2020 짱중요한유형 확률과통계 답지 정답

유형`01. 중복순열과 원순열

01

07

네 자리의 자연수가 5의 배수이므로 일의 자리 수는 5이다. 또한, 나머지 3개의 자리에 들어갈 수 있는 수의 개수는 중복을 허락하므로 모두 5개씩이다. 따라서 구하는 경우의 수는 ∞P£=5‹ =125

08

서로 다른 종류의 연필 5자루를 4명의 학생 A, B, C, D에게 나 누어 주는 경우의 수는 4명의 학생 A, B, C, D에서 중복을 허락 하여 5명을 택하는 중복순열의 수이므로 ¢P∞=4fi =1024

09

서로 다른 과일 5개 중에서 그릇 A에 2개를 담는 경우의 수는 ∞C™= =10 이 각각에 대하여 나머지 과일 3개를 두 그릇 B, C에 담는 경우 의 수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복 순열의 수와 같으므로 ™P£=2‹ =8 따라서 구하는 경우의 수는 10_8=80

10

문자 a, b, c에서 중복을 허용하여 3개를 택하여 단어를 만드는 방법의 수는 £P£=3‹ =27 수신이 불가능한 경우는 다음과 같다. ⁄a가 2개 연속할 때,

aab, aac, baa, caa의 4가지 ¤a가 3개 연속할 때, aaa의 1가지 따라서 수신 가능한 단어의 수는 27-(4+1)=22

11

⁄1, 2, 3을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수의 개수는 £P¢=3› =81 ¤1, 3을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수의 개수는 ™P¢=2› =16 ‹2, 3을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수의 개수는 ™P¢=2› =16 ›3을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수의 개수는 1 ⁄~›에서 1과 2가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는 81-(16+16)+1=50 5! 2!3!

01

서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P¢=3› =81

02

일의 자리에 올 수 있는 수는 1, 3, 5이므로 그 경우의 수는 3 백의 자리와 십의 자리에는 1, 2, 3, 4, 5가 모두 중복하여 올 수 있으므로 그 경우의 수는 ∞P™ 따라서 구하는 세 자리 홀수의 개수는 3_∞P™=3_5¤ =75

03

만의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3이 올 수 있으므로 그 경우의 수는 3 이들 각각에 대하여 나머지 네 자리에는 0, 1, 2, 3이 모두 중복 하여 올 수 있으므로 그 경우의 수는 ¢P¢ 따라서 구하는 정수의 개수는 3_¢P¢=3_4› =768

04

5명이 원형 탁자에 둘러 앉는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24`

05

한 쌍의 부부를 하나로 묶어서 한 명으로 생각하여 5명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는 (5-1)!= 4! 또 부부끼리 서로 자리를 바꾸는 방법의 수는 2fi 따라서 구하는 방법의 수는 4!_2fi

06

10명의 학생을 원형으로 앉히는 방법의 수는 (10-1)!=9! 직사각형 모양의 탁자에서는 원형으로 앉는 한 가지 방법에 대하 여 5가지의 서로 다른 경우가 있으므로 구하는 방법의 수는 9!_5 b a c d e

01

⑤

02

③

03

④

04

③

05

③

06

①

0

1

본문009쪽

중복순열과 원순열

07

③

08

①

09

⑤

10

22

11

⑤

12

⑤

13

33

14

②

15

①

16

④

17

②

18

③

19

②

20

② 본문010`~`012쪽

12

첫 문자는 a이고, a끼리는 이웃하지 않으므로 두 번째 문자는 b 이다. 따라서 나머지 4자리 문자열을 채우는 모든 경우의 수는 ™P¢=2› =16 a가 이웃하는 경우를 생각하면 ⁄a가 4개 이웃하는 경우 aaaa의 1가지 ¤a가 3개 이웃하는 경우 aaab, baaa의 2가지 ‹a가 2개 이웃하는 경우

abaa, aaba, aabb, bbaa, baab의 5가지 따라서 구하는 문자열의 개수는 16-(1+2+5)=8

13

문자 a가 두 번 이상 나오는 경우의 수이므로 a가 2번, 3번, 4번 나오는 경우로 나누면 ⁄a가 2번 나오는 경우 네 자리 중에서 a를 먼저 두 자리에 배치하는 경우의 수가 ¢C™ 이고 나머지 두 자리에 b 또는 c를 중복하여 배치하는 경우의 수가 ™P™이므로 ¢C™_™P™=6_4=24 ¤a가 3번 나오는 경우 네 자리 중에서 a를 먼저 세 자리에 배치하는 경우의 수가 ¢C£이고 나머지 한 자리에 b 또는 c를 배치하는 경우의 수가 2 이므로 ¢C£_2=4_2=8 ‹a가 4번 나오는 경우 aaaa의 1가지 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 24+8+1=33

14

3개의 상자 A, B, C에 서로 다른 5개의 공을 넣는 방법의 수는 3개의 상자 A, B, C에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복순 열의 수이므로 £P∞=3fi =243 상자에 있는 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상이 되는 경우는 다음 과 같다. ⁄세 상자 중에서 어느 한 상자에 1, 3, 4, 5가 적힌 공이 들어가 고 2가 적힌 공은 나머지 두 상자 중에서 어느 하나에 들어가 는 경우의 수는 3_2=6 ¤세 상자 중에서 어느 한 상자에 2, 3, 4, 5가 적힌 공이 들어가 고 1이 적힌 공은 나머지 두 상자 중에서 어느 하나에 들어가 는 경우의 수는 3_2=6 ‹세 상자 중에서 어느 한 상자에 1, 2, 3, 4, 5가 적힌 공이 모 두 들어가는 경우의 수는 3 따라서 구하는 방법의 수는 243-(6+6+3)=228

15

조건 ㈎, ㈏를 만족시키는 경우는 다음 두 가지 경우뿐이다. ⁄홀수 1개, 짝수 4개를 택하는 경우 사용할 홀수 1개를 택하는 경우의 수는 £C¡=3 이 각각에 대하여 짝수는 3개 중에서 2개를 택하여 두 번씩 사용해야 하므로 사용할 짝수를 택하는 경우의 수는 £C™=3 이 각각에 대하여 택한 수 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =30 따라서 이 경우의 수는 3_3_30=270 ¤홀수 3개, 짝수 2개를 택하는 경우 짝수는 1개만 택하여 두 번 사용해야 하므로 사용할 짝수 1개를 택하는 경우의 수는 £C¡=3 이 각각에 대하여 택한 수 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =60 따라서 이 경우의 수는 3_60=180 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 270+180=450

16

(5-1)!=4!=24

17

A와 B를 한 묶음으로 생각해서 5개를 원형으로 배열하는 경우 의 수는 (5-1)!=4!=24 또 A와 B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 24_2=48

18

6개의 날개 중에서 한 곳에 빨간색이 칠해지면 파란색은 맞은편 의 날개에 칠해진다. 즉, 빨간색과 파란색을 같은 색으로 생각하면 서로 다른 5개의 색 을 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로 (5-1)!=4!=24 [다른 풀이] 6개의 날개 중에서 한 곳에 빨간색이 칠해지면 파란색은 맞은편 의 날개에 칠해지므로 나머지 4개의 날개에 4가지의 색을 칠하는 방법의 수는 4!=24

19

⁄a에 색칠하는 경우는 7가지 ¤b, c, d에 색칠하는 경우 a에 칠한 색을 제외한 6가지의 색 중 에서 3가지의 색을 택하여 원형으로 배열하는 원순열의 수이므로 §C£_(3-1)!=40 ‹e, f, g에 색칠하는 경우 a, b, c, d에 서로 다른 색이 칠해져 있으므로 e, f, g에 색칠 하는 것은 회전에 의하여 일치하지 않는다. 즉, e, f, g에 색칠하는 경우의 수는 3!=6 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 7_40_6=1680

20

여학생 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (3-1)!=2! 각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 달라야 하므로 각각 1명, 2명, 3명이고 이를 정하는 경 우의 수는 3! 남학생을 일렬로 나열하는 경우의 수는 6! 따라서 구하는 경우의 수는 2!_3!_6!=12_6! 이므로 n=12 a b e f g c d 5! 2! 5! 2!2!

유형`01. 중복순열과 원순열

03

21

서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 £P∞=3fi =243

22

5종류의 빵 중에서 중복을 허락하여 2개를 구입해서 남학생에게 나누어 주는 방법의 수는 ∞P™=5¤ =25 2종류의 음료수 중에서 중복을 허락하여 3개를 구입해서 여학생 에게 나누어 주는 방법의 수는 ™P£=2‹ =8 따라서 구하는 방법의 수는 25_8=200

23

백의 자리에는 0을 제외한 1, 2, 3, 4가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 4 이들 각각에 대하여 나머지 두 자리에는 0, 1, 2, 3, 4가 모두 중 복하여 올 수 있으므로 그 경우의 수는 ∞P™ 따라서 구하는 자연수의 개수는 4_∞P™=4_5¤ =100

24

0, 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리 자 연수를 크기가 작은 것부터 나열하면 ⁄1 , 2 꼴 2_§P£=2_6‹ =432 ¤30 , 31 꼴 2_§P™=2_6¤ =72 ‹320 꼴 3200, 3201, 3202, 3203, 3204, 3205의 6개 ⁄`, ¤, ‹에서 432+72+6=510이므로 3205는 510번째에 나열되는 수이다. ∴ n=510

25

네 사람이 5대의 승용차에 나누어 타고 가는 모든 경우의 수는 5 대의 승용차에서 중복을 허락하여 4대를 택하는 중복순열의 수이 므로 ∞P¢=5› =625 한편, 네 사람이 각자 1대씩 타고 가는 경우의 수는 5대의 승용차 중에서 4대의 승용차를 택하여 일렬로 나열하는 순열의 수와 같 으므로 ∞P¢=120 따라서 적어도 두 사람이 같은 차를 타고 가게 되는 경우의 수는 625-120=505

26

f(3)의 값이 짝수이므로 f(3)=2 또는 f(3)=4이어야 한다. ⁄ f(3)=2인 경우 1, 2는 1에 대응되고, 4, 5는 1, 2, 3, 4, 5 중에서 하나로 대응 되므로 함수의 개수는 ¡P™_∞P™=25 ¤ f(3)=4인 경우 1, 2는 1, 2, 3 중에서 하나로 대응되고, 4, 5는 1, 2, 3, 4, 5 중에서 하나로 대응되므로 함수의 개수는 £P™_∞P™=225 ⁄, ¤에서 구하는 함수의 개수는 25+225=250

27

남학생 5명이 원탁에 둘러 앉는 방법의 수는 (5-1)!=4!=24 여학생 3명은 남학생 사이사이의 5개의 자리에서 3개를 택하여 앉으면 되므로 그 방법의 수는 ∞P£=60 따라서 구하는 방법의 수는 24_60=1440

28

빨강과 노랑을 제외한 나머지 색을 칠하는 경우의 수는 4! 회전하였을 때 같은 경우가 생기므로 구하는 방법의 수는 =12

29

⁄삼각형의 내부 영역에 칠할 3가지 색을 선택하는 방법의 수는 §C£=20 ¤선택한 3가지 색을 삼각형의 내부에 칠하는 방법의 수는 (3-1)!=2!=2 ‹나머지 3가지 색을 삼각형 외부에 칠하는 방법의 수는 3!=6 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 방법의 수는 20_2_6=240

30

⁄밑면에 색을 칠하는 방법은 7가지 ¤옆면에 색을 칠하는 방법의 수는 밑면에 칠한 색을 제외한 6 가지의 색 중에서 4가지의 색을 택하여 원형으로 배열하는 원 순열의 수이므로 §C¢_(4-1)!=90 ⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 7_90=630 4! 2

21

④

22

200

23

100

24

510

25

505

26

③

27

②

28

⑤

29

⑤

30

630 본문012`~`013쪽

04

a의 위치에 올 수 있는 경우의 수는 10 나머지 9개의 수 중에서 b, c의 위치에 올 수 있는 두 수를 택하는 경우의 수는 ªC™=36 a, a, b, c 중에서 a가 2개이므로 이를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =12 따라서 구하는 번호판의 개수는 10_36_12=4320(개)

05

A지점에서 B지점으로 가는 최단 경로의 수는 =35

06

A지점에서 C지점으로 가는 최단 경로의 수는 =6 C지점에서 B지점으로 가는 최단 경로의 수는 =10 따라서 구하는 방법의 수는 6_10=60

07

P지점을 거치지 않아야 하므로 A지 점에서 Q지점으로 가는 최단 경로의 수는 =3 Q지점에서 B지점으로 가는 최단 경로의 수는 =4 따라서 구하는 방법의 수는 3_4=12

08

먼저 양 끝에 흰색 깃발을 놓으면 흰색 깃발 3개, 파란색 깃발 5 개가 남는다. 같은 색끼리 서로 구별하지 않으므로 같은 것이 각 각 3개, 5개인 깃발을 일렬로 나열하는 경우의 수는 =56

09

서로 다른 공 4개를 서로 다른 상자 4개에 나누어 넣은 공의 개수 가 1인 상자가 있도록 넣으려면 다음과 같이 3가지 경우로 나눌 수 있다. 8! 3!5! 4! 3! 3! 2! A B P Q 5! 2!3! 4! 2!2! 7! 4!3! 4! 2! a a b c

01

7개의 숫자 중에서 1이 2개, 2가 2개, 3이 3개이므로 이를 일렬 로 배열하는 방법의 수는 =210

02

모음 E, O를 맨 앞에 나열하는 방법은 2가지 자음 C, N, S, T, T 중에서 T가 2개이므로 이를 일렬로 나열하 는 방법의 수는 =60 따라서 구하는 방법의 수는 2_60=120

03

⁄양쪽 끝에 a, b가 오는 경우의 수는 2!_ =40 ¤양쪽 끝에 a, c가 오는 경우의 수는 2!_ =60 ‹양쪽 끝에 a, d가 오는 경우의 수는 2!_ =20 ›양쪽 끝에 b, c가 오는 경우의 수는 2!_ =120 fi양쪽 끝에 b, d가 오는 경우의 수는 2!_ =40 fl양쪽 끝에 c, d가 오는 경우의 수는 2!_ =60 ⁄~fl에서 구하는 경우의 수는 40+60+20+120+40+60=340 [다른 풀이] ⁄주어진 7개의 문자를 나열하는 경우의 수는 =420 ¤양쪽 끝에 모두 b가 오는 경우의 수는 =20 ‹양쪽 끝에 모두 c가 오는 경우의 수는 =60 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 420-(20+60)=340 5! 2! 5! 3! 7! 2!3! 5! 2!2! 5! 3! 5! 2! 5! 2!3! 5! 2!2! 5! 3! 5! 2! 7! 2!2!3!

01

②

02

②

03

340

04

⑤

05

③

06

④

07

12

0

2

본문015쪽

같은 것이 있는 순열

08

①

09

②

10

①

11

⑤

12

④

13

② 본문`016쪽

유형`02. 같은 것이 있는 순열

05

⁄서로 다른 상자 4개에 넣은 공의 개수가 (3, 1, 0, 0)인 경우 서로 다른 4개의 공을 3개, 1개로 나누는 경우의 수는 ¢C£_¡C¡=¢C¡_¡C¡=4_1=4 이것을 서로 다른 상자에 넣는 경우의 수는 =12 따라서 서로 다른 공 4개를 서로 다른 상자 4개에 넣은 공의 개수가 (3, 1, 0, 0)인 경우의 수는 4_12=48 ¤서로 다른 상자 4개에 넣은 공의 개수가 (2, 1, 1, 0)인 경우 서로 다른 4개의 공을 2개, 1개, 1개로 나누는 경우의 수는 ¢C™_™C¡_¡C¡=6_2_1=12 이것을 서로 다른 상자에 넣는 경우의 수는 =12 따라서 서로 다른 공 4개를 서로 다른 상자 4개에 넣은 공의 개수가 (2, 1, 1, 0)인 경우의 수는 12_12=144 ‹서로 다른 상자 4개에 넣은 공의 개수가 (1, 1, 1, 1)인 경우 서로 다른 공 4개를 서로 다른 상자 4개에 넣은 공의 개수가 (1, 1, 1, 1)인 경우의 수는 4!=24 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 48+144+24=216

10

현수막 B는 2곳 이상 설치해야 하므로 B를 2곳, 3곳, 4곳에 설 치하는 경우로 나누면 ⁄현수막 A를 1곳, 현수막 B를 2곳, 현수막 C를 2곳에 설치하 는 경우의 수는 ABBCC를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같 으므로 =30 ¤현수막 A를 1곳, 현수막 B를 3곳, 현수막 C를 1곳에 설치하 는 경우의 수는 ABBBC를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같 으므로 =20 ‹현수막 A를 1곳, 현수막 B를 4곳에 설치하는 경우의 수는 ABBBB를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 =5 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 30+20+5=55

11

A지점에서 P지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =6 P지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =4 따라서 A지점에서 출발하여 P지점을 지나 B지점까지 최단 거리 로 가는 경우의 수는 6_4=24 4! 3!_1! 4! 2!_2! 5! 4! 5! 3! 5! 2!2! 4! 2! 4! 2!

12

A지점에서 C지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =6 C지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =6 따라서 구하는 경우의 수는 6_6=36

13

그림과 같이 P지점과 Q지점을 잡고 C지점과 D지점을 모두 지 나지 않으면 P지점과 Q지점은 반드시 지난다. 따라서 최단 거리 A⁄ P ⁄ Q ⁄ R ⁄ B로 가는 경우의 수는 _ _1_2=24

14

6개의 숫자 중 순서에 관계없이 4개를 택하는 방법은 다음과 같다. ⁄1, 1, 1, 2인 경우 만들 수 있는 서로 다른 자연수의 개수는 =4 ¤1, 1, 1, 3인 경우 만들 수 있는 서로 다른 자연수의 개수는 =4 ‹1, 1, 2, 2인 경우 만들 수 있는 서로 다른 자연수의 개수는 =6 ›1, 1, 2, 3인 경우 만들 수 있는 서로 다른 자연수의 개수는 =12 fi1, 2, 2, 3인 경우 만들 수 있는 서로 다른 자연수의 개수는 =12 ⁄~fi에서 구하는 자연수의 개수는 4+4+6+12+12=38

15

⁄6개의 문자를 나열하는 방법의 수는 =180 ¤P가 이웃하는 경우의 수는 2개의 문자 P를 한 문자로 생각하 6! 2!2! 4! 2! 4! 2! 4! 2!2! 4! 3! 4! 3! 3! 2! 4! 3! A B C P _Q R D 4! 2!2! 4! 2!2! A C B

14

②

15

84

16

89

17

④

18

72

19

84

20

120 본문017쪽

여 5개의 문자를 나열하는 방법의 수와 같으므로 =60 ‹Q가 이웃하는 경우의 수는 2개의 문자 Q를 한 문자로 생각하 여 5개의 문자를 나열하는 방법의 수와 같으므로 =60 ›P끼리 이웃하고 Q끼리 이웃하는 경우의 수는 2개의 문자 P 와 2개의 문자 Q를 각각 한 문자로 생각하여 4개의 문자를 나 열하는 방법의 수와 같으므로 4!=24 ⁄~›에서 구하는 방법의 수는 180-(60+60-24)=84

16

100원짜리 동전의 개수를 a, 50원짜리 동전의 개수를 b로 놓고 500원이 되는 경우를 (a, b)로 나타내면 (5, 0), (4, 2), (3, 4), (2, 6), (1, 8), (0, 10) 의 6가지이다. ⁄(5, 0)인 방법은 1가지 ¤(4, 2)인 방법의 수는 =15 ‹(3, 4)인 방법의 수는 =35 ›(2, 6)인 방법의 수는 =28 fi(1, 8)인 방법의 수는 =9 fl(0, 10)인 방법은 1가지 ⁄~fl에서 구하는 방법의 수는 1+15+35+28+9+1=89

17

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9에서 서로 다른 두 수를 택하는 방법의 수는 ¡ºC™=45 두 수 와 이 선택되었을 때 ⁄ , , , 로 만들 수 있는 전화번호의 수는 =4 ¤ , , , 로 만들 수 있는 전화번호의 수는 =6 ‹ , , , 로 만들 수 있는 전화번호의 수는 =4 따라서 구하는 전화번호의 수는 45_(4+6+4)=630 4! 3! 4! 2!2! 4! 3! 9! 8! 8! 2!6! 7! 3!4! 6! 4!2! 5! 2! 5! 2!

18

그림과 같이 네 지점 P, Q, R, S를 정하면 A지점에서 B지점으로 갈 때, P, Q 사이의 도로와 R, S 사이 의 도로를 지나지 않아야 한다. ⁄A⁄ B`: =126 ¤A⁄ P ⁄ Q ⁄ B`: _1_ =30 ‹A⁄ R ⁄ S ⁄ B`: _1_ =24 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 최단 경로의 수는 126-(30+24)=72

19

A에서 출발하는 아름이의 속력이 B에서 출발하는 다운이의 속력의 2배이므로 두 사람이 만날 수 있는 지점은 그림에서 P, Q, R, S의 4곳이다. ⁄P지점에서 만나는 경우 1_1=1 ¤Q지점에서 만나는 경우 _ =18 ‹R지점에서 만나는 경우 _ =45 ›S지점에서 만나는 경우 _1=20 ⁄~›에서 구하는 경우의 수는 1+18+45+20=84

20

홀수의 합이 4인 경우는 (1, 1, 1, 1), (1, 3), 짝수의 합이 6인 경우는 (2, 2, 2), (2, 4), (6) 이므로 원점을 출발한 점 P가 점 (4, 6)에 오는 경우는 (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2), (1, 1, 1, 1, 2, 4), (1, 1, 1, 1, 6), (1, 3, 2, 2, 2), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 6) 따라서 구하는 경우의 수는 각 경우를 구성하는 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수의 합과 같으므로 + + +5!+4!+3!=120 3! 5! 4! 6! 4! 7! 4!3! 6! 3!3! 3! 2! 6! 4!2! 3! 2! 6! 5! A P Q R S B 4! 2!2! 4! 3! 5! 3!2! 3! 2! 9! 5!4! A P Q S R B

유형`03. 중복조합

07

07

£H®=£≠®–¡C®=®≠™C™=¶C™ r+2=7 ∴ r=5 ∴ ∞H®=∞H∞=ªC∞=ªC¢=126

08

서로 다른 세 종류의 주스를 적어도 1병씩 선택해야 하므로 먼저 주스를 각각 1병씩 선택하고, 나머지 5병을 세 종류의 주스 중에 서 중복을 허락하여 선택하면 된다. 따라서 세 종류의 주스 중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중 복조합의 수는 £H∞=¶C∞=¶C™=21

09

네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 택하는 중복조 합의 수는 ¢H£=§C£=20 이 중에서 세 수의 곱이 100보다 크게 되는 경우는 (8, 8, 8), (8, 8, 4), (8, 8, 2), (8, 4, 4)의 4가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 20-4=16

10

주어진 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 방정식 a+b+c+d=7을 만족시키는 자연수 a, b, c, d의 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수와 같다. a, b, c, d는 자연수이므로 aæ1, bæ1, cæ1, dæ1 a', b', c', d'을 음이 아닌 정수라 하면 a'=a-1, b'=b-1, c'=c-1, d'=d-1에서 a'+b'+c'+d'=3 따라서 a', b', c', d'에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조 합의 수이므로 ¢H£=§C£=20

11

⁄같은 종류의 주스 4병을 3명에게 남김없이 나누어 주는 경우 의 수는 3명에서 중복을 허락하여 4명을 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H¢=§C¢=§C™=15 ¤같은 종류의 생수 2병을 3명에게 남김없이 나누어 주는 경우 의 수는 3명에서 중복을 허락하여 2명을 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H™=¢C™=6 ‹우유 1병을 3명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 3이다. ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 15_6_3=270

12

서로 다른 3종류에서 중복을 허락하여 m개를 선택하는 경우의 수가 36이므로 £Hμ=μ≠™Cμ=μ≠™C™= =36 (m+2)(m+1)=72=9_8 ∴ m=7 즉, 3종류의 피자를 하나씩 먼저 선택했다고 하자. 그러면 서로 다른 3종류의 피자 중에서 중복을 허락하여 남은 4개를 택하는 (m+2)(m+1) 2

01

A, B, C 세 사람에게 8개의 사탕을 나누어 주는 방법의 수는 서 로 다른 3개에서 중복을 허락하여 8개를 택하는 중복조합의 수이 므로 £H•=3+8-1C•=¡ºC•=¡ºC™=45

02

(a+b+c)‡을 전개할 때 생기는 항들은 a≈ b¥ cΩ (x+y+z=7) 꼴 이므로 구하는 항의 개수는 a, b, c의 세 문자 중에서 중복을 허 락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같다. ∴ £H¶=3+7-1C¶=ªC¶=ªC™=36

03

서로 다른 세 종류의 과일에서 중복을 허락하여 5개의 과일을 택 하는 중복조합의 수는 £H∞=£≠∞–¡C∞=¶C∞=¶C™=21 그런데 사과를 5개 택하는 경우는 일어나지 않으므로 구하는 경 우의 수는 21-1=20

04

정의역의 원소 1, 2, 3, 4에 대한 함숫값은 5, 6, 7 중 하나이고, f(1)… f(2)… f(3)… f(4)이어야 한다. 그러므로 함수의 개수는 5, 6, 7 중에서 중복을 허락하여 4개를 택 한 다음 작은 것부터 차례대로 `f(1), f(2), f(3), f(4)에 대응시 키는 방법의 수와 같다. 즉, 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합 의 수이므로 £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™=15

05

각 학급에 적어도 한 개의 축구공을 나누어 주어야 하므로 먼저 4개의 학급에 축구공을 한 개씩 나누어 주고, 나머지 축구공 3개 를 중복을 허락하여 4개의 학급에 나누어 주면 된다. 따라서 4개의 학급에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합 의 수는 ¢H£=¢≠£–¡C£=§C£=20

06

⁄4명의 학생 중 연극표를 받을 2명을 택하는 경우의 수는 ¢C™=6 ¤ ⁄에서 택한 2명에게 4개의 연극표를 적어도 하나씩 나누어 주는 방법의 수는 각각 하나씩 나누어 주고, 남은 2개의 표를 중복을 허락하여 2명에게 마저 나누어 주면 된다. 즉, 2명의 학생에서 중복을 허락하여 2명을 택하는 중복조합 의 수는 ™H™=™≠™–¡C™=£C™=£C¡=3 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 6_3=18

01

①

02

③

03

①

04

②

05

20

06

①

0

3

본문019쪽

중복조합

07

126

08

③

09

③

10

④

11

⑤

12

②

13

②

14

⑤

15

36

16

285

17

49 본문`020`~`021쪽

즉, 감, 배, 귤 세 종류의 과일 중 중복을 허락하여 4개를 선택 하는 중복조합의 수이므로 £H¢=§C¢=§C™=15 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 21+15=36

16

조건 ㈎, ㈏에 의하여 학생 A에게 사탕 1개, 학생 B에게 초콜릿 1개를 먼저 나누어 주고 나머지 사탕 5개와 초콜릿 4개를 세 명 의 학생에게 나누어 주는 경우의 수를 구하면 된다. 그런데 조건 ㈐에 의하여 학생 C가 사탕이나 초콜릿을 적어도 1개 받아야 하므로 학생 C가 아무것도 받지 못하는 경우의 수를 빼면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 £H∞_£H¢-™H∞_™H¢ =¶C∞_§C¢-§C∞_∞C¢ =¶C™_§C™-§C¡_∞C¡ =21_15-6_5=285

17

⁄여학생 3명은 연필을 각각 1자루씩, 남학생 2명은 볼펜을 각 각 1자루씩 받은 경우 남학생 2명이 받는 연필의 개수를 x, y, 여학생 3명이 받는 볼 펜의 개수를 x', y', z'이라 하면 x+y=4(단, x, y는 음이 아닌 정수) x'+y'+z'=2(단, x', y', z'은 음이 아닌 정수) 이므로 그 경우의 수는 ™H¢_£H™=∞C¢_¢C™ ™H¢_£H™=5_ =30 ¤여학생 3명은 연필을 각각 2자루씩, 남학생 2명은 볼펜을 각 각 1자루씩 받은 경우 남학생 2명이 받는 연필의 개수를 x, y, 여학생 3명이 받는 볼 펜의 개수를 x', y', z'이라 하면 x+y=1(단, x, y는 음이 아닌 정수) x'+y'+z'=2(단, x', y', z'은 음이 아닌 정수) 이므로 그 경우의 수는 ™H¡_£H™=™C¡_¢C™ ™H¡_£H™=2_6 ™H¡_£H™=12 ‹여학생 3명은 연필을 각각 2자루씩, 남학생 2명은 볼펜을 각 각 2자루씩 받은 경우 남학생 2명이 받는 연필의 개수를 x, y라 하면 x+y=1(단, x, y는 음이 아닌 정수) 이므로 그 경우의 수는 ™H¡=™C¡=2 ›여학생 3명은 연필을 각각 1자루씩, 남학생 2명은 볼펜을 각 각 2자루씩 받은 경우 남학생 2명이 받는 연필의 개수를 x, y라 하면 x+y=4(단, x, y는 음이 아닌 정수) 이므로 그 경우의 수는 ™H¢=∞C¢=5 ⁄~›에 의하여 구하는 경우의 수는 30+12+2+5=49 4_3 2 중복조합의 수이므로 £H¢=§C¢=§C™=15

13

네 명의 학생 A, B, C, D가 받는 초콜릿의 개수를 각각 a, b, c, d라 하면 a+b+c+d=8 조건 ㈎에서 네 명의 학생이 각각 적어도 1개의 초콜릿을 받으므 로 a, b, c, d는 자연수이다. a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1이라 하면 a'+b'+c'+d'=4(단, a', b', c', d'은 음이 아닌 정수이다.) 조건 ㈏에서 a'>b'이어야 하므로 ⁄b'=0일 때, ⁄a'=1인 경우 c'+d'=3이므로 이 경우의 수는 ™H£=¢C£=4 ⁄a'=2인 경우 c'+d'=2이므로 이 경우의 수는 ™H™=£C™=3 ⁄a'=3인 경우 c'+d'=1이므로 이 경우의 수는 ™H¡=™C¡=2 ⁄a'=4인 경우 c'+d'=0이므로 이 경우의 수는 1 ¤b'=1일 때, ⁄a'=2인 경우 c'+d'=1이므로 이 경우의 수는 ™H¡=™C¡=2 ⁄a'=3인 경우 c'+d'=0이므로 이 경우의 수는 1 따라서 구하는 모든 경우의 수는 10+3=13

14

⁄사탕을 한 아이에게 3개, 나머지 아이에게 1개씩 나누어 주는 경우의 수는 £C¡=3 사탕 1개를 받은 2명의 아이에게 초콜릿 5개를 1개 이상씩 나 누어 주어야 하므로 먼저 1개씩 나누어 주면 나머지 초콜릿 3 개를 중복을 허락하여 2명의 아이에게 나누어 주면 된다. 즉, 2명에서 중복을 허락하여 3명을 택하는 중복조합의 수는 ™H£=¢C£=¢C¡=4 ∴ 3_4=12 ¤사탕을 두 아이에게 2개씩, 나머지 아이에게 1개를 나누어 주 는 경우의 수는 £C™=£C¡=3 사탕 1개를 받은 아이에게 모든 초콜릿을 주어야 하므로 1가지 ∴ 3_1=3 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 12+3=15

15

⁄사과를 하나도 선택하지 않는 경우 8개 중 각각 과일을 한 개씩 선택했다고 하면 나머지 5개를 세 종류의 과일 중에서 중복을 허락하여 선택하면 된다. 즉, 감, 배, 귤 세 종류의 과일 중 중복을 허락하여 5개를 선택 하는 중복조합의 수이므로 £H∞=¶C∞=¶C™=21 ¤사과를 1개 선택하는 경우 사과를 1개 선택하고 남은 7개 중 각각 과일을 한 개씩 선택 했다고 하면 나머지 4개를 세 종류의 과일 중에서 중복을 허 락하여 선택하면 된다.

유형`04. 중복조합의 활용

09

18

서로 다른 상자 A, B, C에 야구공 7개를 담는 방법의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같 으므로 £H¶=ªC¶=ªC™=36 세 상자 A, B, C에 들어가는 야구공의 개수를 각각 a, b, c라 하 면 5개 이하가 들어가야 하므로 a…5, b…5, c…5 즉, a, b, c 중 어느 하나라도 6 이상인 경우는 제외해야 한다. a가 6 이상인 경우는 (a, b, c)가 (6, 1, 0), (6, 0, 1), (7, 0, 0)의 3가지이고, b, c의 경우도 마찬가지이므로 3_3=9 따라서 구하는 경우의 수는 36-9=27

19

A, B, C 3개의 폴더에서 중복을 허락하여 7개를 선택하는 중복 조합의 수이므로 £H¶=ªC¶=ªC™=36

20

서로 다른 3개의 화분에 민들레 꽃씨를 하나씩 먼저 심었다고 하자. 그러면 서로 다른 3개의 화분 중에서 중복을 허락하여 남은 7개의 민들레 꽃씨를 심을 화분 7개를 선택하는 중복조합 의 수이므로 3H7=9C7=9C2=36

21

6회 이하로 움직인 후의 점 P의 위치를 (x, y) (x, y는 자연수) 라 하면 x+y…6이고, 점 P가 제`1사분면 위에 있어야 하므로 xæ1, yæ1이다.

즉, 2…x+y…6이므로 x+y=2 또는 x+y=3 또는 x+y=4 또는 x+y=5 또는 x+y=6에 대하여 방정식을 만족시키는 양 의 정수해의 개수를 구하면 된다. x', y'을 음이 아닌 정수라 하면 x=x'+1, y=y'+1 ⁄x+y=2에서 x'+y'=0이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ™Hº=¡Cº=1 ¤x+y=3에서 x'+y'=1이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ™H¡=™C¡=2 ‹x+y=4에서 x'+y'=2이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ™H™=£C™=3 ›x+y=5에서 x'+y'=3이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ™H£=¢C£=4 fix+y=6에서 x'+y'=4이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ™H¢=∞C¢=5 ⁄~fi에서 구하는 점의 개수는 1+2+3+4+5=15

01

방정식 x+y+z=6을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 세 문자 x, y, z에서 중복을 허락하여 6개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 £H§=3+6-1C§=•C§=•C™=28

02

방정식 a+b+c=6에서 a, b, c가 양의 정수이므로 aæ1, bæ1, cæ1 a', b', c'을 음이 아닌 정수라 하면 a'=a-1, b'=b-1, c'=c-1에서 a'+b'+c'=3` 즉, 구하는 해의 개수는 a'+b'+c'=3을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 따라서 a', b', c'에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수이므로 £H£=£≠£–¡C£=∞C£=∞C™=10 [다른 풀이] 방정식 a+b+c=6에서 x¡+x™+x£=6 꼴이므로 양의 정수해 의 개수는 £H§–£=£H£=∞C£=10

03

⁄a¡…a™…a£…a¢인 경우 서로 다른 6개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수이므로 §H¢=§≠¢–¡C¢=ªC¢=126 ¤a¡=a™…a£…a¢, a¡…a™…a£=a¢인 경우 서로 다른 6개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수이므로 §H£=§≠£–¡C£=•C£=56 ∴ 56_2=112 ‹a¡=a™…a£=a¢인 경우 서로 다른 6개에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 중복조합의 수이므로 §H™=§≠™–¡C™=¶C™=21 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 126-(112-21)=35

01

④

02

①

03

①

0

4

본문023쪽

중복조합의 활용

04

③

05

220

06

②

07

③

08

④

09

32

10

⑤

11

④

12

③

13

①

14

84 본문`023`~`025쪽

18

⑤

19

④

20

36

21

① 본문`021쪽

04

방정식 x+y+z+5w=14에서 ⁄w=1인 경우 x+y+z=9이므로 양의 정수해의 개수는 £Hª–£=£H§=•C§=•C™=28 ¤w=2인 경우 x+y+z=4이므로 양의 정수해의 개수는 £H¢–£=£H¡=£C¡=3 ⁄, ¤에서 구하는 순서쌍의 개수는 28+3=31

05

a_b_c가 홀수이므로 a, b, c 모두 홀수이다. 즉, 구하는 순서쌍의 개수는 1부터 19까지의 10개의 홀수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¡ºH£=¡™C£=220

06

㉠-㉡을 하면 2w=4 ∴ w=2 ∴ x+y+z=8 즉, 구하는 순서쌍의 개수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H•=¡ºC•=¡ºC™=45

07

1…|a|…|b|…|c|…5를 만족시키는 세 자연수 |a|, |b|, |c| 의 순서쌍 (|a|, |b|, |c|)의 개수는 5 이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 세 정수 a, b, c는 각각 음의 정수와 양의 정수의 값을 가질 수 있 으므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 (|a|, |b|, |c|)의 개수의 2‹ 배와 같다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 ∞H£_2‹ =¶C£_8=35_8=280

08

조건 ㈎를 만족시키는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 £H¡º=£≠¡º–¡C¡º =¡™C¡º=¡™C™ £H¡º= =66 y+z=0인 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 (10, 0, 0)의 1이고, y+z=10인 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 ™H¡º=™≠¡º–¡C¡º=¡¡C¡º ™H¡º=¡¡C¡=11 즉, 11이므로 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 66-1-11=54

09

방정식 a+b+c=7을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개 수는 £H¶=ªC¶=ªC™=36 조건 ㈏를 만족시키지 않는 순서쌍 (a, b)의 개수는 (0, 0), (0, 1), (1, 0), (2, 0)의 4이다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 36-4=32

10

⁄방정식 a+b+c=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 a, b, c에서 중복을 허락하여 6개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H§=•C§=•C™=28 12_11 2 x+y+z+3w=14 yy`㉠ x+y+z+w=10 yy`㉡ ‡ ¤세 점이 한 직선 위에 있는 경우는 = 에서 2b=a+c 조건 ㈎에서 a+b+c=b+2b=6 ∴ b=2 즉, b=2, a+c=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)는 (0, 2, 4), (4, 2, 0), (2, 2, 2), (1, 2, 3), (3, 2, 1) 의 5개이다. ⁄, ¤에서 구하는 순서쌍의 개수는 28-5=23

11

a, b, c, d, e 중에서 0인 것 2개를 정하는 경우의 수는 ∞C™=10 yy`㉠ 0이 아닌 세 자연수를 p, q, r라 하면 p=p'+1, q=q'+1, r=r'+1 (단, p', q', r'은 음이 아닌 정수이다.) p+q+r=10에서 (p'+1)+(q'+1)+(r'+1)=10 ∴ p'+q'+r'=7 이 조건을 만족시키는 순서쌍 (p', q', r')의 개수는 £H¶=ªC¶=ªC™=36 yy`㉡ ㉠, ㉡에서 구하는 순서쌍의 개수는 10_36=360

12

a+b+c-d=9에서 a+b+c=9+d 이때, d…4이므로 다음과 같은 경우로 나눌 수 있다. ⁄d=0일 때, a+b+c=9 이때, cæd에서 cæ0이므로 주어진 순서쌍의 개수는 £Hª=¡¡Cª=¡¡C™=55 ¤d=1일 때, a+b+c=10 이때, cæd에서 cæ1이므로 c=c'+1 (c'æ0)으로 놓으면 a+b+c'=9 그러므로 구하는 순서쌍의 개수는 £Hª=¡¡Cª=¡¡C™=55 ‹d=2일 때, a+b+c=11 이때, cæd에서 cæ2이므로 c=c'+2 (c'æ0)으로 놓으면 a+b+c'=9 그러므로 구하는 순서쌍의 개수는 £Hª=¡¡Cª=¡¡C™=55 ›d=3일 때, a+b+c=12 이때, cæd에서 cæ3이므로 c=c'+3 (c'æ0)으로 놓으면 a+b+c'=9 그러므로 구하는 순서쌍의 개수는 £Hª=¡¡Cª=¡¡C™=55 fid=4일 때, a+b+c=13 이때, cæd에서 cæ4이므로 c=c'+4 (c'æ0)으로 놓으면 a+b+c'=9 그러므로 구하는 순서쌍의 개수는 £Hª=¡¡Cª=¡¡C™=55 ⁄~fi에서 구하는 순서쌍의 개수는 55_5=275 c-b 3-2 b-a 2-1

유형`04. 중복조합의 활용

11

13

a+b+c…5이므로 방정식 a+b+c+3d=10을 만족시키는 경우는 ⁄d=2일 때, 방정식 a+b+c=4를 만족시키는 음이 아닌 정 수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 £H¢=§C¢=§C™=15 ¤d=3일 때, 방정식 a+b+c=1을 만족시키는 음이 아닌 정 수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 £H¡=£C¡=3 ⁄, ¤에서 구하는 순서쌍의 개수는 15+3=18

14

조건 ㈎에서 x«…x«≠¡-2이므로 x¡…x™-2, x™…x£-2 이고, 조건 ㈏에서 x£…10이므로 0…x¡…x™-2…x£-4…6 이때, x™-2=x™', x£-4=x£' (x™', x£'은 음이 아닌 정수)이라 하면 0…x¡…x™'…x£'…6 yy㉠ 이고, 주어진 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 x¡, x™, x£의 모 든 순서쌍 (x¡, x™, x£)의 개수는 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정 수 x¡, x™', x£'의 모든 순서쌍 (x¡, x™', x£')의 개수와 같다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 0, 1, 2, y, 6의 7개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¶H£=¶≠£–¡C£=ªC£= =84

15

x, y, z가 양의 정수이므로 x+y+zæ3 ∴ 3…x+y+z<5 즉, x+y+z=3 또는 x+y+z=4에 대하여 양의 정수인 해의 개수를 구하면 된다. ⁄x+y+z=3에서 양의 정수인 해의 개수는 £H£–£=£Hº=™Cº=1 ¤x+y+z=4에서 양의 정수인 해의 개수는 £H¢–£=£H¡=£C¡=3 ⁄, ¤에서 구하는 해의 개수는 1+3=4

16

방정식 x+y+z=n에서 음이 아닌 정수해의 개수는 세 개의 문 자 x, y, z에서 중복을 허락하여 n개를 택하는 중복조합의 수이 므로 3Hn=2+nCn=2+nC2 3Hn= 즉, (2+n)(1+n)₂ =105에서 (2+n)(1+n) 2 9_8_7 3_2_1 (2+n)(1+n)=210=15_14 ∴ n=13

17

xæ2, yæ3, zæ4이므로 x', y', z'을 음이 아닌 정수라 하면 x=x'+2, y=y'+3, z=z'+4 ∴ x'+y'+z'=6 즉, 구하는 순서쌍 (x', y', z')의 개수는 방정식 x'+y'+z'=6 을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. ∴ £H§=•C§ =•C™=28

18

방정식 x+y+z+5w=20에서 ⁄w=1인 경우 x+y+z=15에서 x, y, z가 양의 정수이고 xæw이므로 xæ1, yæ1, zæ1 x', y', z'을 음이 아닌 정수라 하면 x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1에서 x'+y'+z'=12 즉, x', y', z'에서 중복을 허락하여 12개를 택하는 중복조합 의 수이므로 £H¡™=¡¢C¡™ =¡¢C™=91 ¤w=2인 경우 x+y+z=10에서 x, y, z가 양의 정수이고 xæw이므로 xæ2, yæ1, zæ1 x', y', z'을 음이 아닌 정수라 하면 x'=x-2, y'=y-1, z'=z-1에서 x'+y'+z'=6 즉, x', y', z'에서 중복을 허락하여 6개를 택하는 중복조합의 수이므로 £H§=•C§=•C™=28 ‹w=3인 경우 x+y+z=5이므로 x=3, y=1, z=1의 1가지 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 순서쌍의 개수는 91+28+1=120

19

aæ1, bæ2, cæ3, dæ4이므로 a', b', c', d'을 음이 아닌 정수라 하면 a=a'+1, b=b'+2, c=c'+3, d=d'+4 즉, a+b+c+d=13에서 a'+b'+c'+d'=3이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ¢H£=§C£=20 그런데 c=d인 경우는 ⁄c=d=4, 즉 c'=1, d'=0일 때 a'+b'=2이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ™H™=£C™=£C¡=3 ¤c=d=5, 즉 c'=2, d'=1일 때 a'+b'=0이므로 음이 아닌 정수해의 개수는 ™Hº=¡Cº=1 따라서 구하는 정수해의 개수는 20-(3+1)=16

15

①

16

②

17

③

18

120

19

16 본문`025쪽

01

(x+y)‡의 전개식에서 일반항은 ¶C® x‡ —® y® x‹ y›의 계수는 r=4일 때이므로 ¶C¢=¶C£=35

02

{4x¤ +;2¡[;}5 의 전개식에서 일반항은 ∞C®(4x¤ )5-r {;2¡[;}r =∞C®4 5-r {;2!;}r (x¤ ) 5-r (x-1 )r ∞C®(4x¤ )5-r {;2¡[;}r=∞C®4 5-r {;2!;}r x 10-2r-r ∞C®(4x¤ )5-r {;2¡[;}r=∞C®4 5-r {;2!;}r x 10-3r x의 계수는 10-3r=1에서 r=3일 때이므로 ∞C£4¤ {;2!;}3 =10_16_;8!;=20

03

(2x+a)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C®(2x)fi —® a® =∞C®2fi —® a® xfi —® x‹의 계수는 r=2일 때이므로 ∞C™2‹ a¤ =320

10_8a¤ =320, a¤ =4 ∴ a=2 (∵ a>0) 따라서 x› 의 계수는 r=1일 때이므로 ∞C¡2› _2=5_16_2=160

04

(x+a)⁄ ¤의 전개식에서 일반항은 ¡™C® x12-r ar x의 계수는 r=11일 때이므로 ¡™C¡¡a11_=12a11 상수항은 r=12일 때이므로 ¡™C¡™a12_=a12 x의 계수와 상수항의 합이 0이므로 12a11 +a12 =0, a11 (12+a)=0 ∴ a=-12 (`∵ a<0)

05

{x- }7 의 전개식에서 일반항은 ¶C® x7-r {- }r =¶C®(-a) r x7-r x-2r ¶C® x7-r {- }r=¶C®(-a) r x7-3r x›의 계수는 7-3r=4에서 r=1일 때이므로 ¶C¡(-a)=-7a=21 ∴ a=-3

06

(x+1)‹ (x+2)› =(1+x)‹ (2+x)›이므로 (1+x)‹의 전개식에서 일반항은 £C®13-r xr =£C® x® (2+x)›의 전개식에서 일반항은 ¢Cß24-s xß a x¤ a x¤ 즉, (x+1)‹ (x+2)› 의 전개식에서 일반항은 £C®_¢Cß24-sxr+s x®+s=x에서 r+s=1 두 수 r, s는 0…r…3, 0…s…4인 정수이므로 ⁄r=0, s=1일 때, £Cº_¢C¡2‹ =32 ¤r=1, s=0일 때, £C¡_¢Cº2› =48 ⁄, ¤에서 구하는 x의 계수는 32+48=80

07

(1+x)‡의 전개식에서 일반항은 ¶C®17-r xr =¶C®xr x›의 계수는 r=4일 때이므로 ¶C¢=35

08

(3x+y)fl의 전개식에서 일반항은 §C®(3x)6-r yr =§C®36-r x6-r yr x¤ y›의 계수는 r=4일 때이므로 §C¢3¤ =15_9=135

09

{x+ }° 의 전개식에서 일반항은 •C®x° —® { }® =•C®2® x° —¤ ® 따라서 8-2r=4에서 r=2이므로 x› 의 계수는 •C™_2¤ =28_4=112

10

{x+ }4 의 전개식에서 일반항은 ¢C® x› —® { } r =¢C® x› —® x—‹ ® =¢C®x› —› ® 의 계수는 4-4r=-4에서 r=2일 때이므로 ¢C™=6

11

{x+ }6 의 전개식에서 일반항은 §C® xfl —® { } r =§C® 3—® xfl —¤ ® x¤의 계수는 6-2r=2에서 r=2일 때이므로 §C™3—¤ =15_;9!;=;3%; 1 3x 1 3x 1 x› 1 x‹ 1 x‹ 2 x 2 x

01

35

02

⑤

03

④

04

①

05

①

06

④

0

5

본문027쪽

항의 계수 구하기

07

②

08

135

09

⑤

10

②

11

④

12

⑤

13

12

14

⑤

15

3

16

30

17

⑤

18

20

19

25

20

②

21

②

22

10

23

12

24

③ 본문`028`~`030쪽

유형`05. 항의 계수 구하기

13

12

{2x+ }› 의 일반항은 ¢C®(2x)› —® { }® =¢C®2› —® x› —‹ ® 이때, x› —‹ ® =x에서 4-3r=1 ∴ r=1 따라서 x의 계수는 ¢C¡_2‹ =32

13

(1+ax)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C®15-r (ax)r =∞C® a® x® x¤의 계수는 r=2일 때이므로 ∞C™a¤ =10a¤ =1440 a¤ =144 ∴ a=12 (`∵ a>0)

14

(x+a)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C®xr a5-r x‹의 계수는 r=3일 때이므로 ∞C£_a¤ =10a¤ =40 a¤ =4 x의 계수는 r=1일 때이므로 ∞C¡_a› =5_4¤ =80

15

{ax+;[!;}› 의 전개식에서 일반항은 ¢C®(ax)› —® {;[!;}® =¢C® a› —® x› —¤ ® 상수항은 4-2r=0에서 r=2일 때이므로 ¢C™a¤ =6a¤ =54 a¤ =9 ∴ a=3 (∵ a>0)

16

(x+a)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C® x5-r a® x‹의 계수는 r=2일 때이므로 ∞C™a¤ =10a¤ x›의 계수는 r=1일 때이므로 ∞C¡a=5a x‹의 계수와 x› 의 계수가 같으므로 10a¤ =5a

2a¤ -a=0, a(2a-1)=0 ∴ a=;2!; (`∵ a>0) ∴ 60a=60_;2!;=30

17

(x-a)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C® x5-r (-a)® x의 계수는 r=4일 때이므로 ∞C¢(-a)› =5a› 상수항은 r=5일 때이므로 ∞C∞(-a)fi =-afi x의 계수와 상수항의 합이 0이므로

5a› -afi =0, a› (5-a)=0 ∴ a=5 (`∵ a>0)

18

(x+a)fl의 전개식에서 일반항은 §C® x6-r a® x›의 계수는 r=2일 때이므로 §C™a¤ =15a¤ xfi의 계수는 r=1일 때이므로 1 x¤ 1 x¤ §C¡a=6a x›의 계수가 xfi 의 계수의 50배이므로 15a¤ =50_6a

15a¤ =300a, a(a-20)=0 ∴ a=20 (`∵ a>0)

19

(1+x)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C®15-r xr =∞C®xr x›의 계수는 r=4일 때이므로 ∞C¢=∞C¡=5 x‹의 계수는 r=3일 때이므로 ∞C£=∞C™=10 따라서 (1+2x)(1+x)fi 의 전개식에서 x› 의 계수는 1_5+2_10=25

20

(2+x)› (1+3x)‹의 전개식에서 x의 항은 다음 두 가지로 나눌 수 있다. ⁄(2+x)›에서 상수항, (1+3x)‹ 에서 x의 항인 경우 (2+x)›에서 상수항은 ¢Cº x‚ _2› =16 (1+3x)‹에서 x항은 £C¡(3x)⁄ _1¤ =9x 따라서 x의 계수는 16_9=144 ¤(2+x)›에서 x의 항, (1+3x)‹ 에서 상수항인 경우 (2+x)›에서 x항은 ¢C¡ x⁄ _2‹ =32x (1+3x)‹에서 상수항은 £Cº(3x)‚ _1‹ =1 따라서 x의 계수는 32_1=32 ⁄, ¤에서 구하는 x의 계수는 144+32=176

21

{x¤ -;[!;}{x+ }4 의 전개식에서 x‹ 의 계수는 {x¤ -;[!;}에서 x¤ 의 계수 1과 {x+ }4 의 전개식에서 x_{의 계수를 곱한 것과 {x¤ -;[!;}에서 ;[!;의 계수 -1과} {x+ }4 의 전개식에서 x› 의 계수를 곱한 것의 합과 같다. {x+ }4 의 전개식에서 일반항은 ¢C®x4-r { }r =¢C®a® x 4-r-2r =¢C®a® x4-3r x의 계수는 r=1일 때이므로 ¢C¡a⁄ =4a x›의 계수는 4-3r=4, 즉 r=0일 때이므로 ¢Cºa‚ =1 즉, {x¤ -;[!;}{x+ }4 의 전개식에서 x‹ 의 계수는 1_4a+(-1)_1=4a-1 따라서 4a-1=7이므로 a=2 a x¤ a x¤ a x¤ a x¤ a x¤ a x¤

22

(1+x)n 의 전개식에서 일반항은 «C® xr x¤의 계수는 r=2일 때이므로 «C™= =45 n¤ -n-90=0, (n-10)(n+9)=0 ∴ n=10 (`∵ n은 자연수)

23

(x-1)«의 전개식에서 일반항은 «C® xn-r (-1)r x의 계수는 r=n-1일 때이므로 «C«–¡(-1)n-1 =(-1)n-1 _n=-12 ∴ n=12

24

(x+2)⁄ ·의 전개식에서 일반항은 ¡ªC®219-r xr xk 의 계수는 ¡ªC˚219-k xk+1 의 계수는 ¡ªC˚≠¡218-k ¡ªC˚219-k >¡ªC˚≠¡218-k 에서 ¡ªC˚_2>¡ªC˚≠¡ _2> > 3k>17_{에서 k>:¡3¶:=5.___} 따라서 자연수 k의 최솟값은 6이다.

25

(2x-y)·의 전개식에서 일반항은 ªC®(2x)9-r (-y)® =ªC®(-1)® 29-r x9-r yr x¤ y‡의 계수는 r=7일 때이므로 ªC¶(-1)‡ 2¤ =36_(-1)_4=-144

26

x(x¤ +y)fi의 전개식에서 x‹ y› 의 계수는 (x¤ +y)fi 의 전개식에서

x¤ y›의 계수와 같다. (x¤ +y)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C®(x¤ )5-r y® =∞C® x10-2r y® x¤ y›의 계수는 r=4일 때이므로 ∞C¢=5

27

{x‹ +;[!;}6 의 전개식에서 일반항은 §C®(x‹ )6-r {;[!;}r =§C® x 18-3r x-r =§C® x18-4r x⁄ ‚의 계수는 18-4r=10에서 r=2일 때이므로 a=§C™=15 의 계수는 18-4r=-2에서 r=5일 때이므로 1 x¤ 1 k+1 2 19-k 19! (k+1)!(18-k)! 19! k!(19-k)! n(n-1) 2 b=§C∞=6 ∴ a+b=15+6=21

28

(ax-1)fi의 전개식에서 일반항은 ∞C®(ax)5-r (-1)® =∞C®(-1)r a5-r x5-r x›의 계수는 r=1일 때이므로 ∞C¡(-1)⁄ a› =-5a› x‹의 계수는 r=2일 때이므로 ∞C™(-1)¤ a‹ =10a‹ x›의 계수와 x‹ 의 계수의 합이 0이므로

-5a› +10a‹ =0, -5a‹ (a-2)=0 ∴ a=2 (`∵ a+0) 따라서 x¤ 의 계수는 r=3일 때이므로 ∞C£(-1)‹ 2¤ =10_(-1)_4=-40

29

{ax¤ +;[B;}8 의 전개식에서 일반항은 •C®(ax¤ )8-r {;[B;} r =•C® a8-r br x16-3r x‡의 계수는 16-3r=7에서 r=3일 때이므로 •C£afi b‹ =80 yy`㉠ x의 계수는 16-3r=1에서 r=5일 때이므로 •C∞a‹ bfi =5 yy`㉡ •C∞=•C£이므로 ㉠÷㉡을 하면 =16 ∴ ;bA;=4 (`∵ a>0, b>0)

30

(x+1)› (2x+1)‹ =(1+x)› (1+2x)‹이므로 (1+x)›의 전개식에서 일반항은 ¢C®14-r_xr =¢C® xr (1+2x)‹의 전개식에서 일반항은 £Cß13-s_(2x)s =£Cß2s_xs 즉, (x+1)› (2x+1)‹ 의 전개식에서 일반항은 ¢C®_£Cß2s_xr+s xr+s =x¤에서 r+s=2 두 수 r, s는 0…r…4, 0…s…3인 정수이므로 ⁄r=0, s=2일 때, ¢Cº_£C™2¤ =12 ¤r=1, s=1일 때, ¢C¡_£C¡2⁄ =24 ‹r=2, s=0일 때, ¢C™_£Cº2‚ =6 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 x¤ 의 계수는 12+24+6=42

31

;2!;(x-2y) n 을 전개하였을 때 x‡ y‹ 의 항이 생기므로 n=7+3=10 (x-2y)⁄ ‚의 전개식에서 일반항은 ¡ºC® x10-r (-2y)® =¡ºC®(-2)® x10-r y® x‡ y‹의 계수는 r=3일 때이므로 ¡ºC£(-2)‹ =-960 따라서 ;2!;(x-2y)⁄ ‚ 의 전개식에서 x‡ y‹ 의 계수는 ;2!;_(-960)=-480 ∴ m+n=-480+10=-470 a¤ b¤

25

④

26

①

27

②

28

①

29

4

30

③

31

② 본문031쪽

유형`06. 확률의 계산

15

01

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;1¶2;=;2!;+P(B)-;4!; ∴ P(B)=;3!;

02

P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) P(AÇ ;BÇ )=1-P(A'B)=;5!; ∴ P(A'B)=;5$; P(BÇ )=1-P(B)=;5@; ∴ P(B)=;5#; P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;5$;=;2!;+;5#;-P(A;B) ∴ P(A;B)=;1£0;

03

P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) P(AÇ ;BÇ )=1-P(A'B)=;3!; ∴ P(A'B)=;3@; 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) 즉, P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)에서 ;3@;=;4!;+P(B)-;4!;P(B) ;4#;P(B)=;1∞2; ∴ P(B)=;9%;

04

두 사건 A, BÇ 이 서로 독립이므로 P(A;BÇ )=P(A)P(BÇ )에서 ;6!;=;3!; {1-P(B)} 1-P(B)=;2!; ∴ P(B)=;2!;

05

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;3@;=;1¶2;+;4!;-P(A;B) ∴ P(A;B)=;6!; ∴ P(B|A)= = =;7@;

06

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) P(A;B)=;3!;_;5#;=;5!; ∴ P(A|B)= = =;3!;

07

P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B) P(A;BÇ )=;3@;-;4!; P(A;BÇ )=;1∞2;

08

P(A;B)=P(A)-P(A;BÇ ) P(A;B)=;2!;-;5!; P(A;B)=;1£0; ∴ P(AÇ 'BÇ )=P((A;B)Ç ) ∴ P(AÇ 'BÇ )=1-P(A;B) ∴ P(AÇ 'BÇ )=1-;1£0; ∴ P(AÇ 'BÇ )=;1¶0;

09

P(AÇ )=;3@;이므로 P(A)=1-;3@;=;3!; A'B=A'(AÇ ;B)이고 A;(AÇ ;B)=Δ이므로 P(A'B)=P(A)+P(AÇ ;B) P(A'B)=;3!;+;4!;=;1¶2;

10

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 P(A'B)=;9&;-;9@;=;9%; ;5!; ;5#; P(A;B) P(B) ;6!; ;1¶2; P(A;B) P(A)

01

②

02

②

03

③

04

⑤

05

②

06

②

0

6

본문033쪽

확률의 계산

07

②

08

④

09

②

10

⑤

11

①

12

⑤

13

③

14

②

15

②

16

④

17

③

18

②

19

①

20

⑤

21

④

22

④

23

④

24

④ 본문`034`~`036쪽

11

A'B=A'(AÇ ;B) 이고, 두 사건 A, AÇ ;B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(AÇ ;B) ∴ P(A)=P(A'B)-P(AÇ ;B) ∴ P(A)=;4#;-;3@; ∴ P(A)=;1¡2;

12

P(A)=P(A;B)+P(A;BÇ ) P(A)=;8!;+;1£6; P(A)=;1∞6;

13

두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) ;2!;=;6!;+P(B) ∴ P(B)=;3!;

14

두 사건 A와 BÇ 은 서로 배반사건이므로 P(A;BÇ )=0 즉, A,B ∴ P(B)=P(A)+P(AÇ ;B) ∴ P(B)=;3!;+;6!; ∴ P(B)=;2!;

15

P(A)=;5#;, P(B)=;1£0;이고, 두 사건 AÇ 과 B는 서로 배반사 건이므로 P(AÇ ;B)=P(B)-P(A;B)=0 ∴ P(A;B)=P(B) ∴ P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B) ∴ P(A;BÇ )=P(A)-P(B) ∴ P(A;BÇ )=;5#;-;1£0; ∴ P(A;BÇ )=;1£0;

16

P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)=;6!; P(AÇ ;B)=P(B)-P(A;B)=;6!; ∴ P(A)=P(B)=P(A;B)+;6!; P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 ;3@;=2[P(A;B)+;6!;]-P(A;B) ;3@;=P(A;B)+;3!; ∴ P(A;B)=;3!;

17

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)에서 ;6%;=;3@;+P(B)-;3@;_P(B) 따라서 ;3!;_P(B)=;6!;에서 P(B)=;2!;

18

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 A와 BÇ , AÇ 과 B도 각각 서로 독립이다. 즉, P(A;BÇ )+P(AÇ ;B)=;3!;에서 P(A)P(BÇ )+P(AÇ )P(B)=;3!; P(A){1-P(B)}+{1-P(A)}P(B)=;3!; P(A)=;6!;이므로 ;6!; {1-P(B)}+;6%;P(B)=;3!; ;3@;P(B)=;6!; ∴ P(B)=;4!;

19

P(B|A)= 이므로 P(A;B)=P(B|A)P(A) P(A;B)=;6%;_;5@; P(A;B)=;3!;

20

P(A;B) =P(A)-P(A;BÇ ) =;1!6#;-;4!; =;1ª6; 이므로 P(B|A)= = P(B|A)=;1ª3;

21

P(AÇ )=1-P(A) P(AÇ )=1-;1¶0; P(AÇ )=;1£0; P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) P(AÇ ;BÇ )=1-P(A'B) P(AÇ ;BÇ )=1-;1ª0; P(AÇ ;BÇ )=;1¡0; ;1ª6; ;1!6#; P(A;B) P(A) P(A;B) P(A)

유형`06. 확률의 계산

17

∴ P(BÇ |AÇ )= ∴ P(BÇ |AÇ )= ∴ P(BÇ |AÇ )=;3!;

22

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) P(A;B)={1-P(AÇ )}P(B) P(A;B)=;4#;P(B) P(A;B)=;2!; ∴ P(B)=;2!;_;3$;=;3@; 한편, 두 사건 AC 과 B도 서로 독립이므로 P(B|AÇ )= P(B|AÇ )= P(B|AÇ )=P(B) P(B|AÇ )=;3@;

23

P(B)=1-P(BÇ )=1-;1£0;=;1¶0;이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=;5@;+;1¶0;-;5!; P(A'B)=;1ª0; 한편, P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) 한편, P(AÇ ;BÇ )=1-P(A'B) 한편, P(AÇ ;BÇ )=;1¡0; ∴ P(AÇ |BÇ )= ∴ P(AÇ |BÇ )= ∴ P(AÇ |BÇ )=;3!;

24

P(BÇ )=;3!;이므로 P(B)=1-P(BÇ )=1-;3!; P(B)=;3@; 또한, P(A|B)= =;2!;에서 P(A;B)=;2!;P(B) P(A;B)=;2!;_;3@;=;3!; P(A;B) P(B) ;1¡0; ;1£0; P(AÇ ;BÇ ) P(BÇ ) P(B)P(AÇ ) P(AÇ ) P(B;AÇ ) P(AÇ ) ;1¡0; ;1£0; P(AÇ ;BÇ ) P(AÇ ) 두 사건 A와 B는 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B) ∴ P(A)P(B)=;3!;

25

P(A)P(B)=;2!;{P(B)}¤ =;5¡0;이므로 {P(B)}¤ =;2¡5; ∴ P(B)=;5!; (∵ 0<P(B)<1) ∴ P(A)=;2!;P(B)=;2!;_;5!;=;1¡0; 두 사건 A, B는 서로 배반사건이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) P(A'B)=;1¡0;+;5!;=;1£0; ∴ P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç ) =1-P(A'B) ∴ P(AÇ ;BÇ )=1-;1£0;=;1¶0;

26

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 두 사건 AÇ , B도 서로 독립 이다. P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B) ={1-P(A)}P(B) P(AÇ ;B)={1-P(A)}_;2!;=;5!; ∴ P(A)=;5#; ∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) ∴ P(A'B)=;5#;+;2!;-;5#;_;2!;=;5$;

27

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 A와 BÇ , AÇ 과 B, AÇ 과 BÇ 도 각각 서로 독립이다. P(A;BÇ )=P(A)P(BÇ )=;3!;㉠㉠ yy`㉠ P(AÇ ;BÇ )=P(AÇ )P(BÇ )=;6!;㉠㉠yy`㉡ ㉠+㉡을 하면 P(A)P(BÇ )+P(AÇ )P(BÇ )=;2!; {P(A)+P(AÇ )}P(BÇ )=;2!; ∴ P(BÇ )=;2!; P(BÇ )=;2!;을 ㉡에 대입하면

25

③

26

④

27

①

28

③

29

②

30

② 본문037쪽

P(AÇ )=;3!; ∴ P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B) ∴ P(AÇ ;B)=P(AÇ ){1-P(BÇ )} ∴ P(AÇ ;B)=;3!;_{1-;2!;}=;6!;

28

= = + -1 = + -1 =2+3-1=4

29

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A|B)= P(A|B)= =P(A) P(B|A)= P(B|A)= =P(B) ∴ P(A)=P(B)=;5#; ∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) ∴ P(A'B)=;5#;+;5#;-;5#;_;5#; ∴ P(A'B)=;2@5!;

30

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;4#;P(A) 즉, P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)에서 ;5$;=P(A)+;4#;-;4#;P(A) ;4!;P(A)=;2¡0; ∴ P(A)=;5!; 두 사건 A, BÇ 도 서로 독립이므로 P(A|BÇ )= P(A|BÇ )= P(A|BÇ )=P(A) P(A|BÇ )=;5!; P(A)P(BÇ ) P(BÇ ) P(A;BÇ ) P(BÇ ) P(A)P(B) P(A) P(A;B) P(A) P(A)P(B) P(B) P(A;B) P(B) 1 P(A|B) 1 P(B|A) P(B) P(A;B) P(A) P(A;B) P(A)+P(B)-P(A;B) P(A;B) P(A'B) P(A;B)

01

서로 다른 두 개의 주사위를 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6¤ =36 나오는 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면 합이 4 이하인 경우는 (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1) 의 6가지이다. 따라서 구하는 확률은 ;3§6;=;6!;

02

네 개의 문자 A, B, C, D를 일렬로 나열하는 방법의 수는 4! C, D를 묶어서 한 문자로 생각하여 3개의 문자를 일렬로 나열하 는 방법의 수는 3!이고, 이 각각의 경우에 C, D가 서로 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!이므로 C, D가 서로 이웃하도록 나열하는 방법의 수는 3!_2! 따라서 구하는 확률은 =;2!;

03

주머니에서 임의로 2개의 공을 뽑는 경우의 수는 ¶C™=21 두 개의 공의 색이 서로 다른 경우의 수는 £C¡_¢C¡=12 따라서 구하는 확률은 ;2!1@;=;7$;

04

주머니에서 임의로 2개를 뽑는 경우의 수는 •C™=28 노랑색과 파랑색의 구슬을 뽑는 경우의 수는 ™C¡_™C¡=4 따라서 구하는 확률은 ;2¢8;=;7!; ∴ 10p+q=70+1=71

05

주머니에서 임의로 3개의 구슬을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ªC£=84 노란 구슬 1개와 파란 구슬 2개가 나오는 경우의 수는 ¢C¡_∞C™=4_10=40 따라서 구하는 확률은 ;8$4);=;2!1); 3!_2! 4!

01

②

02

③

03

④

04

71

05

①

06

⑤

0

7

본문039쪽

확률 구하기`⑴

유형`07. 확률 구하기`⑴

19

06

적어도 한 개가 흰 공일 확률은 두 개 모두 검은 공일 사건의 여사 건의 확률이다. 주머니에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ¡ºC™=45 꺼낸 공이 모두 검은 공인 경우의 수는 •C™=28 주머니에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼낼 때 두 개 모두 검은 공일 확률은 ;4@5*; 따라서 구하는 확률은 1-;4@5*;=;4!5&;

07

7개의 구슬이 들어 있는 주머니에서 2개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는 ¶C™=21 꺼낸 두 구슬에 적힌 수가 서로소인 경우는 (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (6, 7), (7, 8) 의 14가지이므로 구하는 확률은 ;2!1$;=;3@;

08

구하고자 하는 확률은 = = =;3!5*;

09

주머니에서 임의로 2개를 뽑는 경우의 수는 §C™=15 흰 공 2개를 뽑는 경우의 수는 ™C™=1 따라서 구하는 확률은 ;1¡5; ∴ p+q=15+1=16 4_3 3_112_{2_1} 7_6_5 1111_{3_2_1} £C¡_¢C™ ¶C£ £C™_¢C™ ¶C¢

10

꺼낸 3개의 공 중에서 적어도 한 개가 검은 공일 사건은 3개 모두 흰 공일 사건의 여사건이다. 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ¶C£=35 꺼낸 공이 모두 흰 공인 경우의 수는 ¢C£=4 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때 3개 모두 흰 공일 확률은 ;3¢5; 따라서 구하는 확률은 1-;3¢5;=;3#5!;

11

주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 §C£=20 흰 공 1개, 노란 공 1개, 파란 공 1개가 나오는 경우의 수는 ™C¡_™C¡_™C¡=8 따라서 구하는 확률은 ;2•0;=;5@;

12

선택된 두 점 사이의 거리가 1보다 큰 사건을 A라 하면 AÇ은 선택된 두 점 사이의 거리가 1보다 작거나 같은 사건이다. 이때, P(AÇ )= =;6!6&;이므로 P(A)=1-P(AÇ ) P(A)=1-;6!6&; P(A)=;6$6(;

13

A, A, A, B, B, C의 문자가 하나씩 적혀 있는 6장의 카드를 일 렬로 나열하는 경우의 수는 =60 양 끝 모두에는 A가 적힌 카드가 나와야 하므로 A, B, B, C가 적혀 있는 4장의 카드를 A, A가 적혀 있는 2장의 카드 사이에 나열해야 한다. 카드를 나열하는 경우의 수는 =12 따라서 구하는 확률은 =;5!;

14

전체 경우의 수는 7!이고 4가 적혀 있는 흰 공과 검은 공이 이웃하는 경우의 수는 6!_2! 이므로 같은 숫자가 적혀 있는 공이 서로 이웃하지 않게 나열될 확률은 1-=1-;7@; =;7%; 따라서 p=7, q=5이므로 p+q=12 6!_2! 7! 12 60 4! 2! 6! 3!_2! 17 ¡™C™

07

④

08

③

09

16

10

⑤

11

①

12

⑤

13

②

14

12

15

④

16

①

17

19

18

68 본문`040`~`041쪽

15

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6¤ =36 f(x)=x¤ -7x+10=(x-2)(x-5)이므로 f(1)>0, f(2)=0, f(3)<0, f(4)<0, f(5)=0, f(6)>0 즉, f(a)f(b)<0을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 6), (4, 1), (4, 6), (6, 3), (6, 4) 의 8가지이다. 따라서 구하는 확률은 ;3•6;=;9@;

16

첫 번째 시행에서 철수는 주머니 A에서 구슬을 한 개 꺼내고 영 희는 주머니 B에서 철수가 꺼낸 구슬에 적혀 있는 숫자와 다른 숫자가 적혀 있는 구슬을 꺼낼 확률은 ∞C¡_;5!;_;5$;=;5$; 두 번째 시행에서 철수는 첫 번째 시행에서 두 사람이 꺼낸 구슬 에 적혀 있는 숫자 2개를 제외한 나머지 3개의 숫자가 적혀 있는 구슬 중에서 한 개를 꺼내고, 영희는 주머니 B에서 그와 같은 숫 자가 적혀 있는 구슬을 꺼내야 하므로 그 확률은 ;4#;_;4!;=;1£6; 따라서 구하는 확률은 ;5$;_;1£6;=;2£0;

17

방정식 x+y+z=10을 만족시키는 음이 아닌 정수 x, y, z의 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 £H¡º=£≠¡º–¡C¡º =¡™C¡º=¡™C™ £H¡º= £H¡º=66 이 중에서 (x-y)(y-z)(z-x)=0이 성립하려면 x=y또는 y=z 또는 z=x x=y=z이면서 x+y+z=10을 만족시키는 순서쌍은 존재하 지 않으므로 x=y를 만족시키는 순서쌍을 구해보면 (0, 0, 10), (1, 1, 8), (2, 2, 6), (3, 3, 4), (4, 4, 2), (5, 5, 0)으로 6개이다. 따라서 (x-y)(y-z)(z-x)=0을 만족시키는 순서쌍의 개수는 3_6=18 따라서 (x-y)(y-z)(z-x)=0이 성립할 확률은 ;6!6*;=;1£1; 이므로 (x-y)(y-z)(z-x)+0이 성립할 확률은 1-;1£1;=;1•1; ∴ p+q=11+8=19

18

여학생 4명과 남학생 4명을 8개의 좌석에 배정하는 방법의 수는 8! 적어도 2명의 남학생이 서로 이웃하는 사건의 여사건은 어느 남 학생도 이웃하지 않는 사건이다. 12_11 2_1 즉, 그림과 같이 남학생 4명을 배정하고 나머지 자리에 여학생 4 명을 배정하면 된다. 따라서 구하는 확률은 p=1- _2=;3#5$; ∴ 70p=70_;3#5$;=68

19

서로 다른 세 개의 주사위를 동시에 던질 때 나올 수 있는 모든 경 우의 수는 6‹ =216 나오는 눈의 수의 합이 5 이하가 되는 경우는 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1) 의 10가지이다. 즉, p=;2¡1º6;=;10%8;이므로 ;p%;=108

20

9개의 구슬 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 ªC™=36 두 자연수의 합이 홀수이려면 하나는 짝수, 나머지 하나는 홀수 이어야 하므로 ¢C¡_∞C¡=20 따라서 구하는 확률은 ;3@6);=;9%;

21

10명 중에서 4명을 선정하는 방법의 수는 ¡ºC¢=210 철수를 포함하여 남학생 두 명을 선정하는 방법의 수는 ∞C¡=5 영희를 포함하여 여학생 두 명을 선정하는 방법의 수는 £C¡=3 따라서 구하는 확률은 =;1¡4; 5_3 210 4!_4! 8! 남 여 남 여 여 남 여 남 여 남 여 남 남 여 남 여

19

⑤

20

⑤

21

②

22

③

23

④

24

① 본문042쪽

유형`08. 확률 구하기`⑵

21

01

주머니에서 임의로 2개를 뽑는 경우의 수는 ªC™=36 흰 공을 2개 뽑는 경우의 수는 ∞C™=10 빨간 공을 2개 뽑는 경우의 수는 ¢C™=6 따라서 구하는 확률은 =;9$;

02

9개의 공 중에서 임의로 2개를 뽑는 경우의 수는 ªC™=36 임의로 뽑은 2개가 1이 적힌 공일 경우의 수는 ™C™=1 임의로 뽑은 2개가 2가 적힌 공일 경우의 수는 £C™=3 임의로 뽑은 2개가 3이 적힌 공일 경우의 수는 ¢C™=6 따라서 구하는 확률은 =;1∞8;

03

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6¤ =36 한 개의 주사위를 두 번 던져 나오는 두 수 x, y에 대하여 부등식 y>2x-1이 성립하려면 ⁄x=1일 때, y>1이어야 하므로 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) 의 5가지 ¤x=2일 때, y>3이어야 하므로 순서쌍 (x, y)는 (2, 4), (2, 5), (2, 6) 의 3가지 ‹x=3일 때, y>5이어야 하므로 순서쌍 (x, y)는 (3, 6) 의 1가지 ⁄, ¤, ‹에서 부등식 y>2x-1이 성립하는 경우의 수는 9이 므로 구하는 확률은 ;3ª6;=;4!;

04

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 두 수 a, b의 곱이 짝수인 경우는 ⁄a가 짝수이고, b도 짝수일 때, £C¡_£C¡=9 ¤a가 짝수이고, b는 홀수일 때, £C¡_£C¡=9 ‹a가 홀수이고, b는 짝수일 때, £C¡_£C¡=9 ⁄, ¤, ‹에서 두 수 a, b의 곱이 짝수인 경우의 수는 27이므로 a와 b가 모두 짝수일 확률은 ;2ª7;=;3!; 1+3+6 36 10+6 36

22

6명을 2명씩 3개의 복식조로 편성하는 방법의 수는 §C™_¢C™_™C™_ =15 한편, A, B가 같은 조에 편성되고 C, D가 서로 다른 조에 편성 되려면 E, F를 각각 C, D와 짝을 이루도록 해야 하므로 그 방법 의 수는 2!=2 따라서 구하는 확률은 ;1™5;이다.

23

6개의 점 중에서 임의로 두 점을 택하는 경우의 수는 §C™=15 두 점 사이의 거리가 1보다 작거나 같은 경우의 수는 7 따라서 구하는 확률은 1-;1¶5;=;1•5;

24

카드를 4회 뽑는 전체 경우의 수는 §P¢=6› =1296 서로 다른 두 수가 각각 2회씩 나오는 경우의 수는 §C™_ =15_6=90 따라서 구하는 확률은 ;12(9)6;=;7∞2; 4! 2!2! 1 3!

01

③

02

④

03

③

04

③

0

8

본문045쪽

확률 구하기`⑵