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Ⅲ- 2. 도함수의 활용⑵
미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵
내신・모의고사대비 TEST본문 436~440쪽
Ⅲ- 2. 도함수의 활용⑵
01 7 02② 03① 04 y=-3x-05 128 06② 07 12 08 5 09 13 10③ 11⑤ 12 1<a<3 13① 14 5 15 192p cm¤/초 16 ① 17② 18④ 19④ 20④
194
y
-2ay
0y
144
3+ 0 - 0 +
↗ (극대) ↘ (극소) ↗
xf '(x) f(x)
ㄷ.
따라서 b=0일 때 f(x)는 극값을 갖는다. (거짓) ㄷ. ab>0 HjK a>0, b>0 또는 a<0, b<0ㄷ.
⁄a>0, b>0일 때 f '(x)=0에서 =a¤ -3bㄷ. ⁄
의 부호는 알 수 없다.ㄷ.
¤a<0, b<0일 때 f '(x)=0에서ㄷ. ⁄
=a¤ -3b>0ㄷ. ⁄
이므로 f '(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.ㄷ. ⁄
또한 f(x)의 극댓값과 극솟값이 존재하지만 극댓 값과 극솟값의 부호는 알 수 없으므로 방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 갖는지는 알 수 없다. (거짓)ㄷ.
따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ①0 4 y'=2x이므로 A(1, 1)에서의 접선의 기울기 는 2이다.
따라서 직선 l의 기울기는 - 이므로 직선 l의 방정식은
y-1=- (x-1)
∴ y=- x+
직선 l이 곡선 y=x¤ 과 만나는 또 다른 점 B의 좌표는 x¤ =- x+ 에서 2x¤ +x-3=0
(2x+3)(x-1)=0 ∴ x=- 또는 x=1
∴ B {- , }
점 B에서의 접선의 기울기는 -3이므로 직선 m의 방정 식은
194 132
132 132
112
132 112
112
112 14D4
14D4
y- =-3{x+ }
∴ y=-3x-
y=-3x-0 5 f(x)=x‹ -2x라 하면 f '(x)=3x¤ -2 곡선 y=x‹ -2x 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식은
y-4=f '(2)(x-2) y-4=10(x-2)
∴ y=10x-16
따라서 접선과 x축, y축으로 둘 러싸인 삼각형은 오른쪽 그림과 같으므로
S=;2!;¥16¥;5*;=:§5¢:
∴ 10S=10¥:§5¢:=128 128
0 6 ㄱ. (반례) f(x)=x-1이라 하면 f(1)=0이 지만 f '(1)=1이다. (거짓)
ㄴ. (반례) f(x)=x라 하면 f(-x)=-f(x)이지만 f '(0)=1이다. (거짓)
ㄷ. f(-x)=f(x)의 양변을 x에 대해 미분하면 -f '(-x)=f '(x)이므로 f '(x)의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
따라서 f '(x)가 x=a에서 극솟값을 가지면 x=-a 에서는 극댓값을 갖는다. (참)
ㄹ. |f(2x)-f(x)|…x‹ +6x¤
HjK -(x‹ +6x¤ )… f(2x)-f(x)…x‹ +6x¤
HjK {-(x¤ +6x)}…
HjK {-(x¤ +6x)}
…lim (x¤ +6x)x⁄0
f(2x)-f(x) 111111x lim
x⁄0
lim
x⁄0
O S
8 5
-16
x y y=10x-16
194 19
14 132 194
미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵
내신・모의고사대비 TEST이때,
=
¥2-=2f '(0)-f '(0)
=f '(0) 이므로
0…f '(0)…0
(∵ {-(x¤ +6x)}= (x¤ +6x)=0)
∴ f '(0)=0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ의 2개이다. ②
07
=t로 놓으면 x ⁄ 0+일때, t ⁄ ¶이므로[f { }-f { }]
= { f(t+2)-f(t-2)}
함수 f(x)가 모든 실수에서 미분가능하므로 f(x)는 닫힌 구간 [t-2, t+2]에서 연속이고
열린 구간 (t-2, t+2)에서 미분가능하다.
따라서 평균값 정리에 의하여
=f '(c)
를 만족시키는 c가 열린 구간 (t-2, t+2)에 적어도 하 나 존재한다.
이때, t ⁄ ¶이면 c ⁄ ¶이므로 { f(t+2)-f(t-2)}
=4
=4 f '(c)=4 f '(x)
=4¥3=12 12
lim
xڦ
lim
cڦ
f(t+2)-f(t-2) 111221221222(t+2)-(t-2) lim
tڦ
lim
tڦ
f(t+2)-f(t-2) 111221221222(t+2)-(t-2)
lim
tڦ
1111-2xx 1111+2xx
lim
x⁄0+
11x
lim
x⁄0
lim
x⁄0
f(x)-f(0) 111112x lim
x⁄0
f(2x)-f(0) 1111112x lim
x⁄0
f(2x)-f(x) 111111x lim
x⁄0
08
y=f(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.
따라서 극점은 5개이다. 5
09
f(x)=x‹ -(a+2)x¤ +ax에서 f '(x)=3x¤ -2(a+2)x+a이므로 곡선 y=f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은
y-{t‹ -(a+2)t¤ +at}={3t¤ -2(a+2)t+a}(x-t) 이때, 이 접선이 y축과 만나는 점의 좌표가 (0, g(t))이 므로
g(t)-{t‹ -(a+2)t¤ +at}={3t¤ -2(a+2)t+a}(-t)
∴g(t)=-2t‹ +(a+2)t¤
한편, g(t)가 구간 (0, 5)에서 증가하려면 구간 (0, 5) 에서
cO a
b d e
f x y
O x
a c d e f
y=f '(x)
b y
39
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미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵
내신・모의고사대비 TESTy
a y b y c y d y e y f y - 0 + 0 - + 0 - 0 - 0 +↘ (극소) ↗ (극대) ↘ (극소) ↗ (극대) ↘ ↘ (극소) ↗
xf'(x) f(x)
g'(t)=-6t¤ +2(a+2)t>0
이 성립해야 한다. 즉, 함수 y=g'(t)의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 그려질 때이므로
g'(5)=-150+10(a+2)æ0
∴ aæ13
따라서 구하는 a의 최솟값은 13이다.
13
10
잘라낸 부분은 다음 [그림 1]과 같고, [그림 2]는 [그림 1]을 반으로 자른 것이다.따라서 만들어질 상자의 밑면은 한 변의 길이가 6-2x인 정삼각형이고 높이는 x이다.
상자의 부피를 V라 하면
V= (6-2x)¤ ¥ x=x‹ -6x¤ +9x (0<x<3) 양변을 x에 대해 미분하면
=3x¤ -12x+9=3(x-3)(x-1)
=0에서 x=1 또는 x=3이므로 0<x<3에서 증 감표를 그리면 다음과 같다.
11dVdx 11dVdx
1341 '3 134'34
1341 '3
[그림 2]
[그림 1]
60æ 30æ
x
´3x 1
60æ x
x
O 5
ty
y=g'(t)
따라서 상자의 부피 V는 x=1일 때 최댓값 4를 갖는다.
∴ a=1, Vå=4 ∴ a+Vå=5 ③
11
ㄱ. ⁄ 0< < 일 때f(a)<f(b)<f(c)
¤ < <0일 때
f(c)<f(b)<f(a) (거짓) ㄴ. (반례)
y=f(x)의 그래프가 위의 그림과 같다면
<
를 만족하지만 f '(b)<f '(a)<f '(c)이다.(거짓) ㄷ. (반례) y=f(x)의 그래프가
오른쪽 그림과 같다고 하면
<
를 만족하지만 f '(x)=0인 x(a<x<c)는 존재하지 않는다. (거짓)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳지 않다. ⑤
12
F(x)=f(x)-g(x)라 할 때, F(x)>0을 항상 만족하는 a를 구하면 된다.F(x)=f(x)-g(x)
=(x‹ -3x¤ +6ax-a)-(-x‹ +3ax¤ -3)
=2x‹ -3(a+1)x¤ +6ax-a+3 f(c)-f(b)
111113c-b f(b)-f(a)
111113b-a
c x b a f(c)-f(b)
111113c-b f(b)-f(a)
111113b-a
x c
a b
f(c)-f(b) 111113c-b f(b)-f(a)
111113b-a
f(c)-f(b) 111113c-b f(b)-f(a)
111113b-a
미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵
내신・모의고사대비 TEST0
y
1y
3+ 0
-↗ 극대(최대) ↘
x V' V
F'(x)=6x¤ -6(a+1)x+6a
=6 {x¤ -(a+1)x+a}
=6(x-a)(x-1) F'(x)=0에서 x=1 또는 x=a
a>1이므로 x=1에서 극대, x=a에서 극소이다.
따라서 xæ0인 모든 x에 대하여
F(x)>0이려면 F(0)>0, F(a)>0을 모두 만족하여 야 한다. 즉,
F(0)>0 HjK -a+3>0 HjK a<3 F(a)>0 HjK -a‹ +3a¤ -a+3>0
a‹ -3a¤ +a-3<0 a¤ (a-3)+a-3<0 (a¤ +1)(a-3)<0 F(a)>0 HjK a<3
∴ 1<a<3 1<a<3
13
두 점 P, Q의 시각 t일 때의 위치가 각각 f(t)=2t¤ -2t, g(t)=t¤ -8t이므로 두 점의 속도는 각각f '(t)=4t-2, g'(t)=2t-8
두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직일 때는 속도의 부 호가 서로 반대이므로
(4t-2)(2t-8)<0 ∴ ;2!;<t<4 ①
14
t초 후의 두 점 A, B의 속도는 vÅ=3t¤ +3t-6vı= t¤ -3t
두 점이 서로 반대 방향으로 움직이므로 vÅ¥vı<0
즉, 112
(3t¤ +3t-6){ t¤ -3t}<0 (t¤ +t-2)(t¤ -6t)<0 t(t+2)(t-1)(t-6)<0
∴ 1<t<6 (∵ t>0)
따라서 두 점은 5초 동안 서로 반대 방향으로 움직였다.
5
15
t초 후의 공의 반지름의 길이를 r cm라 하면 r=(12+t)(cm)t초 후의 공의 겉넓이 S(t)는 S(t)=4pr¤ =4p(12+t)¤
t초 후의 겉넓이는 처음 겉넓이의 4배이므로 4p(12+t)¤ =4¥4p¥12¤
(12+t)¤ =24¤
12+t=24 ∴ t=12 (∵ t>0) 따라서 t=12일 때의 겉넓이의 변화율은
S'(t)=8p¥(12+12)=192p(cm¤ /초)
192p cm¤ /초
16
f(x)=x‹ +ax¤ +9x+3에 대하여 f '(x)=3x¤ +2ax+9이때, y=f(x)의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선 의 방정식이 y=2x+b이므로 f'(1)=2이다.
즉, f'(1)=3+2a+9=2에서 2a=-10 ∴ a=-5
따라서 f(x)=x‹ -5x¤ +9x+3이므로 f(1)=1-5+9+3=8
이때, 접점 (1, f(1)), 즉 (1, 8)은 접선 y=2x+b 위 의 점이므로
8=2+b ∴ b=6
∴ a+b=-5+6=1 ①
112
41
Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵
미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵
내신・모의고사대비 TEST17
f(x)=x‹ -3x¤ +x+1이라 하면 f '(x)=3x¤ -6x+1이때, 곡선 y=f(x) 위의 점 A의 x좌표가 3이므로 점 A 에서의 접선의 기울기는
f '(3)=3¥3¤ -6¥3+1=10
이고, 두 점 A, B에서의 접선이 서로 평행하므로 점 B에 서의 접선의 기울기도 10이다. 즉, 점 B의 x좌표를 a라 하면
3a¤ -6a+1=10
3a¤ -6a-9=0, 3(a-3)(a+1)=0
∴ a=-1 (∵ a+3)
따라서 점 B의 좌표는 (-1, -4)이므로 점 B에서의 접 선의 방정식은 y=10x+6이다. 그러므로 점 B에서의 접
선의 y절편은 6이다. ②
18
f(x)=x‹ -5x라 하면 f '(x)=3x¤ -5곡선 y=f(x) 위의 점 A(1, -4)에서의 접선의 기울 기는
f '(1)=3-5=-2
이므로 점 A에서의 접선의 방정식은
y-(-4)=-2(x-1) ∴ y=-2x-2 점 B는 곡선 y=f(x)와 접선 y=-2x-2의 교점이므 로 점 B의 x좌표를 구하면
x‹ -5x=-2x-2, x‹ -3x+2=0 (x-1)¤ (x+2)=0
∴ x=-2(∵ x+1)
f(-2)=-8+10=2이므로 B(-2, 2)
∴ A’BÚ="√(-2-1)¤ +(2+4)¤
='ƒ9+36=3'5 ④
19
f(x)=x‹ +ax¤ +2ax에서 f '(x)=3x¤ +2ax+2a함수 f(x)가 구간 (-¶, ¶)에서 증가하려면 구간에 속 한 모든 x에 대하여
f '(x)æ0 HjK 3x¤ +2ax+2aæ0
이어야 한다. 즉, 이차방정식 3x¤ +2ax+2a=0의 판별 식 D에 대하여 D…0이어야 하므로
=a¤ -6a=a(a-6)…0 ∴ 0…a…6 따라서 실수 a의 최댓값 M=6, 최솟값 m=0이므로
M-m=6 ④
20
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)를 만족하므로 y=f(x)의 그래프는 다음 [그림 1]과 같이 원점에 대하여 대칭이다.또, 방정식 |f(x)|=2의 서로 다른 실근의 개수가 4개이 므로 다음 [그림 2]와 같이 y=|f(x)|의 그래프와 직선 y=2는 서로 다른 네 점에서 만난다.
즉, 직선 y=2가 함수 y=f(x)의 그래프의 극대인 점을 지나므로 함수 f(x)의 극댓값이 2임을 알 수 있다.
[그림 1] [그림 2]
위의 그림처럼 y=f(x)의 x절편을 -a, 0, a(a>0)라 하면
f(x)=x(x+a)(x-a)=x‹ -a¤ x 로 놓을 수 있으므로
2 y=2 x y y=|f(x)|
-a O a
x y y=f(x)
-a O a
14D4
미적분Ⅰ Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵
내신・모의고사대비 TESTf '(x)=3x¤ -a¤ =3{x+ }{x- }
f '(x)=0에서 x=- 또는 x=
이때, 극댓값이 2이므로
f {- }=- + =2
=2, a‹ =3'3 ∴ a='3 따라서 f(x)=x‹ -3x이므로
f(3)=27-9=18 ④
112a‹
3'3
123a‹
'3 11a‹
3'3 123a
'3
123a '3 123a
'3
123a '3 123a
'3
43
Ⅲ-2. 도함수의 활용⑵