조건부확률

;5!0$0);

;5!0*0);

P(A;B) P(A)

;5@;

;2ª0;

P(A;B) P(A)

;4!;

;2!0!;

P(A;B) P(A)

01

A={3, 6}, B={1, 3, 5}이므로 A;B={3}

∴ P(A;B)=;6!;, P(B)=;2!;

∴ P(A|B)= = =;3!;

02

A={2, 4, 6}, B={1, 2, 3, 6}이므로 A;B={2, 6}

∴ P(A;B)=;3!;, P(B)=;3@;

따라서 구하는 확률은

P(A|B)= = =;2!;

03

A, B 두 학급 학생들 중에서 임의로 뽑은 한 명이 경주를 선택한 학생인 사건을 T, B반 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은

P(B|T)= = =;5@;

[다른 풀이]

A, B 두 학급의 학생들 중에서 경 주를 선택한 학생의 집합을 T, B 반 학생의 집합을 B라 하자.

두 집합 T, B의 관계를 벤다이어 그램으로 나타내고, 각 영역의 원 소의 개수를 나타내면 그림과 같다.

따라서 구하는 확률은

P(B|T)= =;2!5);=;5@;

04

1200명의 학생 중에서 임의로 택한 한 명이 휴대 전화로 인증을 받아 점심 식사를 한 학생인 사건을 A, 3학년인 사건을 B라 하 면 구하는 확률은

P(B|A)= = =;5#;

05

학급에서 임의로 뽑은 한 명이 남학생인 사건을 M, A자격증이 있는 사건을 A라 하면 구하는 확률은

P(A|M)= =;3∞5;=;4!;

;3@5);

P(A;M) P(M)

;12*0$0;

;1¡2¢0º0;

P(A;B) P(A) n(T;B)

n(T)

15 10 12 B

;4!7);

;4@7%;

P(B;T) P(T)

;3!;

;3@;

P(A;B) P(B)

;6!;

;2!;

P(A;B) P(B)

01

②

02

③

03

①

04

④

05

②

09

본문051쪽

06

①

07

⑤

08

⑤

09

⑤

10

11

②

12

③

13

②

14

③

15

④

16

①

17

⑤

18

19

20

21

22

본문`052`~`055쪽

유형`09. 조건부확률

27

p=P(B|A)=

p= =;5#;

∴ 100p=100_;5#;=60

11

학생 20명 중 임의로 택한 한 학생이 남학생일 사건을 A, 과목 B를 선택한 학생일 사건을 B라 하면 구하는 확률은

P(B|A)=

P(B|A)= =;1¶0;

12

전체 학생 360명 중에서 체험 학습 A를 선택한 학생은 남학생 90명과 여학생 70명이므로 체험 학습 B를 선택한 학생은 총 200 명이다.

이때, 체험 학습 B를 선택한 남학생의 수를 a, 여학생의 수를 200-a라 하고 표로 나타내면 다음과 같다.

한편, 이 학교의 학생 중 임의로 뽑은 1명의 학생이 체험 학습 B 를 선택한 학생일 때, 이 학생이 남학생일 확률이 ;5@;이므로 체험 학습 B를 선택할 사건을 A, 남학생일 사건을 B라 하면

P(B|A)= =

P(B|A)=;20A0;=;5@;

5a=400 ∴ a=80 따라서 이 학교의 여학생의 수는 270-80=190

13

전체 학생이 100명이므로 축구를 선택한 학생은 70명, 야구를 선 택한 학생은 30명이다. 이 학교 전체 학생을 여학생과 남학생, 축 구를 선택한 학생과 야구를 선택한 학생으로 나누어 표로 나타내 면 다음과 같다.

이 학교의 학생 중 임의로 뽑은 1명이 여학생인 사건을 A라 하면 남학생인 사건은 AÇ 이고, 축구를 선택한 학생인 사건을 B라 하 면 야구를 선택한 학생인 사건은 BÇ 이다.

;36A0;

;3@6)0);

P(A;B) P(A)

;2¶0;

;2!0);

P(A;B) P(A)

;5ª0;

;5!0%;

P(A;B)

P(A) 임의로 뽑은 1명이 축구를 선택한 남학생일 확률이 ;5@;이므로

P(B;AÇ )= =;5@;에서 c=40 a+c=70에서 a=30

c+d=60에서 d=20 a+b=40에서 b=10

따라서 이 학교의 학생 중 임의로 뽑은 1명이 야구를 선택한 학생 일 때, 이 학생이 여학생일 확률은

P(A|BÇ )=

P(A|BÇ )= =;3!;

14

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 6의 눈이 한 번도 나오지 않는 사건을 A, 나온 두 눈의 수의 합이 4의 배수인 사건을 B라 하면 P(A)=;6%;_;6%;=;3@6%;

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례대로 a, b 라 하자.

사건 A;B를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 다음과 같다.

{(1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 5), (4, 4), (5, 3)}

즉, P(A;B)=;3§6;

∴ P(B|A)=

∴ P(B|A)=;2§5;

15

남학생의 수를 n이라 하면 여학생의 수는 320-n이고 수학동아 리에 가입한 남학생과 여학생의 비율이 각각 60 %, 50 %이므로 수학동아리에 가입한 남학생과 여학생의 수는 각각

0.6n, 160-0.5n

즉, 수학동아리에 가입한 학생의 수는 0.6n+(160-0.5n)=0.1n+160

∴ p¡= , p™=

이때, p¡=2p™이므로

0.6n=320-n, 1.6n=320

∴ n=200

16

^{전자우편이‘여행’}이라는 단어를 포함하는 사건을 A, 광고일 사 건을 B라 하면

P(B)=P(A;B)+P(A^C;B)

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^C)P(B|A^C) P(B)=0.1_0.5+0.9_0.2

P(B)=0.05+0.18

=0.23

2(160-0.5n) 0.1n+160 0.6n

0.1n+160

160-0.5n 0.1n+160 0.6n

0.1n+160

;3§6;

;3@6%;

P(A;B) P(A)

;1¡0º0;

;1£0º0;

P(A;BÇ ) P(BÇ ) c 100

남자 여자 합계

체험 학습 A 90 70 160

체험 학습 B a 200-a 200

합계 90+a 270-a 360

(단위`: 명)

축구 야구 합계

여학생 a b 40

남학생 c d 60

합계 70 30 100

(단위`: 명)

따라서 구하는 확률은

P(A|B)= = =;2∞3;

17

임의로 선택한 한 학생이 지각하는 사건을 A, 버스로 등교하는 사건을 B라 하면

P(A)=P(A;B)+P(A;B^C)

P(A)=P(B)P(A|B)+P(B^C)P(A|B^C) P(A)=;5#;_;2¡0;+;5@;_;1¡5;

P(A)=;3¡0¶0; a=48, b=24

∴ a+b=72 P(E)=1- =1-;3!;=;3@;

한편, a>b+c인 경우는

유형`09. 조건부확률

29

⁄``, ¤``, ‹``에 의하여

P(A)= + + =

P(A;B)= 이므로 P(B|A)=

P(A|B)= =

따라서 p=31, q=12이므로 p+q=43

23

참가한 사람 600명 중에서 임의로 선택한 1명이 여성일 사건을 A, 컴퓨터를 이용하여 응모했을 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(B|A)=

P(B|A)= =;1¶3;

24

임의로 택한 한 제품이 수출하는 제품인 사건을 A, 휴대폰인 사 건을 B라 하면

P(A)=0.4, P(A;B)=0.12

∴ P(B|A)= = =0.3

25

3학년 전체 학생 중에서 임의로 뽑은 한 명이 남학생인 사건을 A, 우유 급식을 신청한 학생인 사건을 B라 하면 구하는 확률은

P(B|A)= = =;8%;

26

150명 중에서 임의로 선택된 사람이 1 g을 섭취한 사람일 사건 을 A, 5 g을 섭취한 사람일 사건을 AÇ , 양성반응일 사건을 B라 하면

p¡=P(B|A)= = =;2!5!;

p™=P(B|A^C)= = =;1¡2™5;

∴ = ;2!5!; =;1%2%;

;1¡2™5;

p¡

p™

;1¡5™0;

;1!5@0%;

P(AÇ ;B) P(AÇ )

;1¡5¡0;

;1™5∞0;

P(A;B) P(A)

;1£0º0;

;1¢0•0;

P(A;B) P(A)

0.12 0.4 P(A;B)

P(A)

;6!0$0);

;6@0^0);

P(A;B) P(A)

12 31

;3!5@;

;3#5!;

P(A;B) P(A) 12 35

31 35 1 35 12 35 18 35

27

주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.

B역에서 C역으로 가는 도중 기차에 타고 있는 남자 승객의 수는 135-27+90=198, 여자 승객의 수는 90-18+90=162 이므로 전체 승객은 360명이다.

임의로 선택된 한 승객이 여자인 사건을 W, A역에서 승차한 승 객인 사건을 A라 하면 구하는 확률은

P(A|W)= = =;9$;

28

임의로 선택한 한 상자에서 공을 꺼낼 때, 상자 A에서 공을 꺼낼 사건을 A, 상자 B에서 공을 꺼낼 사건을 B, 꺼낸 공이 검은 공 일 사건을 X라 하면

P(X)=P(A;X)+P(B;X) P(X)=;2!;_;4@;+;2!;_;3!;=;1∞2;

따라서 구하는 확률은

P(B|X)= = =;5@;

29

임의로 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 A, 짝수가 적혀 있는 주머니에 서 꺼낸 공일 사건을 B라 하면

P(A)=P(A;B)+P(A;B^C) P(A)={;6!;_;6@;+;6!;_;6$;+;6!;_;6^;}

+{;6!;_;6!;+;6!;_;6#;+;6!;_;6%;}

P(A)=;3!6@;+;3ª6;=;3@6!;

따라서 구하는 확률은

P(B|A)= = =;7$;

30

1000명의 학생 중에서 임의로 뽑은 한 명이 여학생일 사건을 F, 인문사회계열을 선택한 학생일 사건을 A라 하면

P(A)=P(F^C;A)+P(F;A)

=0.6_0.55+0.4_0.65=0.59 따라서 구하는 확률은

P(F|A)= =0.26=;5@9^;

0.59 P(F;A)

P(A)

;3!6@;

;3@6!;

P(B;A) P(A)

;6!;

;1∞2;

P(B;X) P(X)

;3¶6™0;

;3!6^0@;

P(A;W) P(W)

A역 B역

승차 하차 승차

남자 135 27 90

여자 90 18 90

(단위`: 명)

23

③

24

③

25

⑤

26

③

27

④

28

②

29

④

30

④

본문055`~`056쪽

01

¹번의 시행에서 5의 눈이 나올 확률은 ;6!;, 5 이외의 눈이 나올 확 률은 ;6%;이므로 3번의 시행에서 5의 눈이 2번 나올 확률은

£C™{;6!;}2 {;6%;}

3-2

=3_ _;6%;=;7∞2;

02

한 경기에서 골을 넣을 확률이 ;5#;, 골을 넣지 못할 확률은 ;5@;이므 로 7경기에 출전하여 4경기에서 골을 넣을 확률은

¶C¢{;5#;}4 {;5@;}^7-4=35_ _ =

03

한 개의 주사위를 한 번 던져서 짝수의 눈이 나올 확률은 ;2!;이므로

⁄짝수의 눈이 7번 나올 확률은

⁄•C¶{;2!;}7 {;2!;}^8-7=•C¡{;2!;}8 =8{;2!;}8

¤짝수의 눈이 8번 나올 확률은

⁄•C•{;2!;}8 {;2!;}^8-8={;2!;}8 따라서 구하는 확률은 8{;2!;}8 +{;2!;}8 =;25(6;

04

6문제를 풀 때, k개의 문제를 맞힐 확률을 P˚라 하면 P˚=§C˚{;2!;}^k{;2!;}

6-k

=§C˚{;2!;}⁶

이때, 적어도 3문제를 맞히는 사건은 3문제 미만을 맞히는 사건 의 여사건이므로 구하는 확률 P는

P=1-(Pº+P¡+P™)

P=1-[§Cº{;2!;}6 +§C¡{;2!;}6 +§C™{;2!;}6 ] P=1-(1+6+15){;2!;}6

P=1-;6@4@;

P=;3@2!;

05

A팀이 6번째 시합에서 우승하려면 5번째 시합까지 A팀이 3승 2 패하고, 6번째 시합에서 A팀이 이겨야 한다.

한 번의 시합에서 A팀이 이길 확률은 ;2!;이므로 5번째 시합까지 A팀이 3승 2패할 확률은

∞C£{;2!;}3 {;2!;}ﬁ —‹

따라서 구하는 확률은

56_3›

5ﬂ 2‹

5‹

3›

5›

1 6¤

∞C£{;2!;}3 {;2!;}2 _;2!;=∞C£{;2!;}6

[참고]

6번의 시합 중 4번을 이기면 되는 경우로 풀면 안된다. 왜냐하면‘승 승승승패패’의 경우도 포함하게 되어 문제의 조건에 맞지 않는다.

06

점 O에서 출발하여 점 A에 도착하려면 북쪽으로 3칸, 동쪽으로 4칸 가면 된다.

즉, 동전을 7번 던져서 앞면이 3번, 뒷면이 4번 나오면 된다.

따라서 구하는 확률은

¶C£{;2!;}3 {;2!;}^7-3=¶C£{;2!;}‡ =;1£2∞8;

07

¹번의 시행에서 4의 눈이 나올 확률은 ;6!;, 4 이외의 눈이 나올 확

률은 ;6%;이므로 3번의 시행에서 4의 눈이 한 번만 나올 확률은

£C¡{;6!;}1 {;6%;}2 =;2¶1∞6;=;7@2%;

08

한 개의 동전을 5번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 a, 뒷면이 나 오는 횟수를 b라 하면 ab=6인 경우는 다음과 같다.

⁄a=2, b=3일 때,

⁄∞C™{;2!;}2 {;2!;}3 =;1∞6;

¤a=3, b=2일 때,

⁄∞C£{;2!;}3 {;2!;}2 =;1∞6;

⁄, ¤에서 구하는 확률은

;1∞6;+;1∞6;=;8%;

09

행운권 추첨에 4회 참여하여 회원 점수가 16점 올라가려면 3회 는 5점, 1회는 1점이 올라가야 한다.

따라서 구하는 확률은 ¢C£{;3!;}3 {;3@;}1 =;8•1;

10

버튼을 임의로 여섯 번 누를 때, 채널이 다시 50이 되려면 채널증 가 버튼과 채널감소 버튼을 누른 횟수가 같아야 한다.

즉, 두 버튼을 각각 3번씩 눌러야 한다.

채널증가 버튼과 채널감소 버튼을 누를 확률이 각각 ;2!;이므로 구 하는 확률은

§C£{;2!;}3 {;2!;}ﬂ —‹ =20=;1∞6;

2ﬂ

01

②

02

③

03

③

04

⑤

05

①

06

③

10

본문059쪽

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