n 4
n 4
01
③02
①03
②04
①05
①06
92012
본문069쪽
이항분포
07
①08
1509
3210
2011
8012
⑤13
①14
④15
5016
①17
3018
④19
⑤20
③본문`070`~`072쪽
유형`12. 이항분포
37
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤에서
E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤이므로 주어진 조건에 의하여 {E(X)}¤ =25
즉, =25이므로 n=10
14
E(X)=9p, V(X)=9p(1-p)이므로 (9p)¤ =9p(1-p), 9p=1-p (`∵ 0<p<1)∴ p=;1¡0;
15
확률변수 X가 이항분포 B(10, p)를 따르고 P(X=4)=;3!;P(X=5)이므로¡ºC¢p› (1-p)fl =;3!;¡ºC∞pfi (1-p)fi 210_p› (1-p)fl =;3!;_252_pfi (1-p)fi 1-p=;5@;p
∴ p=;7%;
즉, 확률변수 X는 이항분포 B {10, ;7%;}를 따르므로 E(X)=10_;7%;=:∞7º:
∴ E(7X)=7E(X)=7_:∞7º:=50
16
확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따르므로 E(X)=np=1 yy`㉠V(X)=np(1-p)=;1ª0; yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 1-p=;1ª0; ∴ p=;1¡0;
p=;1¡0;을 ㉠에 대입하면 n=10
∴ P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)
∴ P(X<2)=¡ºCº{;1¡0;}‚
{;1ª0;}⁄ ‚ +¡ºC¡{;1¡0;}⁄ {;1ª0;}·
∴ P(X<2)=;1!0(;{;1ª0;}·
17
동전 2개 모두 앞면이 나올 확률은;2!;_;2!;=;4!;
즉, 확률변수 X는 이항분포 B {10, ;4!;}을 따르므로 V(X)=10_;4!;_;4#;=:¡8∞:
∴ V(4X+1)=4¤ V(X)=16_:¡8∞:=30
18
한 모둠에서 2명을 선택할 때, 남학생들만 선택될 확률은=;1£0;
따라서 확률변수 X는 이항분포 B {10, ;1£0;}을 따르므로 E(X)=10_;1£0;=3
£C™
∞C™
n¤
4
19
f(m)이 0보다 큰 경우는 m=1 또는 m=2일 때이므로 P(A)=;6@;=;3!;따라서 확률변수 X는 이항분포 B {15, ;3!;}을 따르므로 E(X)=15_;3!;=5
20
1회의 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우는 6_6=36`(가지) B가 점수를 얻는 경우는두 눈의 수의 차가 3일 때,
(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지 두 눈의 수의 차가 4일 때,
(1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지 두 눈의 수의 차가 5일 때,
(1, 6), (6, 1)의 2가지
∴ 6+4+2=12`(가지)
즉, 1회의 시행에서 B가 점수를 얻을 확률은 ;3!6@;=;3!;, A가 점수를 얻을 확률은 1-;3!;=;3@;이다.
15회의 시행에서 A가 얻는 점수의 합을 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B {15, ;3@;}를 따르므로
E(X)=15_;3@;=10
15회의 시행에서 B가 얻는 점수의 합을 확률변수 Y라 하면 Y는 이항분포 B {15, ;3!;}을 따르므로
E(Y)=15_;3!;=5
따라서 두 기댓값의 차는 5이다.
21
B {n, ;4!;}에서 E(X)=n_;4!;=V(X)=n_;4!;_;4#;=
∴ E(X)+V(X)= + = =56
∴ n=128
22
B {n, ;6!;}에서V(X)=n_;6!;_;6%;=5n 36
7n 16 3n 16 n 4
3n 16 n 4
21
12822
③23
③24
2125
②26
②27
②28
③29
102본문`072`~`073쪽
V(2X+5)=4V(X)=4_ = =40
∴ n=72 따라서
E(X)=72_;6!;=12, V(X)=;3∞6;_72=10이므로 E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤ =10+12¤ =154
23
E(3X+1)=3E(X)+1=11이므로 E(X)=:¡3º:V(3X+1)=3¤ V(X)=20이므로 V(X)=:™9º:
E(X)=np=:¡3º: yy`㉠
V(X)=np(1-p)=:™9º: yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 1-p=;3@; ∴ p=;3!;
p=;3!;을 ㉠에 대입하면 n=10
∴ n+p=:£3¡:
24
확률변수 X가 이항분포 B {n, ;2!;}을 따르고 P(X=2)=10P(X=1)이므로«C™{;2!;}2 {;2!;}n-2=10«C¡{;2!;}1 {;2!;}n-1
=10n, n¤ -21n=0 n(n-21)=0 ∴ n=21
25
E(2X+3)=2E(X)+3=15이므로 E(X)=6 또 E(X¤ )=40이므로V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =40-6¤ =4 E(X)=np=6,
V(X)=np(1-p)=4이므로 n=18, p=;3!;
∴ a= = =:¡4¶:
∴ aV(X)=:¡4¶:_4=17
26
동전 2개 모두 뒷면이 나올 확률은 ;2!;_;2!;=;4!;즉, 확률변수 X는 이항분포 B {100, ;4!;}을 따르므로 E(X)=100_;4!;=25
∴ E(2X+3)=2E(X)+3=2_25+3=53
27
같은 색의 공이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하면 한 번의 시행 에서 같은 색의 공이 나올 확률은+§C™=;4§5;+;4!5%;=;1¶5;
¡ºC™
¢C™
¡ºC™
¡•C™{;3!;}¤ {;3@;}⁄ fl
¡•C¡{;3!;}⁄ {;3@;}⁄ ‡ P(X=2)
P(X=1) n(n-1)
2
5n 9 5n
36 즉, 확률변수 X는 이항분포 B {30, ;1¶5;}을 따르므로
E(X)=30_;1¶5;=14
얻을 수 있는 점수를 확률변수 Y라 하면 Y=4X+2(30-X)=2X+60
∴ E(Y)=E(2X+60)
=2E(X)+60
=2_14+60=88
28
한 번의 시행에서 흰 공이 나올 확률은즉, 확률변수 X가 이항분포 B{72, }를 따르므로
E(X)=72_ =48
∴ k=2
∴ V(X)=72_;3@;_;3!;=16
29
한 개의 주사위를 2번 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 6_6=36(가지)직선 y=ax와 포물선 y=x¤ +b가 서로 만나지 않으려면 이차방 정식 x¤ -ax+b=0의 실근이 존재하지 않아야 하므로 이 이차 방정식의 판별식을 D라 하면
D=a¤ -4b<0
즉, 한 번의 시행에서 a¤ <4b를 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)
의 17개이므로 한 번의 시행에서 직선 y=ax와 포물선 y=x¤ +b 가 서로 만나지 않을 확률은 ;3!6&;이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B {216, ;3!6&;}을 따르므로 E(X)=216_;3!6&;=102
4 k+4
4 k+4
4 k+4
유형`13. 연속확률분포
39 01
확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이므로
;2!;_3_a=1
∴ a=;3@;
02
확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로;2!;_6_a=1 ∴ a=;3!;
∴ P(0…X…5)=;2!;_5_;3!;=;6%;
03
함수 y= f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=6으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 1이므로;2!;_6_6k=1 ∴ k=;1¡8;
즉, f(x)=;1¡8;x이므로 P(2…X…5)
=P(0…X…5)-P(0…X…2)
=;2!;_5_;1∞8;-;2!;_2_;9!;
=;3@6%;-;9!;=;1¶2;
04
확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이 므로;2!;_b_b=1, b¤ =2
∴ b='2 (`∵ b>0) P(a…X…b)=;4!;에서
P(0…X…a)=1-;4!;=;4#;이므로
;2!;_a_'2 =;4#;
∴ a=
05
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프는 그림 과 같고, 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이므로;2!;_2_k=1
∴ k=1
y
O k
1 2 x
y=f(x) 3'2
4
5 6 2
3 1
9 1
y=f(x) 185
y
O x
06
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프는 그림 과 같고, 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 부분의 넓이 는 1이므로;2!;_2_2a=1
∴ a=;2!;
즉, `f(x)=;2!;x이므로
P {0…X…;2!;}=;2!;_;2!;_;4!;=;1¡6;
07
확률밀도함수의 그래프와 x축 및 직선 x=0으로 둘러싸인 부분 의 넓이는 1이므로;2!;_a+;2!;_;2!;_a=1
;4#;a=1
∴ a=;3$;
08
0…x…2에서 확률밀도함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분 의 넓이가 1이므로;2!;_;3!;_;4#;+{a-;3!;}_;4#;+;2!;_(2-a)_;4#;=1,
;8!;+;4#;a-;4!;+;4#;-;8#;a=1
∴ a=1
∴ P{;3!;…X…a}=P{;3!;…X…1}
∴ P{;3!;…X…a}={1-;3!;}_;4#;
∴ P{;3!;…X…a}=;2!;
09
확률밀도함수의 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=4로 둘러싸 인 부분의 넓이는 1이므로;2!;_1_a+;2!;_3_3a=1 5a=1 ∴ a=;5!;
즉, f(x)=;5!;|x-1|이므로 P(0…X…2)
=;2!;_1_;5!;+;2!;_1_;5!;
=;5!;
∴ 100P(0…X…2)=100_;5!;=20
4 2 1 5 1 5 3 y
O x
y=f(x) y
O 2a a
2 x y=f(x)
2 1 2 1
01
④02
③03
②04
③05
106
②13
본문075쪽