정답과 풀이
개념
중학
1
-
1
본교재 | 6 쪽 개념 콕콕
1
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 472
⑴ 1, 37, 소수 ⑵ 1, 53, 소수 ⑶ 1, 3, 23, 69, 합성수1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 본교재 | 7 쪽대표
유형
1 ②, ④ 1 -1 ④ 1 -2 ② 2 ③, ⑤ 2 -1 ③ 1 -1 소수는 2, 19, 31, 79의 4개이다. ④ 1 -2 15 이상이고 25보다 작은 합성수는 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24의 7개이다. ② 2 -1 ③ 가장 작은 합성수는 4이다. ④ 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이다. ⑤ 1을 제외한 모든 자연수는 소수 또는 합성수이다. 이때 소수는 약수의 개수가 2개, 합성수는 약수의 개수가 3개 이상이므로 1을 제외한 모든 자연수는 약수의 개수가 2개 이상이다. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③거듭제곱
02
개념
본교재 | 8 쪽 개념 콕콕1
⑴ 3, 4 ⑵ 5, 2 ⑶ 10, 3 ⑷ ;2!;, 52
⑴ 5Ü` ⑵ 3Þ` ⑶ 2Û`_7Ü` ⑷ {;4!;}4 ⑸ 110Ý` ⑹ {;3!;}3`_{;1Á1;}2` 본교재 | 9 쪽대표
유형
3 5 3 -16 3 -2 ④ 4 19 4 -1347 4 -23 3 -1 7_7_7_7_;1ª3;_;1ª3;=7Ý`_{;1ª3;}2`이므로 a=4, b=2 ∴ a+b=4+2=6 6 3 -2 ① 3Û`=3_3=9 ② 4_4_4=4Ü` ③ 2+2+2+5+5=2_3+5_2 ⑤ ;3%;_;3%;_;3%;_;3%;={;3%;}4` 따라서 옳은 것은 ④이다. ④ 4 -1 81=3_3_3_3=3Ý`이므로 a=4 7Ü`=7_7_7=343이므로 b=343 ∴ a+b=4+343=347 347 4 -2 64=2_2_2_2_2_2=2ß`이므로 a=6 125=5_5_5=5Ü`이므로 b=3 ∴ a-b=6-3=3 3 본교재 | 10 쪽0
1
⑤0
2
가0
3
30
4
④0
5
③0
6
⑤0
7
10
8
⑤ 배운대로해결하기
0
1
약수의 개수가 2개인 것은 소수이다. 따라서 구하는 수는 ⑤ 73이다. ⑤0
2
주어진 그림에서 소수가 적혀 있는 칸을 색 18 15 1 19 50 2 23 30 43 66 8 97 39 5 3 75 31 24 13 42 20 86 51 47 72 칠하면 오른쪽 그림과 같으므로 만들어지는 글자는 ‘가’이다. 가 Ⅰ. 수와 연산1.
소인수분해
소수와 합성수
01
개념
1. 소인수분해
1
[방법 1] [방법 2] 따라서 18을 소인수분해하면 18= 2 _3 22
⑴ 따라서 24=2Ü`_3이므로 소인수는 2, 3이다. ⑵ 따라서 63=3Û`_7이므로 소인수는 3, 7이다. ⑶ 따라서 81=3Ý`이므로 소인수는 3이다. ⑷ 따라서 120=2Ü`_3_5이므로 소인수는 2, 3, 5이다. 본교재 | 12 쪽대표
유형
1 ⑤ 1 -1 ③ 1 -2 ③, ⑤ 2 3 2 -110 2 -2 ③ 1 -1 ① ② ③ ④ 2 `>³ 18 3 `>³ 19 1 3 2 18 3 9 3 2`>³ 24 2`>³ 12 2`>³ 6 3 3`>³ 63 3`>³ 21 7 3`>³ 81 3`>³ 27 3`>³ 9 3 2`>³ 120 2`>³ 60 2`>³ 30 3`>³ 15 5 2`>³ 8 2`>³ 4 2 ∴ 8=2Ü` 2`>³ 18 3`>³ 9 3 ∴ 18=2_3Û` 5`>³ 35 7 ∴ 35=5_7 2`>³ 40 2`>³ 20 2`>³ 10 5 ∴ 40=2Ü`_50
3
20 이하의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8개이므 로 a=8 1은 소수도 합성수도 아니므로 합성수의 개수는 20-8-1=11(개) ∴ b=11 ∴ b-a=11-8=3 3 보충 설명 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있으므로 n 이하의 자연수 중 소 수의 개수가 a개일 때, 합성수의 개수는 (n-a-1)개이다.0
4
① 가장 작은 소수는 2이다. ② 2는 소수이지만 짝수이다. ③ 2와 3은 소수이지만 2_3=6은 합성수이다. ④ 3의 배수 중 소수는 3의 1개뿐이다. ⑤ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다. 즉, 합성수는 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수이다. 따라서 옳은 것은 ④이다. ④0
5
③ 7_7_7+11_11=7Ü`+11Û` 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③0
6
⑤ 5Ý`은 5_5_5_5를 간단히 나타낸 것이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤0
7
5_3_5_7_5_3_7=3Û`_5Ü`_7Û`이므로 a=2, b=3, c=2 ∴ a-b+c=2-3+2=1 10
8
32=2_2_2_2_2=2Þ`이므로 a=5 1 7Û`= 1 7_7=;4Á9;이므로 b=49 ∴ a+b=5+49=54 ⑤소인수분해
03
개념
본교재 | 11 쪽 개념 콕콕1
2, 3, 3, 2, 3, 2, 22
⑴ 2Ü`_3 / 2, 3 ⑵ 3Û`_7 / 3, 7 ⑶ 3Ý` / 3 ⑷ 2Ü`_3_5 / 2, 3, 5⑤ 따라서 소인수분해한 것으로 옳은 것은 ③이다. ③ 1 -2 126=2_3Û`_7의 소인수는 2, 3, 7이다. 따라서 126의 소인수가 아닌 것은 ③ 5, ⑤ 11이다. ③, ⑤ 2 -1 360=2Ü`_3Û`_5에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하려면 곱하는 자연수는 2_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 2_5=10 10 보충 설명 제곱인 수 만들기 ➊ 주어진 수를 소인수분해한다. ➋ 홀수인 지수가 짝수가 되도록 적당한 수를 곱하거나 적당한 수로 나 눈다. 2 -2 98=2_7Û`이므로 98_x=2_7Û`_x가 어떤 자연수의 제곱이 되도 록 하려면 자연수 x는 2_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. ① 2=2_1Û` ② 8=2_2Û` ③ 15=3_5 ④ 18=2_3Û` ⑤ 32=2_4Û` 따라서 자연수 x가 될 수 없는 수는 ③ 15이다. ③
소인수분해를 이용하여 약수 구하기
04
개념
본교재 | 13 쪽 개념 콕콕1
⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조2
⑴ 12개 ⑵ 18개 ⑶ 8개 ⑷ 18개1
⑴ _ 1 5 1 1 5 3 3 15 3Û` 9 45 ⇨ 45의 약수 : 1, 3, 5, 9, 15, 45 2`>³ 96 2`>³ 48 2`>³ 24 2`>³ 12 2`>³ 6 3 ∴ 96=2Þ`_3 ⑵ _ 1 3 3Û` 1 1 3 9 2 2 6 18 2Û` 4 12 36 2Ü` 8 24 72 ⇨ 72의 약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 722
⑴ (3+1)_(2+1)=12(개) ⑵ (2+1)_(1+1)_(2+1)=18(개) ⑶ 56=2Ü`_7이므로 (3+1)_(1+1)=8(개) ⑷ 180=2Û`_3Û`_5이므로 (2+1)_(2+1)_(1+1)=18(개) 본교재 | 14 쪽대표
유형
3 ⑤ 3 -1 ②, ③ 3 -2 ㄱ, ㄴ, ㅁ 4 ① 4 -1 ② 4 -229 3 -1 2Ü`_3_5의 약수는 (2Ü`의 약수)_(3의 약수)_(5의 약수)의 꼴이다. 따라서 2Ü`_3_5의 약수가 아닌 것은 ② 3Û`_5, ③ 2_3_5Û`이다. ②, ③ 3 -2 260=2Û`_5_13의 약수는 (2Û`의 약수)_(5의 약수)_(13의 약수) 의 꼴이다. 따라서 260의 약수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다. ㄱ, ㄴ, ㅁ 4 -1 ① (3+1)_(1+1)=8(개) ② (2+1)_(1+1)=6(개) ③ 6+1=7(개) ④ 36=2Û`_3Û`이므로 (2+1)_(2+1)=9(개) ⑤ 150=2_3_5Û`이므로 (1+1)_(1+1)_(2+1)=12(개) 따라서 약수의 개수가 가장 적은 것은 ② 2Û`_5이다. ② 4 -2 7Ý`의 약수의 개수는 4+1=5(개)이므로 a=5 2Ü`_3Û`_11의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)_(1+1)=24(개) 이므로 b=24 ∴ a+b=5+24=29 291. 소인수분해 본교재 | 15 쪽
0
1
100
2
④0
3
⑤0
4
④0
5
①, ③0
6
④0
7
③0
8
② 배운대로해결하기
0
1
84=2Û`_3_7이므로 a=2, b=1, c=7 ∴ a+b+c=2+1+7=10 100
2
2Ü`_5Û`의 소인수는 2, 5이다. ① 12=2Û`_3이므로 소인수는 2, 3이다. ② 30=2_3_5이므로 소인수는 2, 3, 5이다. ③ 45=3Û`_5이므로 소인수는 3, 5이다. ④ 100=2Û`_5Û`이므로 소인수는 2, 5이다. ⑤ 140=2Û`_5_7이므로 소인수는 2, 5, 7이다. 따라서 2Ü`_5Û`과 소인수가 같은 것은 ④ 100이다. ④0
3
40=2Ü`_5이므로 a=2_5=10 40_a =40_10=400=20Û`=bÛ`이므로 b=20 ∴ a+b=10+20=30 ⑤0
4
240=2Ý`_3_5이므로 x의 값은 240의 약수이면서 3_5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. ① 4=2Û` ② 20=2Û`_5 ③ 24=2Ü`_3 ④ 60=2Û`_3_5 ⑤ 120=2Ü`_3_5 따라서 x의 값이 될 수 있는 것은 ④ 60이다. ④0
5
144=2Ý`_3Û`의 약수는 (2Ý`의 약수)_(3Û`의 약수)의 꼴이다. 따라서 144의 약수인 것은 ① 3, ③ 2Û`_3이다. ①, ③0
6
① 88=2Ü`_11이므로 (3+1)_(1+1)=8(개) ② (1+1)_(3+1)=8(개) ③ 3_14=2_3_7이므로 (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개) ④ 175=5Û`_7이므로 (2+1)_(1+1)=6(개) ⑤ 7+1=8(개) 따라서 약수의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④ 175이다. ④0
7
2Ç`_7Û`의 약수의 개수가 12개이므로 (n+1)_(2+1)=12 n+1=4 ∴ n=3 ③0
8
② 소인수는 2, 3이다. ④ 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)=12(개) ⑤ 2Û`_3Ü`에 3을 곱하면 (2Û`_3Ü`)_3=108_3=324=18Û` 따라서 옳지 않은 것은 ②이다. ②최대공약수
05
개념
본교재 | 16 쪽 개념 콕콕1
⑴ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ⑵ 1, 2, 4, 8, 16, 32 ⑶ 1, 2, 4, 8 ⑷ 82
⑴ 1, 2, 4 ⑵ 1, 3, 5, 15 ⑶ 1, 2, 4, 7, 14, 282
두 자연수의 공약수는 최대공약수의 약수이므로 ⑴ 공약수는 4의 약수인 1, 2, 4이다. ⑵ 공약수는 15의 약수인 1, 3, 5, 15이다. ⑶ 공약수는 28의 약수인 1, 2, 4, 7, 14, 28이다. 본교재 | 17 쪽대표
유형
1 ④ 1 -1 ② 1 -2 ② 2 ② 2 -1 ④ 2 -23개 1 -1 두 자연수 A, B의 공약수는 최대공약수인 35의 약수이므로 1, 5, 7, 35이다. 따라서 두 수 A, B의 공약수가 아닌 것은 ② 3이다. ② 1 -2 두 자연수의 공약수는 최대공약수인 2Ü`_3의 약수이므로 공약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개) ② 2 -1 두 수의 최대공약수를 각각 구하면 ① 1 ② 1 ③ 1 ④ 7 ⑤ 1 따라서 서로소가 아닌 것은 ④이다. ④2 -2 주어진 수와 16의 최대공약수는 각각 1, 4, 1, 16, 1, 4이다. 따라서 주어진 수 중 16과 서로소인 것은 5, 27, 49의 3개이다. 3개
최대공약수 구하기
06
개념
본교재 | 18 쪽 개념 콕콕1
⑴ 2_3Û` ⑵ 2Û`_5Û`2
⑴ 21 ⑵ 181
⑴ ⑵2
⑴ ⑵ 본교재 | 19 쪽대표
유형
3 ③ 3 -1 ③ 3 -23 4 ⑤ 4 -1 ④ 4 -2 ② 3 -1 ③ 2`_3Û` 2Ü`_3Ý` (최대공약수)=2`_3Û` 2Û` _5Ý` 2Ü`_3_5Û` 2Û` _5Ü`_7 (최대공약수)=2Û` _5Û` 3`>³ 42 63 7`>³ 14 21 2 3 (최대공약수)=3_7=21 2`>³ 18 36 54 3`>³ 9 18 27 3`>³ 3 6 9 1 2 3 (최대공약수)=2_3_3=18 108=2Ü`_3 108=2Û`_3Ü` (최대공약수)=2Û`_3` 3 -2 최대공약수는 각 수의 공통인 소 2Ü`_3`_5Ý` 2Ü`_3Û`_5Û`_7 (최대공약수)=2Ü`_3`_5º` 인수를 모두 곱하여 구한다. 이때 공통인 소인수의 지수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 작은 것을 택하여 곱한다. 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3 3 4 -1 주어진 세 수의 최대공약수는 2Û`_3Û`_5 2Û`_3Ü`_5_7 2Ü`_3Û` (최대공약수)=2Û`_3Û` 2Û`_3Û`이므로 공약수는 2Û`_3Û`의 약수이다. 이때 2Û`_3Û`의 약수는 (2Û`의 약수)_(3Û`의 약수)의 꼴이므로 공약수가 아닌 것은 ④ 2Û`_7 이다. ④ 4 -2 공약수의 개수는 최대공약수의 184=2Û`_3_5Û`_7` 150=2Ü`_3_5Û` (최대공약수)=2Ü`_3` 약수의 개수와 같다. 이때 두 수 84, 150의 최대공약 수는 2_3이므로 공약수의 개수 는 (1+1)_(1+1)=4(개) ②최대공약수의 활용
07
개념
본교재 | 20 쪽 개념 콕콕1
⑴ 최대공약수 ⑵ 최대공약수2
⑴ 12, 3, 4, 6, 12 ⑵ 18, 6, 9, 18 ⑶ 12, 18, 3, 6 ⑷ 12, 18, 6 본교재 | 21 ~ 22 쪽대표
유형
5 6마리 5 -112명 6 15 cm 6 -118 cm 6 -28 cm 7 15 m 7 -140 m 8 21 8 -118 8 -29 5 -1 백합 36송이, 국화 84송이, 장미 36=2Û`_3Û` 84=2Û`_3Û`_7 96=2Þ`_3 (최대공약수)=2Û`_3Û`_5=12 96송이를 가능한 한 많은 학생들 에게 남김없이 똑같이 나누어 주 려고 하므로 학생 수는 36, 84,1. 소인수분해 96의 최대공약수가 되어야 한다. 따라서 최대 12명의 학생에게 나누어 줄 수 있다. 12명 6 -1 정사각형 모양의 종이의 한 변의 180=2Û`_3Û`_5 154=2Ü`_3Ü` (최대공약수)=2Ü`_3Û`_5=18 길이는 180과 54의 공약수이고 가능한 한 큰 종이를 붙이려고 하므로 종이의 한 변의 길이는 180과 54의 최대공약수가 되어야 한다. 따라서 종이의 한 변의 길이는 18 cm이다. 18 cm 6 -2 정육면체 모양의 블록의 한 모서 40=2Ü`_3_5 16=2Ý` 24=2Ü`_3 (최대공약수)=2Ü`_3_5=8 리의 길이는 40, 16, 24의 공약수 이고 블록의 크기를 최대로 하므 로 블록의 한 모서리의 길이는 40, 16, 24의 최대공약수가 되어야 한 다. 따라서 블록의 한 모서리의 길이는 8`cm이다. 8`cm 7 -1 가능한 한 적은 수의 표지판을 120=2Ü`_3_5 160=2Þ`_3_5` (최대공약수)=2Ü`_3_5=40 일정한 간격으로 세우려고 하므 로 표지판 사이의 간격은 120과 160의 최대공약수가 되어야 한 다. 따라서 표지판 사이의 간격은 40 m이다. 40 m 8 -1 어떤 자연수로 39를 나누면 3이 남 36=2Û`_3Û` 54=2Þ`_3Ü` (최대공약수)=2Û`_3Û`=18 고, 56을 나누면 2가 남으므로 어떤 자연수로 39-3=36과 56-2=54 를 나누면 나누어떨어진다. 따라서 구하는 가장 큰 수는 36과 54의 최대공약수인 18이다. 18 8 -2 어떤 자연수로 80을 나누면 8이 남고, 72=2Ü`_3Û` 81=2Þ`+3Ý` (최대공약수)=2Þ`+3Û`=9 76을 나누면 5가 부족하므로 어떤 자 연수로 80-8=72와 76+5=81을 나누면 나누어떨어진다. 따라서 구하는 가장 큰 수는 72와 81의 최대공약수인 9이다. 9 보충 설명 ⑴ x로 A를 나누면 r가 남는다. ⇨ x로 A-r를 나누면 나누어떨어진다. ⇨ x는 A-r의 약수이다. ⑵ x로 A를 나누면 r가 부족하다. ⇨ x로 A+r를 나누면 나누어떨어진다. ⇨ x는 A+r의 약수이다. 본교재 | 23 ~ 24 쪽
0
1
④0
2
⑤0
3
5개0
4
①0
5
40
6
②, ⑤0
7
⑤0
8
8개0
9
치약：7개, 비누：9개10
④11
②12
⑤13
③14
④ 배운대로해결하기
0
1
세 자연수의 공약수는 최대공약수인 20의 약수이므로 1, 2, 4, 5, 10, 20이다. 따라서 모든 공약수의 합은 1+2+4+5+10+20=42 ④0
2
두 자연수 A, B의 공약수는 최대공약수인 12=2Û`_3의 약수이므 로 공약수의 개수는 (2+1)_(1+1)=6(개) ⑤0
3
10보다 작은 자연수 중 8과 서로소인 자연수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개 이다. 5개0
4
184=2Û`_3Û`_5_7 162=2`_3Ý` 180=2Û`_3Û`_5 (최대공약수)=2`_3 ①0
5
최대공약수를 구할 때에는 각 수 2`_3Ü`_5Ý` 2Ü`_3Ü`_5º`_7 (최대공약수)=2Û`_3Ü`_5Û` 의 공통인 소인수의 지수가 같으 면 그대로, 지수가 다르면 작은 것을 택하여 곱한다. 따라서 a=2, b=2이므로 a+b=2+2=4 40
6
① =3일 때, 최대공약수는 3이다. ③ =2_5일 때, 최대공약수는 2_3_5이다. ④ =2_5Ü`일 때, 최대공약수는 2_3_5Û`이다. 따라서 안에 들어갈 수 있는 수는 ② 5Û`, ⑤ 5Û`_7Û`이다. ②, ⑤0
7
두 수의 최대공약수는 2_3Û`이므로 216=2Ü`_3Ü` 108=2Ü`_3Û`_5Û` (최대공약수)=2Ü`_3Û` 공약수는 2_3Û`의 약수이다. 따라서 공약수가 아닌 것은 ⑤ 2_3Ü` 이다. ⑤0
8
공약수의 개수는 최대공약수의 2Û`_3`_5Û` 2`_3Û`_5 2Û`_3`_5`_7 (최대공약수)=2`_3`_5 약수의 개수와 같다. 따라서 주어진 세 수의 최대공약 수는 2_3_5이므로 공약수의 개수는 (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개) 8개0
9
치약 84개와 비누 108개를 가능 184=2Û`_3Û`_7 108=2Û`_3Ü` (최대공약수)=2Û`_3Û`_5=12 한 한 많은 상자에 남김없이 똑 같이 나누어 넣어야 하므로 상 자의 개수는 84와 108의 최대공 약수가 되어야 한다. 따라서 상자의 개수는 12개이고 각 선물 상자에 들어갈 치약과 비누 의 개수는 각각 치약：84Ö12=7(개), 비누：108Ö12=9(개) 치약：7개, 비누：9개10
정사각형 모양의 타일의 한 변 144=2Ý`_3Û` 120=2Ü`_3Ü`_5 (최대공약수)=2Ü`_3Û`_5=24 의 길이는 144와 120의 공약수 이고 가능한 한 큰 타일을 붙이 려고 하므로 타일의 한 변의 길 이는 144와 120의 최대공약수가 되어야 한다. 따라서 타일의 한 변의 길이는 24`cm이고 가로와 세로에 필요한 타 일의 개수는 각각 가로：144Ö24=6(개), 세로：120Ö24=5(개) 이므로 필요한 타일의 개수는 6_5=30(개) ④11
정육면체 모양의 나무토막의 36=2Û`_3Û` 60=2Û`_3Û`_5 42=2Û`_3`_5`_7 (최대공약수)=2`_3`_5`_7=6 한 모서리의 길이는 36, 60, 42의 공약수이고 가능한 한 큰 정육면체 모양으로 잘라야 하므로 정육면체 모양의 나무 토막의 한 모서리의 길이는 36, 60, 42의 최대공약수가 되어야 한 다. 따라서 정육면체 모양의 나무토막의 한 모서리의 길이는 6 cm이고 가로, 세로, 높이에 만들어지는 정육면체 모양의 나무토막의 개수는 각각 가로：36Ö6=6(개), 세로：60Ö6=10(개), 높이：42Ö6=7(개)이므로 정육면체 모양의 나무토막은 6_10_7=420(개)를 만들 수 있다. ②12
가능한 한 적은 수의 나무를 일 180=2Û`_3Û`_5 240=2Ý`_3Ü`_5 (최대공약수)=2Û`_3Û`_5=60 정한 간격으로 심으려고 하므로 나무 사이의 간격은 180과 240 의 최대공약수가 되어야 한다. 따라서 나무 사이의 간격은 60`m이다. ⑤13
배는 1개가 남고 귤은 2개가 남고 54=2_3Ü` 27=2_3Ü` 45=2_3Û`_5 (최대공약수)=2_3Û`Ü`_=9 감은 3개가 부족하므로 학생들에게 배 55-1=54(개), 귤 29-2=27(개), 감 42+3=45(개)를 남김없이 똑같 이 나누어 줄 수 있다. 따라서 54, 27, 45의 최대공약수는 9이므로 나누어 줄 수 있는 최대 학생 수는 9명이다. ③14
n의 값은 168과 280의 공약 168=2Ü`_3Û`_5_7 280=2Ü`_3Ü`_5_7 (최대공약수)=2Ü`_3Û`_5_7=56 수이므로 n의 값 중 가장 큰 수는 168과 280의 최대공약 수이다. 따라서 168과 280의 최대공약수는 56이므로 구하는 수는 56이다. ④최소공배수
08
개념
본교재 | 25 쪽 개념 콕콕1
⑴ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, … ⑵ 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … ⑶ 40, 80, 120, … ⑷ 402
⑴ 4, 8, 12 ⑵ 7, 14, 21 ⑶ 16, 32, 48 본교재 | 26 쪽대표
유형
1 ⑴ 36, 72, 108, … ⑵ 36 ⑶ 36, 72, 108, … 1 -1 ⑴ 60, 120, 180, … ⑵ 60 ⑶ 60, 120, 180, … 2 ④ 2 -1 ② 2 -2 ②1. 소인수분해 1 -1 ⑴ 15의 배수 : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, … 20의 배수 : 20, 40, 60, 80, 100, 120, … 따라서 15와 20의 공배수는 60, 120, 180, …이다. ⑵ ⑴에서 15와 20의 최소공배수는 60이다. ⑶ 15와 20의 최소공배수인 60의 배수는 60, 120, 180, …이다. ⑴ 60, 120, 180, … ⑵ 60 ⑶ 60, 120, 180, … 2 -1 두 자연수 A, B의 공배수는 최소공배수인 24의 배수이므로 24, 48, 72, …이다. 따라서 두 수 A, B의 공배수가 아닌 것은 ② 60이다. ② 2 -2 두 자연수의 공배수는 최소공배수인 25의 배수이다. 따라서 100 이하의 자연수 중 25의 배수는 25, 50, 75, 100의 4개 이므로 공배수 중 100 이하의 자연수는 모두 4개이다. ②
최소공배수 구하기
09
개념
본교재 | 27 쪽 개념 콕콕1
⑴ 2Ü`_3Û` ⑵ 2Û`_3Û`_72
⑴ 168 ⑵ 2701
⑴ ⑵ 2`_3Û` 2Û`_3`_7 2Û`_3`_7 (최소공배수)=2Û`_3Û`_72
⑴ ⑵ 본교재 | 28 쪽대표
유형
3 ⑤ 3 -1 ⑤ 3 -26 4 ⑤ 4 -1 ④ 4 -24개 2Ü`_3 2Û`_3Û` (최소공배수)=2Ü`_3Û` 2`>³ 24 42 3`>³ 12 21 4 7 (최소공배수)=2_3_4_7=168 3`>³ 27 30 45 3`>³ 9 10 15 5`>³ 3 10 5 3 2 1 (최소공배수)=3_3_5_3_2_1=270 3 -1 ⑤ 3 -2 최소공배수는 각 수의 공통인 소인수 2Ü`_5_7` 2Û`_5_7Û` (최소공배수)=2º`_5_7Û` 와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하 여 구한다. 이때 공통인 소인수의 지 수가 같으면 그대로, 지수가 다르면 큰 것을 택하여 곱한다. 따라서 a=2, b=3이므로 a_b=2_3=6 6 4 -1 세 수 12, 40, 54의 최소공배수는 12=2Û`_3 40=2Ü`_3Û`_5 54=2Þ`_3Ü` (최소공배수)=2Ü`_3Ü`_5 2Ü`_3Ü`_5이므로 공배수는 2Ü`_3Ü`_5의 배수이다. 따라서 공배수인 것은 ④ 2Ü`_3Ü`_5Û` 이다. ④ 4 -2 공배수는 최소공배수의 배수이 24=2Ü`_3 30=2Û`_3_5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 다. 이때 두 수 24, 30의 최소공배 수는 120이므로 공배수 중 500 이하의 자연수는 120, 240, 360, 480의 4개이다. 4개최소공배수의 활용
10
개념
본교재 | 29 쪽 개념 콕콕1
⑴ 최소공배수 ⑵ 최소공배수2
⑴ 6, 12, 18, 24 ⑵ 8, 16, 24, 32 ⑶ 6, 8, 24, 48 ⑷ 6, 8, 24 본교재 | 30 ~ 31 쪽대표
유형
5 오전 9시 48분 5 -160초 6 180 cm 6 -1300 cm 6 -2 ④ 7 38 7 -1121 7 -2123 8 80 8 -136 8 -2;;Á1¢7¼;; 72=2Ü`_3Û` 72=2Û`_3Û`_5Ü` (최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Ü`5 -1 세 전구에 동시에 불을 켠 후 처 15=2Ü`_3_5 20=2Û`_3_5 10=2Û`_3_5 (최소공배수)=2Û`_3_5`=60 음으로 다시 동시에 불이 켜지는 시각은 (15, 20, 10의 최소공배 수)초 후이다. 따라서 세 전구에 동시에 불을 켠 후 처음으로 다시 동시에 불이 켜질 때까지 걸리는 시간은 60초 이다. 60초 6 -1 정사각형의 한 변의 길이는 60 60=2Û`_3_5 75=2Û`_3_5Û` (최소공배수)=2Û`_3_5Û`=300 과 75의 공배수이고 가장 작은 정사각형을 만들어야 하므로 정사각형의 한 변의 길이는 60 과 75의 최소공배수가 되어야 한다. 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 300 cm이다. 300 cm 6 -2 정육면체의 한 모서리의 길이는 24, 24=2Ü`_3 18=2`_3Û` 12=2Û`_3 (최소공배수)=2Ü`_3Û`=72 18, 12의 공배수이고 가능한 한 작은 정육면체 모양을 만들어야 하므로 정 육면체의 한 모서리의 길이는 24, 18, 12의 최소공배수가 되어야 한다. 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 72`cm이다. ④ 7 -1 구하는 수를 A라고 하면 A-1 16=2Û`_3 18=2Ü` 10=2Þ`_3_5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 은 6, 8, 10의 최소공배수이다. 따라서 6, 8, 10의 최소공배수는 120이므로 A=120+1=121 121 7 -2 4로 나누어도, 5로 나누어도, 6으로 나누어도 모두 3이 남는 자연수 는 (4, 5, 6의 공배수)+3이다. 4, 5, 6의 최소공배수는 60이므로 4, 5, 6의 공배수는 60, 120, …이다. 따라서 구하는 세 자리의 자연수 중 가장 작은 수는 120+3=123 123 8 -1 주어진 두 분수 중 어느 것에 곱하 12=2Û`_3 18=2`_3Û` (최소공배수)=2Û`_3Û`=36 여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 자연수는 12와 18의 최 소공배수이므로 36이다. 36 8 -2 두 분수 중 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 분수는 ((35와 20의 최소공배수) 17과 51의 최대공약수)이다. 이때 17, 51=3_17의 최대공약수는 17이고 35=5_7, 20=2Û`_5의 최소공배수는 2Û`_5_7=140이므로 구하는 기약분 수는 ;;Á1¢7¼;; ;;Á1¢7¼;;
최대공약수와 최소공배수의 관계
11
개념
본교재 | 32 쪽 개념 콕콕1
28, 84, 21, 4, 4, 3, 3, 212
⑴ 8, 96 ⑵ 3, 240, 720 본교재 | 33 쪽대표
유형
9 24 9 -160 9 -2A=12, B=20 10 6 10 -172 10 -21350 9 -1 (두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 A_96=12_480 ∴ A=60 다른 풀이A=12_a (a와 8은 서로소)라고 하면 A, 96의 12`>³ A 96 a 8 최소공배수가 480이므로 12_a_8=480 ∴ a=5 ∴ A=12_5=60 60 9 -2 두 자연수 A, B의 최대공약수가 4이므로 4`>³ 4_a 4_b a b A=4_a, B=4_b (a, b는 서로소, a<b)
라고 하자. 이때 A, B의 최소공배수가 60이므로 4_a_b=60 ∴ a_b=15 Ú a=1, b=15일 때, A=4, B=60 Û a=3, b=5일 때, A=12, B=20 이때 A, B는 두 자리의 자연수이므로 A=12, B=20 A=12, B=20 10 -1 (두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 576=8_(최소공배수) ∴ (최소공배수)=72 72
1. 소인수분해 10 -2 (두 자연수의 곱) =(최대공약수)_(최소공배수) =15_90=1350 1350 본교재 | 34 ~ 35 쪽
0
1
①0
2
③0
3
②0
4
①0
5
④0
6
④0
7
③0
8
③0
9
900개10
185개11
;;¢4°;;12
2513
② 배운대로해결하기
0
1
두 자연수 A, B의 공배수는 최소공배수인 12의 배수이다. 이때 12_8=96, 12_9=108이므로 공배수 중 100에 가장 가까 운 수는 96이다. ①0
2
① ② ③ ④ ⑤ ③0
3
2`_3Û`_5Ý` 2Û`_3Û`_5º` (최대공약수)=2Û`_3Û`_5Û` (최소공배수)=2Ü`_3Û`_5Ý` 따라서 a=3, b=2이므로 a+b=3+2=5 ② 3Ü`_5Û` 3Û`_5Û`_7 (최소공배수)=3Û`_5Û`_7 150= 3Ü`_5 150=2_3Ü`_5Û` (최소공배수)=2_3Ü`_5Û` 3Ü`_5 3Û`_5_7 (최소공배수)=3Ü`_5_7 3Þ`_5Û`_7 2Ü` 5Ü`_7 3Ü`_5Ý`_7_11 (최소공배수)=3Þ`_5Ý`_7_11 28=2Û`_3Û`_7 36=2Û`_3Û` 54=2Þ`_3Ü` (최소공배수)=2Û`_3Ü`_70
4
㈎에서 세 자연수의 비가 2：3：5이 x`>³ 2_x 3_x 5_x 2 3 5 므로 세 자연수를 2_x, 3_x, 5_x 라고 하자. ㈏에서 세 자연수의 최소공배수는 180이므로 x_2_3_5=180 30_x=180 ∴ x=6 따라서 세 자연수의 최대공약수는 6이다. ①0
5
두 수 2_3Ü`_7Û`, 252의 공배수는 최 252=2`_3Ü`_7Û` 252=2Û`_3Û`_7 (최소공배수)=2Û`_3Ü`_7Û` 소공배수인 2Û`_3Ü`_7Û`의 배수이다. 따라서 주어진 두 수의 공배수가 아 닌 것은 ④ 2Ü`_3Û`_7Û`이다. ④0
6
전철, 시내 버스, 좌석 버스가 동시에 25=2_5 15=3_5 25=2_5Û` (최소공배수)=3_5Û`=75 출발했을 때, 처음으로 다시 동시에 출발하는 시각은 (5, 15, 25의 최소 공배수)분 후이다. 따라서 전철, 시내 버스, 좌석 버스 가 오전 8시에 동시에 출발한 후 처음으로 다시 동시에 출발하는 시 각은 75분 후, 즉 1시간 15분 후인 오전 9시 15분이다. ④0
7
두 톱니바퀴 A, B가 같은 톱니 28=2Û`_5_7 35=2Û`_5_7 (최소공배수)=2Û`_5_7=140 에서 처음으로 다시 맞물릴 때 까지 돌아간 톱니의 개수는 (28 과 35의 최소공배수)개이다. 28과 35의 최소공배수는 140이므로 두 톱니바퀴 A, B가 같은 톱 니에서 처음으로 다시 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 개수는 140개 이다. 따라서 톱니바퀴 A가 140Ö28=5(바퀴) 회전한 후이다. ③0
8
정사각형의 한 변의 길이는 18 18=2Û`_3Û` 20=2Û`_5Û`_5 (최소공배수)=2Û`_3Û`_5=180 과 20의 공배수이고 가장 작은 정사각형을 만들어야 하므로 정 사각형의 한 변의 길이는 18과 20의 최소공배수가 되어야 한다. 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 180 cm이고 가로, 세로에 필요 한 타일의 개수는 각각 가로：180Ö18=10(개), 세로：180Ö20=9(개) 이므로 필요한 타일의 개수는 10_9=90(개) ③0
9
정육면체의 한 모서리의 길이는 20=2Û`_3_5 12=2Û`_3 58=2Ü` (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 20, 12, 8의 공배수이고 가능한 한 작은 정육면체 모양을 만들 어야 하므로 정육면체의 한 모 서리의 길이는 20, 12, 8의 최 소공배수가 되어야 한다. 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 120`cm이고 가로, 세로, 높 이에 필요한 벽돌의 개수는 각각 가로：120Ö20=6(개), 세로：120Ö12=10(개), 높이：120Ö8=15(개) 이므로 필요한 벽돌의 개수는 6_10_15=900(개) 900개10
과자의 개수는 6, 9, 10으로 나누 56=2_3Û` 19=2_3Û` 10=2_3Û`_5 (최소공배수)=2_3Û`_5=90 어도 모두 5가 남는 자연수이므 로 (6, 9, 10의 공배수)+5이다. 6, 9, 10의 최소공배수는 90이므 로 6, 9, 10의 공배수는 90, 180, 270, …이다. 이때 과자의 개수는 100개보다 많고 200개보다 적으므로 과자의 개 수는 180+5=185(개) 185개11
두 분수 중 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 분수는 (15와 9의 최소공배수) (16과 28의 최대공약수) 이다. 이때 16=2Ý`, 28=2Û`_7의 최대공약수는 2Û`=4이고 15=3_5, 9=3Û`의 최소공배수는 3Û`_5=45이므로 구하는 기약분수는 ;;¢4°;;이다. ;;¢4°;;12
두 자연수 A, B의 최대공약수가 5이므로 5`>³ 5_a 5_b a b A=5_a, B=5_b (a, b는 서로소, a<b)라고 하자. 이때 A, B의 곱이 150이므로 5_a_5_b=150 ∴ a_b=6 Ú a=1, b=6일 때, A=5, B=30 Û a=2, b=3일 때, A=10, B=15 이때 A, B는 두 자리의 자연수이므로 A=10, B=15 ∴ A+B=10+15=25 25
13
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 648=9_(최소공배수) ∴ (최소공배수)=72 ② 본교재 | 36 ~ 38 쪽 개념 넓히기로마무리
0
1
⑤0
2
②, ④0
3
⑤0
4
④0
5
20
6
④0
7
②0
8
⑤0
9
28개10
③11
②, ③12
⑤13
④14
②15
③16
1, 3, 917
218
2019
720초20
621
10922
12, 420
1
16=2_2_2_2=2Ý`이므로 a=4 3Þ`=3_3_3_3_3=243이므로 b=243 ∴ a+b=4+243=247 ⑤0
2
① 가장 작은 소수는 2이다. ③ 20을 소인수분해하면 2Û`_5이다. ④ 42=2_3_7이므로 소인수는 2, 3, 7이다. ⑤ 7보다 작은 소수는 2, 3, 5이다. 따라서 옳은 것은 ②, ④이다. ②, ④0
3
180=2Û`_3Û`_5에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하려면 곱하는 자연수는 5_(자연수)Û`의 꼴이어야 한다. 따라서 곱할 수 있는 자연수는 5_1Û`, 5_2Û`, 5_3Û`, y이므로 세 번째로 작은 수는 5_3Û`=45 ⑤0
4
① 20=2Û`_5이므로 (2+1)_(1+1)=6(개) ② 32=2Þ`이므로 5+1=6(개) ③ 63=3Û`_7이므로 (2+1)_(1+1)=6(개) ④ 105=3_5_7이므로 (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개) ⑤ 242=2_11Û`이므로 (1+1)_(2+1)=6(개) 따라서 약수의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ④ 105이다. ④1. 소인수분해
0
5
Ú =3`의 꼴일 때, =3Ü`=27 Û =5º`의 꼴일 때, =5Û`=25 Ü 가 3, 5가 아닌 소수일 때, =2, 7, 11, … Ú ~ Ü에서 안에 들어갈 수 있는 가장 작은 자연수는 2이다. 20
6
21과 a의 공약수가 1개이므로 a는 21과 서로소인 수이다. 21과 주어진 수의 최대공약수를 각각 구하면 ① 3 ② 7 ③ 7 ④ 1 ⑤ 7 따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ④ 32이다. ④0
7
① 최대공약수는 2Û`_7=28 ② 최대공약수는 5_11=55 ③ 15=3_5, 36=2Û`_3Û`이므로 최대공약수는 3 ④ 최대공약수는 2Û`_5=20 ⑤ 18=2_3Û`, 24=2Ü`_3, 60=2Û`_3_5이므로 최대공약수는 2_3=6 따라서 최대공약수가 가장 큰 것은 ②이다. ②0
8
남학생 152명, 여학생 136명으 152=2Ü`_19_19 136=2Ü`_17 (최대공약수)=2Ü`_17_19=8 로 되도록 많은 반을 만들려면 반의 수는 152와 136의 최대공 약수가 되어야 한다. 따라서 총 8개 반이 만들어지므로 c=8 한 반에 배정되는 남학생과 여학생의 수는 각각 남학생 : 152Ö8=19(명) ∴ a=19 여학생 : 136Ö8=17(명) ∴ b=17 ∴ a+b+c=19+17+8=44 ⑤0
9
정사각형 모양의 타일의 한 변의 길 164=2ß` 112=2Ý`_7 (최대공약수)=2Ý`_7=16 이는 64와 112의 공약수이고 가능한 한 큰 타일을 붙이려고 하므로 타일 의 한 변의 길이는 64와 112의 최대 공약수가 되어야 한다. 따라서 타일의 한 변의 길이는 16 cm이고 가로와 세로에 필요한 타 일의 개수는 각각 가로：64Ö16=4(개), 세로：112Ö16=7(개) 이므로 필요한 타일의 개수는 4_7=28(개) 28개10
두 자연수 A, B의 공배수는 최소공배수인 30의 배수이므로 30, 60, 90, …이다. 따라서 두 수 A, B의 공배수가 아닌 것은 ③ 200이다. ③11
2Û`_3Û` 2Û`_3Ü`_5 2Ü`_3`_5Û` (최대공약수)=2Û`_3 (최소공배수)=2Ü`_3Ü`_5Û` ② 세 수의 최소공배수는 2Ü`_3Ü`_5Û`이다. ③ 세 수의 최대공약수가 2Û`_3이므로 세 수의 공약수는 (2Û`의 약수)_(3의 약수)의 꼴이다. 따라서 2Û`_5는 세 수의 공약수가 아니다. 따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다. ②, ③12
36과 60의 최대공약수는 12이므로 36`◎`60=12 12와 42의 최소공배수는 84이므로 12`◉`42=84 ∴ (36`◎`60)`◉`42=12`◉`42=84 ⑤13
세 수 2_3_5, A, 2_3Û`의 최대공약수가 6=2_3이고, 최소공배 수가 180=2Û`_3Û`_5이므로 A의 값이 될 수 있는 수는 2Û`_3=12, 2Û`_3Û`=36, 2Û`_3_5=60, 2Û`_3Û`_5=180 따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ④ 120이다. ④ 보충 설명 ④ 2_3_5, 120=2Ü`_3_5, 2_3Û`의 최대공약수는 2_3=6, 최소 공배수는 2Ü`_3Û`_5=360이다.14
세 자연수 2_x, 3_x, 7_x의 최소 x`>³ 2_x 3_x 7_x 2 3 7 공배수가 294이므로 x_2_3_7=294 42_x=294 ∴ x=7 따라서 세 자연수는 2_7=14, 3_7=21, 7_7=49이므로 세 자 연수의 합은 14+21+49=84 ② 36=2Û`_3Û` 60=2Û`_3Û`_5 (최대공약수)=2Û`_3Û`_`=12 12=2Û`_3 42=2`_3_7 (최소공배수)=2Û`_3_7=8415
정육면체의 한 모서리의 길이는 24=2Ü`_3 20=2Û`_3_5 15=2Ü`_3_5 (최소공배수)=2Ü`_3_5=120 24, 20, 15의 공배수이고 가장 작은 정육면체 모양을 만들어야 하므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 24, 20, 15의 최소공배 수가 되어야 한다. 따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 120 cm이고 가로, 세로, 높 이에 필요한 벽돌의 개수는 각각 가로：120Ö24=5(개), 세로：120Ö20=6(개), 높이：120Ö15=8(개) 이므로 필요한 벽돌의 개수는 5_6_8=240(개) 그러므로 필요한 벽돌의 총 가격은 240_200=48000(원) ③16
(두 자연수의 곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로 486=(최대공약수)_54 ∴ (최대공약수)=9 따라서 공약수는 최대공약수의 약수이므로 1, 3, 9이다. 1, 3, 917
3`_5_7Ü`의 약수의 개수는 (a+1)_(1+1)_(3+1)=8_(a+1)(개) …… 40% 540=2Û`_3Ü`_5의 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)_(1+1)=24(개) …… 40% 이때 3`_5_7Ü`의 약수의 개수와 540의 약수의 개수가 같으므로 8_(a+1)=24 a+1=3 ∴ a=2 …… 20% 218
최대공약수가 3Û`_5Û`이므로 b=2 …… 20% 최소공배수가 3Ü`_5Ý`_7Û`_13이므로 a=3, c=2, d=13 …… 60% ∴ a+b+c+d=3+2+2+13=20 …… 20% 2019
세 신호등 A, B, C가 켜진 후 다시 켜질 때까지 걸리는 시간은 각 각 40+8=48(초), 50+10=60(초), 30+6=36(초) …… 40% 세 신호등 A, B, C가 동시에 48=2Ý`_3 60=2Û`_3Û`_5 36=2Û`_3Û` (최소공배수)=2Ý`_3Û`_5=720 켜진 후 처음으로 다시 동시에 켜질 때까지 걸리는 시간은 (48, 60, 36의 최소공배수)초 후이다. …… 20% 이때 48, 60, 36의 최소공배수는 720이므로 세 신호등 A, B, C가 동시에 켜진 후 처음으로 다시 동시에 켜질 때까지 걸리는 시간은 720초이다. …… 40% 720초20
300=2Û`_3_5Û`이므로 N(300)=(2+1)_(1+1)_(2+1)=18 N(300)_N(k)=72에서 18_N(k)=72 ∴ N(k)=4 이때 k의 약수의 개수가 4개이므로 k의 값은 aÜ` (a는 소수) 또는 a_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이다. Ú k=aÜ`(a는 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자연수 k의 값은 2Ü`=8 Û k=a_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴일 때, 가장 작은 자연수 k의 값은 2_3=6 Ú, Û에서 가장 작은 자연수 k의 값은 6이다. 621
세 분수 중 어느 것에 곱하여도 그 결과가 자연수가 되게 하는 가장 작은 분수는 (8, 20, 12의 최대공약수) (3, 7, 5의 최소공배수) 이다. 3, 7, 5의 최소공배수는 3_7_5=105이므로 x=105 8=2Ü`, 20=2Û`_5, 12=2Û`_3의 최대공약수는 2Û`=4이므로 y=4 ∴ x+y=105+4=109 10922
두 자연수의 최대공약수가 6이므로 두 자연수 6`>³ 6_a 6_b a b 를 6_a, 6_b(a, b는 서로소, a<b)라고 하 자. 이때 두 자연수의 최소공배수가 84이므로 6_a_b=84 ∴ a_b=14 Ú a=1, b=14일 때, 두 자연수는 6, 84이므로 두 자연수의 합은 6+84=90 Û a=2, b=7일 때, 두 자연수는 12, 42이므로 두 자연수의 합은 12+42=54 이때 두 자연수의 합은 54이므로 구하는 두 자연수는 12, 42이다. 12, 42Ⅰ- 2. 정수와 유리수 Ⅰ. 수와 연산
2.
정수와 유리수
정수
01
개념
본교재 | 40 쪽 개념 콕콕1
⑴ -700 ⑵ +10000 ⑶ -7 ⑷ +32
⑴ +6, 4 ⑵ -2, -5 ⑶ -2, +6, 0, 4, -5 ⑷ -2, 0, -5 본교재 | 41 쪽대표
유형
1 ④ 1 -1 ② 2 ③ 2 -1 ④ 2 -22 1 -1 ② 작년보다 키가 3`cm 커졌다. ⇨ +3`cm ② 2 -1 정수는 +1, 9, 0, -;2^;=-3의 4개이다. ④ 2 -2 양의 정수는 +;;ª6¢;;=+4의 1개이므로 a=1 음의 정수는 -1, -;;Á7¢;;=-2, -7의 3개이므로 b=3 ∴ b-a=3-1=2 2유리수
02
개념
본교재 | 42 쪽 개념 콕콕1
⑴ +1.6, +;3%;, +7 ⑵ -4, -;2#; ⑶ -4, +1.6, -;2#;, 0, +;3%;, +7 ⑷ +1.6, -;2#;, +;3%;2
풀이 참조2
수 -3 +;2!; -0.1 0 +;;Á5¼;; 양수 ◯ ◯ 음수 ◯ ◯ 정수 ◯ ◯ ◯ 유리수 ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ 본교재 | 43 쪽대표
유형
3 ①, ④ 3 -14개 3 -2 ③ 4 ①, ⑤ 4 -1 ⑤ 3 -1 -;Á2¤;=-8, -2는 정수이므로 정수가 아닌 유리수는 3.14, -;4&;, +;Á5ª;;, +9.3의 4개이다. 4개 3 -2 ① 양수는 +;5^;, :Á6ª:, +8의 3개이다. ② 정수는 -3, :Á6ª:=2, 0, +8의 4개이다. ③ 유리수는 +;5^;, -3, -2.9, :Á6ª:, 0, +8의 6개이다. ④ 양의 정수는 :Á6ª:=2, +8의 2개이다. ⑤ 정수가 아닌 유리수는 +;5^;, -2.9의 2개이다. 따라서 옳은 것은 ③이다. ③ 4 -1 ① 양의 정수, 0, 음의 정수를 통틀어 정수라고 한다. ② 가장 작은 양의 정수는 1이다. ③ -;3!;은 음의 유리수이지만 음의 정수는 아니다. ④ ;4#;과 같이 정수가 아닌 유리수도 있다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤수직선
03
개념
본교재 | 44 쪽 개념 콕콕1
⑴ -3 ⑵ -;3@; ⑶ +;4!; ⑷ +;2#;2
풀이 참조3
풀이 참조2
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 (2) (3) (1) (4)3
점 A는 0보다 ;2#;만큼 작은 수를 나타내므로 점 A를 나타내는 수는 -;2#;이고, 점 B는 0보다 4만큼 큰 수를 나타내므로 점 B를 나타내 는 수는 +4이다. -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 A B본교재 | 45 쪽
대표
유형
5 ①, ④ 5 -1 ① 5 -2 ④ 6 -1 6 -12 6 -2-5, 1 5 -1 ① A：-4.5 ① 5 -2 주어진 수를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 따라서 오른쪽에서 두 번째에 있는 수는 ④ 3.5이다. ④ 6 -1 -3과 7을 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다. 따라서 -3과 7을 나타내는 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수는 2이다. 2 6 -2 -2를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다. 따라서 -2를 나타내는 점으로부터 거리가 3인 점을 나타내는 수는 -5, 1이다. -5, 1 본교재 | 46 쪽0
1
⑤0
2
③, ⑤0
3
④0
4
50
5
④0
6
④0
7
-1 배운대로해결하기
0
1
① -1000원 ② -15분 ③ -20 kg ④ -3`¾ ⑤ +8명 따라서 부호가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. ⑤0
2
자연수가 아닌 정수는 0과 음의 정수이다. 따라서 자연수가 아닌 정수는 ③ 0, ⑤ -3이다. ③, ⑤0
3
① 자연수는 ;;ª3¦;;=9의 1개이다. 3.5 3 - 1 5 -3 2 47 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 거리 5 거리 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 거리 3 거리 3 ② 정수는 -10, ;;ª3¦;;=9의 2개이다. ③ 양수는 +;8!;, ;4#;, ;;ª3¦;;, +5.4의 4개이다. ④ 음의 유리수는 -2.7, -10의 2개이다. ⑤ 정수가 아닌 유리수는 +;8!;, -2.7, ;4#;, +5.4의 4개이다. 따라서 옳은 것은 ④이다. ④0
4
양의 유리수는 +3, :Á2Á:의 2개이므로 a=2 정수는 +3, -:£5¼:=-6, 0의 3개이므로 b=3 ∴ a+b=2+3=5 50
5
④ -1은 가장 큰 음의 정수이다. ④0
6
A：-5, B：-;2#;, C：;2!;, D：2, E：;3*; ① 가장 작은 수를 나타내는 점은 A이다. ② 점 C가 나타내는 수는 ;2!;이다. ③ 양수는 점 C, D, E가 나타내는 수로 3개이다. ④ 음의 정수는 점 A가 나타내는 수로 1개이다. ⑤ 유리수는 점 A, B, C, D, E가 나타내는 수로 5개이다. 따라서 옳은 것은 ④이다. ④0
7
-;;ª5ª;;와 ;3%;를 수직선 위에 점으로 나타내면 다음 그림과 같다. 따라서 a=-4, b=2이므로 -4와 2를 나타내는 두 점으로부터 같 은 거리에 있는 점이 나타내는 수는 -1이다. -1절댓값
04
개념
본교재 | 47 쪽 개념 콕콕1
⑴ 3 ⑵ 4 ⑶ 0 ⑷ ;7*; ⑸ 1.5 ⑹ ;5$;2
⑴ +6, -6 ⑵ +;1£1;, -;1£1; ⑶ 0 ⑷ +4 ⑸ -0.7 ⑹ +;2!; -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 5 - 22 거리 3 3 5 거리 3Ⅰ- 2. 정수와 유리수 본교재 | 48 쪽
대표
유형
1 ② 1 -124 1 -2 ⑤ 2 -10, 10 2 -1-8, 8 2 -2a=;5#;, b=-;5#; 1 -1 +;;Á7ª;;의 절댓값은 ;;Á7ª;;이므로 a=;;Á7ª;; -14의 절댓값은 14이므로 b=14 ∴ a_b=;;Á7ª;;_14=24 24 1 -2 각 수의 절댓값을 구하면 ① 0.4 ② ;2#;=1;2!; ③ 5 ④ 0 ⑤ ;;Á3»;;=6 ;3!; 따라서 절댓값이 가장 큰 수는 ⑤ -;;Á3»;;이다. ⑤ 2 -1 부호가 다른 두 수의 절댓값이 같으므로 두 수를 나타내는 두 점은 원점으로부터 같은 거리에 있다. 두 점 사이의 거리가 16이므로 두 점은 원점으로부터 각각 16_;2!;=8만큼 떨어져 있다. 따라서 구하는 두 수는 -8, 8이다. -8, 8 2 -2 두 수 a, b의 절댓값이 같으므로 두 수를 나타내는 두 점은 원점으 로부터 같은 거리에 있다. 두 점 사이의 거리가 ;5^;이므로 두 점은 원 점으로부터 각각 ;5^;_;2!;=;5#;만큼 떨어져 있다. 따라서 두 수는 ;5#;, -;5#;이고 a가 b보다 크므로 a=;5#;, b=-;5#; a=;5#;, b=-;5#;수의 대소 관계
05
개념
본교재 | 49 쪽 개념 콕콕1
⑴ > ⑵ > ⑶ < ⑷ > ⑸ < ⑹ <2
⑴ > ⑵ É, É ⑶ É, <1
⑷ +;2#;=+;6(;이고 +;6(;>+;6&; ∴ +;2#;>+;6&; ⑹ -;5@;=-;1¤5;이고 -;1¤5;<-;1Á5; ∴ -;5@;<-;1Á5; 본교재 | 50 쪽대표
유형
3 ④ 3 -1 ③ 3 -2;;Á7¼;; 4 ③ 4 -1 ⑤ 3 -1 ① 음수는 절댓값이 작은 수가 더 크므로 -12<-9 ② 0.1=;1Á0;, ;5!;=;1ª0;이고 ;1Á0;<;1ª0; ∴ 0.1<;5!; ③ -;4!;=-;2°0;, -;5!;=-;2¢0;이고 -;2°0;<-;2¢0; ∴ -;4!;<-;5!; ④ ;2#;=;4^;, |-;4%;|=;4%;이고 ;4^;>;4%; ∴ ;2#;>|-;4%;| ⑤ |-;4#;|=;4#;=;2@8!;, |+;7^;|=;7^;=;2@8$;이고 ;2@8!;<;2@8$; ∴ |-;4#;|<|+;7^;| 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③ 3 -2 -3<-;5@;<0<;;Á7¼;;<|-5|이므로 작은 수부터 차례대로 나열할 때, 네 번째에 오는 수는 ;;Á7¼;;이다. ;;Á7¼;; 4 -1 ⑤ -;3!;ÉaÉ;5@; ⑤ 본교재 | 51 쪽0
1
0.6, -3.30
2
④0
3
④0
4
-;5*;0
5
⑤0
6
④0
7
5개 배운대로해결하기
0
1
각 수의 절댓값을 차례대로 구하면 ;2#;, 1, :Á6Á:, 3.3, 0.6이고 절댓값 을 작은 수부터 차례대로 나열하면 0.6, 1, ;2#;=1;2!;, ;;Á6Á;;=1;6%;, 3.3이다. 따라서 절댓값이 가장 작은 수는 0.6이고 절댓값이 가장 큰 수는 -3.3이다. 0.6, -3.30
2
-6의 절댓값은 6이므로 a=6 절댓값이 ;3@;인 수는 +;3@;, -;3@;이고 이 중 양수는 +;3@;이므로 b=;3@; ∴ a_b=6_;3@;=4 ④0
3
정수의 절댓값이 4 이하인 경우는 절댓값이 0, 1, 2, 3, 4인 경우이 므로 절댓값이 4 이하인 정수는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 의 9개이다. ④0
4
두 수 A, B의 절댓값이 같으므로 두 수를 나타내는 두 점은 원점으 로부터 같은 거리에 있다. A가 B보다 ;;Á5¤;;만큼 작으므로 A, B를 나타내는 두 점은 원점으로부터 각각 ;;Á5¤;;_;2!;=;5*;만큼 떨어져 있다. ∴ A=-;5*; -;5*;0
5
① 양수는 절댓값이 큰 수가 더 크므로 8<10 ② 음수는 절댓값이 큰 수가 더 작으므로 -2.3<-1.2 ③ -;5@;=-;1¤5;, -;3!;=-;1°5;이고 -;1¤5;<-;1°5; ∴ -;5@;<-;3!; ④ ;5!;=;1ª0;, |-;2#;|=;2#;=;1!0%;이고 ;1ª0;<;1!0%; ∴ ;5!;<|-;2#;| ⑤ |-;7%;|=;7%;=;3@5%;, |-;5#;|=;5#;=;3@5!;이고 ;3@5%;>;3@5!; ∴ |-;7%;|>|-;5#;| 따라서 안에 들어갈 부등호의 방향이 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. ⑤0
6
① 0보다 작은 수는 -2.8, -;;Á9¼;;, -6의 3개이다. ②, ③, ⑤ -6<-2.8<-;;Á9¼;;<;5@;<4<;;Á2¢;;이므로 가장 작은 수는 -6, 가장 큰 수는 ;;Á2¢;;, 음수 중 가장 큰 수는 -;;Á9¼;;이다. ④ 각 수의 절댓값을 차례대로 구하면 ;5@;, 2.8, 4, ;;Á9¼;;, ;;Á2¢;;, 6이고 절댓값을 작은 수부터 차례대로 나열하면 ;5@;, ;;Á9¼;;=1;9!;, 2.8, 4, 6, ;;Á2¢;;=7이다. 즉, 절댓값이 가장 작은 수는 ;5@;이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④0
7
x는 -4보다 크고 ;3%;보다 크지 않다. ⇨ -4<xÉ;3%; 따라서 -4<xÉ;3%;를 만족시키는 정수 x는 -3, -2, -1, 0, 1 의 5개이다. 5개유리수의 덧셈
06
개념
본교재 | 52 쪽 개념 콕콕1
⑴ +, 3, +, 7 ⑵ -, 3, -, 7 ⑶ +, 3, +, 1 ⑷ -, 3, -, 12
⑴ +10 ⑵ +6 ⑶ -3 ⑷ +2.1 ⑸ -;1!2!; ⑹ -12
⑴ (+2)+(+8)=+(2+8)=+10 ⑵ (+7)+(-1)=+(7-1)=+6 ⑶ (-0.9)+(-2.1)=-(0.9+2.1)=-3 ⑷ (+3.5)+(-1.4)=+(3.5-1.4)=+2.1 ⑸ {-;3!;}+{-;1¦2;}={-;1¢2;}+{-;1¦2;} =-{;1¢2;+;1¦2;}=-;1!2!; ⑹ (+1.5)+{-;2%;}={+;2#;}+{-;2%;} ⑹ (+1.5)+{-;2%;}=-{;2%;-;2#;}=-;2@;=-1 본교재 | 53 쪽대표
유형
1 ④ 1 -1 ① 1 -2(+3)+(-6)=-3 2 ④ 2 -1 ④ 2 -2+;5@; 1 -1 원점에서 왼쪽으로 3만큼 간 점에서 다시 왼쪽으로 2만큼 간 점을 나타내는 수는 -5이다. 따라서 주어진 그림이 나타내는 식은 ① (-3)+(-2)=-5이다. ① 1 -2 원점에서 오른쪽으로 3만큼 간 점에서 다시 왼쪽으로 6만큼 간 점을 나타내는 수는 -3이다. 따라서 수직선으로 설명할 수 있는 덧셈식은 (+3)+(-6)=-3 이다. (+3)+(-6)=-3Ⅰ- 2. 정수와 유리수 2 -1 ① (-6)+(-4)=-(6+4)=-10 ② (-8)+(+3)=-(8-3)=-5 ③ (+0.3)+(+1.2)=+(0.3+1.2)=+1.5 ④ {-;9$;}+{+;9%;}=+{;9%;-;9$;}=+;9!; ⑤ {+;3@;}+{-;5#;}={+;1!5);}+{-;1»5;} ⑤ {+;3@;}+{+;5#;}=+{;1!5);-;1»5;}=+;1Á5; 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④ 2 -2 a={+;5@;}+{-;2#;}={+;1¢0;}+{-;1!0%;} a=-{;1!0%;-;1¢0;}=-;1!0!; b=(-2.2)+(+3.7)=+(3.7-2.2)=+1.5 ∴ a+b={-;1!0!;}+(+1.5)={-;1!0!;}+{+;1!0%;} ∴ a+b=+{;1!0%;-;1!0!;}=+;1¢0;=+;5@; +;5@;
덧셈의 계산 법칙
07
개념
본교재 | 54 쪽 개념 콕콕1
㉠ 교환법칙, ㉡ 결합법칙2
⑴ 0 ⑵ +12 ⑶ +0.4 ⑷ -;7$;2
⑴ (주어진 식) =(-9)+(+7)+(+2) ⑴ (주어진 식) =(-9)+{(+7)+(+2)} ⑴ (주어진 식) =(-9)+(+9)=0 ⑵ (주어진 식) =(+24)+(-8)+(-4) =(+24)+{(-8)+(-4)} =(+24)+(-12)=+12 ⑶ (주어진 식) =(-9.6)+(+4.1)+(+5.9) =(-9.6)+{(+4.1)+(+5.9)} =(-9.6)+(+10)=+0.4 ⑷ (주어진 식) ={+;7#;}+{-;3!;}+{-;3@;} ⑷ (주어진 식) ={+;7#;}+[{-;3!;}+{-;3@;}] ⑹ (주어진 식) ={+;7#;}+(-1)=-;7$; 본교재 | 55 쪽대표
유형
3 ② 3 -1㈏ 3 -2 교환, 결합, -;7%;, +;7@; 4 ② 4 -1 ③ 3 -1 (-0.7)+(+3)+(-0.6) =(+3)+(-0.7)+(-0.6) =(+3)+{(-0.7)+(-0.6)} =(+3)+(-1.3) =+1.7 ㈏ 3 -2 {-;7@;}+(+1)+{-;7#;} =(+1)+{-;7@;}+{-;7#;} =(+1)+[{-;7@;}+{-;7#;}] =(+1)+{ -;7%; } = +;7@; 교환, 결합, -;7%;, +;7@; 4 -1 (주어진 식)={-;3!;}+{-;3$;}+{-;2%;}+{+;2&;} (주어진 식)=[{-;3!;}+{-;3$;}]+[{-;2%;}+{+;2&;}] (주어진 식)={-;3%;}+(+1)=-;3@; ③유리수의 뺄셈
08
개념
본교재 | 56 쪽 개념 콕콕1
⑴ -, 4, +, 4, +, 2 ⑵ +, 3, +, 3, +, 9 ⑶ -, 5, -, 5, -, 6 ⑷ +, 2, -, 2, -, 52
⑴ +11 ⑵ -17 ⑶ -5.9 ⑷ +4.3 ⑸ -;2!; ⑹ +;;Á6£;;2
⑴ (+7)-(-4)=(+7)+(+4)=+11 ⑵ (-11)-(+6)=(-11)+(-6)=-17 ⑶ (-4.3)-(+1.6)=(-4.3)+(-1.6)=-5.9 ⑷ (-1.2)-(-5.5)=(-1.2)+(+5.5)=+4.3 (가) 덧셈의 교환법칙 « ª (나) 덧셈의 결합법칙 « ª (다) « ª (라) « ª 덧셈의 교환 법칙 « f ª 덧셈의 결합 법칙 « f ª⑸ {+;4!;}-{+;4#;}={+;4!;}+{-;4#;}=-;4@;=-;2!; ⑹ {+;3@;}-{-;2#;}={+;3@;}+{+;2#;}={+;6$;}+{+;6(;}=+;;Á6£;; 본교재 | 57 쪽
대표
유형
5 ④ 5 -1 ③ 5 -2 ④ 6 ⑤ 6 -1 ⑤ 5 -1 ① (+4)-(+2)=(+4)+(-2)=+2 ② (-7)-(-13)=(-7)+(+13)=+6 ③ (-3.5)-(+4.5)=(-3.5)+(-4.5)=-8 ④ {+;8#;}-{-;8%;}={+;8#;}+{+;8%;}=+1 ⑤ {-;3!;}-{-;7@;}={-;3!;}+{+;7@;} ⑤ {-;3!;}-{-;7@;}={-;2¦1;}+{+;2¤1;} ⑤ {-;3!;}-{-;7@;}=-;2Á1; 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③ 5 -2 ① (-4)-(-5)=(-4)+(+5)=+1 ② (+3)-(+2)=(+3)+(-2)=+1 ③ (-1)-(+2)=(-1)+(-2)=-3 ④ {-;2%;}-{-;2#;}={-;2%;}+{+;2#;}=-;2@;=-1 ⑤ {+;5#;}-{+;6!;}={+;5#;}+{-;6!;} ⑤ {+;2#;}-{+;4#;}={+;3!0*;}+{-;3°0;} ⑤ {+;2#;}-{+;4#;}=+;3!0#; 따라서 계산 결과가 -1인 것은 ④이다. ④ 6 -1 ① (+3)+(-1)=+2 ② (-2)-(-4)=(-2)+(+4)=+2 ③ (-3)+(+5)=+2 ④ {+;2!;}-{-;2#;}={+;2!;}+{+;2#;}=+;2$;=+2 ⑤ (-1)-{+;4#;}=(-1)+{-;4#;}={-;4$;}+{-;4#;}=-;4&; 따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ⑤이다. ⑤덧셈과 뺄셈의 혼합 계산
09
개념
본교재 | 58 쪽 개념 콕콕1
⑴ +, 6, +, 6, +, 6, -, 14 ⑵ -, 7, -, 7, -, 7, -, 11, -, 62
⑴ -18 ⑵ +3.9 ⑶ -;4(; ⑷ +4 ⑸ -0.4 ⑹ -;2!;2
⑴ (주어진 식) =(-8)+(+2)+(-12) =(+2)+{(-8)+(-12)} =(+2)+(-20)=-18 ⑵ (주어진 식) =(-0.4)+(+1.8)+(+2.5) =(-0.4)+{(+1.8)+(+2.5)} =(-0.4)+(+4.3)=+3.9 ⑶ (주어진 식)={+;4!;}+{+;2#;}+(-4) ⑶ (주어진 식)=[{+;4!;}+{+;4^;}]+(-4) ⑶ (주어진 식)={+;4&;}+(-4) ⑶ (주어진 식)={+;4&;}+{-;;Á4¤;;}=-;4(; ⑷ (주어진 식) =(-9)+(+15)-(+2) =(-9)+(+15)+(-2) =(+15)+{(-9)+(-2)} =(+15)+(-11)=+4 ⑸ (주어진 식) =(+5.8)-(+3.7)-(+2.5) =(+5.8)+(-3.7)+(-2.5) =(+5.8)+{(-3.7)+(-2.5)} =(+5.8)+(-6.2)=-0.4 ⑹ (주어진 식)={-;5#;}+{+;2!;}-{+;5@;} ⑹ (주어진 식)={-;5#;}+{+;2!;}+{-;5@;} ⑹ (주어진 식)={+;2!;}+[{-;5#;}+{-;5@;}] ⑹ (주어진 식)={+;2!;}+(-1)=-;2!; 본교재 | 59 쪽대표
유형
7 ④ 7 -1 ① 7 -211 8 ③ 8 -1 ④ 8 -2-;;ª6£;;Ⅰ- 2. 정수와 유리수 7 -1 (주어진 식)={-;2(;}+{-;5$;}+{-;5^;}+{+;2!;} (주어진 식)=[{-;2(;}+{+;2!;}]+[{-;5$;}+{-;5^;}] (주어진 식)=(-4)+(-2)=-6 ① 7 -2 {-;3@;}-{+;2&;}+(+1.5)={-;3@;}+{-;2&;}+{+;2#;} {-;3@;}-{+;2&;}+(+1.5)={-;3@;}+[{-;2&;}+{+;2#;}] {-;3@;}-{+;2&;}+(+1.5)={-;3@;}+(-2) {-;3@;}-{+;2&;}+(+1.5)={-;3@;}+{-;3^;}=-;3*; 따라서 p=8, q=3이므로 p+q=8+3=11 11 8 -1 (주어진 식)=(-0.3)-{+;5@;}+{+;2#;} (주어진 식)={-;1£0;}+{-;5@;}+{+;2#;} (주어진 식)=[{-;1£0;}+{-;1¢0;}]+{+;2#;} (주어진 식)={-;1¦0;}+{+;1!0%;}=+;1¥0;=;5$; ④ 8 -2 a =-10+7-2=(-10)+(+7)-(+2) =(-10)+(+7)+(-2)=(+7)+{(-10)+(-2)} =(+7)+(-12)=-5 b=-;6%;-;3!;={-;6%;}-{+;3!;} b={-;6%;}+{-;6@;}=-;6&; ∴ a-b=-5-{-;6&;}=(-5)+{+;6&;} ∴ a-b={-;;£6¼;;}+{+;6&;}=-;;ª6£;; -;;ª6£;; 본교재 | 60 ~ 61 쪽
