2. 도함수의 활용⑴

= _2

+ _3

=2f '(5)+3f '(5)=5f '(5)

f(5-3h)-f(5) 111111144-3h lim

h⁄0

f(5+2h)-f(5) 1111111442h lim

h⁄0

{ f(5+2h)-f(5)}+{ f(5)-f(5-3h)}

11111111111111114434h lim

h⁄0

11h lim

h⁄0

1n3 1n2

lim

nڦ

1n1 증가

>

153 153 사이값 정리

이때, 함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (5, 3)에서의 접 선의 기울기가 1이므로 f '(5)=1

∴ (주어진 식)=5f '(5)=5 ⑤

03

x축의 양의 방향과 이루는 각이 45˘인 직선의 기울기는 tan45˘=1이다. ∴ a=1

f '(x)=2x+1=1에서 x=0

f(0)=5이므로 y=x+b에 x=0, y=5를 대입하면

b=5 ∴ ab=5 ⑤

04

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하 므로 f(x)는 닫힌 구간 [x-2, x+2]에서 연속이고 열린 구간 (x-2, x+2)에서 미분가능하다.

따라서 평균값 정리에 의하여

=f '(c)

인 c가 구간 (x-2, x+2)에 적어도 하나 존재한다.

이때, x ⁄ ¶이면 c ⁄ ¶이므로 { f(x+2)-f(x-2)}

= ¥4= 4¥f '(c)=4

4

05

f(x)f '(x)>0

HjK‘f(x)>0, f'(x)>0’또는

‘ f(x)<0, f '(x)<0’

f(x)는 함숫값, f '(x)는 접선의 기울기이므로 A : f(x)<0, f '(x)>0

B : f(x)>0, f '(x)<0 C : f(x)<0, f '(x)<0

lim

cڦ

f(x+2)-f(x-2) 111111112(x+2)-(x-2) lim

xڦ

lim

xڦ

f(x+2)-f(x-2) 111111112(x+2)-(x-2)

31

Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

^{내신・모의고사}대비 TEST

본문 431~435쪽

Ⅲ- 2. 도함수의 활용⑴

01① 02⑤ 03⑤ 04 4 05④ 06 4 07 17 08③ 09③ 10③ 11⑤ 12 7 13③ 14③ 15 11 16④ 17 3 18 9 19③ 20② 21⑤

D : f(x)<0, f '(x)>0 E : f(x)>0, f '(x)>0

따라서 부등식 f(x)f '(x)>0을 만족시키는 점은 C, E

이다. ④

0 6

함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)æ0이어야 하므로

f '(x)=3x¤ +6ax+6æ0에서

=(3a)¤ -18=9(a¤ -2)…0 즉, a¤ -2…0에서 -'2…a…'2

∴ a=-'2, b='2 ∴ a¤ +b¤ =4 4

0 7

{h¡(x)}'¥{h™(x)}'=-1에서 -2x(2x+3)=-1 ∴ 4x¤ +6x-1=0 따라서 h¡(x), h™(x)의 그래프가 만나는 두 점의 x좌표 를 a, b라 하면 a, b는 방정식 4x¤ +6x-1=0의 두 근 이므로 a+b=- , ab=- yy`㉠ 두 점 (a, h¡(a)), (b, h™(b)) 사이의 거리는 두 점 (a, h¡(a)), (b, h¡(b)) 사이의 거리와 같으므로

"√(a-√b)¤ √+{ √h¡(a√)-h√™(b)}¤

="√(a-√b)¤ √+{√h¡(a√)-h¡(b)}¤

=æ(≠a-b)¤ ≠+[{-a¤ ≠+ }-≠{-b¤ +≠ }]¤

="√(a-√b)¤ √+(√-a¤ √+b¤ )¤

="√(a+√b)¤ -√4ab√+(√a¤ +√b¤ )¤ √-4a¤ b¤

="√(a+√b)¤ -√4ab√+{(√a+√b)¤ -√2ab}¤ √-4a¤ b¤

= (∵ ㉠)

∴ a=4, b=13 ∴ a+b=17 17 12134

112 112

114 132

14D4

0 8

두 직선과 x축이 만 나 정삼각형을 이루려면 하나 는 x축의 양의 방향과 이루는 각이 60˘, 하나는 x축의 음 의 방향과 이루는 각이 60˘이 어야 한다.

따라서 두 직선의 기울기는 각각 tan60˘='3, -tan60˘=-'3이다.

y'=2x-'3이므로

2x-'3='3에서 x='3 2x-'3=-'3에서 x=0

따라서 두 점은 ('3, 7), (0, 7)이므로 PQ”='ß3이다.

③

0 9

f '(x)=6x¤ -6=6(x-1)(x+1) f '(x)=0에서 x=—1이므로 증감표를 그리면

ㄱ. f(x)는 x=-1에서 극댓값을, x=1에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ. f(-1)=-1, f(1)=-9이고 -1<x<1에서 f '(x)<0이므로 |x|<1이면 |f(x)|<9이다. (참) ㄷ. x>1에서 함수 f(x)는 증가하므로 곡선 y=f(x)와

직선 y=3은 한 점에서 만난다.(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③

10

① f(x)는 x=-2, 0, 2에서 극값을 갖는다.

② f(x)는 구간 (-1, 0)에서 감소하고 구간 (0, 1)에 서 증가한다.

60æ 60æ x

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

^{내신・모의고사}대비 TEST

y

-1

y

1

y

+ 0 - 0 +

↗ (극대) ↘ (극소) ↗

x

f '(x) f(x)

③ f(x)는 구간 (0, 2)에서 증가한다.

④ f '(x)의 부호가 x=2의 좌우에서 양에서 음으로 변하 므로 f(x)는 x=2에서 극대이다.

⑤ f '(x)가 x<-2에서 양이므로 f(x)는 x<-2에서 증가한다.

따라서 옳은 것은 ③이다. ③

11

x‹ +3x¤ -8x=x+a에서 x‹ +3x¤ -9x=a

f(x)=x‹ +3x¤ -9x라 하면

f '(x)=3x¤ +6x-9=3(x-1)(x+3) 이므로 f(x)의 그래프는 다음과 같다.

이때, 곡선 y=f(x)와 직선 y=a가 한 점에서 만나고, 다른 한 점에서 접하므로 직선 y=a는 그림과 같다.

∴ a=-5 또는 a=27

∴ 27+(-5)=22

[다른 풀이]

x‹ +3x¤ -8x=x+a에서 x‹ +3x¤ -9x-a=0

f(x)=x‹ +3x¤ -9x-a라 하면

f '(x)=3x¤ +6x-9=3(x-1)(x+3)

f '(x)=0에서 x=1 또는 x=-3이므로 증감표를 그 리면

-3 O 27

-5 1

x y

y=a y=a f{x}=x#+3x@-9x

f(-3)=27-a, f(1)=-5-a이고, 방정식

x‹ +3x¤ -9x-a=0이 중근과 다른 하나의 실근을 가지 므로

f(-3)=27-a=0 또는 f(1)=-5-a=0

∴ a=27 또는 a=-5

∴ 27+(-5)=22 ⑤

12

y'=3x¤ -3a¤ =3(x+a)(x-a)이므로 x=-a일 때 극댓값, x=a일 때 극솟값을 갖는다.

극댓점은 (-a, 3a‹ ), 극솟점은 (a, -a‹ )이므로 중점의 좌표는 (0, a‹ )이다.

a가 1에서 2까지의 값을 가지며 변 할 때 중점의 자취는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 중점의 자취의 길이는 7이다. 7

13

y절편이 음이므로 d<0 yy㉠

그래프의 개형에서 a>0 yy㉡

y'=3ax¤ +2bx+c에서 3ax¤ +2bx+c=0의 두 근이 a, b이고, 문제의 그래프에서 a<0, b<0이므로

a+b=- <0 ∴ b>0 (∵ ㉡) yy㉢

ab= >0 ∴ c>0 (∵ ㉡) yy㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣에서

a+b>0, a+c>0, ac>0, acd<0, bcd<0 따라서 옳은 것은 ③ ac>0이다. ③

1243ac 1242b3a

O 1 8

x y

33

Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

^{내신・모의고사}대비 TEST

y

-3

y

1

y

+ 0 - 0 +

↗ (극대) ↘ (극소) ↗

x

f '(x) f(x)

14

f(x)가 (-¶, ¶)에서 증가하므로 임의의 실 수 x에 대하여 f '(x)æ0이다.

모든 실수 x에 대해 f '(x)æ0이려면 f '(x)=0의 판별 식이 0보다 작거나 같아야 한다.

즉, f '(x)=x¤ +2ax-4b=0에서

=a¤ +4b…0

따라서 b…- 이므로 (a, b)의 존재 영역은 ③과 같다.

③

15

^{Q(a, a¤ )이}

라 하면

a="√a¤ +√(a¤ √-2)¤

a¤ =a› -3a¤ +4 f(a)=a› -3a¤ +4로 놓으면

f '(a)=4a‹ -6a

=2a(2a¤ -3)

f '(a)=0에서 a=0 또는 a=—æ– 이므로 증감표를 그리면

따라서 a=—æ– 일 때 f(a), 즉 a¤ 은 최솟값 을 갖 는다.

∴ m+n=4+7=11 11

174 132

132 P{0, 2}

Q{a, a@}

O x

y y=x@

14a¤4 12D4

16

원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 x, 높이를 y 라 하고, 원기둥의 부피를 V라 하면

V=px¤ y yy㉠

겉넓이가 a로 일정하다고 하면 2px¤ +2pxy=a y에 대해 정리하면 y= -x yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

V=px¤ { -x}= -px‹

양변을 x에 대해 미분하면 = -3px¤ 이고,

-3px¤ =0에서 x=Æ… (∵ x>0)

따라서 삼차항의 계수가 음수이므로 x=Æ… 일 때, V는 극대이면서 최대가 된다.

이 값을 ㉡에 대입하면

y= -Æ…

y= -Æ…

y=2Æ… =2x

따라서 겉넓이가 일정한 원기둥의 부피가 최대가 되는 높 이와 밑면의 반지름의 길이의 비는 2 : 1이다.

④

17

나누는 식 (x-1)¤ 이이차식이므로 나머지 R(x)는 일차 이하의 식이다.

R(x)=ax+b라 하면

xfl -7x+10=(x-1)¤ Q(x)+ax+b yy㉠ 1246pa

1246pa a¥Æ…1246pa

11112a 2p¥1246p

1246pa 11111a a

2p¥Æ…1246p

1246pa 1246pa

1a2

1a2 1244dVdx 124ax2 1142pxa

1142pxa

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

^{내신・모의고사}대비 TEST

y

-Æ

y

0

y Æ

3

y

1

2

1

32

↘ ↗

4

↘

7

↗

1

4

1

74

- 0 + 0 - 0 +

a

f '(a)

f(a)

양변을 x에 대해 미분하면

6xfi -7=2(x-1)Q(x)+(x-1)¤ Q'(x)+a yy㉡

㉡에 x=1을 대입하면 a=-1

㉠에 x=1을 대입하면 4=a+b ∴ b=5

∴ R(x)=-x+5

∴ R(2)=3

3

18

g(x)=x‹ +3x¤ -5+a이므로 g'(x)=3x¤ +6x=3x(x+2)

g'(x)=0에서 x=0 또는 x=-2이므로 증감표를 그리면

y=g(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 세 점에서 만나려 면 극댓값은 0보다 크고 극솟값은 0보다 작아야 한다.

즉, a-1>0, a-5<0이므로 1<a<5 따라서 가능한 정수 a의 값은 2, 3, 4이므로 방정식 g(x)=0이 서로 다른 세 실근을 갖게 하는 정수 a의 값들 의 합은 9이다.

9

19

g(t)는 점 (t, t‹ )과 직선 x-y+6=0 사이의 거리이므로

g(t)= = |-t‹ +t+6|

이때, h(t)=-t‹ +t+6이라 하면 121

'2

|t-t‹ +6|

111111

"√1¤ +(-1)¤

-t‹ +t+6=0에서 (t-2)(t¤ +2t+3)=0 이므로 h(2)=0

또한 h'(t)=-3t¤ +1이므로 t= 또는 t=-에서 극값을 가진다. 함수 h(t)의 증감을 표로 나타내면

따라서h(t)는t=- 에서극소, t= 에서극대이다.

최고차항이 음수인 삼차함수 y=h(t)의 그래프의 개형을 이용하여 함수 y=g(t)의 그래프의 개형을 그리면 다음 과 같다.

ㄱ. 함수g(t)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참) ㄴ. 함수g(t)는 t=- 에서 극소이고,

ㄴ.

극솟값은g{- }=3'2- 이다. (참)

ㄷ. t=2일 때 뾰족점이 되므로 함수g(t)는 t=2에서 미 분가능하지 않다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

③ 12'69

12'33 12'33

t y

O 2

y=g{t}

-´3 3

´3 3

12'33 12'33

12'33 12'33

35

Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

^{내신・모의고사}대비 TEST

y

-2

y

0

y

+ 0 - 0 +

↗

a-1

↘

a-5

↗

x g'(x)

g(x)

y - 12 '3

3

y 12 '3

3

y

t

h'(t) - 0 + 0

-h(t)

↘ (극소) ↗ (극대) ↘

20

A, B의 속도를 각각 vÅ, vı라 하면 vÅ=2t-4, vı=6t-6

A, B가 서로 같은 방향으로 움직일 때는 속도의 부호가 서로 같으므로

vÅvı=(2t-4)(6t-6)=12(t-1)(t-2)>0

∴ 0<t<1 또는 t>2 ②

21

f(t)=t‹ -9t¤ +15t+6에서 f '(t)=3t¤ -18t+15=3(t-1)(t-5) f '(t)=0에서 t=1 또는 t=5 f '(t)=v(t)라 하면 가속도 a(t)는

a(t)=v'(t)=6t-18=6(t-3) a(t)=0에서 t=3

① 점 A는 t=1, 5일 때 운동 방향을 바꾼다. (참)

② f(0)=6, f(1)=13, f(5)=-19, f(7)=13이므 로 f(1) ⁄ f(5), f(5) ⁄ f(7)일 때 부호가 바뀐다.

따라서 점 A가 원점을 지나는 순간은 두 번이다. (참)

③ 점 A는 t=1일 때와 t=5일 때 방향을 바꾸고 f(1)=13, f(5)=-19, f(7)=13이므로 점 A가 원 점으로부터 가장 멀리 떨어진 순간은 t=5일 때이다. (참)

④ a(t)=0일 때이므로 점 A의 가속도가 0이 되는 순간 은 t=3일 때뿐이다. (참)

⑤ t=3일 때, f '(t)는 최솟값을 갖는다.

따라서 점 A가 가장 느리게 움직이는 순간은 t=3일 때이다. (거짓)

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑴

^{내신・모의고사}대비 TEST

01

^y=[ ]의 그래프는 다음 그림과 같으므로 x=2일 때 함숫값은 0이다.

또한, |x-3|은 x<3일 때 3-x이므로 주어진 함수는 x=2 근방에서

y=x¤ +4x+0+3-x

즉, y=x¤ +3x+3이므로 y '=2x+3 따라서 x좌표가 2인 점 P에서의 접선의 기울기는

2¥2+3=7 7

02

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 f(x)의 극 솟값이 0과 2이므로 f(x)æ0

⁄ f(x)=1일 때, g(x)=

¤0…f(x)<1일 때, g(x)=1

‹ f(x)>1일 때, g(x)=0

따라서 함수 y=g(x)는 f(x)=1일 때 불연속이다.

112 O -3

-2 -1

12

3 6 -3 -6

x y

1x3

함수 y=f(x)의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 f(x)=1인 x 는 2개이다.

따라서 y=g(x)의 불연 속점의 개수는 2이다.

②

03

f '(x)=3x¤ +2ax+b

ㄱ. f '(x)=0의 판별식을 D라 하면 =a¤ -3b

a¤ =3b이므로 =0

f '(x)의 이차항의 계수가 양수이므로 f '(x)는 항상 0 보다 크거나 같다.

따라서 a¤ =3b이면 f(x)는 증가하는 함수이다. (참) ㄴ. b=0이면 f '(x)=3x¤ +2ax=x(3x+2a)

f '(x)=0에서 x=0 또는 x=- 이므로 a>0인 경우의 증감표를 그리면 다음과 같다.

⁄a>0 ¤a<0

0 x

y=f{x}

-2a3 0

x y=f{x}

-2a3

1242a3 14D4

14D4 5

2 1

O x

y

37

Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵

^{내신・모의고사}대비 TEST

문서에서 미적분Ⅰ 내신·모의고사 대비 TEST 해설 (페이지 31-37)