25
빨간색, 노란색, 파란색 구슬이 나올 확률은 각각 ;2!;, ;3!;, ;6!;이고, 빨간색, 노란색, 파란색 구슬이 나오는 횟수를 각각 x, y, z라 하면 x+y+z=3, x+2y+3z=5에서x=1, y=2, z=0 또는 x=2, y=0, z=1이므로
⁄x=1, y=2, z=0일 확률은
¤£C¡ ;2!; {;3!;}2 {;6!;}0 =;6!;
¤x=2, y=0, z=1일 확률은
¤£C™ {;2!;}2 {;3!;}0 ;6!;=;8!;
⁄, ¤에서 구하는 확률은
;6!;+;8!;=;2¶4;
26
5번의 시행에서 9의 약수가 나온 횟수를 x라 하면 그 이외의 숫 자가 나온 횟수는 5-x이므로 점수의 총합은10x-5(5-x)=15x-25(점) 즉, 얻은 점수가 30점 이상이 되려면 15x-25æ30, 15xæ55
∴ xæ3.___
이때, x는 0…x…5인 정수이므로 x=4 또는 x=5
9의 약수가 나올 확률은 ;9#;=;3!;이고, 그 이외의 숫자가 나올 확 률은 1-;3!;=;3@;이므로 구하는 확률은
∞C¢{;3!;}4 ;3@;+∞C∞{;3!;}5 = + =
27
시행을 5번 한 후 앞면이 나온 횟수를 k라 하면 점 P의 좌표는 (k, 5-k)점 P가 직선 x-y=3 위에 있으려면 k-(5-k)=3이므로 k=4 따라서 k=4일 확률은
∞C¢{;2!;}›
{;2!;}⁄ =;3∞2;
28
a=6이고 0…b…6이므로 a+b가 3의 배수가 되는 경우는 b=0또는 b=3 또는 b=6따라서 a+b가 3의 배수가 될 확률은
§Cº{;2!;}‚
{;2!;}fl +§C£{;2!;}‹
{;2!;}‹ +§C§{;2!;}fl {;2!;}‚
=;6¡4;+;6@4);+;6¡4;
=;3!2!;
∴ p+q=32+11=43
11 3fi 1 3fi 10
3fi
01
확률의 총합은 1이므로;5!;+a+;1£0;+b=1
∴ a+b=;2!; yy`㉠
또 E(X)=;5&;이므로
E(X)=0_;5!;+1_a+2_;1£0;+3_b=;5&;
∴ a+3b=;5$; yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2¶0;, b=;2£0;
∴ ;aB;=;7#;
02
확률의 총합은 1이므로;1¡0;+;1™0;+;1£0;+a=1
∴ a=;1¢0;
E(X)=1_;1¡0;+2_;1™0;+3_;1£0;+4_;1¢0;=3 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
V(X)=1¤ _;1¡0;+2¤ _;1™0;+3¤ _;1£0;+4¤ _;1¢0;-3¤
V(X)=10-9 V(X)=1
∴ r(X)="√V(X) =1
∴ E(X)+r(X)=3+1=4
03
E(X)=1_;5!;+2_;5#;+3_;5!;=2∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
∴ V(X)=1¤ _;5!;+2¤ _;5#;+3¤ _;5!;-2¤
∴ V(X)=:™5™:-4
∴ V(X)=;5@;
04
E(X)=5, V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =3이므로 E(X¤ )={E(X)}¤ +3=5¤ +3=2805
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.01
③02
④03
②04
2805
⑤11
본문065쪽
이산확률분포
X 1 2 3 계
P(X=x) ;6!; ;6@; ;6#; 1
즉, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
E(X)=(-1)_;1¡0;+0_;1™0;+1_;1£0;+2_;1¢0;=1 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
V(X)=(-1)¤ _;1¡0;+0¤ _;1™0;+1¤ _;1£0;+2¤ _;1¢0;-1¤
V(X)=2-1=1
∴ V(3X+2)=3¤ V(X)=9_1=9
11
E(X)= kP(X=k)=4E(Y)= kP(Y=k)
E(Y)= k[;2!;P(X=k)+;1¡0;]
E(Y)=;2!; kP(X=k)+;1¡0; k
E(Y)=;2!;_4+;1¡0;_
E(Y)=2+;2#;=;2&;
따라서 a=;2&;이므로 8a=8_;2&;=28
12
주사위의 눈 1, 2, 3, 4, 5, 6을 4로 나눈 나머지는 각각1, 2, 3, 0, 1, 2이므로 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
∴ E(X)=0_;6!;+1_;6@;+2_;6@;+3_;6!;=;2#;
13
모든 경우의 수는 ∞C™=10⁄작은 수가 1인 경우는
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)의 4가지
¤작은 수가 2인 경우는
(2, 3), (2, 4), (2, 5)의 3가지
‹작은 수가 3인 경우는 (3, 4), (3, 5)의 2가지
›작은 수가 4인 경우는 (4, 5)의 1가지
즉, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
E(X)=1_;1¢0;+2_;1£0;+3_;1™0;+4_;1¡0;=2
∴ E(10X)=10E(X)
=10_2=20 5_6
2
¡5 k=1
¡5 k=1
¡5 k=1
¡5 k=1
¡5 k=1
X -1 0 1 2 계
P(X=x) ;1¡0; ;1™0; ;1£0; ;1¢0; 1
X 0 1 2 3 계
P(X=x) ;6!; ;6@; ;6@; ;6!; 1
X 1 2 3 4 계
P(X=x) ;1¢0; ;1£0; ;1™0; ;1¡0; 1 E(X)=1_;6!;+2_;6@;+3_;6#;=;3&;
∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
∴ V(X)=1¤ _;6!;+2¤ _;6@;+3¤ _;6#;-{;3&;}2
∴ V(X)=6-:¢9ª:
∴ V(X)=;9%;
06
E(X)=(-5)_;5!;+0_;5!;+5_;5#;=2∴ E(4X+3)=4E(X)+3=4_2+3=11
07
P(0…X…2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) P(0…X…2)=;8!;+ +;8!;P(0…X…2)=
즉, =;8&;이므로 a=2
∴ E(X)=(-1)_;8!;+0_;8!;+1_;8%;+2_;8!;=;4#;
08
E(X)=0_;7@;+1_;7#;+2_;7@;=1 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤V(X)=0¤ _;7@;+1¤ _;7#;+2¤ _;7@;-1¤
V(X)=:¡7¡:-1=;7$;
∴ V(7X)=7¤ V(X)=49_;7$;=28
09
확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.E(X)=1_;7#;+2_;7@;+3_;7!;+4_0+5_;7!;=:¡7∞:
∴ E(14X+5)=14E(X)+5
∴ E(14X+5)=14_:¡7∞:+5=35
10
P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1이므로+;1™0;+ + =1
=1 ∴ a=1 2a+8
10
2a+2 10 a+2
10 -a+2
10 a+5
8
a+5 8
3+a 8
X 1 2 3 4 5 계
P(X=x) ;7#; ;7@; ;7!; 0 ;7!; 1
06
1107
⑤08
③09
②10
①11
2812
③13
20본문065`~`066쪽
유형`11. 이산확률분포
35 14
확률의 총합은 1이므로a+2a+b=1
∴ 3a+b=1 yy`㉠
또 P(Xæ1)=;5$;이므로 P(X=1)+P(X=2)=;5$;
∴ 2a+b=;5$; yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;5!;, b=;5@;
E(X)=0_;5!;+1_;5@;+2_;5@;=;5^;
∴ E(10X-2)=10E(X)-2
∴ E(10X-2)=10_;5^;-2=10
15
확률의 총합은 1이므로 a+b+3a-;2!;=1∴ 4a+b=;2#; yy`㉠
또 E(X)=2이므로
E(X)=1_a+2_b+3_{3a-;2!;}=2 10a+2b=;2&;
∴ 5a+b=;4&; yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;4!;, b=;2!;
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
V(X)=1¤ _;4!;+2¤ _;2!;+3¤ _;4!;-2¤
V(X)=;2(;-4 V(X)=;2!;
∴ V(1-4X)=(-4)¤ V(X)
∴ V(1-4X)=16_;2!;=8
16
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1 이므로
;a!;+;a$;+;a(;+:¡a§:+:™a∞:=1 ∴ a=55
∴ P(2…X…3)=P(X=2)+P(X=3)
∴ P(2…X…3)=;5¢5;+;5ª5;
∴ P(2…X…3)=;5!5#;
17
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1이므로;1Å0;+ + + =1
4a=16
∴ a=4
즉, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
E(X)=0_;1¢0;+1_;1£0;+2_;1™0;+3_;1¡0;=1
∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
∴ V(X)=0¤ _;1¢0;+1¤ _;1£0;+2¤ _;1™0;+3¤ _;1¡0;-1¤
∴ V(X)=2-1=1
18
확률변수 X가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 다음과 같다.P(X=0)=;5@;
P(X=1)=;5#;_;4@;=;1£0;
P(X=2)=;5#;_;4@;_;3@;=;5!;
P(X=3)=;5#;_;4@;_;3!;_;2@;=;1¡0;
∴ E(X)=0_;5@;+1_;1£0;+2_;5!;+3_;1¡0;=1
19
모든 경우의 수는 6_6=36⁄두 눈의 수가 같은 경우는
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지
¤두 눈의 수 중 큰 수가 2인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지
‹두 눈의 수 중 큰 수가 3인 경우는 (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)의 4가지
›두 눈의 수 중 큰 수가 4인 경우는
(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)의 6가지 fi두 눈의 수 중 큰 수가 5인 경우는
(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)의 8가지
fl두 눈의 수 중 큰 수가 6인 경우는
(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)의 10가지
즉, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
∴ E(X)=0_;3§6;+2_;3™6;+3_;3¢6;+4_;3§6;+5_;3•6;
+6_;3!6);
∴ E(X)=35 9
a-3 10 a-2
10 a-1
10
X 0 1 2 3 계
P(X=x) ;1¢0; ;1£0; ;1™0; ;1¡0; 1
14
③15
④16
②17
118
②19
⑤본문067쪽
X 0 2 3 4 5 6 계
P(X=x) ;3§6; ;3™6; ;3¢6; ;3§6; ;3•6; ;3!6); 1
01
V(X)=n_;3!;_;3@;=30∴ n=30_;2(;=135
02
E(X)=np=;8&;, r(X)='ƒnp(1-p) =;8&;이므로Æ…;8&;_(1-p) =;8&;
1-p=;8&;
∴ p=;8!;
03
확률변수 X가 이항분포 B {100, ;4!;}을 따르므로 E(X)=100_;4!;=2504
확률변수 X가 이항분포 B{36, ;6!;}을 따르므로 E(X)=36_;6!;=6V(X)=36_;6!;_;6%;=5
∴ x¤ P(X=x)=E(X¤ )
∴ x¤ P(X=x)=V(X)+{E(X)}¤
∴ x¤ P(X=x)=5+36=41
05
확률변수 X가 이항분포 B {n, ;2!;}을 따르므로V(X)=n_;2!;_;2!;=25 ∴ n=100
∴ E(X)=n_;2!;=100_;2!;=50
06
확률변수 X는 이항분포 B{90, ;3!;}을 따르므로 확률변수 X의 평균과 분산은E(X)=90_;3!;=30 V(X)=90_;3!;_;3@;=20 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤에서 E(X¤ )=20+30¤ =920
¡36 x=0
07
r(X)=Æ…100_;5!;_;5$; =4∴ r(3X-4)=3r(X)=3_4=12
08
E(X)=80p이므로 80p=20에서 p=;4!;따라서
V(X)=20_{1-;4!;}=15
09
확률변수 X가 이항분포 B{n, ;4!;}을 따르고 V(X)=6이므로V(X)=n_;4!;_;4#;=6
∴ n=32
10
V(X)=n_;3!;_;3@;=;9@;nV(3X)=3¤ V(X)=9_;9@;n=2n=40
∴ n=20
11
이항분포 B{n, ;2!;}을 따르는 확률변수 X의 분산은 V(X)=n_;2!;_;2!;=V {;2!;X+1}=;4!;V(X)=5이므로 V(X)=4_5=20
따라서 =20이므로 n=80
12
E(2X-5)=2E(X)-5=175에서 E(X)=90∴ np=90 yy`㉠
r(2X-5)=2r(X)=12에서 r(X)=6
∴øπnp(1-p)=6 yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
øπ90(1-p)=6, 90(1-p)=36 1-p=;5@; ∴ p=;5#;
p=;5#;을 ㉠에 대입하면 n_;5#;=90 ∴ n=150
13
확률변수 X가 이항분포 B{n, ;2!;}을 따르므로 E(X)=n2 n 4
n 4
01
③02
①03
②04
①05
①06
92012
본문069쪽