300-k …m…300+k
이 신뢰구간이 290.6…m…309.4이므로
k =9.4
∴ k=1.88 50 '∂100
50 '∂100 50
'∂100
10 'n 10
'n 10
'n 10 'n
10 'n 10
'n 5 'ƒ100 4
'n 4 '1å6
P(|Z|…1.88)=2P(0…Z…1.88)=2_0.47=0.94
∴ a=94
05
모표준편차 r=2, 표본의 크기 n=100, 표본평균 xÆ=p이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은p-1.96_ …m…p+1.96_
∴ p-0.392…m…p+0.392 이 신뢰구간이 [a, 7.4]이므로
p+0.392=7.4
∴ p=7.008
∴ a=7.008-0.392=6.616
06
모표준편차 r=2, 표본평균 xÆ=a이므로 모평균 m에 대한 신뢰 도 95 %의 신뢰구간은a-2 …m…a+2
이 신뢰구간이 18…m…20이므로 a- =18㉠㉠yy`㉠
a+ =20㉠㉠yy`㉡
㉠+㉡을 하면 2a=38
∴ a=19
a=19를 ㉡에 대입하면 'n=4
∴ n=16
∴ a+n=19+16=35
07
모표준편차 r=1.4, 표본의 크기 n=49이고, 표본평균을 x’라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은x’-1.96_ …m…x’+1.96_
신뢰구간이 a…m…7.992이므로 7.992-a=2_1.96_
∴ a=7.992-0.784
=7.208
08
모표준편차 r=40, 표본의 크기 n=64이므로 모평균 m에 대한 99 %의 신뢰구간은1.4 'ß49
1.4 'ß49 1.4
'ß49 4 'n
4 'n
2 'n 2
'n
2 '∂100 2
'∂100
01
④02
④03
40004
②05
②06
③16
본문`091쪽
신뢰구간
07
②08
④09
9810
③11
①12
③13
1014
⑤15
2516
5117
1218
③19
②20
④본문`092`~`095쪽
유형`16. 신뢰구간
51
xÆ-2.58 …m…xÆ+2.58
이 신뢰구간이 xÆ-c…m…xÆ+c이므로 xÆ-1.96_ …m…xÆ+1.96_
이 신뢰구간이 [ xÆ-c, xÆ+c ]이므로 c=1.96_ =98
10
표본의 크기 n=100, 표본평균 xÆ=245, 표본표준편차 s=20이 고, 표본의 크기 n이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편 차를 사용할 수 있다.모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 245-1.96_ …m…245+1.96_
∴ 241.08…m…248.92
따라서 신뢰도 95%의 신뢰구간에 속하는 정수의 개수는 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248의 7이다.
11
모표준편차 r=10이고, 표본평균을 xÆ라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은xÆ-1.96 …m…xÆ+1.96 이 신뢰구간이 [38.08, 45.92]이므로 xÆ-1.96 =38.08㉠㉠yy`㉠
xÆ+1.96 =45.92㉠㉠yy`㉡
㉡-㉠을 하면 2_1.96 =7.84 'n=5
∴ n=25
12
표본의 크기 n=16, 표본평균 xÆ=12.34이므로 모평균 m에 대 한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은12.34-1.96 …m…12.34+1.96 이 신뢰구간이 11.36…m…a이므로 12.34-1.96 =11.36에서 0.49r=0.98
∴ r=2
∴ a=12.34+1.96_ =13.32
∴ a+r=13.32+2=15.32 2 x’-1.96_ …m…x’+1.96_
즉,
x’-1.96_ …m…x’+1.96_
이때 a…m…b이고 b-a=4.9이므로 b-a=2_1.96_ =0.49r 따라서 0.49r=4.9에서 r=10
14
모표준편차 r=;2!;, 표본의 크기 n=25이고, 표본평균을 xÆ라 하 면 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은xÆ-c …m…xÆ+c 이 신뢰구간이 [a, b]이므로 a=xÆ-;1Ç0;, b=xÆ+;1Ç0;
즉, b-a=;1@0C;이므로 c=5(b-a)
15
모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간이 xÆ-1.96_ …m…xÆ+1.96_이므로
xÆ-1.96_ =1.73㉠㉠yy㉠
xÆ+1.96_ =1.87㉠㉠yy㉡
㉠+㉡에서
2xÆ=3.6이므로 xÆ=1.8
㉡-㉠에서
2_1.96_ =0.14이므로 r=0.25
따라서 k= = 이므로 180k=180_ =25
16
표본평균을 xÆ라 하면 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 xÆ-1.96 …m…xÆ+1.96이 신뢰구간이 [100.4, 139.6]이므로 xÆ-1.96 =100.4㉠㉠yy`㉠
xÆ+1.96 =139.6㉠㉠yy`㉡
㉠+㉡을 하면
∴ xÆ=120
xÆ=120을 ㉡에 대입하면 1.96 =19.6
∴ =10
한편, 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은 xÆ-2.58 …m…xÆ+2.58 이므로
120-2.58_10…m…120+2.58_10
∴ 94.2…m…145.8
따라서 신뢰도 99 %의 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수는 95, 96, 97, y, 145의 51이다.
17
표본평균을 x’라 하면⁄x’=75일 때,
¤신뢰도 95%의 신뢰구간은
¤75-1.96_ …m…75+1.96_
¤x’=77일 때,
¤신뢰도 99%의 신뢰구간은
¤77-2.58_ …m…77+2.58_
⁄, ¤에서
b=75+1.96_ , d=77+2.58_
이므로
d-b=(77-75)+ (2.58-1.96) d-b=2+0.155r
=3.86
∴ r=12
18
표본의 크기 n=16이고, 모표준편차를 r라 하면 모평균 m에 대 한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은xÆ-1.96 …m…xÆ+1.96 이 신뢰구간이 [ xÆ-c, xÆ+c ]이므로 1.96 =c
∴ c=0.49_r
택시의 연간 주행거리를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(m, r¤ )을 따르므로
∴ P(X…m+c)=P {Z… }
∴ P(X…m+c)=P(Z…0.49)
=0.5+P(0…Z…0.49) a=1.96_ =1.96
또 n명을 임의추출하여 구한 표본평균이 x™’이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은
x™’ -1.96_ …m…x™’ +1.96_
따라서 주어진 조건에서 x™’ =;1!6%;x¡’=;1!6%;_80=75
이고 1.96_ =;7%;a에서 n=49
∴ n+x™’=49+75=124
20
ㄱ. B와 C의 표본의 수와 분산이 같으므로 신뢰도 95 % 신뢰구 간의 길이는 같다. (참)ㄴ. A의 신뢰도 95 % 신뢰구간의 길이는 ㄴ. 2_1.96_ =2.352
ㄴ. C의 신뢰도 99 % 신뢰구간의 길이는
ㄴ. 2_2.58_ =1.032
ㄴ. 즉, A의 신뢰도 95 % 신뢰구간의 길이가 C의 신뢰도 99%
신뢰구간의 길이보다 길다. (거짓) ㄷ. B의 신뢰도 95 % 신뢰구간의 길이는 ㄷ. 2_1.96_ =0.784
ㄷ. D의 신뢰도 95 % 신뢰구간의 길이는
ㄷ. 2_1.96_ =1.96
ㄷ. 즉, B의 신뢰도 95 % 신뢰구간의 길이가 D의 신뢰도 95 %
유형`16. 신뢰구간
53 22
확률변수 X가 정규분포 N(20, 3¤ )을 따르므로P(14…X…26)
=P { …Z… }
=P(-2…Z…2)
=;10ƒ0;
즉, 모표준편차 r=10, 표본의 크기 n=25, 표본평균 xÆ=84이 므로 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구간은
84-2_ …m…84+2_
∴ 80…m…88
따라서 a=80, b=88이므로 2a-b=160-88=72
23
모표준편차를 r, 표본의 크기를 n이라 하면 모평균 m에 대한 신뢰 도 95 %의 신뢰구간의 길이가 모표준편차의 ;5!; 이하이어야 하므로 2_1.96 …;5!;r2_1.96 …;5!;
'næ19.6
∴ næ384.16
따라서 자연수 n의 최솟값은 385이다.
24
표본표준편차 s=12이고, 표본의 크기 n이 충분히 크므로 모표 준편차 대신 표본표준편차를 사용할 수 있다.모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 xÆ-1.96 …m…xÆ+1.96
이 신뢰구간이 [244.04, 247.96]이므로 xÆ-1.96 =244.04㉠㉠yy`㉠
xÆ+1.96 =247.96㉠㉠yy`㉡
㉠+㉡을 하면 2xÆ=492
∴ xÆ=246
xÆ=246을 ㉡에 대입하면 1.96 =1.96, 'n=12
∴ n=144
∴ n+xÆ=144+246=390
25
36개 표본의 표본평균을 X’, 표본표준편차를 s라 하면 X’=;3¡6; x˚=;3¡6;_72=2s¤ =E(x˚¤ )-X’¤
s¤=;3¡6; x˚¤ -2¤
s¤=;3¡6;_720-4 s¤=16
즉, 표본의 크기 n=36, 표본표준편차 s=4이고, 표본의 크기 n이
¡36 k=1
¡36 k=1
12 'n
12 'n 12 'n
12 'n 12
'n 1 'n
r 'n
10 '2å5 10
'2å5
26-20 3 14-20
3
충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편차를 사용할 수 있다.
모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간의 길이는 2_2_ =;3*;
26
표본평균 X’의 값을 xÆ라 하면xÆ=;9!;(170_3+171_3+172_3)=171
모표준편차 r=3, 표본의 크기 n=9이므로 모평균 m에 대한 신 뢰도 95 %의 신뢰구간은
171-1.96_ …m…171+1.96_
∴ 169.04…m…172.96
∴ a+b=169.04+172.96=342 3 '9 3
'9 4 '3å6