02
9개의 공 중에서 임의로 2개를 뽑는 경우의 수는 ªC™=36 임의로 뽑은 2개가 1이 적힌 공일 경우의 수는 ™C™=1 임의로 뽑은 2개가 2가 적힌 공일 경우의 수는 £C™=3 임의로 뽑은 2개가 3이 적힌 공일 경우의 수는 ¢C™=6 따라서 구하는 확률은=;1∞8;
03
한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6¤ =36한 개의 주사위를 두 번 던져 나오는 두 수 x, y에 대하여 부등식 y>2x-1이 성립하려면
⁄x=1일 때,
y>1이어야 하므로 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) 의 5가지
¤x=2일 때,
y>3이어야 하므로 순서쌍 (x, y)는 (2, 4), (2, 5), (2, 6)
의 3가지
‹x=3일 때,
y>5이어야 하므로 순서쌍 (x, y)는 (3, 6)
의 1가지
⁄, ¤, ‹에서 부등식 y>2x-1이 성립하는 경우의 수는 9이 므로 구하는 확률은
;3ª6;=;4!;
04
한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 두 수 a, b의 곱이 짝수인 경우는⁄a가 짝수이고, b도 짝수일 때, £C¡_£C¡=9
¤a가 짝수이고, b는 홀수일 때, £C¡_£C¡=9
‹a가 홀수이고, b는 짝수일 때, £C¡_£C¡=9
⁄, ¤, ‹에서 두 수 a, b의 곱이 짝수인 경우의 수는 27이므로 a와 b가 모두 짝수일 확률은
;2ª7;=;3!;
1+3+6 36 10+6
36
22
6명을 2명씩 3개의 복식조로 편성하는 방법의 수는§C™_¢C™_™C™_ =15
한편, A, B가 같은 조에 편성되고 C, D가 서로 다른 조에 편성 되려면 E, F를 각각 C, D와 짝을 이루도록 해야 하므로 그 방법 의 수는 2!=2
따라서 구하는 확률은 ;1™5;이다.
23
6개의 점 중에서 임의로 두 점을 택하는 경우의 수는§C™=15
두 점 사이의 거리가 1보다 작거나 같은 경우의 수는 7 따라서 구하는 확률은 1-;1¶5;=;1•5;
24
카드를 4회 뽑는 전체 경우의 수는§P¢=6› =1296
서로 다른 두 수가 각각 2회씩 나오는 경우의 수는
§C™_ =15_6=90 따라서 구하는 확률은
;12(9)6;=;7∞2;
4!
2!2!
1 3!
01
③02
④03
③04
③08
본문045쪽
확률 구하기`⑵
6‹ =216
따라서 구하는 확률은 ;2∞1∞6;이다.
07
a_b_c_d=12=2¤ _3이므로 a, b, c, d가 될 수 있는 경우의 수는 6, 2, 1, 1 또는 4, 3, 1, 1 또는 3, 2, 2, 1이다.
따라서 구하는 확률은
= =;3¡6;
08
키가 서로 다른 네 사람을 일렬로 세우는 방법의 수는 4!=24키가 작은 사람부터 순서대로 a, b, c, d라 하면
⁄앞에서 세 번째 사람이 a인 경우 3!=6(가지)
¤앞에서 세 번째 사람이 b인 경우
b는 c, d와 이웃해야 하므로 네 사람을 일렬로 세우는 방법은 acbd, adbc의 2가지
따라서 구하는 확률은
=;3!;
09
a와 b가 짝수이고 짝수의 개수가 3개이므로 다음 두 가지로 나눌 수 있다.⁄선택한 공이 짝수 1개, 홀수 2개인 경우를 사건 A라 하면 P(A)= =;3!5*;
¤선택한 공이 짝수 2개, 홀수 1개인 경우를 사건 B라 하면 P(B)= =;3!5@;
⁄, ¤에서 구하는 확률은 P(A'B)=P(A)+P(B) P(A'B)=;3!5*;+;3!5@;
P(A'B)=;7^;
10
전체 경찰관 9명 중에서 3명을 선택하는 경우의 수는 ªC£=84 근무조 A, B에서 각각 적어도 1명을 포함하여 총 3명을 선택하 는 경우는A에서 1명, B에서 2명 또는 A에서 2명, B에서 1명을 선택하는 경우이므로
∞C¡_¢C™+∞C™_¢C¡=30+40=70 따라서 구하는 확률은
;8&4);=;6%;
11
두 사람이 카드를 뽑을 수 있는 모든 경우의 수는¢C™_™C¡=12
을이 뽑은 1장의 카드에 적힌 수를 a라 하고 갑이 뽑은 2장의 카 드에 적힌 두 수의 곱을 b라 하면
⁄a=3일 때, b=2=1_2의 1가지
£C™_¢C¡
¶C£
£C¡_¢C™
¶C£
6+2 24
12+12+12 6›
4! 4! 4!
15+15+152! 2! 2!
05
한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 두 수 a, b를 순서쌍으로 6›나타내면 두 수 a, b의 곱이 6의 배수인 경우는
⁄ab=6인 경우
(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)
¤ab=12인 경우
(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)
‹ab=18인 경우 (3, 6), (6, 3)
›ab=24인 경우 (4, 6), (6, 4) fiab=30인 경우
(5, 6), (6, 5) flab=36인 경우
(6, 6)
⁄~fl에서 두 수 a, b의 곱이 6의 배수인 경우의 수는 15이다.
따라서 두 수의 합 a+b가 7인 경우는 (1, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 1) 의 4가지이므로 구하는 확률은
;1¢5;
06
a>b, a>c를 만족시키는 경우는⁄a=2인 경우 b=1 c=1
¤a=3인 경우 b=1, 2 c=1, 2
‹a=4인 경우 b=1, 2, 3 c=1, 2, 3
›a=5인 경우 b=1, 2, 3, 4 c=1, 2, 3, 4 fia=6인 경우
b=1, 2, 3, 4, 5 c=1, 2, 3, 4, 5
⁄~fi에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 1_1+2_2+3_3+4_4+5_5
=1+4+9+16+25
=55
한편, 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 경우의 수는
05
③06
②07
①08
①09
⑤10
⑤11
③12
②13
⑤14
③15
1116
⑤17
④18
①19
8920
2221
①본문`045`~`048쪽
유형`08. 확률 구하기`⑵
23
¤a=4일 때,
b=2=1_2, b=3=1_3의 2가지 따라서 구하는 확률은 =;4!;
12
선택된 두 점의 y좌표가 같은 경우는 다음과 같다.⁄y좌표가 1인 7개의 점 중에서 두 점을 선택하는 경우의 수는
¶C™=21`
¤y좌표가 2인 5개의 점 중에서 두 점을 선택하는 경우의 수는
∞C™=10`
‹y좌표가 3인 3개의 점 중에서 두 점을 선택하는 경우의 수는
£C™=3`
따라서 구하는 확률은 =;3!4);=;1∞7;
13
확률을 경우로 나누면 다음과 같다.⁄같은 숫자가 적혀 있는 카드가 2장일 때,
이 사건을 A라 하면 같은 숫자가 적힌 카드를 택하는 경우의 수는 ¢C¡이고 이 각각에 대하여 이 숫자가 적힌 카드 3장 중 2 장의 카드를 택하는 경우의 수는 £C™이다. 이 각각에 대하여 나머지 다른 숫자가 적힌 카드를 택하는 경우의 수는 9이므로 P(A)= =;5@5&;
¤같은 숫자가 적혀 있는 카드가 3장일 때,
이 사건을 B라 하면 같은 숫자가 적힌 카드를 택하는 경우의 수는 ¢C¡이므로
P(B)= =;5¡5;
⁄, ¤에서 구하는 확률은 P(A)+P(B)=;5@5&;+;5¡5;=;5@5*;
14
주사위 1개를 던져서 나오는 눈의 수가 6의 약수인 경우는 1, 2, 3, 6이므로 그 확률은 ;6$;=;3@;동전을 3개 동시에 던져서 앞면이 1개 나올 확률은 ;8#;
또 주사위 1개를 던져서 나오는 눈의 수가 6의 약수가 아닌 경우 는 4, 5이므로 그 확률은 ;6@;=;3!;
동전을 2개 동시에 던져서 앞면이 1개 나올 확률은 ;4@;=;2!;
따라서 구하는 확률은
;3@;_;8#;+;3!;_;2!;=;4!;+;6!;=;1∞2;
15
갑이 주머니 A에서 두 장의 카드를 꺼내고, 을이 주머니 B에서 두 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는¢C™_¢C™=6_6=36
갑이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드 에 적힌 수의 합이 같은 경우는 다음과 같다.
⁄갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 숫자가 모두 같을 때,
⁄¢C™=6
¤갑이 1과 4가 적힌 카드를 꺼내고 을은 `2와 3이 적힌 카드를 꺼내거나 갑이 2와 3이 적힌 카드를 꺼내고 을은 1과 4가 적
¢C¡
¡™C£
¢C¡_£C™_9
¡™C£
10 21+10+3 1+2
12
힌 카드를 꺼낼 때의 경우의 수는 2
⁄, ¤에서 갑이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 같을 확률은
=;9@;
따라서 p=9, q=2이므로 p+q=9+2=11
16
⁄주머니 A에서 꺼낸 공이 흰 공인 경우¤주머니 B에는 흰 공 3개, 검은 공 3개가 들어 있으므로 주머니
¤B에서 흰 공을 꺼낼 확률은 ;5@;_;6#;=;5!;
¤주머니 A에서 꺼낸 공이 검은 공인 경우
¤주머니 B에는 흰 공 1개, 검은 공 5개가 들어 있으므로 주머니
¤B에서 흰 공을 꺼낼 확률은 ;5#;_;6!;=;1¡0;
따라서 구하는 확률은 ;5!;+;1¡0;=;1£0;
17
주사위를 세 번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 216이다.a<b-2…c를 만족시키는 경우이므로 a를 기준으로 b, c가 될 수 있는 경우의 수를 구해 보면
⁄a=1일 때, b=4이면 c는 2, 3, 4, 5, 6의 5
¤a=1일 때, b=5이면 c는 3, 4, 5, 6의 4
‹a=1일 때, b=6이면 c는 4, 5, 6의 3
›a=2일 때, b=5이면 c는 3, 4, 5, 6의 4 fia=2일 때, b=6이면 c는 4, 5, 6의 3 fla=3일 때, b=6이면 c는 4, 5, 6의 3
⁄~fl에서 a<b-2…c를 만족시키는 경우의 수는 22이다.
따라서 구하는 확률은
;2™1™6;=;1¡0¡8;
18
동전의 앞면은 H, 뒷면은 T로 나타내기로 하자.⁄앞면이 3번 나오는 경우
H 3개와 T 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ¶C£=35 H가 이웃하지 않는 경우의 수는 ∞C£=10
⁄즉 조건 ㈏를 만족시킬 확률은 (35-10)_{;2!;}
7
¤앞면이 4번 나오는 경우
H 4개와 T 3개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 ¶C¢=35 H가 이웃하지 않는 경우의 수는 1
⁄즉 조건 ㈏를 만족시킬 확률은 (35-1)_{;2!;}
7
‹앞면이 5번 이상 나오는 경우
조건 ㈏를 항상 만족시키므로 이 경우의 확률은
⁄(¶C∞+¶C§+¶C¶)_{;2!;}
7
⁄~‹에서 구하는 확률은 (25+34+29)_{;2!;}
7
=;1•2•8;=;1!6!;
19
모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락 하여 9개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로£Hª=¡¡Cª=¡¡C™=55
a<2또는 b<2인 사건을 A라 하면 AÇ 은 aæ2이고 bæ2인 사 건이다.
6+2 36
a=a'+2, b=b'+2`(a'æ0, b'æ0)로 놓으면 (a'+2)+(b'+2)+c=9에서 a'+b'+c=5
방정식 a'+b'+c=5를 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c의 모든 순서쌍 (a', b', c)의 개수는 서로 다른 3개에서 중복을 허 락하여 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
£H∞=¶C∞=¶C™=21 P(AÇ )=;5@5!;이므로 P(A)=1-P(AÇ ) P(A)=1-;5@5!;=;5#5$;
따라서 p=55, q=34이므로 p+q=55+34=89
20
a˚ (1…k…6)를 순서쌍 (a¡, a™, a£, a¢, a∞, a§)으로 나타내면 순서쌍의 개수는=90
이때 m>n이기 위해서는 a¡>a¢ 또는 a¡=a¢, a™>a∞이어야 한다.
⁄a¡>a¢인 순서쌍은
(2, a™, a£, 1, a∞, a§) 또는 (3, a™, a£, 1, a∞, a§) 또는 (3, a™, a£, 2, a∞, a§)이므로 그 개수는 3_ =36
¤a¡=a¢, a™>a∞인 순서쌍은
(1, 3, a£, 1, 2, a§) 또는 (2, 3, a£, 2, 1, a§) 또는 (3, 2, a£, 3, 1, a§)이므로 그 개수는 3_2!=6
⁄, ¤에서 구하는 확률은
=;1¶5;
따라서 p=15, q=7이므로 p+q=22
21
주머니에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나 열하는 경우는 1의 숫자가 적혀 있는 공의 개수에 따라 다음과 같 이 나눌 수 있다.⁄1의 숫자가 적혀 있는 공이 1개인 경우
5개의 공 중에서 1, 2, 3, 4의 숫자가 적혀 있는 공을 꺼낼 확 률은
=;5@;
1, 2, 3, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!=24
이고 1, 2, 3, 4의 순서로 나열하는 경우는 1가지이므로 1…2…3…4를 만족시키는 확률은 ;2¡4;
` ∴ ;5@;_;2¡4;=;6¡0;
¤1의 숫자가 적혀 있는 공이 2개인 경우
1의 숫자가 적혀 있는 공 2개를 모두 꺼내고, 2, 3, 4의 숫자 가 적혀 있는 공 중에서 2개를 꺼낼 확률은
=;5#;
™C™_£C™
∞C¢
™C¡_£C£
∞C¢
36+6 90
4!
2!
6!
2!2!2!
꺼낸 공에 적혀 있는 숫자는 1, 1, m, n`(`m<n) 꼴이므로 일 렬로 나열하는 경우의 수는
=12
이고 1, 1, m, n의 순서로 나열하는 경우는 1가지이므로 1…1…m…n을 만족시키는 확률은 ;1¡2;
∴ ;5#;_;1¡2;=;2¡0;
⁄, ¤에서 구하는 확률은
;6¡0;+;2¡0;=;1¡5;
22
전체 경우의 수는 6_6=36이차함수 y=x¤ +ax+b의 그래프가 x축과 만나려면 a¤ -4bæ0, 즉 a¤ æ4b이어야 한다.
⁄a=2일 때, b=1이므로 1가지
¤a=3일 때, b=1, 2이므로 2가지
‹a=4일 때, b=1, 2, 3, 4이므로 4가지
›a=5일 때, b=1, 2, 3, 4, 5, 6이므로 6가지 fia=6일 때, b=1, 2, 3, 4, 5, 6이므로 6가지
⁄~fi에서 구하는 확률은
=;3!6(;
23
⁄나오는 순서가 홀수, 짝수, 짝수인 경우⁄;5#;_;5@;_;4!;=;5£0;
¤나오는 순서가 짝수, 홀수, 짝수인 경우
⁄;5@;_;4#;_;4!;=;4£0;
따라서 구하는 확률은
;5£0;+;4£0;=;2™0¶0;
24
첫 번째 시행에서 3이 나오고, 두 번째 시행에서 5가 나오는 경우 는 다음과 같다.⁄첫 번째 시행`: (주사위 A에서 1, 주사위 B에서 3)
⁄두 번째 시행`: (주사위 A에서 1, 주사위 B에서 5)
⁄두 번째 시행`: 또는
⁄두 번째 시행`: (주사위 A에서 2, 주사위 C에서 5)
⁄;3!;_;3!;_{;3!;_;6!;+;3@;_;6!;}=;5¡4;
¤첫 번째 시행`: (주사위 A에서 2, 주사위 C에서 3)
⁄두 번째 시행`: (주사위 A에서 1, 주사위 B에서 5)
⁄두 번째 시행`: 또는
⁄두 번째 시행`: (주사위 A에서 2, 주사위 C에서 5) 1+2+4+6+6
36 4!
2!
22
⑤23
①24
④25
7326
⑤27
④28
④본문`048`~`049쪽
유형`08. 확률 구하기`⑵
25
⁄;3@;_;6!;_{;3!;_;6!;+;3@;_;6!;}=;5¡4;
⁄, ¤에서 구하는 확률은 ;5¡4;+;5¡4;=;2¡7;
25
9개의 공 중에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ªC¢=126꺼낸 공에 적혀 있는 수 중에서 가장 큰 수를 M, 가장 작은 수를 m이라 하면 M+m=7 또는 M+m=8을 만족시키는 경우는 다음과 같다.
⁄m=1, M=6일 때,
2, 3, 4, 5가 적혀 있는 공 중에서 두 개를 꺼내야 하므로 그 경우의 수는
¢C™=6
¤m=1, M=7일 때,
2, 3, 4, 5, 6이 적혀 있는 공 중에서 두 개를 꺼내야 하므로 그 경우의 수는
∞C™=10
‹m=2, M=5일 때,
3, 4가 적혀 있는 공 중에서 두 개를 꺼내야 하므로 그 경우의 수는
™C™=1
›m=2, M=6일 때,
3, 4, 5가 적혀 있는 공 중에서 두 개를 꺼내야 하므로 그 경우 의 수는
£C™=3
⁄`~`›에서 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 6+10+1+3=20
따라서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 7 또는 8일 확률은
;1™2º6;=;6!3);
따라서 p=63, q=10이므로 p+q=73
26
⁄주머니 A에서 꺼낸 공이 흰 공일 때⁄;5@;_ =;5@;_;2§1;=;3¢5;
¤주머니 A에서 꺼낸 공이 검은 공일 때
⁄;5#;_ =;5#;_;3¢5;=;1¡7™5;
따라서 구하는 확률은
;3¢5;+;1¡7™5;= =;1£7™5;
27
서로 다른 세 점을 선택하여 삼각형을 만드는 경우의 수는¡™C£-§C£_2=220-40=180
⁄삼각형의 넓이가 1인 경우
⁄b=1인 점들 중에서 두 점 사이의 거리가 2인 두 점과 b=2인 점들 중 한 점을 택하거나
b=2인 점들 중에서 두 점 사이의 거리가 2인 두 점과 b=1인 점들 중 한 점을 택해야 한다.
4_6_2=48
¤삼각형의 넓이가 2인 경우
⁄b=1인 점들 중에서 두 점 사이의 거리가 4인 두 점과 b=2인 점들 중 한 점을 택하거나
20+12 175
¢C£
¶C£
¢C™
¶C™
b=2인 점들 중에서 두 점 사이의 거리가 4인 두 점과 b=1인 점들 중 한 점을 택해야 한다.
b=2인 점들 중에서 두 점 사이의 거리가 4인 두 점과 b=1인 점들 중 한 점을 택해야 한다.