+ }fl =1 (참) ④ ⁄ x<Q이면 f(x)= x‡ =1 ¤x<I이면 f(x)= xfl =1 ⁄, ¤에서lim f(x)=1 (참) x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 1 1112 "√n¤ +2 lim n⁄¶ 1 1112 "√n¤ +2 lim n⁄¶ 1 1112 "√n¤ +2 1 1112 "√n¤ +2 lim n⁄¶ 1 1112 "√n¤ +2 lim n⁄¶ 1 1112 "√n¤ +2 1 13n¤ lim n⁄¶ 1 13n¤ lim n⁄¶ 1 13n¤ lim x⁄2 lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2-미적분Ⅰ
Ⅱ-1. 함수의 극한
내신・모의고사 대비 TEST⑤ ⁄ x<Q이면 f(x)= x‡ =-1 ¤x<I이면 f(x)= xfl =1 ⁄, ¤에서 f(x)는 존재하지 않는다. (참) 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. ②
15
ㄱ. f(x)=0, f(x)=2이므로 극한값은 존재하지 않는다. (거짓) ㄴ. f(x)=0이므로 ( fΩf)(x)= f(x)=1 ∴ ( fΩfΩf)(x)= ( fΩf)(x) ∴ ( fΩfΩf)(x)= f(x)=0 (참) ㄷ. f(x)=0이므로 ( fΩf)(x)= f(x)=1 (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④16
ㄱ. f(x)=-1이고, f(x)=-1 ㄴ. 이므로 f(x)=-1 (참) ㄴ. { f(x)+g(x)}=0-1=-1이고, ㄴ. { f(x)+g(x)}=1+0=1이므로 ㄴ. { f(x)+g(x)}의 값은 존재하지 않는다. (거짓) ㄷ. f(x)g(x)=1_0=0이고, ㄷ. f(x)g(x)=0_(-1)=0이므로 ㄷ. f(x)g(x)=0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④ lim x⁄-1 lim x⁄-1+ lim x ⁄-1-lim x⁄1 lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄0 lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x⁄0+ lim x⁄1+ lim x⁄0+ lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄-1 lim x⁄-1 lim x⁄-1 lim x⁄-1 lim x⁄-117
정의역에 속하는 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x) 가 성립하므로 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다. ∴ f(x)+ f(x) ∴=(-1)+(-2)=-3 [다른 풀이]정의역에 속하는 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)가 성립하므로 f(x)=- f(-x) 이때, -x=t로 치환하면 x⁄-1+일 때, t ⁄1-이므 로 - f(-x)=- f(t)=-1 ∴ f(x)+ f(x)=(-1)+(-2)=-3 ①18
원 C™에 외접하는 원 C¡이 x축에 접하므로 O H 1 P(x, y) A(0, 3) C™ C¡ x y lim x ⁄2-lim x⁄-1+ lim t ⁄1-lim x⁄-1+ lim x⁄-1+ lim x⁄-1+ lim x ⁄2-lim x⁄-1+ x y y=f{x} O 1 1 2 2 -1 -1 -2 -217
Ⅱ-1. 함수의 극한미적분Ⅰ
Ⅱ-1. 함수의 극한
내신・모의고사 대비 TEST(원 C¡의 반지름의 길이)=y ∴ PA”=y+1 한편, H(0, y)이므로 PH”=x ∴ = …… ㉠ 그런데 PA”="√x¤ +(y-3)¤ 이므로 "√x¤ +(y-3)¤ =y+1 이 성립한다. 양변을 제곱하여 풀면 x¤ +y¤ -6y+9=y¤ +2y+1
8y=x¤ +8 ∴ y= …… ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 = = = =;1*;=8 [다른 풀이]x⁄¶이면 y ⁄¶이므로 8y=x¤ +8 HjK x¤ =8y-8 을 ㉠에 대입하면 = = =;1*;=8 ④ 8 8-1y 11151 1+1y lim y⁄¶ 8y-8 111y+1 lim y⁄¶ PH”¤ 11 PA” lim x⁄¶ 8 1115516 1+135 x¤ lim x⁄¶ 8x¤ 1115x¤ +16 lim x⁄¶ x¤ 1111255x¤ +8 111+18 lim x⁄¶ PH”¤ 11 PA” lim x⁄¶ x¤ +8 114458 x¤ 1144y+1 lim x⁄¶ PH”¤ 11 PA” lim x⁄¶
미적분Ⅰ
Ⅱ-1. 함수의 극한
내신・모의고사 대비 TEST0
1
의 극한값이 존재하고, x⁄2일 때, (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, f(x-2)=0 f(x)는 x=0에서 연속이므로 f(0)=0 00
2
(x-2)f(x)=x‹ -8에서 x+2이면 f(x)= 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 f(2)= f(x)= = = (x¤ +2x+4)=12 120
3
f(x)가 x=3에서 연속이므로 f(x)=f(3), 즉 =b yy㉠ ㉠에서 (x-3)=0이므로 (x¤ +x+a)=0 ∴ 9+3+a=0 ∴ a=-12 a=-12를 ㉠에 대입하면 lim x⁄3 lim x⁄3 x¤ +x+a 111134x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄2 (x-2)(x¤ +2x+4) 111111113444x-2 lim x⁄2 x‹ -8 11335x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 x‹ -8 11335x-2 lim x⁄2 f(x-2) 1112544x-2 lim x⁄2 = =7 ∴ b=7 ∴ a+b=-5 ①0
4
함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(1)= f(x)= x ⁄ 1일 때, (분모) ⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다. ∴ (x‹ +x¤ +ax+b)=0 ∴ b=-2-a yy ㉠ 즉, x‹ +x¤ +ax+b=x‹ +x¤ +ax-2-a =(x-1)(x¤ +2x+2+a) = = 또, x⁄1일때, (분모) ⁄0이므로(분자) ⁄0이어야한다. ∴ (x¤ +2x+2+a)=0 1+2+2+a=0 ∴ a=-5 a=-5를 ㉠에 대입하면 b=3 ∴ f(x)= = = (x+3)=4 즉, f(1)=c=4 ∴ a+b+c=-5+3+4=2 ③0
5
⁄|x|<1일 때, x2n =0, x2n+1 =0이므로 f(x)=0 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim x⁄1 (x-1)¤ (x+3) 111111245(x-1)¤ lim x⁄1 x‹ +x¤ -5x+3 111111345(x-1)¤ lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ +2x+2+a 11111144x-1 lim x⁄1 (x-1)(x¤ +2x+2+a) 11111121113544(x-1)¤ lim x⁄1 x‹ +x¤ +ax+b 111111345(x-1)¤ lim x⁄1 lim x⁄1 x‹ +x¤ +ax+b 111111233(x-1)¤ lim x⁄1 lim x⁄1 (x-3)(x+4) 1111231233x-3 lim x⁄3 x¤ +x-12 11112333x-3 lim x⁄319
Ⅱ-2. 함수의 연속미적분Ⅰ
Ⅱ-2. 함수의 연속
내신・모의고사 대비 TEST 본문 419~426쪽 Ⅱ- 2. 함수의 연속 01 0 02 12 03① 04③ 05④ 06⑤ 07④ 08③ 09④ 10② 11④ 12 0 13 96 14③ 15④ 16④ 17① 18② 19② 20① 21③ 22④ 23④ 24 380 25 4 26③ 27③ 28① 29⑤ 30③¤|x|>1일 때, f(x)= =x ‹x=1일 때, f(x)= ›x=-1일 때, f(x)=-따라서 y=f(x)의 그래프는 그림과 같고 함수 y=f(x)는 x+—1인 모든 점에서 연속 이므로 옳은 것은 ④이다. ④
0
6
함수 f(x)= 에서 ⁄|x|<1일 때, f(x)=ax+b ¤|x|>1일 때, f(x)= = =x ‹x=1일 때, f(1)= ›x=-1일 때, (-1)2n =1, (-1)2n+1 =-1이므로 f(-1)= 모든 실수값에 대하여 연속이어야 하므로 x=—1에서 연 속이 되도록 a, b의 값을 정하면 된다. x=1에서 연속이어야 하므로 f(x)= f(x)=f(1) 즉, a+b=1= ∴ a+b=1 yy㉠ 1+a+b 1112342 lim x⁄1+ lim x ⁄1--1-a+b 11112332 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1+a+b 1112342 x 11 x¤ « ±⁄ ax+b 1133+112534x¤ « x¤ « 111111224341 1+123 x¤ « lim n⁄¶ x¤ « ±⁄ +ax+b 111113434x¤ « +1 lim n⁄¶ 1 14 --41 1 1 -1 -1 -41 O x y 1 14 x 1112333 123+1x¤ « lim n⁄¶ x=-1에서 연속이어야 하므로 f(x)= f(x)=f(-1) 즉, -1=-a+b= ∴ -a+b=-1 yy㉡ ㉠, ㉡에서 a=1, b=0 ⑤0
7
① ㈎로부터 f(4)=f(-4)이고, ㈏로부터 |x|>4에서 f(x)=0이므로 함수 f(x)가 연속함수 이려면 f(4)=f(-4)=0이어야 한다. ② |f(x)|…8이고, f(x)=8이 되는 x가 오직 한 개 있 으므로 f(0)=8이고 이것이 최댓값이다. ③, ④ f(0)=8, f(4)=f(-4)=0이므로 다음 그림의 함수를 생각해 보면 f(x)=2가 되는 x는 2개 이상이지 만 f(x)가 최소가 되는 x가 오직 하나인 것은 아니다. ⑤ 임의의 x에 대하여 f(x+4)=0이거나 f(x-4)=0 이므로 f(x+4)f(x-4)=0이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④0
8
③ x=a에서 f(x)가 연속이려면 f(a)와 f(x)가 존재하고 f(a)= f(x)이어야 한다. ③ lim x⁄a lim x⁄a O -4 4 2 8 x y -1-a+b 11112332 lim x⁄-1+ lim x⁄-1-미적분Ⅰ
Ⅱ-2. 함수의 연속
내신・모의고사 대비 TEST0
9
함수 f(x)가 연속이므로 x=1에서 연속이어야 한다. ∴ 3=b yy㉠ f(x-4)=f(x), 즉 주기가 4인 함수가 되려면 f(0)= f(x)이어야 한다. ∴ 0=9a+b yy㉡ ㉠, ㉡에서 a=-1…x<4일 때, f(x)=- (x-1)¤ +3 ∴ f(5)+f(14)=f(1)+f(2) ∴ f(5)+f(14)=3+ ∴ f(5)+f(14)= ④10
ㄱ. f(x)=-1, g(x)=1, f(x)=1, g(x)=-1이므로 f(x)g(x)=(-1)_1=-1 f(x)g(x)=1_(-1)=-1 ∴ f(x)g(x)=-1 (참) ㄴ. { f(x)+g(x)}=0= { f(x)+g(x)} 이고, f(1)+g(1)=(-1)+1=0이므로 y=f(x)+g(x)는 x=1에서 연속이다. (참) ㄷ. f(x)=-1, g(x)=-1, f(x)=1, g(x)=-1 이므로 f(x)g(x)+ f(x)g(x) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ② lim x ⁄-1-lim x⁄-1+ lim x ⁄-1-lim x ⁄-1-lim x⁄-1+ lim x⁄-1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ 17 1 1223 8 13 1 13 1 13 lim x⁄4-11
g(x)=f(x)-x¤ 이라 하면 g(0)=f(0)-0=1>0g(1)=f(1)-1=a¤ +2a-2-1=a¤ +2a-3 g(2)=f(2)-4= -4= >0 g(3)=f(3)-9=7-9=-2<0 g(x)=0이 구간 (0, 1)과 (1, 2)에서 반드시 각각 1개 의 실근을 가지려면g(1)<0이어야 한다. 즉,g(1)=a¤ +2a-3=(a+3)(a-1)<0 ∴ -3<a<1 ④
12
x=0에서 연속이려면 F(x)=F(0) F(0)=0+0+0+y=0 한편, x+0일 때, F(x)는 공비가 인 등비급수 의 합이고, 0< <1이므로 수렴한다. ∴ F(x)= =(1+x¤ )f(x) 이때, F(x)=F(0)이므로 F(x)=f(0)=0 ∴ f(0)=0 013
= = =1 이때, 다항함수 f(x)는 연속함수이므로 f(x)=f(2) ∴ =1 ∴ f(2)=96 96 96 112f(2) lim x⁄2 8(x¤ +2x+4) 1111112f(x) lim x⁄2 8(x-2)(x¤ +2x+4) 1111111112(x-2)f(x) lim x⁄2 8(x‹ -8) 111112(x-2)f(x) lim x⁄2 lim x⁄0 lim x⁄0 x¤ f(x) 1112333341 1-123233 1+x¤ 1 114341+x¤ 1 114341+x¤ lim x⁄0 3 12 11 12221
Ⅱ-2. 함수의 연속미적분Ⅰ
Ⅱ-2. 함수의 연속
내신・모의고사 대비 TEST14
⁄0…x<1일 때 f(x)= ¤x>1일 때 f(x)=x ‹x=1일 때 f(x)=1+a+b 함수 f(x)가 구간 [0, ¶)에서 연속이므로 f(1)= f(x)= f(x) 1+a+b=1 ∴ a+b=0 yy ㉠ =1 HjK =1 (∵ b=-a 대입) HjK =1 HjK =1 HjK a=1 ∴ a= , b=- (∵ ㉠) ∴ ab=- ③15
⁄x¤ g¡(x)=g 은 x=0에서 연속 이므로 N(g¡)=a¡=2이다. ¤xg™(x)=g 은 x=0에서 연속이 므로 N(g™)=a™=1이다. ‹xg£(x)=g 은 x=0에서 연속이므 로 N(g£)=a£=1이다. 따라서 ⁄, ¤, ‹에서 a™=a£<a¡이다. ④ x(x+1) (x+0) 0 (x=0) x(-x¤ +2) (x+0) 0 (x=0) |x| (x+0) 0 (x=0) 9 1 1444425 3 15 3 15 5 13 a(2x¤ +2x+1) 111111244x¤ +x+1 lim x ⁄1-a(x-1)(2x¤ +2x+1) 111111111234(x-1)(x¤ +x+1) lim x ⁄1-2ax‹ -ax-a 111114533x‹ -1 lim x ⁄1-2ax‹ -ax+b 111114533x‹ -1 lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ 2ax‹ -ax+b 111114533x‹ -116
h(x)도 연속함수이므로 사이값 정리를 이용하 자. h(-2)h(-1)=-1<0 h(-1)h(0)=-1<0 h(0)h(1)=-1<0 h(1)h(2)=-1<0 따라서 h(x)=0은 (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2) 각각에서 적어도 한 개씩의 근을 가지므로 f(x)-x=0 의 근이 (-2, 2)에 적어도 4개 존재한다. 즉, y=f(x)의 그래프는 직선 y=x와 적어도 4번 만난다. ④17
⁄g(0)=f(0){ f(0)+k}=2(2+k) ¤ g(x)= f(x){ f(x)+k} ¤ g(x)= f(x)¥ { f(x)+k} ¤ g(x)=0¥(0+k)=0 ‹ g(x)= f(x){ f(x)+k} ‹ g(x)= f(x)¥ { f(x)+k} ‹ g(x)=2(2+k) 이때, 함수g(x)가 x=0에서 연속이 되려면 g(0)= g(x)= g(x)이어야 한다. 따라서 ⁄, ¤, ‹에 의하여 2(2+k)=0 ∴ k=-2 ① [참고] f(x)가 x=0에서 불연속이고, f(x)+k도 x=0 에서 불연속이므로 f(x){ f(x)+k}가 x=0에서 연속이 되려면 f(0)+k=0이어야 한다. 즉, 2+k=0 ∴ k=-2 lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+미적분Ⅰ
Ⅱ-2. 함수의 연속
내신・모의고사 대비 TEST18
x>1일 때, n⁄ ¶이면 x« 은 발산하므로 f(x)= f(x)= f(x)=2x+3 ∴ f(x)=[ 이때, 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=1에서도 연속이어야 한다. 따라서 f(1)= f(x)이어야 하므로 1+a=5 ∴ a=4 ②19
f(0)=f(0)+f(0)-1 ∴ f(0)=1 함수 f(x)는 연속함수이므로 x=0에서도 연속이다. 즉, f(x)=f(0)=1 [참고] f(x)가 연속함수이기 위한 필요충분조건은 임의의 실수 x에 대하여 f(x+h)=f(x) 즉, f(x+h)= { f(x)+f(h)+xh-1} 즉, f(x+h)=f(x)+ f(h)-1 에서 f(x)+ f(h)-1=f(x)이어야 하므로 f(h)=1 따라서 f(x)=1이다. ②20
f(a)=g(b)>g(a)이므로 f(a)-g(a)>0 f(b)=g(a)<g(b)이므로 f(b)-g(b)<0 ∴ { f(a)-g(a)}{ f(b)-g(b)}<0 따라서 방정식 f(x)-g(x)=0은 구간 (a, b)에서 항 상 실근을 가진다. ① lim x⁄0 lim h⁄0 lim h⁄0 lim h⁄0 lim h⁄0 lim h⁄0 lim h⁄0 lim x⁄0 lim x⁄1+ x+a (x…1) 2x+3 (x>1) 2x+3 11125 1+;[!;« lim n⁄¶ 2x« ±⁄ +3x« 11111x« +1 lim n⁄¶21
ㄱ.g¡(x)는 [-1, 3]에서 연속이고 연속함수의 곱은 연속이므로 y=f(x)g¡(x)는 연속이다. ㄴ. g™(x)는 원점에서 불연속이지만 f(x)의 값이 0이므 로 원점에서 항상 0이 되어 y=f(x)g™(x)는 연속이다. ㄷ. ㄴ과 마찬가지로 연속이다. ㄹ. x=1에서 좌극한과 우극한이 다르므로 y=f(x)g¢(x)는 불연속이다. 따라서 연속이 되는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ③22
-1…g(x)<1이고 f(x)는 x=0에서 불연속 이므로 y=(fΩg)(x)는 g(x)=0인 x에서 불연속이다. 즉, x=-2, 0, 2에서 불연속이다. yy`㉠ 또한, y=g(x)가 불연속인 점에서도 불연속이므로 x=-1, 1에서 불연속이다. yy`㉡ ㉠, ㉡에서 불연속점의 개수는 5이다. ④23
ㄱ. x=0에서 연속인지 알 수 없으므로 x=k에 서 연속인지 알 수 없다. ㄴ. x=k에서 연속인 함수에서 상수함수(연속함수)를 뺀 것이므로 연속이다. ㄷ. f(x)의 값이 k가 아닐 수 있으므로 알 수 없다. ㄹ. y=x« 은 연속함수이고, f(x)가 x=k에서 연속이므 로 y={ f(x)}« 도 x=k에서 연속이다. ㅁ. f(k)+0이므로 연속이다. ㅂ. x=k에서 연속인 함수끼리의 곱이므로 연속이다. 따라서 x=k에서 연속인 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ의 4개이다. ④23
Ⅱ-2. 함수의 연속미적분Ⅰ
Ⅱ-2. 함수의 연속
내신・모의고사 대비 TEST24
0<x<2이므로 0<5x¤ <20 불연속인 점은 5x¤ 이 정수가 되는 점이므로 t˚= , , , y, ∴ t˚¤ = , , y, ∴ 10t˚¤ =2 k=2¥ =380 38025
f(2x)=f(x)=f { }=f { }=y f(x)=f { } (단, n=1, 2, 3, y) f(x)가 연속함수이므로 f(x)= f { }=f { } f(x)=f(0)=4 (상수함수) ∴ f(5)=4 426
모든 실수 x에 대하여 f(x+2)=f(x)인 함수 f(x)=[ 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0, x=1에서도 연속이다. ⁄ f(x)가 x=0에서 연속이므로 f(x)=f(0) 즉, (ax+1)=1, f(0)=b에서 b=1 ∴ f(x)=[ ¤ f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)=f(-1) ¤ (∵ f(x+2)=f(x))즉, 3+2a+1=-a+1, 3a=-3 ∴ a=-1 ⁄, ¤에 의하여 a+b=-1+1=0 ③ lim x ⁄1-ax+1 (-1…x<0) 3x¤ +2ax+1 (0…x<1) lim x ⁄0-lim x ⁄0-ax+1 (-1…x<0) 3x¤ +2ax+b (0…x<1) x 142« lim n⁄¶ x 142« lim n⁄¶ x 142« x 14 x 12 19¥20 1112 19 ¡ k=1 n ¡ k=1 19 125 2 15 1 15 '∂19 114 '5 '3 124 '5 '2 124 '5 1 124 '5
27
ㄱ. f(x)=1 (참) ㄴ. f(x)=2이고 f(1)=1이므로 ㄷ. f(x)+f(1) (거짓) ㄷ. g(x)=(x-1)f(x)라 하면 ㄷ. g(x)=0¥2=0, g(1)=0¥1=0 ㄷ. 이므로 g(x)=g(1)이 성립한다. ㄷ. 즉, 함수 (x-1)f(x)는 x=1에서 연속이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③28
삼차함수g(x)는 최고차항의 계수가 1이고, g(0)=3이므로 g(x)=x‹ +ax¤ +bx+3 (단, a, b는 상수) 으로 놓을 수 있다. 이때, 합성함수 (gÁ f)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속 이므로 x=0, x=2에서도 연속이다. ⁄ (gÁ f)(x)가 x=0에서 연속이므로 (gÁ f)(x)=(gÁ f)(0) 이 성립한다. 즉, (gÁ f)(x)= g(f(x)) (gÁ f)(x)= g(t)=a+b+4 (gÁ f)(0)=g(f(0))=g(0)=3 이므로 a+b+4=3 ∴ a+b=-1 yy ㉠ ¤ (gÁ f)(x)가 x=2에서 연속이므로 (gÁ f)(x)=(gÁ f)(2) 가 성립한다. 즉, (gÁ f)(x)= g(f(x)) (gÁ f)(x)= g(t)=a-b+2 (gÁ f)(2)=g(f(2))=g(0)=3 이므로 a-b+2=3 ∴ a-b=1 yy㉡ lim t⁄-1+ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim t ⁄1-lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄0+미적분Ⅰ
Ⅱ-2. 함수의 연속
내신・모의고사 대비 TEST㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-1 따라서 g(x)=x‹ -x+3이므로 g(3)=27-3+3=27 ① [참고]함수 y=f(x)의 그래프를 보면 x=0에서는 함숫 값만 떨어져 있고, x=2에서는 직선 x=2를 기준으로 그래프가 둘로 나뉘어져 있다. 따라서 위의 해설과 같이 ⁄에서는 극한을 좌극한과 우극한으로 나누지 않고 계산 하면 되고, ¤에서는 우극한만 이용하여 계산하면 된다.
